2022年高考数学必刷压轴题 专题30 定线段张定角（含解析）.docx

1、专题30 定线段张定角【方法点拨】当已知中出现三角形一边及其对角均为定值，即“定线段张定角”时，应考虑其中的隐圆.【典型题示例】例1 （2021江苏金陵中学期末22改编）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3a3bcosCcsinB，若点M为AC中点，且b，则中线BM的最大值是 【答案】【分析】易求得B，问题转化为在一三角形中，已知一边及其对角，求这边上中线的最大值.可以使用中线长定理、基本不等式解决（解析一），作为填空题，利用隐圆，当中线就是该边上的高时最大则更简捷.【解析一】由射影定理得3(bcosCccosB)3bcosCcsinB，化简得3ccosB=csinB，又因

2、为sinB0，所以tanB，B(0，)，所以B在ABM和BCM中，由余弦定理得:c2BM22BMcosBMA，a2BM22BMcosBMC两式相加得BM2又由余弦定理a2c23ac，所以(a2c2)3，即a2c26，BM2，所以BM最大值为，当且仅当ac时等号成立【解析二】由射影定理得3(bcosCccosB)3bcosCcsinB，化简得3ccosB=csinB，又因为sinB0，所以tanB，B(0，)，所以B 在ABC中，b，B，故点B的轨迹是以AC为弦，所对角B的弧由平面几何知识得，当AC边上的中线BM就是AC边上的高，即当且仅当ac时，BM最大值为.例2 设向量满足，则的最大值等于（

3、 ）A B C D【答案】D【分析】向量是自由向量，故可将其移至同一起点考虑. 由，易知，且其终点间选段长为，由知向量的终点与的终点连线“定线段张定角”，其轨迹是圆弧.【解析】由,得如下左图,设,，则，故点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段弧（端点除外），该圆的半径为1如上右图，当过圆心，即为直径时，最大，此时所以的最大值等于，故选D.例3 已知三个内角的对应边分别为，且，当取得最大值时，的值为_【答案】【分析】发现隐圆后，问题的难点在于如何对取得最大值作转化，这里，直接使用数量积的定义.由于，故当最大，即在方向上的投影最大时，取得最大值，从“形”上看，此时过点C的圆的切线与AB垂直.【解析】

4、 如图所示，在直径为的圆中，弦固定，点在圆上运动，满足题中的，结合数量积的定义可得，当点位于图中的位置时， 取到最大值，此时，故，所以【巩固训练】1.在中，点M是边中点，则的最大值为 2.在中，已知，则面积的最大值为 3.在中，点G为的重心，点O为的外心，则的最小值为 4.在中，点D在边上，且，则的最大值为 5. 锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则ABC面积的取值范围是 .6. 在锐角中，内角，的对边分别为，且，若，则的取值范围是 .7.（2021江苏徐州期末21改编）在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a sinCccos A，且a，则b2

5、c2的取值范围是 【答案与提示】1.【答案】【提示】同例1，是高时最大.2.【答案】2【提示】是等腰三角形时面积最大.3.【答案】【提示】求得，以中点为坐标原点建系，求得点G的的轨迹为圆.4.【答案】【分析】发现隐圆，利用平几知识、余弦定理求出最大值.【解析】，根据正弦定理，外接圆的直径，如图，当过圆心时最大. 连结OB，在OBD中，OBD=300，由余弦定理得： 所以即为所求最大值.5.【答案】【解析】根据正弦定理，可化为整理得：由余弦定理得，由正弦定理得（其中为ABC外接圆半径）如图，下同例2，求出临界值.6.【答案】.【提示】因为，得求出临界状态的值立得.7.【答案】【分析】易求得，点A的轨迹是以BC为弦，所对角A的弧，在点A的运动过程中，b2c2先增后减，故当bc时，达到最大值，而下界是三角形ABC是直角三角形，即AC（或AC）为直径.【解析】由及正弦定理得因为为锐角，所以，所以因为为锐角，所以，所以所以.点A的轨迹是以BC为弦，所对角A的弧，在点A的运动过程中，b2c2先增后减，故当bc时，b2c2取得最大值，此时，又因为ABC为锐角三角形，当AC（或AC）为直径时，所以的取值范围为