2022年中考数学一轮复习第十七讲锐角三角函数与解直角三角形专题训练.docx

1、第 17 讲 锐角三角函数与解直角三角形 考纲要求 命题趋势 1理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30，45，60)的三角函数值，并会进行计算 2掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形 3利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.中考中主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点.知识梳理 一、锐角三角函数定义 在 RtABC 中，C90，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.A 的正弦：sin AA的对边斜边_；A 的余弦：cos AA的邻边斜边_；A 的正切：tan

2、AA的对边A的邻边_.它们统称为A 的锐角三角函数 锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形 二、特殊角的三角函数值 三、解直角三角形 1定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角)2直角三角形的边角关系：在 RtABC 中，C90，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.(1)三边之间的关系：_；(2)锐角之间的关系：_；(3)边角之间的关系：sin Aac，cos Abc，tan Aab，sin Bbc，cos Bac，tan Bba.3解

3、直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如 a，A)，其解法为：B90A，casin A，batan A(或 b c2a2)；(2)已知斜边和一个锐角(如 c，A)，其解法为：B90A，acsin A，bccos A(或 b c2a2)；(3)已知两直角边 a，b，其解法为：c a2b2，由 tan Aab，得A，B90A；(4)已知斜边和一直角边(如 c，a)，其解法为：b c2a2，由 sin Aac，求出A，B90A.四、解直角三角形的应用 1仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角 2坡角与坡度：坡角是

4、坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点_与水平距离之比，常用 i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_ 自主测试 1如图，在 RtABC 中，ACB90，BC1，AB2，则下列结论正确的是()Asin A 32 Btan A12 Ccos B 32 Dtan B 3 2如图，A，B，C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB，则 tan B的值为()A12 B13 C14 D 24 3已知 是锐角，且 sin(15)32，计算 84cos(3.14)0tan 131的值 考点一、锐角三角函数的定义【例 1】如图，在ABC 中，C90，AB13，

5、BC5，则 sin A 的值是()A 513 B1213 C 512 D135 解析：在 RtABC 中，AB13，BC5，sin ABCAB 513，故选 A.答案：A 方法总结 求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的公式解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须想办法构造一个直角三角形 触类旁通 1 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，沿 CE 折叠矩形 ABCD，使点 B 落在 AD边上的点 F 处，若 AB4，BC5，则 tanAFE 的值为()A43 B35 C34 D45

6、考点二、特殊角的三角函数值【例 2】如果ABC 中，sin Acos B 22，则下列最确切的结论是()AABC 是直角三角形 BABC 是等腰三角形 CABC 是等腰直角三角形 DABC 是锐角三角形 解析：由 sin Acos B 22 可知，AB45，所以C90，所以ABC 是等腰直角三角形 答案：C 方法总结 特殊角的三角函数值在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆 触类旁通 2 计算：|2|2sin 30(3)2(tan 45)1.考点三、解直角三角形【例 3】如图，在ABC 中，C90，点 D，E 分别在 AC，AB 上，BD 平分AB

7、C，DEAB，AE6，cos A35.求：(1)DE，CD 的长；(2)tanDBC 的值 解：(1)DEAB，DEA90.在 RtAED 中，cos AAEAD，即 6AD35.AD10.根据勾股定理得 DE AD2AE2 102628.又DEAB，DCBC，BD 平分ABC，DCDE8.(2)ACADDC10818，在 RtABC 中，cos AACAB，即18AB35，AB30.根据勾股定理得 BC AB2AC2 30218224.在 RtBCD 中，tanDBCDCBC 82413.方法总结 解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角解题时应尽量使

8、用原始数据，能用乘法运算就尽量不用除法运算 触类旁通 3 如图是教学用的直角三角板，边 AC30 cm，C90，tanBAC 33，则边 BC 的长为()A30 3cm B20 3cm C10 3cm D5 3cm 考点四、解直角三角形在实际中的应用【例 4】某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度如图所示，由距 CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为.测得 A，B 之间的距离为 4 米，tan 1.6，tan 1.2，试求建筑物 CD 的高度 分析：求建筑物 CD 的高度关键是

9、求 DG 的长度，先利用三角函数用 DG 表示出 GF，GE 的长，利用 EFGEGF 构建方程求解 解：设建筑物 CD 与 EF 的延长线交于点 G，DGx 米 在 RtDGF 中，tan DGGF，即 tan xGF.在RtDGE 中，tan DGGE，即 tan xGE.GFxtan，GExtan.EFxtan xtan.4 x1.2 x1.6.解方程，得 x19.2.CDDGGC19.21.220.4(米)答：建筑物 CD 高为 20.4 米 方法总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造，即把实际问题转化为数学问题，并构造直角三角形，利用解直角三角形的知识去解决，解题

10、时要认真审题，读懂题意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义，然后再作图解题 1(2022 四川乐山)如图，在 RtABC 中，C90，AB2BC，则 sin B 的值为()A12 B 22 C 32 D1 2(2022 浙江舟山)如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A同侧的河岸边选定一点 C，测出 ACa 米，BAC90，ACB40，则 AB 等于()米 Aasin 40 Bacos 40 Catan 40 Datan 40 3(2022 福建福州)如图，从热气球 C 处测得地面上 A，B 两点的俯角分别为 30，45，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为

11、 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是()A200 米 B200 3米 C220 3米 D100(31)米 4(2022 山东济宁)在ABC 中，若A，B 满足cos A12 sin B 2220，则C_.5(2022 湖南株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度小民所在的学习小组在距离旗杆底部 10 米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 60，则旗杆的高度是_米 6(2022 湖南衡阳)如图，一段河坝的横断面为梯形 ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽 AD.(iCE:ED，单位：m)7(2022 山东潍坊)校车安全是近几年社会关注的重大问题，

12、安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道 l 上确定点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长等于 21 米，在 l 上点 D 的同侧取点 A，B，使CAD30，CBD60.(1)求 AB 的长(精确到 0.1 米，参考数据：31.73，21.41)；(2)已知本路段对校车限速为 40 千米/时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说明理由 1如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D.若 AC 5，BC2，则 sinACD的值为()A 53 B2 55 C 52

13、D23 2如图，在 RtABC 中，C90，把A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作 cot Aba.则下列关系式中不成立的是()Atan Acot A1 Bsin Atan Acos A Ccos Acot Asin A Dtan2Acot2A1 3如图，某游乐场一山顶滑梯的高为 h，滑梯的坡角为，那么滑梯长 l 为()(第 3 题图)Ahsin Bhtan Chcos Dhsin 4如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1:3，堤高 BC5 m，则坡面 AB 的长度是()A10 m B10 3m C15 m D5 3m (第 4 题图)5在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发

14、，要到 A 地的北偏东 60方向的 C 地，他先沿正东方向走了 200 m 到达 B 地，再沿北偏东 30方向走，恰能到达目的地 C(如图)，那么，由此可知，B，C 两地相距_m.6如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的O 的圆心 O 在格点上，则AED 的正切值等于_ 7如图所示，在ABC 中，C90，A30，BD 是ABC 的平分线，CD5 cm，求AB 的长 8综合实践课上，小明所在的小组要测量护城河的宽度如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸 AB 上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为 10 米小明先用测角仪在河岸 CD 的 M 处测得36，然后沿河岸走

15、50 米到达 N 点，测得72.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽 FR(结果保留两位有效数字)(参考数据：sin 360.59.cos 360.81，tan 360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan 723.08)参考答案 导学必备知识 自主测试 1D 2B 3解：sin(15)32，45，原式2 24 22 1133.探究考点方法 触类旁通 1C 由折叠过程可知，CFBC5，根据勾股定理得 DF3，所以 AFADDF2，设 AEx，则 EFBE4x，在 RtAEF 中，(4x)222x2，解得 x32，所以 tanAFEAEAF32234.触类旁通 2解：原式221

16、23111.触类旁通 3C 因为 tanBACBCAC，所以 BCACtanBAC30 33 10 3(cm)品鉴经典考题 1C 在 RtABC 中，C90，AB2BC，sin ABCAB BC2BC12.A30，B60，sin B 32，故选 C.2C 在 RtABC 中，ACa 米，BAC90，ACB40，tan 40ABAC，ABatan 40.3D 由题意得A30，B45.AD CDtan A100 3(米)，BD CDtan B100(米)，则 ABADBD1003100100(31)(米)故选 D.475 由题意得：cos A120，sin B 22 0，cos A12，sin B

17、 22，A60，B45，C75.510 3 在直角三角形中，tan 60旗杆的高度10，所以旗杆的高度10 3(米)6解：如图所示，过点 B 作 BFAD，可得矩形 BCEF.EFBC4，BFCE4.在 RtABF 中，AB5，BF4.由勾股定理可得：AF 52423(m)又在 RtCED 中，iCEED12，ED2CE248(m)ADAFFEED34815(m)7解：(1)由题意得，在 RtADC 中，ADCDtan 30213321 336.33；在 RtBDC 中，BDCDtan 602137 312.11，所以 ABADBD36.3312.1124.2224.2(米)(2)校车从 A

18、到 B 用时 2 秒，所以速度为 24.2212.1(米/秒)，因为 12.13 60043 560，所以该车速度为 43.56 千米/时，大于 40 千米/时，所以此校车在 AB 路段超速 研习预测试题 1A 2D 3A 4A 5200 612 7解：在 RtABC 中，C90，A30，BD 是ABC 的平分线，ABDCBD30.ADDB.又RtCBD 中，CD5 cm，BD10 cm.BC5 3cm，AB2BC10 3cm.8解：过点 F 作 FGEM 交 CD 于 G.则 MGEF20 米，FGN36.GFNFGN723636.FGNGFN，FNGN502030(米)在 RtFNR 中，FRFNsin 30sin 72300.9528.529(米)故河宽 FR 约为 29 米