山西大学附属中学2023届高三下学期5月月考 数学答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司数学答案一选择题：本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知 aR，i 为虚数单位，若 3aii为实数，则(a)A 3B 13C3D13【分析】求出()(3)31(3)3(3)(3)10aiaiiaaiiii，再由 3aii为实数，能求出 a【解答】解：()(3)31(3)3(3)(3)10aiaiiaaiiii，由于 3aii为实数，则30a，所以3a ，故选：A【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题2（5 分）如图所示的 Venn 图中，A、B 是非空集合，定义集合

2、 AB为阴影部分表示的集合若|21Ax xn，nN，4n，2B，3，4，5，6，7，则(AB)A2，4，6，1B2，4，6，9C2，3，4，5，6，7D1，2，4，6，9【分析】分析可知|()ABx xAB，()xAB，求出集合 A、AB、AB，即可得集合 AB【解答】解：由Venn 图可知，|()ABx xAB，()xAB，因为|21Ax xn，nN，41n，3，5，7，9，2B，3，4，5，6，7，则1AB，2，3，4，5，6，7，9，3AB，5，7，因此，1AB，2，4，6，9 故选：D 3已知函数()f x 同时满足性质：()()fxf x；当1x，2(0,1)x 时，1212()()

3、0f xf xxx，则函数()f x可能为()A2()f xxB1()()2xf x C()cos4f xxD()(1|)f xlnx【分析】()()fxf x说明()f x 为偶函数，121212()(),(0,1),0f xf xx xxx，说明函数在(0,1)上单调递减，再逐项分析即可学科网（北京）股份有限公司【解答】解：()()fxf x说明()f x 为偶函数，121212()(),(0,1),0f xf xx xxx，说明函数在(0,1)上单调递减A 不满足，B 不满足，C 不满足，因为()cos4f xx在(0,)4 单调递减，在(,1)4单调递增对于 D，满足，当(0,1)x，

4、()(1)f xlnx，单调递减，也满足故选：D 4.（5 分）我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如图，是一个“勾股圆方图”，设 DGa，DHb，GHc；在正方形 EFGH中再作四个全等的直角三角形和一个小正方形 IJKL，且/KEAD，如图若3ab，且 HFHEHJ，则()A 74B 169C 1912D 2916【分析】根据向量的加减法运算法则，13HFHEELLFHEEKHJ，13EKHKHEHJHE，化简得到21039HFHEHJ【解答】解：因为13HFHEELLFHEEKHJ，13EKHKHEHJHE，所以11 12

5、10()33 339HFHEEKHJHEHJHEHJHEHJ，所以21016399，故选：B 5.某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则椭圆22221yxab 的离心率32e的概率是()A 536B 16C 14D 13学科网（北京）股份有限公司【分析】由32e得222314bea ，从而12ba ，掷两颗骰子得到点数(,)a b 共有 36 个基本事件，利用列举法求出其中满足12ba 的基本事件有 9 个，由此能求出椭圆22221yxab 的离心率32e的概率【解答】解：由32e得222314bea ，所以12ba ，掷两颗骰子得到点数(,)a b 共有 36 个基本事件，其中满足1

6、2ba 的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共 9 个，故椭圆22221yxab 的离心率32e的概率为91364p 故选：C 6.2021 年春节联欢晚会以“共圆小康梦，欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样，某小区的 5 个家庭买了 8 张连号的门票，其中甲家庭需要 3 张连号的门票、乙家庭需要 2 张连号的门票，剩余的 3 张随机分到剩余的 3 个家庭即可，则这 8 张门票分配到家庭的不同方法种数为()A48B72C120D240【分析】这 8 张连号的门票不

7、妨设为 1，2，3，4，5，6，7，8，先考虑 3 张连号的门票的选法共有 6 种情况，再考虑 2 张连号的门票的选法最后考虑剩余的 3 张随机分到剩余的 3 个家庭的选法共有33A 种利用加法与乘法原理可得这 8 张门票不同的分配方法的种数【解答】解：这 8 张连号的门票不妨设为 1，2，3，4，5，6，7，8，先考虑 3 张连号的门票的选法共有 6 种情况：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，(4，5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)，再考虑 2 张连号的门票的选法：对于：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，分别有 4，3，3 种选法；利用对称性可得：对于(4，

8、5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)分别有 3，3，4 种选法最后考虑剩余的 3 张随机分到剩余的 3 个家庭的选法共有33A 种利用加法与乘法原理可得这 8 张门票分配到家庭的不同方法种数33(433)2120A 种故选：C 7若31()626lnaaln a，271()727lnlnbbln b，141(2)2()8ccc，则()A abcB bacC cbaD acb学科网（北京）股份有限公司【分析】运用对数运算将 a、b、c 化简，构造函数()2f xxln x，运用导数研究函数的单调性比较大小，进而求得结果【解答】解：由362lnaln a，得112(2)66aln aln，由2

9、772lnlnbln b得112(2)77bln bln，由14(2)2cc，得112(2)88cln cln设函数()2f xxln x，则2()2212fxln xxln xx，令()0fx，则12xe，当1(0,)2xe时，()0fx，()f x 单调递减，当1(,)2xe 时，()0fx，()f x 单调递增，又因为111108762e，所以111()()()678fff，又因为1()()6f af，1()()7f bf，1()()8f cf，所以 f（a）f（b）f（c），又因为16a，17b，18c，所以 a，b，c 均大于 12e，又因为()f x 在1(,)2e 上单调递增，所

10、以 abc故选：A 8（5 分）已知正三棱柱111ABCA B C的底面边长2 3AB，其外接球的表面积为 20，D 是11B C 的中点，点 P 是线段1A D 上的动点，过 BC 且与 AP 垂直的截面 与 AP 交于点 E，则三棱锥 ABCE的体积的最大值为()A 3 32B32C3D 32【分析】根据外接球的表面积求解球半径，利用正三棱柱的外接球球心位置结合勾股定理可得棱柱的高，进而根据点 E 的轨迹在以 AF 为直径的圆上，即可确定点 E 到底面 ABC 距离的最大值，最后利用体积公式求解即可学科网（北京）股份有限公司【解答】解：外接球的表面积为 20，可得外接球半径为5 因为正三棱

11、柱柱111ABCA B C的底面边长2 3AB，所以11133322A DA BAB，所以111A B C 的外接圆半径为1223rA D，设三棱柱的侧棱长为 h，则有22()52hr，解得2h，即侧棱12AAh，设 BC 的中点为 F，作出截面如图所示，因为 AP，EF，所以 AEEF，所以点 E 在以 AF 为直径的圆上，当点 E 在弧 AF 的中点时，此时点 E 到底面 ABC 距离的最大，且最大值为 11332 32222AF，因为 DFAF，所以此时点 P 在线段1A D 上，符合条件，所以三棱锥 ABCE的体积的最大值为2111333 3(2 3)323242ABCAFS故选：A

12、二选择题：本小题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知二项式1()2nxx的展开式中各项系数之和是 1128，则下列说法正确的有()A展开式共有 7 项B二项式系数最大的项是第 4 项C所有二项式系数和为 128D展开式的有理项共有 4 项【分析】利用赋值法求出 n 的值，然后结合二项式系数的性质以及通项逐项判断【解答】解：令1x 可得：11()2128n，解得7n，故该二项式为71()2xx，故展开式中共 718项，故 A 错误；二项式系数最大的项为中间的第 4、5 项

13、，故 B 错误；所有二项式系数之和为72128，故 C 正确；学科网（北京）股份有限公司展开式的通项为7 32171()2kkkkTCx ，0k，1，2，7，当1k ，3，5，7 时，为有理项，故 D 正确故选：CD 10（5 分）已知函数()sin()cos()(0)36f xxx，将()f x 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，若()g x 在(0,)12上恰有一个极值点，则 的取值可能是()A1B3C5D7【分析】化简得()2sin()3f xx，进而得()2sin(2)3g xx，0，由题意可得32632，即可得 的范围，结合选项即可得答

14、案【解答】解：因为1331()sin()cos()sincoscossinsin3cos2sin()3622223f xxxxxxxxxx，又因为将()f x 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，所以()2sin(2)3g xx，0，当(0,)12x时，2(33x，)63，又因为()g x 在(0,)12上恰有一个极值点，所以32632，解得17，故选：BCD 11.已知 x，yR，0 x，0y，且2xyxy，则8yex的可能取值为()（参考数据：1.13e，1.23.321)eA 54B 32C1e D e【分析】根据题意化简得到844yyeex

15、y，令4()4,(1,)yg yeyy，求得()g y单调递增，结合(1.1)0g，(1.2)0g，得到存在0(1.1,1.2)y，使得0()0g y，求得最小值020044()4g yyy，设020044()4f yyy，求得0()f y在(1.1,1.2)上单调递减，进而得到 g（2）e，即可求解【解答】解：由2xyxy，可得 844xy且1y ，所以844yyeexy，令4()4,(1,)yg yeyy，可得24()yg yey，学科网（北京）股份有限公司令24()yh yey，可得38()0yh yey，()h y 为单调递增函数，即()g y单调递增，又1.11.22244(1.1)

16、0,(1.2)01.11.2gege，所以存在0(1.1,1.2)y，使得00204()0yg yey，所以0002000444()44,(1.1,1.2)ymingg yeyyyy，设020044()4f yyy，则0320084()fyyy，因为0(1.1,1.2)y，所以0()0fy，所以0()f y在(1.1,1.2)上单调递减，所以019()(1.2)29f yf，又因为 g（2）22ee，()g y 在0(y，)上递增，所以 D 正确故选：ABC 12已知直线:l ykxm与椭圆22:134xyC 交于 A、B 两点，点 F 为椭圆 C 的下焦点，则下列结论正确的是()A当1m 时

17、，kR，使得|3FAFBB当1m 时，kR，使|2FAFBC当1k 时，mR，使得5|2FAFBD当1k 时，mR，6|5FAFB【分析】对于 A，将直线 l 的方程与椭圆方程联立，求出|AB的取值范围，可求得|FAFB的取值范围，可判断 A 选项；求出线段 AB 中点的轨迹方程，可求得|FAFB的取值范围，可判断 B 选项；将直线 l 的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合0可求得|FAFB的取值范围，可判断 C 选项；求出线段AB 中点的轨迹方程，可求得|FAFB的最小值，可判断 D 选项【解答】解：在椭圆 C 中，222,3,1abcab，由题意可得(0,1)F，上焦点记为(0,1)F，

18、学科网（北京）股份有限公司对于 A 选项，设点1(A x，1)y、2(B x，2)y，联立2214312ykxxy，可得22(34)690kxkx，2223636(34)144(1)0kkk，由韦达定理可得12122269,3434kxxx xkk ，2222121222263612(1)|1()41()343434kkABkxxx xkkkk2443,4)34k，所以，|4|8|(4,5FAFBaABAB，A 错；对于 B 选项，设线段 AB 的中点为(,)M x y，由题意可得22112222134134xyxy，两式作差可得22221212034xxyy，因为直线 AB 的斜率存在，则1

19、2xx，所以，121212122423yyyyykxxxxx，整理可得43kyx，又因为1ykx，消去 k 可得224330 xyy，其中0y，所以，11221212(,1)(,1)(,2)(2,22)FAFBx yxyxxyyxy，所以，2222222|44(1)4484334841142FAFBxyxyyyyyyyy，B 对；对于 C 选项，当1k 时，直线 l 的方程为 yxm，即 xym，学科网（北京）股份有限公司联立224312xymxy，可得22784120ymym，2226428(412)16(21 3)0mmm，解得77m，由韦达定理可得212128412,77mmyyy y，

20、222221111111113|(1)32124|2|24422yyyyFAxyyyy，同理2|22yFB，所以，1244 74 7|44(4,4)2777yymFAFB，因为 54 74 7(4,4)277，所以，当1k 时，mR，使得5|,2FAFBC对；对于 D 选项，设线段 AB 的中点为(,)M x y，由 B 选项可知，121212122423yyyyyxxxxx，即43yx，即 430 xy，由22434312yxxy 可得3 77x ，故点 M 的横坐标的取值范围是3 7 3 7(,)77，而点 F 到直线 430 xy的距离为2233543d，由430314xyyx可得123

21、 7 3 7(,)2577x ，当且仅当点1216(,)2525M时，|FAFB取最小值 65，D 错故选：BC【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知等差数列na前 9 项的和为 27，108a，则15a13【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出15a【解答】解：等差数列na前 9 项的和为 27，108a，9 198227ad，198ad，解得11a ，1d ，151141 1413aad 故答案为：1314.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于 60 就认

22、为身体素质合格现从全市随机抽 取100 名 高 中 生 的 身 体 素 质 指 标 值(1ix i，2，3，100)，经 计 算10017200iix，100221100(7236)iix若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布2(,)N ，则估计该市高中生身体学科网（北京）股份有限公司素质的合格率为97.7%（用百分数作答，精确到 0.1%)参 考 数 据：若 随 机 变 量 X服 从 正 态 分 布2(,)N ，则()0.6827PX，(22)0.9545PX，(33)0.9973PX【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计 ，再结合参考数据求(60)P X【解答】解：因为 100 个数据

23、1x，2x，3x，100 x的平均值1001172100iixx，方差10010022222211111()(100)100(7236)10072 36100100100iiiisxxxx，所以 的估计值为72，的估计值为6 设该市高中生的身体素质指标值为 X，由(22)0.9545PX，得(72127212)(6084)0.9545PXPX ，1(22)10.9545(84)(2)(2)22PXP XP XP X，所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P XPXP X 故答案为：97.7%15 已 知 A，B，C，D，E 为 抛 物 线21

24、4yx上 不 同 的 五 点，抛 物 线 焦 点 为 F，满 足0FAFBFCFDFE，则|(FAFBFCFDFE)A5B10C 516D 8516【分 析】由 题 意 可 得，焦 点(0,1)F，准 线 为1y ，由0FAFBFCFDFE，可 得123455yyyyy，根据抛物线的定义，可得结论【解答】解：抛物线214yx的准线方程为1y ，焦点坐标为(0,1)设 A，B，C，D，E 的纵坐标分别为1y，2y，3y，4y，5y，则0FAFBFCFDFE，12345111110yyyyy ，123455yyyyy，根据抛物线的定义，可得12345|1111110FAFBFCFDFEyyyyy

25、，故选：B 16.（5 分）已知函数()|eef xlnxlnxxx，则()f x 的最小值是2；若关于 x 的方程()22f xax有 3 个实数解，则实数 a 的取值范围是学科网（北京）股份有限公司【分析】第一空，由题意可知()2,|,(0)ef xmaxlnxxx，故设(),|eg xmaxlnxx，作出其图象，数形结合，可得()f x 的最小值；第二空，利用导数的几何意义求出直线1yax 与曲线()ylnx xe相切时的 a 的值，将关于 x 的方程()22f xax有 3 个实数解问题转化为直线1yax 与曲线()g x 的交点问题，数形结合，可得答案【解答】解：根据 ex与|lnx

26、 大小关系（比较 ex与|lnx 大小的推理见后附），可知()|2,|,(0)eeef xlnxlnxmaxlnxxxxx，设(),|eg xmaxlnxx，注意到曲线eyx与曲线|ylnx恰好交于点(,1)A e，显然，,0(),ex eg xxlnx xe ，作出()g x 的大致图象如图，可得()g x 的最小值是 1，从而()f x 的最小值是 2由()22f xax，得,|1emaxlnxaxx 设直线1yax 与曲线()ylnx xe切于点0(B x，0)lnx，1yx，直线1yax 过定点(0,1)，则000110lnxaxx，解得20 xe，从而2ae由图象可知，若关于 x 的

27、方程()1g xax 有 3 个实数解，则直线1yax 与曲线()g x 有 3 个交点，则20ae，即所求实数 a 的取值范围是2(0,)e故答案为：2；2(0,)e附：当 01x 时，设()|eeh xlnxlnxxx，则2()0 xeh xx，所以()h x 在区间(0，1上单调递减，从而()h xh（1）0e，此时|elnxx；当1x 时，设()|eem xlnxlnxxx，()m x 在区间(1,)上单调递减，学科网（北京）股份有限公司所以当1xe时，()m xm（e）0，即|elnxx；当 xe时，m（e）0，即|elnxx；当 xe时，()m xm（e）0，即|elnxx【点评】

28、本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题四解答题：（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.记nT 为正项数列na的前 n 项积，且11a ，22a，2212nnnT TT（1）求数列na的通项公式；（2）证明：321124223nnTTTTTT【分析】（1）由已知可得：2112nnnnTTTT，即212nnaa，又212aa，则数列na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，然后求其通项公式即可；（2）由（1）可得212122112nnnnTTa，即数列2112 n是以 12 为首项，14

29、 为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式求证即可【解答】（1）解：记nT 为正项数列na的前 n 项积，且11a ，22a，2212nnnT TT，则2112nnnnTTTT，即212nnaa，又11a ，22a，即212aa，则数列na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即12nna；（2）证明：由（1）可得212122112nnnnTTa，又数列2112 n是以 12为首项，14为公比的等比数列，即3211242111()221224.()1334314nnnnTTTTTT【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列的求和公式，属基础题18.在ABC中，角

30、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sincos2sincossinABAAB学科网（北京）股份有限公司（1）求 sinsinCA的值；（2）若3b，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求ABC的面积条件：11cos16B；条件：15sin4C；条件：ABC的周长为 9【分析】（1）根据三角恒等变换，求解即可得出答案；（2）由（1）得2ca，若选条件：利用余弦定理可求得 a，c，进而面积公式分析运算；若选条件：分 C 为锐角和 C 为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求 a，c，结合题意分析判断；若选条件：根据题意可求得 a，c，利用余弦定理结合面积公式运算求解，

31、即可得出答案【解答】解：（1）sincos2sincossinABAAB，则 2sinsincoscossinsin()sinAABABABC，sin2sinCA；（2）由（1）得 sin2sinCA，由正弦定理得2ca，若选条件：由余弦定理得222cos2acbBac，即2224911416aaa，又0a，解得2a，则4c，此时ABC存在且唯一确定，11cos016B，则(0,)2B，23 15sin1cos16BB，113 153 15sin2422164ABCSacB ；若选条件：ca，即 CA，若 C 为锐角，则21cos1sin4CC，由余弦定理222cos2abcCab，即2219

32、446aaa，整理得2260aa，且0a，解得32a，则3c；若 C 为钝角，则21cos1sin4CC ，由余弦定理得222cos2abcCab，即2219446aaa，整理得2260aa，且0a，解得2a，则4c；综上所述，此时ABC存在但不唯一确定，不合题意；若条件：由题意得9abc，即329aa，解得2a，则4c，此时ABC存在且唯一确定，由余弦定理得222416911cos0222416acbBac，学科网（北京）股份有限公司则(0,)2B，23 15sin1cos16BB，113 153 15sin2422164ABCSacB 19.已知双曲线 C 的两焦点在坐标轴上，且关于原点对

33、称若双曲线 C 的实轴长为 2，焦距为 2 3，且点(0,1)P到渐近线的距离为33（1）求双曲线 C 的方程；（2）若过点 P 的直线 l 分别交双曲线 C 的左、右两支于点 A、B，交双曲线 C 的两条渐近线于点 D、(E D在 y 轴左侧）记ODE和OAB的面积分别为1S、2S，求12SS 的取值范围【分析】（1）利用双曲线的实轴长，焦距，结合点(0,1)P到渐近线的距离为33求解双曲线方程即可（2）设出直线方程，求出 DE 距离，联立直线与双曲线方程，求解 AB 距离，求解面积的比值，推出范围即可【解答】解：（1）由 22a，22 3c 知21a ，23c，22b，故双曲线 C 的方程

34、为2212yx 或2212xy 由点(0,1)P到渐近线的距离为aa，知双曲线方程为2212yx （2）设:1l ykx，1(A x，1)y，2(B x，2)y由12ykxyx可得12Dxk；由12ykxyx，可得12Exk222112 21|1|2|22kDEkkkk由22122ykxxy得22(2)230kxk，12222kxxk，12232x xk 22221212212 23|1()4|2|kkABkxxx xk由ODE和OAB的高相等，可122|1|3SDESABk，由222220412(2)0302kkkk，得22k，学科网（北京）股份有限公司所以23(1k，3，123,1)3SS

35、【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题20（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，1PAAD，2PBBD，3AB，60BDC，且 BDBC（1）若/BE平面 PAD，证明：点 E 为棱 PC 的中点；（2）已知二面角 PABD的大小为 60，当平面 PBD 和平面 PCD 的夹角为 时，求证：43【分析】（1）找到面 PBC 与面 PAD 的交线，利用线面平行，得到线线平行，进而证明点 E 为棱 PC 的中点（2）建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量公式求出平面 PBD 和平面 PCD 的夹角，进而利用三角函数的性质求出 的范

36、围【解答】证明：（1）222ABADBD，222ABPAPB，ABAD，ABPA，在直角三角形 BAD 中，60BDA，又60BDC，BD 为ADC的平分线，延长 CB，DA 交于点 F，连接 PF，在CDF中，BDBC，CDF是等腰三角形，点 B 是 CF 的中点，学科网（北京）股份有限公司直线/BE平面 PAD，过 BE 的平面 PFC 与平面 PAD 的交线为 PF，/BEPF，B是 CF 的中点，E是 PC 的中点；（2）证明：由（1）可得，BAAD，BAPA，ADPAA，AD，PA 平面 PAD，PAD为二面角 PABD的平面角，60PAD，又1PAAD，PAD为正三角形，又 BAA

37、D，BAPA，ADPAA，AD，PA 平面 PAD，故 BA 平面 PAD，BA 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD，取 AD 的中点为 O，连 OP，则 OPAD，OP 平面 ABCD，如图建立空间直角坐标系，则1(,0,0)2A，1(,3,0)2B，5(,2 3,0)2C，1(,0,0)2D，3(0,0,)2P，13(,0,),(1,3,0),(2,2 3,0)22DPBDDC ，设111222(,),(,)mx y znxyz分别为平面 PBD 和平面 PCD 的法向量，则11111302230m DPxzm BDxy，取11y ，则(3,1,1)m ，22221302222

38、30n DPxzn DCxy ，取21y ，则(3,1,1)n，学科网（北京）股份有限公司3cos,|5m nm nmn ，132coscoscos,cos32524在(0,)2 范围内单调递减，平面 PBD 和平面 PCD 所成夹角满足4321.21为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某 4S 店对近期购车的男性与女性各 100 位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表(40,):mmN购买新能源汽车（人数）购买传统燃油车（人数）男性80m20m女性60m40m（1）当0m 时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性剔采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽

39、取 3 人调查购买传统燃油车的原因，记这 3 人中女性的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望；（2）定义22()(23,23,)ijijijABKiji jNB，其中ijA 为列联表中第i 行第 j 列的实际数据，ijB 为列联表中第i 行与第 j 列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数基于小概率值 的检验规则：首先提出零假设0H（变量 X，Y 相互独立 ，然后计算2K 的值，当2Kx 时，我们推断0H 不成立，即认为 X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为 X 和Y 独立根据2K 的计算公式，求解下面问题：()i 当0m 时，

40、依据小概率值0.005 的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关；（）当10m 时，依据小概率值0.1 的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车？附：0.10.0250.005x2.7065.0247.879【分析】（1）用分层抽样的方法抽取的购买传统燃油车的 6 人中，男生有 2 人，女生有 4 人，由题意可知X 的可能取值为 1，2，3，求出对应的概率，得到 X 的分布列，进而求出()E X；（2）()i 根据题中数据及所给公式计算2K，与参考数据比较即可得出结论；（）根据基于小概率值 的检验规则及2K 的计算公式得到关于 m

41、的不等式，再根据 m 的取值范围以及实际意义即可得解学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）当0m 时，用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的 6 人中，男性有 2 人，女性有 4 人，由题意可知，X 的可能取值为 1，2，3，2124361(1)5C CP XC，1224363(2)5C CP XC，34361(3)5CP XC，X 的分布列如下表：X123P153515131()1232555E X （2）()i 零假设为0:H性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联，当0m 时，2280A，2270B，2320A，230.50.320030B，3260A，320.

42、50.720070B，3340A，330.50.320030B，22222222223233232333322220.00622233233()()()()(8070)(2030)(6070)(4030)9.5247.87970307030ABABABABKxBBBB，根据小概率值0.005 的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.005（）222222(8070)(2030)(6070)(4030)2(10)7030703021mmmmmK，由题意可知22(10)2.70621m，整理得2(10)28.413m，又 mN，10m

43、，4m ，所以 m 的最大值为 4，又80476，至少有 76 名男性购买新能源汽车21在 2023 年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系（1）现对某时间段 100 名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：学科网（北京）股份有限公司选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计用户年龄段1924岁4050用户年龄段 2534岁30合计是否有 99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有

44、关？（2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为 0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为 0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；（3）元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为(01)pp，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有 2 人下单成功的概率为()f p，求()f p 的最大值点0p；参考公式：22()()()()()n adbcKab cdac bd，其中 nabcd2K

45、 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：2()P Kk0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【分析】（1）完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；（2）应用独立事件乘方公式、互斥事件概率加法，求小李第二天去乙直播间购物的概率；（3）由题设可得32()10(1)f ppp，利用导数研究其单调性求(0,1)上的最大值即可【解答】解：（1）列联表如下：选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计用户年龄段1924岁401050用户年龄段 2534岁203050合计6040100所以22100(40 3020

46、 10)5010.8286040 50 503，故有 99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关；（2）由题设，小李第二天去乙直播间的基本事件：第一天去甲直播间，第二天去乙直播间；第一天去学科网（北京）股份有限公司乙直播间，第二天去乙直播间，两种情况，所以小李第二天去乙直播间购物的概率0.5(10.7)0.5(10.8)0.25P；（3）由题设，设五人中下单成功的人数为 X，则(5,)Xp，所以232325()(1)10(1)f pCpppp，令322345()(1)33g ppppppp，所以23()(29125)g ppppp，令23()29125h pppp，所以2243()

47、9241515()55h pppp ，()h p开口向下，且在4(0,)5上递增，4(,1)5上递减，又3()(1)05hh，故3(0,)5上()0h p，()h p 递减；3(,1)5上()0h p，()h p 递增；由2()0,(1)05hh，故2(0,)5上()0h p，即2()0,(,1)5g p上()0h p，即()0g p，所以()g p 在2(0,)5上递增，2(,1)5上递减，即()f p 在2(0,)5上递增，2(,1)5上递减，所以2()()5maxf pf，即025p 22.已知函数2()(1)f xlnxxmxm（1）若()f x 单调递减，求 m 的取值范围；（2）若

48、()fx的两个零点分别为 a，b，且 2ab，证明：2632abe（参考数据：20.69)ln【分析】（1）由已知可得()0fx 在0 x 时恒成立，由此可得22()maxlnxmx，再利用导数求函数2lnxyx的最大值，由此可得 m 的取值范围；（2）令atb，则1(0,)2t，由已知可得要证明2632abe只需证明(2)5 21lnttlnt，利用导数求(2)1lntytt的最小值即可证明结论【解答】解：（1）由2()(1)f xlnxxmxm得，()22(0)fxlnxmxx，因为()f x 单调递减，所以()22 0fxlnxmx 在0 x 时恒成立，所以22lnxmx在0 x 时恒成

49、立，即22()maxlnxmx，令2()(0)lnxg xxx，则21()lnxg xx，可知10 xe时，()0g x，()g x 单调递增；1xe时，()0g x，()g x 单调递减，则1xe时()g x 取最大值1()gee，学科网（北京）股份有限公司所以 2m e，即2em，所以 m 的取值范围是,)2e （2）证明：因为()22(0)fxlnxmxx有两个零点 a，b，令()()22(0)xfxlnxmxx，则1()2xmx，当0m 时，()0 x，()x单调递增，不符合题意，当0m 时，由1()20 xmx可得12xm，当102xm时，()0 x，函数()x在1(0,)2m上单调

50、递增，当12xm时，()0 x，函数()x在1(,)2m 上单调递减，由可知0m，1()2102fln mm ，要证明2632abe，只需证明2526lnalnbln由已知可得220220lnamalnbmb，化简得2222lnamalnbmb，所以 2lnalnbmab，22(2)6(2)6(2)61alnlnalnbablnalnbm ababaabbb令atb，则1(0,)2t，要证明2526lnalnbln，只需证明(2)5 21lnttlnt令()(2)1lnth ttt，且1(0,)2t，则2231()(1)tlntth tt，令2()31u ttlntt ，且1(0,)2t，则2232(1)(2)()10ttu tttt，则()u t 在1(0,)2t 时单调递增，故11()()3 23022u tuln，故()0h t，则()h t 在1(0,)2t 时单调递减，所以1()()5 22h thln，即(2)5 21lnttlnt，则有2526lnalnbln，所以2632abe，即原不等式成立【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题学科网（北京）股份有限公司