2022年高中数学 第二章 数列 3.docx

1、课时训练9等差数列的前n项和一、等差数列前n项和公式及应用1.在等差数列an中,d=2,an=11,Sn=35,则a1为()A.5或7B.3或5C.7或-1D.3或-1答案:D解析:a1+(n-1)2=11,Sn=na1+n(n-1)22=35,由解得a1=3或a1=-1.经检验,a1=3与a1=-1均符合题意,故选D.2.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于()A.18B.36C.54D.72答案:D解析:a4=18-a5,a4+a5=18.S8=8(a1+a8)2=4(a1+a8)=4(a4+a5)=72.3.(2015河北邯郸三校联考,2)等差数列an中,a1

2、+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于()A.160B.180C.200D.220答案:B解析:a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20).a1+a20=18.S20=20(a1+a20)2=180.故选B.4.设Sn为公差不为零的等差数列an的前n项和.若S9=3a8,则S153a5=()A.15B.17C.19D.21答案:A解析:由S9=3a8,得9(a1+a9)2=32(a1+a15),即9a5=S155,所以S153a5=15.5.有一个凸n边形,各内角的度数成等差数列

3、,公差是10,最小角为100,则边数n=.答案:8解析:n100+n(n-1)210=(n-2)180,解得n=8或n=9.又an=100+(n-1)10180,n=8.6.已知等差数列an的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.设Sk=2 550,求a和k的值.解:设an的公差为d,由已知得,a1=a-1,a2=4,a3=2a.又2a2=a1+a3,8=(a-1)+2a,a=3,a1=2,d=a2-a1=2.由Sk=ka1+k(k-1)2d,得2k+k(k-1)22=2550,即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去),a=3,k=50.二、由Sn求解数列的通项公式7.

4、设数列an的前n项和Sn=n2+1,则数列an的通项公式为.答案:an=2,n=1,2n-1,n2解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.当n=1时,a1=S1=1+1=2不适合上式.数列an的通项公式为an=2,n=1,2n-1,n2.8.已知数列an的前n项和为Sn=3n-2,求数列an的通项公式.解:当n=1时,a1=S1=31-2=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=23n-1,而231-1=21.故数列an的通项公式为an=1,n=1,23n-1,n2.9.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+2SnS

5、n-1=0(n2).(1)求证:数列1Sn是等差数列;(2)求an的通项公式.(1)证明:n2时,an=Sn-Sn-1,又an+2SnSn-1=0,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.Sn0,两边同除以SnSn-1,得1Sn-1-1Sn+2=0,即1Sn-1Sn-1=2(n2),数列1Sn是等差数列.(2)解:a1=1,1S1=1a1=1,1Sn=1+(n-1)2=2n-1,Sn=12n-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=12n-1-12(n-1)-1=-2(2n-1)(2n-3).而-2(21-1)(21-3)=21,故an的通项公式an=1,n=1,-2(2n-1)(2n-3),n2.(

6、建议用时:30分钟)1.在等差数列an中,若a1-a4+a8-a12+a15=2,则S15等于()A.28B.30C.31D.32答案:B解析:a1-a4+a8-a12+a15=(a1+a15)-(a4+a12)+a8=a8=2.S15=15(a1+a15)2=152a82=30.2.在等差数列an中,公差d0,首项a1d.如果这个数列的前20项的和S20=10M,则M应是()A.a5+a15B.a2+2a10C.2a1+19dD.a20+d答案:C解析:S20=20a1+20192d=10(2a1+19d)=10M,M=2a1+19d.3.已知数列an为等差数列,其前n项的和为Sn,若a3=

7、6,S3=12,则公差d=()A.1B.2C.3D.53答案:B解析:在等差数列中,S3=3(a1+a3)2=3(a1+6)2=12,解得a1=2,所以解得d=2,选B.4.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为()A.20B.21C.22D.24答案:A解析:由数列前n项和公式可得(k+2)(4+67)2=781,解得k=20.5.(2015江西吉安联考,5)在等差数列an中,a9=12a12+6,则数列an的前11项和S11等于()A.24B.48C.66D.132答案:D解析:数列an为等差数列,设其公差为d,a9=1

8、2a12+6,a1+8d=12(a1+11d)+6,a1+5d=12,即a6=12.数列an的前11项和S11=a1+a2+a11=(a1+a11)+(a2+a10)+(a5+a7)+a6=11a6=132.故选D.6.已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=12,S2=a3,则a2=,Sn=.答案:114n2+14n7.若一个等差数列前3项和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有项.答案:13解析:a1+a2+a3=34,an+an-1+an-2=146,3(a1+an)=180,a1+an=60,Sn=n(a1+an)2=390.n=13.8.设公差不为0的

9、等差数列an的前n项和为Sn,若a5=5a3,则S9S5=.答案:9解析:S9S5=9(a1+a9)25(a1+a5)2=9a55a3,又a5=5a3,S9S5=9.9.已知等差数列an的公差不为零,a1=25,a3+a5=38.(1)求数列an的通项公式;(2)求a1+a4+a7+a3n-2.解:(1)设数列an的公差为d,则由已知得a1=25,2a1+6d=38,解得d=-2.通项公式an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2,由已知a3n-2=-6n+31.数列a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.Sn=n(a1+a3n-2)2=-3n2+28n.10.一个水

10、池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间?解:设共有n个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为x1,x2,xn.由已知可知x2-x1=x3-x2=xn-xn-1,数列xn成等差数列,每个水龙头1min放水124n(这里不妨设水池的容积为1),124n(x1+x2+xn)=1,即Sn=24n.n(x1+xn)2=24n.x1+xn=48.又xn=5x1,6x1=48.x1=8(min),xn=40(min).故最后关闭的水龙头放水40min.