2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（Word版附解析）.docx

1、2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选多选错选均不得分）1. 已知集合P=0，1，2，Q=1，2，3，则PQ=（ ）A. 0B. 0，3C. 1，2D. 0，1，2，3【答案】C【解析】【分析】根据题设，结合集合交集的概念，可得答案.【详解】 P=0，1，2，Q=1，2，3PQ=1，2；故选：C.2. 函数的定义域是A. B. C. RD. 【答案】D【解析】【分析】由，即可得出定义域.【详解】即函数的定义域为故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的定义域，属于基础题.3. 函数

2、的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式可得函数是以为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案.【详解】解：由，得函数是以为底数的指数函数，且函数为减函数，故D选项符合题意.故选：D.4. 已知R，则cos（-）=（ ）A. sinB. -sinC. cosD. -cos【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式可以直接求出结果.【详解】因为，故选：D.5. 已知圆M的方程为，则圆心M的坐标是（ ）A. （，2）B. （1，2）C. （1，）D. （，）【答案】A【解析】【分析】根据圆的标准式，即可得到圆心的坐标.【详解】的圆心坐标为；的圆心坐标

3、为；故选：A.6. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）A. 棱柱B. 圆柱C. 圆台D. 球【答案】C【解析】【分析】根据几何体的特征可以直接求出结果.【详解】由三视图知，从正面和侧面看都梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台故选：C.7. 已知函数（），则此函数是（ ）A. 偶函数且在（-，+）上单调递减B. 偶函数且在（-，+）上单调递增C. 奇函数且在（-，+）上单调递减D. 奇函数且在（-，+）上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义和幂函数的单调性可得选项.【详解】解：令，则函数的定义域为R，且，所以函

4、数是奇函数，又因为，所以函数在（-，+）上单调递增，故选：D8. 不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式求解的方法计算求解.【详解】，解得，所以解集为.故选：A9. 设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足|PA|-|PB|=3，则P点的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为，所以P点的轨迹是双曲线.故选：C.10. 不等式组表示的平面区域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出直线与，再代入点判断不等式是否成立，从而

5、判断出与的平面区域.【详解】画出直线，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入可得成立，所以表示的区域为直线及直线右下方；画出直线，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入可得不成立，所以表示的区域为直线及直线左下方，所以对应的平面区域为B.故选：B11. 已知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.【详解】“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.故选

6、：B12. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】函数中的替换为,可得到函数,根据“左加右减”平移法则可得到图象的平移变换方法.【详解】函数中的替换为,可得到函数，因此对应的图象向右平移移个单位长度, 可以将函数y=cosx的图象变为函数的图象，故选：D13. 已知函数在区间（-，1是减函数，则实数a的取值范围是（ ）A. 1，+）B. （-，1C. -1，+）D. （-，-1【答案】A【解析】【分析】由对称轴与1比大小，确定实数a的取值范围.【详解】对称轴为，开口向上

7、，要想在区间（-，1是减函数，所以.故选：A14. 已知向量满足，则（ ）A. 2B. C. 8D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得，由此根据已知条件可求得答案.【详解】,又，故选：B15. 如图，正方体中，N是棱的中点，则直线CN与平面所成角的正弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过连接、交于的辅助线，确定与平面所成的角，再设正方体棱长为2，根据CN与CO长度的关系，即可得出所求角的正弦值；【详解】连接、交于,由正方形的性质可得，又平面， 平面，又与在平面内相交，所以平面是与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，故选：B.16.

8、 若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式转化为，根据在上单调递增，可得，参变分离后令，可转化为在上恒成立，利用基本不等式求解的最大值，即可得的取值范围.【详解】由，可得，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，令，则，当且仅当，即时，取等号，所以.故选：A17. 已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数都成立，则向量夹角的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对两边平方化简可得，再平方化简整理得恒成立，然后由可求出的范围，从而可求出的最大值【详解】设向量夹角为，设向量与的夹角为，由，得，所

9、以，所以，所以所以，所以对任意实数都成立，即恒成立，当，即，得，上式恒成立，当时，即，所以得，因为，所以综上，所以向量夹角最大值是，故选：B18. 通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）A. 6B. 12C. 18D. 108【答案】A【解析】【分析】设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则

10、经过第次拓展后增加的项数为，从而可得，从而可求出，从而可知经过11次拓展后在与6之间增加的数为，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【详解】解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，所以，即，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，是以，所以，则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，所以经过11次拓展后6所在的位置为第，所以.故选：A.二填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19. 若数列通项公式为，记前n项和为，则_；_.【答案】 . 4 . 20【解析】【分析】根据数列的通项公式直接求出即可

11、，易得数列是以2为首项2为公差的等差数列，再根据等差数列的前项公式即可得出答案.【详解】解：因为，所以，又，所以数列是以2为首项2为公差的等差数列，则.故答案为：4；20.20. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45，B=60，则b=_.【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【详解】解：因为a=2，A=45，B=60，所以.故答案为：.21. 设椭圆的左右焦点分别为.已知点，线段交椭圆于点P，O为坐标原点.若，则该椭圆的离心率为_.【答案】#【解析】【分析】由椭圆定义和题干中的可得到，进而得出点P的坐标，代入椭圆方程化简可得到离心率.【详解】根据

12、椭圆定义知，又，由三角形为直角三角形可得点P是的中点，把点P代入椭圆方程中得.故答案为：.22. 如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足，则的最小值为_.【答案】#0.2【解析】【分析】根据可得共面，作交于点，连接，则，再根据，可得，再利用相似比可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可的解.【详解】解：因，所以共面，作交于点，连接，则，因为，所以，即，因为，所以，则，因为，所以，则，又，所以，所以，则，故，所以当时，取得最小值为.故答案为：.三解答题（本大题共3小题，共31分）23. 已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期.【答案】（1） （2）【解析】【分析

13、】（1）根据函数的解析式和特殊角的三角函数值计算可得；（2）根据函数的解析式得，利用周期公式计算可得.【小问1详解】，【小问2详解】，的最小正周期24. 如图，已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2.（1）求p的值；（2）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，记AOB的面积为S，当时，求直线l的方程.【答案】（1）2 （2）或【解析】【分析】（1）由抛物线的几何性质可得焦点到准线间的距离为，根据已知即可得到的值；（2）根据题意可设直线的方程为，利用韦达定理可三角形面积公式得到关于的表达式，利用抛物线的定义转化求得关于的表达式，根据已知得到关于的方程，求解后即得直线的方程.

14、【小问1详解】抛物线C：焦点为，准线为，焦点到准线间的距离为，由已知得抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，；【小问2详解】由（1）可得抛物线的方程为，焦点,显然直线的斜率不可能为零，故可设直线的方程为，代入抛物线方程整理得，设，则， ，由，得，解得,直线l的方程为或.25. 已知函数.（1）若f（1）=2，求a的值；（2）若存在两个不相等的正实数，满足，证明：；.【答案】（1）2； （2）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）代入f（1）=2即可求出a的值；（2）分情况讨论，得到时满足题意，根据函数单调性，不妨设，构造差函数，证明极值点偏移问题；在第一问的基础上进行放缩即可证明.【小问1详解

15、】由，化简得：，两边平方，解得：.小问2详解】不妨令，当时，在上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；当时，为定值，不合题意；当时，由对勾函数知识可知：当时，在上单调递增，在上单调递增，两个分段函数在处函数值相同，故函数在上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，即分段函数在处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数，满足，则有三种类型，第一种：，显然，令，则，当时，即在单调递增，所以，即，由于，所以，又因为，所以，因为，而在上单调递减，所以，即，综上：；第二种情况：，显然满足，接下来证明，令，则，当时，即在单调递增，所以，又，所以，又，所以，因为，在上单调递增，所以，即，综上：；第三种情况：，由第一种情况可知满足，由第二种情况可知：，则，综上：，证毕.由可知：当时，由得：，整理得：，即；当时，整理得：，整理得：，因为，所以，综上：，证毕.【点睛】极值点偏移问题，是比较有难度的题目，一般处理思路有构造差函数，对数平均不等式，多元化单元等方法.