广东省湛江市2013年初中数学老师教学论文（pdf内含6份）.pdf

1、 1论对初中学生数学逆向思维能力的培养 广东吴川市梅菉中学 梁亚明 【摘要】在初中数学教学中，学生正向理解了某个概念、定理、性质公式或法则后，如果适当引导学生逆向思考一下，往往能发散他们的思维更牢固掌握基础知识和基本技能，提高灵活应变的能力和解题的能力。【关键词】数学；逆向思维能力；培养 新一轮国家基础教育课改的重点就是要改革妨碍学生创新精神和实践能力的教育观、教学模式，就是要在如何培养学生的创新思维能力，促进学生学习方式的转变上进行改革。在数学教育中，需要培养的能力是多方面的，思维能力的培养是数学能力培养的核心，凡双向思维都存在正向思维和逆向思维，对概念、定理、公式、法则和例题，无论是教师讲

2、还是学生学，往往习惯于从正面看、正面想、正面用，形成一种思维定势，对解同一类问题，学生可以通过思维定势能够解决，这是知识的正迁移，形成定势思维，对培养学生的思维的灵活性、深刻性来说是非常不利的，是一种负迁移，逆向思维就是在解决、分析问题的过程中有意地去做与正向思维完全不同的探索，有利于培养学生数学思维的灵活性和深刻性。一、利用数学概念、定义的逆向性培养学生逆向思维 初中数学中许多知识都具有可逆性，因此，在数学教学中加强对学生进行逆向思维的培养是很有必要的，可以使学生对数学中的概念、定义的理解更深刻，并能准确的运用它们，促使学生对数学问题进行多角度的思考，从而运用正确的思维探索问题解决问题，也是

3、培养学生数学能力的重要途径，是正向思维的补充。例如，在学习同类项概念后，设问：m、n 为何值时 4am+1b3 与 15a4bn3 是同类项。又如讲完一元二次方程根与系数关系时，设问若 ab1 且有 5a22001a90及 9b22001b50 求 ba 的值是多少？（a、b1 是方程5x22001x90的两根）。又如在平面几何中，特别是入门阶段，对每个定义引导学生分清其它逆向的关系，为以后推理论证的学习打下坚实的基础，例如，在讲“两直线互相垂直”的定义时，让学生反复运用正向和逆向思维方式：AOD90ABCD（正向思维）ABCD AOD90（逆向思维）从而加深对垂直的认识与理解。在定义教学中，

4、进行逆向设问，以破除学生思维的固有定势，不仅能加深对定义的理解，而且促使学生加强逆向思维的意识，使其思维深刻。二、公式、法则的教学中，分析顺逆结构、激发学生兴趣 数学公式总是双向的，有的从左到右是展开，（ab）2a22abb2。有的从左到右是聚合，如 a2b2（ab）（ab）等等，让学生掌握展开式和聚合式的结构特征，为再“迁移”到对新的观察、分析、和解决上十分重要。如学完乘法公式后，我们引导学生仔细分析公式的顺逆结构特点，举一道用公式的例子：已知 xy1 求证 x3y33xy1 证明：xy1 2 x3y33xy x3y33xy1 x3y33xy(xy)(xy)3 1 在许多数学法则中我们也要注

5、重它的正逆的关系，讲完积的乘方时，举例计算10042008421 解：10042008421 20082008221 2008221 1 由此通过分析公式、法则的正逆结构，逆用公式、法则可给学生一个完整的公式、法则印象，让学生经常获得成就感的体验，从而激发逆向思维的积极性。三、公理、定理教学中注重互逆条件，强化逆向思维训练 数学定理的逆命题不一定为真命题，如果为真命题，注重在逆定理题设和结论之间的关系，对学生的逆向思维训练将会起到取代作用。如勾股定理：直角三角形、两直角边的平方和等于斜边的平方（正定理）在三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（逆定理）。最后证

6、明各道命题的真假（证明略）从而得出正逆定理的关系，体会到两者的和谐完美，体验到直角三角形图形与边关系的统一，增强了学生学习数学的兴趣，提高创造思维能力。四、在解题教学中培养学生的逆向思维能力 在解决数学问题中，我们常常用分析法、反证法，实质上就是逆向思维在解题中的应用。在几何证明的方法上分析法是培养学生逆向思维能力的有效方法，因此，教师在几何教学中应注重对学生分析法思想的传授。证明方法在几何中常见，所以不作具体举例。逆向思维在初中代数解题中也常见，如：1999 年全国初中数学竞赛题，设定数 s、t 分别满足 19s299s10 t299t190 并且st1 求tsst14+的值 解：st1 即

7、 s t1 ts 1、是 19x299x10 的两根则 3 s t11999 1911=ts tststsst+=+4114 =19141999+=1995 实践证明，在新课程教学中，关注学生的逆向思维训练不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题方法的刻板和僵化，以及不善于在新条件下独立发现新的方法、新的结论等不足之处，同时也培养了学生逆境中求生存的意志品质和设身处地为他人着想的道德品质。提高学生学习的主动性和积极性，对培养学生逻辑思维能力是大有益处的。参考文献：1宋春：逆用韦达定理巧解数学题、数理化解题研究、2005 年第 6 期 2朱鹏军：浅谈逆向

8、思维训练在初中数学新课程教学中实施J，陕西教育（理论版）2009（9）4 3宋月兰，初中数学逆向思维训练例谈，山东教育。2001 年第 17 期。4黄培晶，初中数学教学如何培养学生逆向思维能力，滁州师专学报。2004年 1 月第 6 卷第 1 期。如何有效地应用“问题情境”实施数学教学 广东湛江农垦湖光中学 陈冰 摘 要 兴趣是学生学习的最佳动力，在数学课堂上创设问题情境可以激发学生学习的兴趣 如何在课堂上创设合适的问题情境是难点，是教学实践重要的一个环节，良好的问题情境可活跃课堂氛围，可激活学生的积极思维，提高学生发现问题和解决问题的能力 本文基于如何提高课堂学习效率，激发学生对数学的兴趣，

9、讨论怎样在课堂上创设合适的问题情境，怎样应用已有资源、生活实际创设问题情境，以及创设问题情境需要注意的问题和原则从而创设恰当的问题情境，达到课堂的教学效果 关键词：问题情境，学习动力，创设，应用，活跃，兴趣 前 言“学起于思，思源于疑”，没有问题，就无从“探究”爱因斯坦曾说，提出一个问题往往比解决一个问题更重要因为解决问题也许仅是教学上或实验上的一个技能，而提出新的问题需要创造性的想像力，标志着科学的真正进步因此，教学时要鼓励学生大胆提出问题，并大胆猜想与假设，踊跃发表自己的见解，培养创新精神，有意识地将新知识纳入已有的认知结构中融会贯通、发展智力、形成能力 那么，什么是问题情境？它在数学教学

10、中又有何作用？为此，下面我将对此作简单的介绍 1、问题情境的含义及其特点 良好的数学问题情境对学生来说必须是适合的，那么适合的问题就必须具备 5良好的特点：首先，问题要有启发性，富有启发性的问题能引导学生的积极思维，同时，还能引发学生学习数学的兴趣通过根据教学规律和学生的认知特点设计充满诱惑的问题，营造良好的探究学习氛围，让课堂焕发出生命的活力，让学生在教师的启发之下积极思考，养成经常思考的好习惯.其次，要有明确的目的，能使学生的思维趋向于某一确定的方向，有利于学生对当堂学习的知识的消化，做到有的放矢 再次，要注意问题的有序性，即提出的问题要具有层次性，使学生在问题情境中拾级而上，一步步登高教

11、师要在一堂课解决好一个大问题，就应该根据学生学习的实际情况，遵循“循序渐进”的原则，层层深入，带领学生一步一步地向大问题逼近，直至问题得到解决使学生在教师的指导下，从浅入深，由易到难，朝着大目标迈进 最后，问题的提出要有艺术性和新颖性新颖的问题能引人入胜，能使学生投入更大的精力，调动学生相关的认知系统，支应着出现新的问题，从而让学生形成解决问题的能力相反，教师创设的问题情境如果缺乏艺术性和新颖性，会使数学课堂缺乏生机和活力，这样就会使学生对原本就枯燥、乏味的数学失去学习的兴趣 另外，问题的趣味性也很重要，有趣才能很好地吸引学生瑞士现代心理学家皮亚杰说：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣”创设趣

12、味性的问题情境，引发学生自主学习的兴趣而且有趣味的情境,让学生体会到数学的乐趣，同时，也让学生对数学产生兴趣 2、问题情境在数学教学中的作用（1）课堂上创设问题情境帮助学生获得了亲自参与研究探索的情感体验学生通过探究学习，自主参与类似于科学家研究的探索过程，使学生逐步形成在日常学习与生活中喜爱质疑、乐于探索、努力求知的心理倾向，以及探索和创新的积极欲望（2）课堂上创设问题情境培养了学生发现问题和解决问题的能力解决问题难，发现问题更难，学生能够发现问题、提出问题，寻求解决问题的途径，最后解决问题在这样的过程中学生逐渐掌握进行探索问题的各种方法 6（3）课堂上创设问题情境可以让学生学会与他人合作与

13、分享课堂上的问题情境给学生提供了一个有利于人际沟通与合作的良好空间，有些问题学生自己不能解决，这时，为了解决问题，学生需要与他人合作，这就需要学生会表述自己的见解，讨论、交流不同的看法，从而培养了与他人合作的意识和能力（4）良好的问题情境可以激励学生自主学习课堂上，良好的问题情境不仅能唤醒学生自主学习的欲望，使他们保持持久的学习热情，也能唤起学生的思维，激发其内驱力，从而使学生进入问题者的“角色”，真正“卷入”学习活动之中，达到了教学的目标 由此可见，问题情境在数学教学中的作用是十分重要、不容忽略的 3、如何在数学教学中创设问题情境 培养学生的问题意识是问题情境教学法中的一项重要内容，以此培养

14、学生提出问题的能力并最终提高其利用数学知识解决实际问题的能力，并对学生的思维进行锻炼，激起学生对数学的兴趣 3.1 围绕教材内容创设问题情境 教学过程应是在国家规范教材的指导下完成的，既是数学教学的依据，也是教师用以培养学生的重要来源教材中例题的设计有着很强的层次感，同时概念与命题的引出渗透着广泛的思想思维方法，成为教师在课堂上合理地创设问题情境的源泉从教材内容出发，选取恰当的素材，可以激发学生学习的兴趣 例如：在教学等边三角形 2时，可以利用人教版八年级上册的第 55 页探究创设情境：将两个含030 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到ABCRt的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数

15、量关系吗？利用轴对称图形，学生很快找到答案，线段之间的倍半关系学生较少遇到，对学生的理解和感悟能力确实是一个考验，由拼图引出问题，简单而又明了，激发学生探索的热情，教学时，再要求学生边拼边画，以有足够的直观认识，落实到定理的证明，学生会有水到渠成的感觉，增强他们学生的信心。这样，围绕教材内容，利用教材激发学生的好奇心，使枯燥、乏味的数学变得简单，让学生轻松学习，为学生提供参与的时间和空间，从而产生学习数学的兴趣 3.2 在学生已有的认知基础上创设问题情境 学生的学习是在现有的认知水平上进行的，所以知识的引入，只有在与学生 7的认知水平相适应时，才能促进学生的学习，有利于学生对知识的吸收简单地说

16、，就是新知识的学习总是在原有的基础上进行的因此从学生已有的知识出发，设法激活学生已有的数学知识，引导和启发学生进行新旧知识对比，从而使学生看到数学知识的来龙去脉,体验数学知识的形成过程 比如：在教学循环小数 时，引进听故事的片断来认识“循环”你们听过这样一个故事吗？从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚正在对小和尚讲故事讲什么故事呢？讲从前有座山，山里有府庙，庙里有个老和尚正在对小和尚讲做事讲什么故事呢？讲 提问：听了这个故事你们有什么想法？此时，把生活上的重复引进教学中，使学生的状态便进入了渐佳状态，达到了通过问题激发学生的学习兴趣，也让学生的思维得到有力的锻炼 又如学习“平方差公式”的内容

17、的时候，先设计三道简单的计算题，并且让学生比比看谁做得最快！1、（x+3）（x3）2、（m+2）（m2）3、（2x+1）（2x1）学生利用已经学过的多项式乘以多项式的法则进行计算，简单而又快速地知道答案，再让学生通过观察式子的规律以及计算的结果特征得出平方差公式。这样在学生已掌握的多项式乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法平方差公式，不仅让学生感受到从一般到特殊的认识规律，还让课堂的教学过渡得相当自然与顺心，同时由于所举的例子都是浅显的题目，照顾到全班的学习情况，激起学生学习的氛围，也能够体现以学生为主的教学目的。3.3 利用生活创设问题情境 数学来源于生活，生活中处处有数学教师可根

18、据从生产生活与相关材料中提炼有意义的数学问题设置问题情境，引导学生参与到其中，激发他们利用数学知识解决实际问题的兴趣，并促进他们提问能力的提高。新课程标准中指出：“学习数学知识应从学生已有的生活经验出发，让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解设和应用的过程”在生活中创设问题情境就是使问题情境与学生的生活紧密联系起来，让学生亲身体验问题情境中的问题，从而激发学生对数学的兴趣让学生亲身体验问题情境中的问题，这不仅 8有利于学生对问题情境中问题的理解，而且有利于学生体验生活中的数学，既而培养学生的观察能力和解决实际问题的能力 比如在如何教会学生截一个正方体中的教学设计情境：（拿出橙子）这是我们常

19、吃的一种水果橙子。提出问题：（1）它像我们已学过的哪种几何体？（球）（2）你一般是如何吃到里面的橙肉呢？第一步怎么办？（用刀切）教师实验操作：用刀切橙（3）我们可以看到刀经过的切面是一个什么形状的图形？（圆）归纳：刚才实验的过程就好像用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。让学生从吃果子的生活当中进入学习的内容，形象地理解截面，让整节课的学习更加自然与合理！学生能在课堂上见到可以吃的橙子也会显得越发的活泼可爱！心理有一骰好奇的意念，想知道老师拿橙子来的用意，增加了听课的用心程度。3.4 在活动中创设问题情境 新课程标准指出：“在数学活动中，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分经历数学

20、活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和思维方法，获得广泛的数学活动经验”创设活动化的问题情境就是让学生亲身到问题情境中去，让学生在口说、手做、耳听、眼看、脑想的过程中学习数学知识，增长智慧，提高解决数学问题的能力 例如：在讲“三角形中位线定理”时，可以先让学生在纸上画出几个任意的凸四边形，然后要求大家把各边中点顺次连接起来，观察构成什么图形。当学生看到不管是怎样的凸四边形，都构成平行四边形时，既兴奋又惊奇。为什么有这一规律呢？他们非常想知道其中的奥秘。此时教师再提出三角形中位线问题，学生就能很快进入新知识的学习中。又如“摸到红球的概率”的

21、设计：师：同学们，老师今天带了一件礼物，要送给你们中的一个人，为了使同学们有公平的得到机会，我手里有 50 张扑克牌，并标有同学们的学号，下面老师 9找一名同学洗牌三次，接下来任选 10 名同学抽牌，若抽出的号码是你的学号就请到讲台前站好。（游戏开始）师：这 10 名学生中将产生一名幸运者，同学们，我这里有一个箱子，现在老师放两乒乓球进去，一个红色，一个白色，哪名同学摸到红球（边说边把红球这四个字写到黑板上），老师就把礼物送给他，同学们说这 10 名同学获得礼物的机会相同吗？生：相同（摸球游戏开始）师：让我们大家用掌声对今天最幸运的同学表示祝贺！一共有几名同学摸球？（10）又有几个是我们今天最

22、幸运的？（根据当时的实际情况回答）今天的摸球游戏与我们以前的哪个游戏相仿？生：掷硬币 师：若我们把今天的摸球游戏做更多次，那么摸到红球的可能性是多少？（二分之一）我们把它叫做摸到红球的概率（引人课题）活动的参与很快地抓住学生的注意力，引起学生地强烈兴趣，这一问一答的形式，看似简单，实际是在学生回忆昨天掷硬币的游戏中，出现正面朝上和反面朝上的可能性各占一半，用这种经验来指导今天的摸球游戏，同学们就很容易理解摸到红球的概率是二分之一，这样就大大降低了难度，为后面的学习奠定了基础。3.5 创设开放的“问题情境”拓宽思路 创造，是学习的魅力所在，同时也是现代化课堂教学最显著的特点之一创设开放性的问题情

23、境是指学生在问题的激励下进行观察、操作、猜测，能根据已知想象未知，部分估计整体，能根据条件推测结果，根据知识的内在联系找到解决问题的途径开放的问题会给学生提供广阔的创造空间，允许学生从不同的角度去认识问题，也可以用不同的知识和方法解决问题，学生亦可以独立思考 让我们先看一个教学片段：用勾股定理的逆定理来解决实际问题。师：李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边是否边是否垂直于变 AB，但手中没用直角三角板，请帮他设计方案并说明你的理由。（先说明所需工具，在说明如何操作及其理由。）学生开始热烈讨论，回答非常踊跃：10学生 1：我所使用的工具是卷尺。我可以直接用卷尺测量雕塑底座正面 AD 边、AB

24、边及 BD 边长度，然后看它们是否满足222DBABAD=+关系，如果满足，则 AD 边垂直于底边 AB，否则就不垂直。我判断的理由是勾股定理的逆定理。学生 2：我觉得学生 1 的方法太麻烦，如果卷尺不够长怎么办？而且实际测量时会有误差。我是用卷尺在雕塑底座正面的 AD 边、AB 边上个截取线段DA 和BA ，使得DA=30cm，BA =40cm，然后我再去量量BD,看看是不是等于 50cm，如果等于 50cm，则 AD 边垂直于点边 AB，否则就不垂直。我判断的理由也是勾股定理的逆定理。学生 3：我想在学生 2 的基础上改进一下。我觉得没用必要量那么长，只需要截取线段DA=3cm，BA =4

25、cm，再量量BD是不是等于 5cm 就可以了。这样只需要普通的刻度尺就能解决问题了。（学生 3 的回答引起了同学的议论，大家众说纷坛，有的说，我截取的线DA=5cm，BA =12cm，再量量BD是不是等于 13cm 也行，等等。）于是整节课都处在一种非常活跃的氛围当中，学生议论得井然有序，通过自己的努力得到的收获，学生也会倍感珍惜，从中心理也体会到成功的喜悦！而且其创造潜能得到充分发挥。本节课不按已给问题进行教学，而是创设开放的问题情境，要求学生自己选择工具，并提出具体的操作方案，条件不充分，结论不唯一，这就决定学生不再按照已有的模式机械地去从事解题活动，反而可以自由地、多角度地进行思考，这样

26、做既能培养学生的创新能力，又有利于学生自我意识和独立人格的形成，而且开放性的问题情境也激发了学生的思维，想出来的方法充分体现了他们的智慧。3.6 创设趣味性问题情境 创设趣味性问题情境，可以引发学生自主学习的兴趣且通过趣味性的情境，让学生可以体会到学数学的乐趣，从而使学生对数学产生浓厚的学习兴趣 例如：一位教师借助幽默解决了学生解题时犯aa=2这类错误，他要求学生解题时用绝对值过渡来保护，即aa=2，并告诉学生要化简，先让 a 从“屋子”（根号）里走到“院子”（绝对值）里，至于如何出“院子”这要看a 的“本质”（正、负或零），体质健壮（0a）的直接出去，体质虚弱（0pa）的，必然戴上“一条围巾

27、”（负号“”）以防感冒。学生大笑，他们在笑声中受 11到了启迪，此后犯这类错误的学生大为减少。学习对于学生来说，他们得到的不仅仅是知识，更重要的是求知欲望的满足以及思维能力的提高这样的趣味性情境，为学生创造了良好的学习环境，提高数学课堂的效率也能够更好地展现教学学科及教师的魅力。3.7 利用问题背后的故事创设问题情境 很多数学知识的背后都蕴含着生动有趣的故事，爱听故事是学生的特点之一因而，利用故事在课堂上创设问题情境，不仅能吸引学生进入教学情境，也能促进学生主动地学习 例：在开始分数教学时，用西游记的故事引入：“唐僧师徒在取经途中，夏天中午时，大家都很口渴。师傅叫孙悟空去摘一些野果来解渴。第一

28、次孙悟空摘了 8 个桃子，叫猪八戒分，他很快就分好了。第二次，孙悟空摘到一个西瓜，叫猪八戒分，他不知道该怎么分了。同学们，你们替他想一想该怎样分呢？”这样就激发了学生学习的兴趣。在讲到分数比较大小时又继续这个故事：一个西瓜师徒四人，悟空说：“为了公平起见，我们应该一人四分之一。”结果八戒以自己胃口大为由说：“我要多吃些，我要吃六分之一，最少也要吃五分之一。”悟空听了切了六分之一给了八戒，连说：“傻瓜！傻瓜！”这是为什么？故事的引入，富有娱乐性，引起学生的注意，同时学生也有好胜心，绝对不甘心当故事中的“猪八戒”，从而提高他们学习的热情。3.8 利用直观或实验创设问题情境 对某些比较抽象的概念，如

29、果直接让学生学习，学生可能不知从何开始，这时教师可提供直观的材料，或通过具体实验设置问题情境，让学生通过观察、画图、动手操作等实践活动，让学生对数学有新的了解，这样学生探究问题也就有了更明确的方向 如：三角形三边关系定理的教学教师首先要求学生将事先准备好的长度为 3，4，5，5，8，10，12 的六根小木棒拿出来进行动手操作，任意取三根将其首尾相接，拼成三角形，接着教师提出下列问题：（1）任意三根小木棒能否拼成三角形？（2）有几组三根小棒能拼成三角形？有几组三根小棒不能拼成一个三角形？12试比较两根短棒长度之和与长棒长度的关系（3）通过上述的操作，请猜想三角形中任意两边长度之和与第三边的长度之

30、间存在什么关系？（4）试用简洁的文字归纳你的猜想，并证明你的猜想 通过实验操作的问题能够激发起学生探究的欲望，在实验中教师把学习的主动权交给学生，培养他们探究数学问题的的能力，形成平时积极动手的良好习惯。并且通过实验，学生更容易吸收新学的知识，也吸收得更好 4、创设问题情境需要注意的问题 创设问题情境的方法很多，无论用什么方法，都得注意以下问题：（1）创设的问题情境没有体现与教学目标和教学内容保持一致 部分数学教师在问题情境创设中出现随心所欲、故弄玄虚、华而不实的现象,忽视了课堂教学的问题情境的创设要为教学目标和教学内容服务的宗旨创设的问题情境若不能与本节课的教学目标保持一致，完全脱离了本节课

31、的内容，游离于本节课的知识以外，阻碍学生思维的发展 如：一位教师在讲“直线”的概念时,先播放了 8 分钟的电视连续剧西游记片段,然后让学生讨论孙悟空的金箍棒是怎么来的？金箍棒有什么特征？结果，学生对金箍棒的来历众说纷纭，争论不休，而对金箍棒的特征却只能说出“金箍棒有 72 变，想变多大就有多大，想变多长就有多长”同时学生的思绪却一直还停留在电视剧的精彩画面中,对所放的片断回味无穷,完全忘了这是在课堂，忘了自己的任务是学习这样学生被老师所创设的情境吸引到与本节课无关的事情上，很久都不能进入本节内容的学习，阻碍了学生思维的发展，最后只能草草收场，不能正常完成既定的教学目标 因此，教师在数学课堂上创

32、设问题情境，应从教材内容出发，选取恰当的素材，提出的问题，必须是本节课所需解决的问题，不能过多地讨论与本节课所学知识无关的事情，以免脱离主题（2）创设的问题情境起不到调动和启发学生有效的数学思维的作用 比如，情境创设过于牵强，模糊，学生的思维得不到发展，不能启发学生进行有效数学思维而且不能让学生提起学习的兴趣，昏昏欲睡（3）创设的问题情境缺乏一定的严谨性和科学性 13数学是一门严谨的科学一些教师在数学课堂情境创设中就缺乏严谨性和科学性（4）创设的问题情境贪多求全，冲淡了主题 情境的创设应根据教学内容、教学目标的需要把握好一个“度”，超过了这个“度”，可能会产生相反的效果因而，创设问题情境时问题

33、不可贪多求全，要能激发学生兴趣和求知欲望，便于学生发现问题、探究知识、利用知识解决问题 结束语 俗话说，兴趣是最好的老师由于数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，如何在传授的过程中做到形象生动，是数学教师在教学实践中经常需要思考的问题 而在课堂上创设问题情境是激发学生兴趣的好方法，问题情境可以通过生活实例、活动、故事、实验及数学游戏来创设我们创设问题情境是想通过激发学生对数学的兴趣，营造良好的课堂学习氛围，并且通过问题可刺激学生的积极思维，提高其发现问题和解决问题的能力 然而，创设问题情境预期的效果不是仅限于吸引学生的注意力、激发学习兴趣的作用，而是使创设的情境为学生学习数学服务，

34、让学生用数学的眼光关注情境，让学生在看过之后有思考、有回味，为学生数学思维的发展提供空间因此，教师在创设问题情境时，要仔细推敲，做到“慎之又慎”但是，倘若学生不熟悉设计的问题情境，即使所设的问题情境多么富有新意，多么生动有趣，多么扣人心弦，都会达不到预期的良好效果，反而会“适得其反”参考文献 1 孙剑浅谈数学教学中的问题情境创设J绥化师专学报，2002，22（4）:99-100 2 叶建国创设良好问题情境 激励学生自主学习J中国教育技术装备，2008（12）:35 3 黄金桑浅谈数学教学中“问题情境”的创设J小学教学参考，2009（12）:34 144 冯英浅谈数学教学中问题情境的创设J考试(

35、教研版)，2009（10）:92 5 蒋荣丽浅谈数学课情境创设的误区J中学教学参考，2009（23）:37-38 6 李华强试论数学课堂教学的创新J中学教学参考，2009（20）:28-29 7 赵玉琴数学教学中问题情境的创设J教育革新，2009（12）:52 8 伍小程创设合适情境进行教学J中学数学月刊，2010(2):14 9 赵绪昌.数学教学中问题情境的创设J.中国民族教育，2010(11)10 殷堰工数学探究性学习中值得重视的两个问题J中学数学月刊，2010(2):21 浅谈初中数学探究性问题的设计 湛江经济技术开发区东简中学 陈美清 摘要：初中数学探究性问题的恰当设计，能有效促进课堂

36、教学，增强学生的创新意识，提高学生解题能力和学习数学的兴趣。本文从启发学生、挖掘重点习题、灵活使用教材等三个方面阐述初中数学探究性问题设计的有益尝试和实践，为探索激发学生学习和探究的主动性和积极性、提高学生解题能力提供一些有价值的做法。关键词：初中数学；探究性问题；设计 新一轮国家基础教育课程改革的一个重要而具体的目标，就是要改变至今仍普遍存在的学生被动接受、大运动量反复操练的学习方式，倡导学生主动参与的探究性学习【1】。而要让学生真正地探究性学习，问题设计是关键。“问题是数学的心脏”。数学的起源和发展就是由问题引起的，数学就是在不断地发现和提出问题并不断地加以解决中前进的，数学教学也是围绕不

37、断“产生”的新问题进行的【2】。探究性的数学问题，指的是依据数学情境提出的无固定模式可参照的、非常 15规性的、条件不足或多余的、结论和解法不唯一的数学问题【3】。不同类型的课，有不同的探究性问题。本文从初中数学教学理论和实践的角度出发，结合教学的研究经验，从启发学生、挖掘重点习题、灵活使用教材等三个方面阐述初中数学探究性问题设计的有益尝试和实践，为探索激发学生学习和探究的主动性和积极性、提高学生解题能力提供一些有价值的做法，促进初中数学新课程改革的深入推广。一、启发学生设计探究性问题 学生的学习不是简单的信息积累，而是经验体系在一定环境中自内而外的“生长”，是在教师组织引导下的自我构建、自我

38、生成的过程。只有认识到学生已有经验在学习活动中的重要性，才能实现真正意义的有效探究。有效的探究活动必须以学生为本，启发学生设计问题，引导学生自主探究新知，挖掘学生的创新潜能，促进学生个性全面发展。例如，研究一元二次方程的概念。若给了这样的题目：判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项。(1)2（3）=10；(2)3 m 2+2=2（2m+1）；(3)（3+2）+1=5；(4)3y-5=4(2-y)；(5)(2k-3)(k+5)=7k；(6)2(+3)=6x；这样的题目训练的是把方程化为一般式，找一般式中系数 a、b、c 的能力，这样的练习使学生依然处于被动接受的状

39、态。为了找全类型，认清 a、b、c，可以启发学生设计这样的问题：“请同学们举一个一元二次方程的例子，尽量使你举的例子与其他人举的例子有本质区别”，每个学生都能根据自己的理解举出例子，为展示自我，学生的思维始终处于兴奋状态，积极寻找符合条件的方程。一元二次方程的四种类型：a2+b+c=0；a2+b=0；a2+c=0；a2=0，a 不可以为零，b、c 可以为零。全面认识一元二次方程的过程，也是培养学生观察发现能力、总结归纳能力，使学生体会到参与和创造带来乐趣的过程。例如，“工程问题应用题”的教学：“一项工程，甲独做 6 天完成，乙独做10 天完成，若甲乙两人先合做 3 天，剩下的工作由乙单独完成，

40、问乙还需几天 16完成。”应用题的已知条件没有直接出现，但学生如果能联系已学的分数的意义进行学习，教师就用不着按部就班地教，可以先让学生自己独立尝试解答。如学生有问题，可启发学生设计这样的题目：“运完 360 块砖，甲独运 6 次完成，乙独运 10 次完成，若甲乙两人合运几次完成。”进行铺垫。在计算的基础上与“工程问题应用题”进行比较，便于学生找出异同，建构数学模型，抓住解题的关键，为学生主动学习提供保证。二、从重点习题中挖掘探究性问题 教师在备课时，不仅要理清教学思路，还应确认解法是否是通法，要对问题进行多角度、多层次的思考与研究，适当延伸、推广成新问题。若在教学时就题论题，没有拓展总结，学

41、生就会感到枯燥乏味，因此要备出不同层次的题目，适时推广、延伸、创造出新题，引起学生关注，提高解题能力。例如，在学习等腰三角形性质时，为巩固“等边对等角”的性质，可以设计下面的题目。求证：等腰三角形两腰上的高相等。已知：如图 1，ABC 中，AB=AC，BD、CE 为 AC、AB 边上的高。ABCDE图1图2图3 求证：BD=EC。方法一：采用BDC 与 CEB 全等来证。方法二：采用ABD 与ACE 全等来证。方法三：利用面积求证。教学时更多的是使用方法一、方法二，目的是巩固等腰三角形性质和两三角形全等的概念，认识基本图形（图 2 和图 3），同时应使学生认识到，若 BD、CE不是 AC、AB

42、 边上的高而是中线（或角平分线或 BE=DC）时，结论仍然成立。方法三是一种巧法，教学时可以不提出来，留待课下学有余力的学生考虑，17以提高学生思维品质。一题多变，一题多解的题目，会提高学生举一反三触类旁通的能力，对培养学生思维的发散性和创造性有着重要作用，备课时要给予足够的重视。例如，学习一元二次方程根的判别式时，可以备出这样的题组。（1）若关于的方程 42+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是_。（2）若关于的方程（m1）22m+m=3 有两个实数根，则 m 的取值范围是_。（3）若关于的方程（k3）26+2=0 有实数根，则 k 的取值范围是_。这样的题目设置，难度逐级加大

43、，可激发学生学习斗志，培养仔细认真的良好习惯，同时进一步渗透分类的思想，培养学生思维的严谨性、深刻性，使学生能力逐步提高。三、灵活使用教材，坚持探究式教学 教材中有很多问题是封闭性、定向性的，学生思路易死板单一。备课时可以对这样的问题进行适当的改造，使之适合探究式教学方式。例如，已知：如图 4，AD 平分BAC 交 BC 于 D，DEAC 交 AB 于 E，DFAB交 AC 于 F，联结 EF，求证：EF 垂直平分 AD。ABCDEF图4 这样的题目，学生做题方向明确，便于思考，教师便于操作，但不利于学生主动探究。仔细观察，可以寻找到图形特征。把它改成开放性题目，如“猜想AD 与 EF 有什么

44、关系？说明理由”。有人会认为“EF 与 AD 互相平分”；有人会认为“EF 与 AD 互相垂直”；有人会认为“EF 与 AD 互相垂直平分”；有人会认为“EF与 AD 互相垂直平分且相等”。在说明理由中，可以提高学生的识图能力、逻辑推理能力，激发学生的学习兴趣。数学思想方法的培养是一个长期性的工作，备每一节课都要注意这样的素材，18注意知识间的相互联系，前后照应，逐步理解、完善教学思想方法。例如，“有理数乘方”一课教学中，可以改变过去教师的那种开门见山点题法，而是有意识地设计这么一个过程，让学生带着强烈的求知欲去探索。（1）、动手实践：通过折纸游戏并让学生回答，一张 1mm 厚的硬纸片对折一次

45、有多厚？（2）、对折两次有多厚？对折三次呢？（3）、一张 1mm 厚的纸片（足够大）对折 20 次后大约有多厚？（4）、导出惊人的结果：一张 1mm 厚的纸片对折 20 次超过 1000 米。问题提出后，学生带着一种渴望求知的心理观察并尽力实践对折过程，教师的演示只起“导”的作用，学生动脑思考、推理，充分发挥主体作用。学生在探究性问题的引导下，或学生自己动手演示后，经过学生自己分析研究，就能发现有理数乘方的法则。这一教学过程，不是教师把知识灌、填给学生，而是学生自己细心观察、亲自动手、缜密思考、认真分析、大胆推理后发现新知。教师并没有按照统一的要求去进行教学，而是给学生创设一个非常广阔的问题空

46、间作为背景，引导学生自主操作、体验和感悟。不同的课题需要不同的课型，处于不同思维发展水平的学生需要不同的教学设计，因此我们必须清醒的看到，每一种教学设计都有其缺陷和不足，应综合应用，互相渗透，整合各种方法的优点。教师不仅是研究教材，更重要是研究学生，用学生的眼光来研究教材，要看学生想知道什么，能知道什么。但面对具体的学生，必须“寻找”到最贴近学生学习生活实际的、最能启迪学生心智的教学设计才是最成功的。参考文献：1叶立军.新课程中学数学实用教学 80 法.广州：广东教育出版社，2004.9 23季素月.给数学教师的 101 条建议.南京：南京师范大学出版社，2005.9 作者简介：陈美清,女，湛

47、江经济技术开发区东简中学。通信地址：湛江经济技术开发区东简中学 19邮编：524072 联系电话：13828296693 邮箱： 善用“错误”资源，培养学生的思维品质（湛江市开发区职中 梁小君）摘要：错误是数学教学和学习过程中不可避免存在的现象，因此，将错误进行系统的分析，使之成为有效的课堂资源，能更好完善学生知识认知结构。而数学教学又是思维活动的教学，故此本文从就如何在教与学中纠正错误，探讨学生的思维品质的培养。关键字：错误；培养；思维品质 在平时的教学、作业和测试过程中，受思维的片面性和表面性影响，学生解题时稍粗心就易犯错误。面对这些错误，为了节省教学时间，传统的做法是直接把正确的答案教给

48、学生。但不久便会发现，遇到类似情况，学生又出现了同样的错误。究其原因，学生表面上懂了，实质上并没有真正理解数学知识的本质含义，没有把课本知识转化为自己的知识。因此，我们应该把来自学生的错误当作一种宝贵的资源加以研究、开发和利用，通过学生自我探索、自我体验等方式，把错误转化为一次新的学习，引导学生知错、改错、防错，多层次、多方位地对问题及解决问题的思维过程进行分析和思考，从而深化对问题的理解，拓展思维，促进知识的同化和迁移。本文主要就如何利用教与学中常出现的错解，培养学生的思维品质进行探讨。1 剖析概念性错误，培养学生思维的深刻性 思维的深刻性是指思维活动的抽象程度、逻辑水平以及思维活动的深度。

49、它集中表现为学生能深刻地理解概念，深入思考问题，准确把握住问题的本质和规律性联系，不为表面现象和各种干扰所迷惑。在解题中,学生经常出现的所谓粗心造成的错误，公式定理记不住的现象，都是思维的深刻性不够造成的。案例 1 选择：把aa1 中根号外的因式移到根号内后，得（）(A)a (B)a (C)a (D)a 在初三数学“二次根式”的一次教学中,我发现很多学生做错了。下面是大多数学生错误的解法：aaaaa=)1(12，故选（B）；也出现少部分学生继续化简aa=，故选（A）。20n=1 n=2 n=3 n=4 显然，错解是因为都忽视了二次根式的定义中被开方数必须是非负数（即01 a）的条件而造成错解。

50、由二次根式的定义可知，0 0 时，直线经过_象限，y 随 x 的增大而_ 当 k0 时，直线经过_象限，y 随 x 的减小而_（二）练习 练习册 76 页第二题 三、正比例函数图像的简便画法 1 既然正比例函数的图像是一条直线，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？因为过 点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（，）和（，）21832354yxyxxysr=；（）；（）（）（）2x3y6=）（x6y7=）（(k为常数)kxy8=）（28 2 试一试：用最简单的方法画出下列函数的图像 （1）、y=3x （2）y=1.5x 四、小结 1、知识的梳理。2、质疑与

51、升华。学案出来后是主讲同学自学备讲，这一过程可以请教老师，也可以给组员试讲。（二）、上课 1、课前准备。提前一节课发给同学学案；准备好作图工具；准备铃声一响，各数学组长检查组员预习情况。2、换角色上课。换位：准备铃声响后，主讲学生走上讲台，开始老师角色的扮演；任课教师搬张凳子坐到最后一排，开始学生角色的扮演。主讲学生：组织全班同学探讨新知识，小结同学们的新发现，剖析新知识，为同学们答疑解难，指导同学完成练习。任课教师：当好学生角色，一是做好笔记，二是举手发言。笔记内容只要是记录主讲学生课堂表现好差之处、新知识讲解时错误之处或不足之处及意想不到的事情。发言，必须是在主讲学生讲错知识或是需要做知识

52、补充或是有的问题全班都没人能解决时，教师可以以听课学生身份发言指出或指正。如正比例函数一节，卢理团同学主讲正比例函数概念一环节，他是这样完成的：上课环节 过程与方法 正比例函数概念 1、课本 111 页的“思考”中所得的四个函数，它们有什么共同点？这些函数都是常数与自变量 的形式，自变量的次数是 （分组讨论，各组派代表展示成果，点评成果，汇总小结）2、定义：形如 （）函数，叫做正比例函数，其中k 叫做 。（提问未专心上课的同学）29 判断一个函数关系式是否为正比例函数，需要满足怎样的条件？（独立思考，各抒己见，最终答案板书：k0；x 次数为 1）3.练一练：下列函数是否是正比例函数？如果是，指

53、出比例系数是多少？（5）y=x+2（重点解析了题）上述第 3 点的练一练中（5）y=x+2，学生答案说它不是正比例函数时，我立刻假装疑惑说：“判断一个函数关系式是否为正比例函数只须满足两个条件k0；x 次数为 1。y=x+2 可都满足这两个条件了，为什么还不是正比例函数呢？”经我这一质疑，主讲学生马上意识到前面讲的判断正比例函数的条件还需做补充，最后经大家讨论得出第三个条件：形式上还必须是“函数=常数自变量”的式样。3、效果检测。当所有内容都完成后，教师发放自备好的测试题，用 58 分钟时间进行学习效果测试。当堂有时间的要当堂批改并点评，没时间时可下节课再点评。检测的目的是了解学生学得好与不好

54、的地方，以便做好补充。（三）、评价。有自评与他评。自评是主讲学生上完一节课后对自己的评价，他评含同学的评价与老师的评价。评价可以课堂上面对面交流，也可以课后以书面形式互相交流。但不管是哪些方面的评价都以激励同学进步为目的，对优点与长处要给予表扬、鼓励，对不足之处指出时语言、语气表达要诚恳恰当。（四）、反思。1、主讲学生的反思。反思教学内容，反思教态，反思语言表达，反思组织调控能力。2、听课学生的反思。21832354yxyxxysr=；（）；（）（）（）2x3y6=）（x6y7=）（(k为常数)kxy8=）（30反思自己的不足，反思主讲同学的独特之处与不足之处。3、任课老师的反思。反思一节课的

55、亮点与存在问题，反思不同主讲学生表现出来的差异性，反思换角教学的可行性。四、换角课堂教学实施的注意事项 1、学生选课时，教师需指导学生挑选知识点少、易学易懂的章节。2、在尝试阶段，一章教材不易全由学生主讲，教师应适当穿插上课，以便补充学生主讲时所遗漏的问题。3、分组时，要做到好差生互相搭配。4、学生的备课会议教师需全程参与，以便防止出现知识性的错误。5、教师要当好听课学生的角色，课堂发言须以学生身份去说，以免给主讲学生造成心里压力。6、评价要中肯到位。五、换角课堂教学实施的效果 1、学生胆子大了。农村学生由于基础差，课堂表现总是很胆小，大部分学生不说举手发言，连老师指名叫他回答问题也是半天没敢

56、站起来的状态。如八（1）班吕月蝶同学，她第一次当主讲是被同学逼上去的，在讲台上心抖得话都讲不清楚。可她第二次再当主讲时已能体态自然地讲解了。若有第三次当主讲，月蝶同学肯定会像老师那样与同学互动了。2、学生口头表达能力提高了。经过几回备课交流、当主讲，学生口头表达能力提升得非常快。现在课堂回答问题时，几乎都能说出心中所想，虽然有些同学没能答对问题，但已是很大进步。3、有部分同学喜欢表现自己了，而且善于表现自己了。在八（1）班，有个别备课组内出现争着当主讲人的现象，优秀学生的主讲做得比一些新教师还好。4、学数学的热情高了。换角色教学不但给学生展现自我的舞台，它更是让学生实实在在地在自学与 31合作

57、探索中获取到知识，体验到成功的喜悦。现在课外中，八（1）班学生谈得最多的就是数学。5、成绩明显提高了。我教的八（！）班和八（3）班原是同一层出的班级，八（！）班实行换角课堂教学，八（3）班按原形式上课。到学期中后，两班成绩出现了明显的差别，学期中考试及之后的月考八（！）班比八（3）班平均分高出 59 分。换角课堂教学的效果不言而喻呀。换角课堂教学，让我偿到甜头、看到希望，我将继续加深这一改革。当然，这个过程中会出现许多我想不到的问题，我会不断总结，并想方设法去克服困难，完善改革方案，争取早日推广，为农村教学改革添砖加瓦。一题多变培养能力 吴川市第一中学 李亚兴 一题多变（即变式），是指在保持命

58、题的本质属性不变的情况下，改变命题的非本质特征。也就是说，相关的一组命题，虽然它们外在的内容、形式、表述等不同，但它们有内在的本质共性。一题多变在数学教学中十分重要。首先，一题多变可以激发学生的学习兴趣，发挥学生的学习主体性；其次，一题多变可以培养学生思维的广阔性、灵活性、创造性等良好的思维品质，提高学生的思维能力和学习能力；再次，一题多变可使学生学得牢固、透彻，提高学生学习的质量和效率；最后，一题多变不但使学生“会学”，还使学生“会用”，提高学生的应用能力。我们在数学教学中应根据学生的认知特点，适时、适度地进行一题多变教学。一题多变的基本形式有：改变条件、改变结论、改变条件和结论、对调条件与

59、结论、改变情景，等等。下面主要针对如何“变”这一问题，谈谈我在数学教学中如何实现一题多“变”，从而达到培养学生数学能力的目的。1、改变条件 巧妙更改命题的条件，可以达到一题多变的目的。条件的增减、延伸，或一般与特殊的变换，均可变式；更改条件中的图形、关键词、数据或字母的取值范围等，也可变式。例 1、甲、乙两人分别在相距 50 千米的地方相向而行，甲每小时走 5 千米，乙每小时走 7 千米，乙先走 1 小时，问甲出发多少小时后，两人相距 70 千米？变式一、将问题中的“相向”改为“同向”，其它不变。变式二、将问题中的“相向”改为“反向”，其它不变。评注：这两个变式都是通过更改条件中的关键词来完成

60、。这样不仅可以满足学生的好奇心，吸引学生主动探究，还可以培养学生的细心和思维的严密性，使学生养成认真审题的习惯，同时，使学生学会抓住行程这类问题的关键，学得透彻。例 2、已知一次函数 y=(k2)x2k+6,求 k 的取值范围。变式一、已知一次函数 y=(k2)x2k+6 的图象经过原点，求 k 的值。32变式二、已知一次函数 y=(k2)x2k+6 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴，求 k 的取值范围。变式三、已知一次函数 y=(k2)x2k+6 的图象与直线 y=x+3 交于点 M（3，m），求 k 的值。变式四、已知一次函数 y=(k2)x2k+6 的函数值 y 随 x 的增大而

61、增大，求 k 的取值范围。变式五、已知一次函数 y=(k2)x2k+6 的图象不经过第二象限，求 k 的取值范围。变式六、已知一次函数 y=(k2)x2k+6 的图象与直线 y=2x 平行，求 k 的值。评注：变式由易到难，循序渐进，符合学生的认知规律。通过不断调整考查的角度和逐渐增加考查的难度，既丰富了原题的内涵，培养了学生思维的广阔性、严密性和灵活性，又强化了数形结合等数学思想方法，从而达到培养学生数学能力的目的。例 3、如图所示，已知ABC，ABC 的平分线与ACB 的平分线相交于点 O，A=70。请求出BOC 的度数，并探索BOC 与A 有何等量关系。变式一、如图所示，已知ABC，AB

62、C 的平分线与ACB 的平分线相交于点O，试探索BOC 与A 有何等量关系。变式二、如图所示，已知ABC，ABC 的平分线与ACB 的外角ACD 的平分线相交于点 O。试探索BOC 与A 有何等量关系。变式三、如图所示，已知ABC，ABC 的外角ABE 的平分线与ACB 的平分线相交于点 O。试探索BOC 与A 有何等量关系。变式四、如图所示，已知ABC，ABC 的外角CBF 的平分线与ACB 的外角BCG 的平分线相交于点 O。试探索BOC 与A 有何等量关系。评注：此例紧密结合图形，通过巧妙变换条件，实现变式，这样既可满足学生的好奇心，培养学生的学习兴趣和探索精神，又可培养学生思维的深刻性

63、、灵活性和创造性。2、改变结论 充分挖掘结论，也可达到一题多变的目的。同一题设，常有多种结论，通过更改结论，实现变式，达到深化题意外延，培养能力的目的。例 4、已知，如图，在O 中，ABC 是O 的内接三角形，AB=AC，AD 是直径，AD 与 BC 相交于点 E，连结 CD，求证：BAD=DAC A OC BGF（变式四）A O C B E（变式三）AOCBD（变式二）（变式一）A O C B（例 3）33此题在已知条件不变的情况下，可将结论改为求证：（1）BE=EC；（2）ADBC；（3）BCD=DAC；（4）ABEADC；（5）CDEADC；（6）AB2=AEAD。评注：通过变式，使学生

64、掌握知识的内在联系，学会举一反三，触类旁通。例 5、如图，已知AEACDEBCADAB=，D 在 BE 上，BE 与 AC 交于点 F，求证：BAC=DAE 变式一、已知不变，求证：BAD=CAE 变式二、已知不变，求证：ABDACE 变式三、已知不变，求证：ABFECF 变式四、已知不变，求证：BCFAEF 变式五、已知不变，求证：A、B、C、E 四点共圆。评注：此例充分挖掘结论，深化题意外延，且由浅入深，环环相扣，逐步增大考查难度，不但激发了学生的求知欲，而且培养了学生思维的深刻性、严密性，提高了学生的解题能力。3、同时改变条件与结论 将命题的条件与结论同时适当更改，也可实施变式。例 6、

65、求证：顺次连接四边形各边中点的四边形是平行四边形。变式一、求证；顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形。变式二、求证：顺次连接菱形各边中点的四边形是矩形。变式三、求证：顺次连接正方形各边中点的四边形是正方形。变式四、求证：顺次连接等腰梯形各边中点的四边形是菱形。评注：通过调整考查的对象，使学生学会“异中求同”、“同中求异”，培养了学生的辨析能力。4、对调条件与结论 因为有些定理具有逆定理，所以有时将命题中的条件与结论对调，可以实现变式。例 7、已知，如图，四边形 ABCD 中，AB=DC，且 AB 与 DC 不平行，E、F、O分别是 AD、BC、AC 的中点，求证：OEF=OFE 变式：已知，如图

66、，四边形 ABCD 中，E、F、O 分别是 AD、BC、AC 的中点，OEF=OFE，求证：AB=DC 评注：此种变式有利于培养学生的逻辑推 理能力和逆向思维能力。5、改变情景 将问题放在不同的背景、场合、情形中，可以达到变式的目的。B C D E（例 5）A F（例 7）F E D C B A O O E D C B A（例 4）34例 8（人教版八年级上册第 42 页探究）如图，要在燃气管道l 上修建一泵站，分别向 A，B 两镇供气，泵站 P 修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？变式一、正方形 ABCD 的周长为 8，点 E 是线段 AB 的中点，点 P 是对角线AC 上的一个动点

67、，求：PE+PB 的最小值。变式二、（09 衢州）如图，已知点 A(4,8)和点 B(2,n)在抛物线 y=ax2 上。求 a的值及点 B 关于 X 轴对称点 P 的坐标，并在 X 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求点 Q 的坐标；变式三、（08 成都）如图，已知点 A 是锐角MON 内的一点，试分别在 OM,ON上确定点 B、点 C，使ABC 的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点（要求画出草图，保留作图痕迹）变式四、如图，在直角坐标系中，有四个点 A(8,3),B(4,5),C(0,n),D(m,0)，当四边形 ABCD 的周长最短时，周长的值为 ，n=，m=。变式五、

68、如图，AB 是O 的直径，OC 是O 的半径，OCAB，OC=1，点 D在圆上，AD=2DC,点 P 是半径 OC 上的一个动点，那么 AP+PD 的最小值是 。评注：此五个变式，将问题置于不同的情景中，但问题的本质属性并没有改变。这样不但可以增加知识的新鲜感，激发学生的学习兴趣，吸引学生自主探究，而且可以训练学生在纵错复杂的情景中抓住事物的本质，使学生学会了抽象与概括，培养了学生的思维能力和数学能力。以上探索了一题多变的五种基本形式及一题多变的基本规律、方法和技巧。在数学教学中，我们应根据学生的认知特点，有目的、有计划地进行一题多变教学，并鼓励学生自己进行一题多变练习，以培养学生良好的思维品质与数学素养，提高学生的数学能力。B A P C（例 8）l（变式一）B A P E D C P 2 y xA Q P B 0 2 2 2（变式二）DCAy xODCBAB（变式四）O A C B A N M A”（变式三）（变式五）O A B P P D C