2022年新教材高考数学一轮复习 考点规范练27 等比数列及其前n项和（含解析）新人教版.docx

1、考点规范练27等比数列及其前n项和一、基础巩固1.已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2等于()A.2B.1C.12D.182.在各项均为正数的等比数列an中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1a2a25a48a49的值为()A.212B.93C.93D.353.设首项为1,公比为23的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an4.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,上一层的数量是下一层的2倍,总共有1 016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.若从最下层往上“浮雕

2、像”的数量构成一个数列an,则log2(a3a5)的值为()A.8B.10C.12D.165.(多选)已知数列an是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是()A.1anB.log2an2C.an+an+1D.an+an+1+an+26.某公司为扩大产能,于2019年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该公司从2020年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该公司每年的偿还金额是()A.amB.ap(1+p)m+1(1+p)m+1-1C.ap(1+p)m+1pm-1D.ap

3、(1+p)m(1+p)m-17.若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2=.8.设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.9.已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求数列an的通项公式.10.已知数列an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.二、综合应用11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形

4、的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统,分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义.如图,由波兰数学家谢尔宾斯基于1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,若记图三角形的面积为34,则图中阴影部分的面积为()A.3932n+1B.3632nC.3434nD.3334n12.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可通

5、过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.913.(多选)已知数列an是等比数列,则下列说法中正确的是()A.数列an2是等比数列B.若a3=2,a7=32,则a5=8C.若a1a20,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=,a4的最大值为.15.已知等比数列an与等差数列bn满足a1=b1=1,a1a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设Sn,Tn分别是数列an,bn的前n项和,若Sn+Tn100,求n的最小值.三、探究创新16.设等比数列an满足a1+a3=1

6、0,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.17.已知数列an满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2).(1)求证:数列an+1+2an是等比数列;(2)求数列an的通项公式.考点规范练27等比数列及其前n项和1.C设等比数列an的公比为q,a3a5=4(a4-1),a42=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=14,q=2.a2=a1q=12.2.Ba2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,a2a48=3.又a1a49=a2a48=a252=3,且a250,a1a2a25a48a49=a255=93.故选B.3.D根据题意可得,Sn=a1(1-qn

7、)1-q=a1-anq1-q=1-23an1-23=3-2an,故选D.4.C根据题意可知,最下层的“浮雕像”的数量为a1,且数列an为公比q=2的等比数列.当n=7时,S7=a1(1-27)1-2=1016,解得a1=8,则an=82n-1=2n+2(1n7),于是a3=25,a5=27,从而a3a5=2527=212,可得log2(a3a5)=log2212=12,故选C.5.AD当an=1时,log2an2=0,数列log2an2不一定是等比数列;当公比q=-1时,an+an+1=0,数列an+an+1不一定是等比数列;由等比数列的定义知数列1an和an+an+1+an+2都是等比数列.

8、6.D设每年偿还的金额为x,根据题意可得,a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+x(1+p)m-1,即a(1+p)m=x1-(1+p)m1-(1+p),解得x=ap(1+p)m(1+p)m-1.7.1设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即-1+3d=8,-q3=8,解得d=3,q=-2.故a2b2=-1+3-1(-2)=1.8.1213设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3=13q3,a6=a1q5=13q5.a42=a6,19q6=13q5.q0,q=3.S5=a1(1-q5)1-q=13(1-35)1-3=1213.9.解(1)

9、由题意可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,得a2=4.将n=2代入,得a3=3a2,得a3=12.由于bn=ann,则b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列bn是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:由题意可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以数列bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,故an=n2n-1.10.解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.即数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=n

10、bn,得bn+1=bn3,因此数列bn是首项为1,公比为13的等比数列.设数列bn的前n项和为Sn,则Sn=1-13n1-13=32-123n-1.11.D根据题意知,每一个图形的面积是前一个图形面积的34,即各图形的面积构成首项为34,公比为34的等比数列,故题图中阴影部分的面积为3434n-1=3334n.12.Da,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,a+b=p,ab=q.p0,q0,a0,b0.又a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,2b=a-2,ab=4或2a=b-2,ab=4.解得a=4,b=1;解得a=1,b=4

11、.p=a+b=5,q=14=4.p+q=9.故选D.13.AC由于数列an是等比数列,则an2=a12q2n-2,可得an+12an2=a12q2na12q2n-2=q2是常数,即数列an2是等比数列,故A正确;若a3=2,a7=32,则a5=232=8,故B错误;若0a1a21,数列an是递增数列;若a1a2a30,则0q0,所以a3+a5=5,故a3+a52a3a5=2a4,即a452.15.解(1)设等比数列an的公比为q,等差数列bn的公差为d,则2q=2+2d,q2=1+3d,解得d=0,q=1(舍)或d=1,q=2,故an=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知Sn=1-2n1-2

12、=2n-1,Tn=n(n+1)2.由Sn+Tn100,得2n+n(n+1)2101.由于2n+n(n+1)2是递增数列,且26+672=85101,故n的最小值为7.16.64设等比数列an的公比为q.由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2an=8n121+2+(n-1)=2-12n2+7n2,由于抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为直线n=-722-12=3.5,又nN*,所以当n=3或n=4时,a1a2an取最大值为2-1232+732=26=64.17.(1)证明an+1=an+6an-1(n2),an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2).又a1=5,a2=5,a2+2a1=15,an+2an-10(n2),an+1+2anan+2an-1=3(n2),数列an+1+2an是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)解由(1)得an+1+2an=153n-1=53n,则an+1=-2an+53n,an+1-3n+1=-2(an-3n).又a1-3=2,an-3n0,数列an-3n是以2为首项,-2为公比的等比数列.an-3n=2(-2)n-1,即an=2(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.