2022年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理难点解析练习题（详解）.docx

1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、为外一点，与相切于点，则的长为（）ABCD2、ABC的三边长a，b，c满足+（b12）2+|c13|0，则ABC

2、的面积是（）A65B60C30D263、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A5BCD5或4、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（）ABCD5、我国古代数学名著算法统宗有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千

3、踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（）ABCD6、如图，在RtABC中，ACB90， AB5，AC3，点D是BC上一动点，连接AD，将ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当DEB是直角时，DF的长为（）A5B3CD7、如图，中，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（）.ABC3D8、我图古代数学著作九章算术中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正

4、方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面则这根芦苇的长度是（）A5尺B10尺C12尺D13尺9、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上若再选择一个格点C，使ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（）A2B4C5D610、如图，已知点E在正方形ABCD内，满足AEB=90，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A48B60C76D80第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹

5、竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为_2、如图，在ABC中，AB10，BC9， AC17，则BC边上的高为_3、某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为_m4、附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；请你写出有以上规律的第组勾股数：_5、如图，RtABC中，C=90，在ABC外取

6、点D，E，使AD=AB，AE=AC，且+B，连结DE若AB4，AC3，则DE_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？2、（1）如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在新英格兰教育日志上），现请你尝试证明过程说明：3、如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，

7、使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为(1)若，求的值(2)若，求单个直角三角形纸片的面积是多少？此时的值是多少？4、有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？5、如图，在ABC和DEB中，ACBE，C90，ABDE，点D为BC的中点， （1）求证：ABCDEB （2）连结AE，若BC4，直接写出AE的长-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合

8、利用含 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可【详解】解：连接OT，如下图与相切于点， ，故选：A【考点】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键2、C【解析】【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可【详解】解：+(b-12)2+|c-13|=0，a-5=0，b-12=0，c-13=0，a=5，b=12，c=13，52+122=132，ABC是直角三角形，SABC=30故选：C【考点】此题主要考查了非负数

9、的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键3、D【解析】【分析】分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可【详解】解：当4是直角边时，斜边=5；当4是斜边时，另一条直角边=；故选：D【考点】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c24、B【解析】【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示

10、：故选B.【考点】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理5、C【解析】【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论【详解】解：由题意知：OC=x-（5-1），PC=10，OP=x，在RtOCP中，由勾股定理得：x-（5-1）2+102=x2即故选：C【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键6、C【解析】【分析】如图，由题意知，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，在中，由勾股定理得，计算求解即可【详解】解：如图，是直角由题意知，三点共线与重合在中，由勾股定

11、理得设，在中，由勾股定理得即解得的长为故选C【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识解题的关键在于明确三点共线，与重合7、D【解析】【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果【详解】解：D是AB中点，AB=4，AD=BD=2，将ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，DN=CN，BN=BC-CN=6-DN，在RtDBN中，DN2=BN2+DB2，DN2=（6-DN）2+4，DN=，CN=DN=，故选：D【考点】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键8、D【解析】【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一

12、直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，依题意，由勾股定理，得：，解得，所以芦苇的长度为13尺故选D【考点】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键9、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90时，分别画出符合条件的图形，即可解答【详解】解：分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90如图 符合条件的格点C的个数是6个故选：D【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键10、C【解析】

13、【详解】解：AEB=90，AE=6，BE=8，AB=S阴影部分=S正方形ABCD-SRtABE=102-=100-24=76.故选：C.二、填空题1、2【解析】【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，所以BC即为河水深度，是直角三角形，解得：BC=2（m），故答案为：2【考点】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键2、8【解析】【分析】作交的延长于点，在中，在中,，根据列出方程即可求解【详解】如图，作交的延长于点，则即为BC边上的高，在中，在中,， A

14、B10，BC9， AC17，解得，故答案为：8【考点】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键3、2.7【解析】【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论【详解】在RtACB中，ACB=90，AE=0.7米，DE=2.4米，AD2=0.72+2.42=6.25在RtABD中，ABC=90，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，AB2+1.52=6.25，AB2=4AB0，AB=2米BE=AE+AB=0.7+2=2.7米故答案为 2.7【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关

15、键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用4、11，60，61【解析】【分析】由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，设第二个数为x，则第三个数为，由勾股定理得：，计算求解即可【详解】解：由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，设第二个数为x，则第三个数为，由勾股定理得：，解得x60，第5组数是：11、60、61故答案为：11、60、61【考点】本题考查了数字类规律，勾股定理等知识解题的关键在于推导规律5、5【解析】【分析】根据角度转换，得到三角形AD

16、E是直角三角形，然后运用勾股定理计算出DE的长.【详解】B+C+BAC=180，C=90，B+BAC=90.+B，DAE=+BAC=B+BAC=90.ADE是直角三角形.DE=5.【考点】本题主要考查到运用勾股定理求长度，说明三角形ADE是直角三角形是解题的关键.三、解答题1、速度为30米每秒【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据速度等于路程除以时间即可求得敌方汽车的速度【详解】，米每秒，答：敌方汽车的速度为30米每秒【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键2、（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答；（2）利用面积法证明即可得到结论【

17、详解】（1）；（2）如图，RtDECRtEAB，DEC=EAB，DE=AE，AED为等腰直角三角形，即， ，【考点】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键3、 (1)(2)36；【解析】【分析】（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据SABE=ABDE=BEAC，即可得到x的值，进而得出S1的值（2）如图1，依据SABE=ABDE=BEAC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据SABN=ABHN=ANBC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进

18、而得出单个直角三角形纸片的面积如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=SCMF=SACM，所以S3=，即可求解(1)解：ACBCAB345，AC3，BC4，AB5，由折叠可得，DECE，ADEC90，ADAC3，设DECEx，则BE4x，SABEABDEBEAC，ABDEBEAC，即5x3（4x），解得x，S1BDDE(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，ADE=C=90，SABE=ABDE=BEAC，ABDE=BEAC，即5xDE=

19、（4x-DE）3x，解得DE=x，S1=BDDE=2xx=x2；如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，AH=x，AN=3x-HN，SABN=ABHN=ANBC，ABHN=ANBC，即5xHN=（3x-HN）4x，解得HN=x，S2=AHHN=xx=x2，S1+S2=13，x2+x2=13，解得x2=6，SABC=3x4x=6x2=36答：单个直角三角形纸片的面积是36；如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，BF=BC-CF=4x-3x=x，S3=SCMF=SACM，S3=，答：此时S3的值为【考点】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的

20、形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度4、它至少需要5.2s才能赶回巢中【解析】【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24过A作AECD于E则CE=13-3=10，AE=24，在RtAEC中，5、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行可得DBE90，再由HL定理证明直角三角形全等即可；（2）构造，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE长【详解】（1）ACBE，CDBE180DBE180C 1809090ABC和DEB都是直角三角形点D为BC的中点，ACDBABDE，RtABCRtDEB（HL） （2）过程如下：连接AE、过A点作AHBE，C90，DBE90，AH=BC=4， ，在中，【考点】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH=BC，从而利用勾股定理求AE