2022年中考数学几何模型之几何图形的旋转变换（讲 练）（解析版）.docx

1、专题09 几何图形的旋转变换知识点：（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）题型一、求点的坐标 例1.如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（2，4），AB绕点A顺时针旋转90得到AC，则点C的坐标是（） A（4，3）B（4，4）C（5，3）D（5，4）【答案】C【解析】如图，过点B作BEx轴于E，过点C作CFx轴于FA（1，0），B（2，4），OA1，BE4，OE2，AE3，AEBAFCBAC90

2、，B+BAE90，BAE+CAF90，BCAF，ABAC，BEAAFC（AAS），CFAE3，AFBE4，OF1+45，C（5，3），选C例2.如图，RtAOB中，AOB90，OA3，OB4，将AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图，图，则旋转到图时直角顶点的坐标是（）A（28，4）B（36，0）C（39，0）D（912，323）【解析】AOB90，OA3，OB4，AB=OA2+OB2=32+42=5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+412，所以，图的直角顶点在x轴上，横坐标为12336，所以，图的顶点坐标为（36，0），又图的直角顶点与图的直角顶点重合，图的

3、直角顶点的坐标为（36，0）选B【变式训练1】如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，2），过点B作BAy轴于点A，连接OB将AOB绕点O按顺时针方向旋转45，得到AOB，则点B的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【详解】将线段OB绕点O顺时针旋转90得到OE.连接BE交OB于F，作FHx轴于H，BGx轴于G，如图所示：B（1，2），可得E（2，1），BOFEOF，OBOE，BFEF，FHBG，.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AOAB2，OAB120，将AOB绕点O逆时针旋转90，点B的对应点B的坐标是（） A（23

4、2，3） B（232，232） C（3，232）D（3，3）【答案】D【解析】作BHx轴于H由题意：OAAB2，BAH60，ABH30，AH=12AB1，BH=3，OH3，B（3，3），选D【变式训练3】如图，AOB为等腰三角形，顶点A的坐标，底边OB在x轴上。将AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB，点A的对应点A在x轴上，则点O的坐标为（ ）A. B. C. D. 【解答】D【解析】如图，过点A作ACOB于C，过点O作ODAB于D，A（2，5），OC2，AC，由勾股定理得，AOB为等腰三角形，OB是底边，OB20C224，由旋转的性质得，BOOB4，ABOABO，sinABOsin

5、OBD，.【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A（1，1）B(2，0)C（1，1）D(0，2)【解析】四边形OABC是正方形，且OA1，B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB=2，由旋转得：OBOB1OB2OB3=2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45，依次得到AOBBOB1B1OB245，B1（0，2），B2（1，1），B3

6、（2，0），B（1，1），发现是8次一循环，所以202082524，点B2020的坐标为（1，1），选C模型二、几何图形的旋转例1.如图1，已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H（1）求出ACE的度数；（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；（3）若将CDE绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，说明理由【答案】见解析【解析】（1）ABC和CDE都是等边三角形，ACBECD60，点B、C、D在同一条直线上，ACE180ACBECD180606060；（2）BCEACD理由：ABC和CED都是

7、等边三角形，BCADCE60，BCAC，CECD，BCEACD，在BCE和ACD中，BC=ACBCE=ACDCE=CD，BCEACD（SAS）；（3）（2）中的结论还成立ABC和CDE都是等边三角形，ACBECD60，ACBC，ECDCBCEACD，BCEACD（SAS）例2.如图，正方形与正方形的边、（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、（1）当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：；（2）当点在直线上时，连接，直接写出的度数；（3）如图，如果，求点到的距离【答案】（1）证明：如图2，四边形是正方形，四边形是正方

8、形，（2）解：或（3）解：如图3，连接、由已知，可知又为正方形的对角线，过点作于点，设点到的距离为即点到的距离为例3.在RtABC中，ACAB，D为内平面内一动点，CDa，CBb，其中a，b为常数，且ab，将ADC沿射线AB方向平移，得到BEF，点A、C、D的对应点分别为点B、E、F，连接AF.（1）如图，若D在ABC内部，请在图中画出BEF；（2）在（1）的条件下，若CDAF，求AF的长（用含a，b的式子表示）；（3）若ABC试探究当线段AF的长度取最小值时ACD的大小（用含的式子表示）.【解答】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）如图所示：（2）连接CE、DF、AE，如图所示：将AC

9、D沿射线AB方向平移，得到BEF，CD/EF， CDEF； AC /BE， AC BE，四边形ACEB是平行四边形，CAB90，四边形ABEC为矩形，BCAE，CDAF，EFAFCDa，BCb，EFa，AEb，；（3）当点F在AE上时，线段AF的长度最小，如图所示：四边形ABEC是矩形，ABC，AEBC，且互相平分， OE OB，OEBOBE，ABE90，CBE90，ACDBEFCBE90.【变式训练1】已知：在RtABC中，ACB90，ACBC，D是线段AB上一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE，连结DE，BE.（1）依题意补全图形；（2）若ACD ，用含的代数式表示D

10、EB；（3）若ACD的外心在三角形的内部，请直接写出的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）如图所示：（2）将线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE，DCE90，CDCE，ACB90，ACDBCE ，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），CBEA，ACB90，ACBC，A45，CBE45，DCE90，CDCE，CED45，在BCE中，BCEACD ，DEB180 454590 ；（3）ACD的外心在三角形的内部，ACD是锐角三角形，ACD90，ADC90，又A45，ACD45，.【变式训练2】阅读下面材料，并解决问题：（1）如图等边ABC内有一点P，若点P到顶点A

11、、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数为了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACPABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出APB150；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图，ABC中，CAB90，ABAC，E、F为BC上的点且EAF45，求证：EF2BE2+FC2；（3）能力提升如图，在RtABC中，C90，AC1，ABC30，点O为RtABC内一点，连接AO，BO，CO，且AOCCOBBOA120，求OA+OB+OC的值【解析】（1）ACPABP，APAP3、CPBP4、APCAPB，由

12、题意知旋转角PA P60，AP P为等边三角形，P PAP3，A PP60，易证P PC为直角三角形，且P PC90，APBAPCA PP+P PC60+90150；（2）如图2，把ABE绕点A逆时针旋转90得到ACE，由旋转的性质得，AEAE，CEBE，CAEBAE，ACEB，EAE90，EAF45，EAFCAE+CAFBAE+CAFBACEAF904545，EAFEAF，在EAF和EAF中，AE=AEEAF=EAFAF=AF， EAFEAF（SAS），EFEF，CAB90，ABAC，BACB45，ECF45+4590，由勾股定理得，EF2CE2+FC2，即EF2BE2+FC2（3）如图3，

13、将AOB绕点B顺时针旋转60至AOB处，连接OO，在RtABC中，C90，AC1，ABC30，AB2，BC=AB2AC2=3，AOB绕点B顺时针方向旋转60，AOB如图；ABCABC+6030+6090，C90，AC1，ABC30，AB2AC2，AOB绕点B顺时针方向旋转60，得到AOB，ABAB2，BOBO，AOAO，BOO是等边三角形，BOOO，BOOBOO60，AOCCOBBOA120，COB+BOOBOA+BOO120+60180，C、O、A、O四点共线，RtABC中，AC=BC2+AB2=(3)2+22=7，OA+OB+OCAO+OO+OCAC=7【变式训练3】在中，在中，点、分别在

14、、上（1）如图，若，则与的数量关系是_；（2）若，将绕点旋转至如图所示的位置，则与的数量关系是_；（3）若，将绕点旋转至如图所示的位置，探究线段与的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）【答案】（1）（2）（3）过点作交于，又，课后训练1.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A（0，4），C（2，0），将矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形ABCD，点B恰好落在x轴上，线段BA与CD交于点E的坐标为（）A（2，32）B（2，34）C（2，2）D（2，54）【解析】如图，连接BD，BD，矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形ABCD

15、，BDBD，又DCBB，A（0，4），C（2，0），BCBC2AD，又BCEDAE90，BECDEA，BECDEA，BEDE，设CEx，则BEDE4x，RtBEC中，CE2+BC2BE2，x2+22（4x）2，解得x=32，E（2，32），选A2.如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（22，22），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是 【解析】点P1的坐标为（22，22），将线段OP

16、1绕点O按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；OP11，OP22，OP34，如此下去，得到线段OP423，OP524，OPn2n1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，202082524，点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，点P2020的坐标是（0，22019）故答案为：（0，22019）3.如图，在ADE中，DAE80，将ADE绕点A顺时针旋转得ABC，若AC平分DAE，则 ；若AC平分BAE，则 .【答案】40，80【解析】由旋转的性质得：BACDAE80，12，若AC平分DAE，则2DAE40；若AC平分BAE，则AC与AD重

17、合，DAE80.4.如图，在ABC中，BAC90，BAC10，点D为ABC内一点，BAD15，AD6，连接BD，将ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 . 【解答】【解析】过点A作AGDE于点G，如图所示：由旋转知：ADAE，DAE90，CAEBAD15，AEDADG45，在AEF中，AFDAEDCAE60，在RtADG中， ，在RtAFG中， ，CFACAF.5.如图，ABC中，ABC45，AHBC于点H，点D在AH上，且DHCH，连结BD，将BHD绕点H旋转，得到EHF（点B、D分别与点E、F对应），连结AE，当点F落

18、在AC上时（F不与C重合），若BC4，tanC3，则AE的长为 .【答案】【解析】在RtAHC中，tanC3，设CH，则BHAH3，BC4，34，1，AH3，CH1，由旋转知，EHFBHDAHC90，EHAH3，CHDHFH，EHFAHFAHCAHF，EHAFHC，EHAFHC，EAHC，tanEAHtanC3，过点H作HPAE，如图所示：HP3AP，AE2AP，在RtAHP中，.6.如图，在中，且，以为腰作等腰直角三角形,以为斜边作等腰直角三角形，连接交于点，求的度数【答案】方法一：如图1，平移线段使得点与点重合，连接四边形是平行四边形，,，为等腰直角三角形7.如图1，已知是等腰直角三角形，

19、点是的中点作正方形，使点、分别在和上，连接，（1）试猜想线段和的数量关系是_；（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，判断（）中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；若，当取最大值时，求的值【答案】（1）；（2）成立以下给出证明：如图，连接，在中，为斜边中点，四边形为正方形，且，在和中， ，由可得，当取得最大值时，取得最大值当旋转角为时，最大值为如图，此时8.阅读下面材料，并解决问题：（1）如图等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数为了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACPABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC

20、转化到一个三角形中，从而求出APB150；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图，ABC中，CAB90，ABAC，E、F为BC上的点且EAF45，求证：EF2BE2+FC2；（3）能力提升如图，在RtABC中，C90，AC1，ABC30，点O为RtABC内一点，连接AO，BO，CO，且AOCCOBBOA120，求OA+OB+OC的值【解析】（1）ACPABP，APAP3、CPBP4、APCAPB，由题意知旋转角PA P60，AP P为等边三角形，P PAP3，A PP60，易证P PC为直角三角形，且P PC90，APBAPCA PP+P PC60+90150；（

21、2）如图2，把ABE绕点A逆时针旋转90得到ACE，由旋转的性质得，AEAE，CEBE，CAEBAE，ACEB，EAE90，EAF45，EAFCAE+CAFBAE+CAFBACEAF904545，EAFEAF，在EAF和EAF中，AE=AEEAF=EAFAF=AF， EAFEAF（SAS），EFEF，CAB90，ABAC，BACB45，ECF45+4590，由勾股定理得，EF2CE2+FC2，即EF2BE2+FC2（3）如图3，将AOB绕点B顺时针旋转60至AOB处，连接OO，在RtABC中，C90，AC1，ABC30，AB2，BC=AB2AC2=3，AOB绕点B顺时针方向旋转60，AOB如图

22、；ABCABC+6030+6090，C90，AC1，ABC30，AB2AC2，AOB绕点B顺时针方向旋转60，得到AOB，ABAB2，BOBO，AOAO，BOO是等边三角形，BOOO，BOOBOO60，AOCCOBBOA120，COB+BOOBOA+BOO120+60180，C、O、A、O四点共线，RtABC中，AC=BC2+AB2=(3)2+22=7，OA+OB+OCAO+OO+OCAC=79.在等腰RtABC中，ABAC，BAC90.（1）如图1，D、E是等腰RtABC斜边BC上两动点，且DAE45，将ABE绕点A逆时针旋转90后，得到AFC，连接DF.求证：AEDAFD；当BE3，CE7

23、时，求DE的长；（2）如图2，点D是等腰RtABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰RtADE，当BD3，BC9时，求DE的长.【解答】（1）见解析；（2）或【解析】（1）连接EF，如图所示：BAECAF，AEAF，BAECAF，BAC90，EAD45，CADBAECADCAF45，DAEDAF，DADA，AEAF，AEDAFD（SAS）；设DE，则CD9，ABAC，BAC90，BACB45，ABEACF45，DCF90，AEDAFD（SAS），DEDF，在RtDCF中，CFBE3，解得，；（2）当点D在线段BC上时，如图所示，连接BE，BACEAD90，EABDAC，AEAD，ABAC，EABADC（SAS），ABECABC45，EBCD6，EBD90，；当点D在CB的延长线上时，如图所示，连接BE.同理可证DBE是直角三角形，EBCD12，DB3，综上，DE的值为或.