2022年高考数学真题完全解读（新高考全国2卷）.docx

1、2022年高考数学真题完全解读（新高考全国2卷）本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分为【命题意图】【答案】【解析】【点评】【知识链接】等栏目,本资料部分内容来源于网络一、 试卷使用地区海南、辽宁、重庆二、试卷总评1.2022年新高考数学卷命题坚持思想性与科学性的统一,发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点,设置真实情境,命制具有教育意义的试题,发挥教育功能和引导作用.如第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景,考查学生综合应用等差数列、解析几何、三角函数等基础知识解决实际问题的能力,让学生领略中华民族的智慧和数学研究成果,进一步树立民族自信

2、心和自豪感,培育爱国主义情感.2.该试卷依据课程标准命题,深化基础考查,突出主干知识,创新试题设计,加强教考衔接,发挥高考试题对中学教学改革的引导和促进作用.命题贯彻高考内容改革要求,依据高中课程标准,进一步增强考试与教学的衔接.试题的考查内容范围和比例、要求层次与课程标准保持一致,注重考查内容的全面性,同时突出主干、重点内容的考查,引导教学依标施教.试题突出对学科基本概念、基本原理的考查,强调知识之间的内在联系,引导学生形成学科知识系统；注重本原性方法,淡化特殊技巧,强调对通性通法的深入理解和综合运用,促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构.如第19题对统计与概率的思想进行了深入考查.数学

3、试题力图引导中学遵循教学规律、提高课堂教学效果,实现作业题、练习题减量提质.3.该试卷在选择题、填空题、解答题3种题型上都加强了对主干知识的考查. 注重创新试题形式,引导教学注重培养核心素养和数学能力,增强试题开放性,鼓励学生运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题,引导教学注重培育学生的创新精神,如第21题给出3个条件,要求学生选取2个作为已知条件,证明另外一个成立,给学生提供了选择的自由度和发挥空间,有利于对学生思维水平的考查.在多选题的设计上,进一步增强选项的灵活性,突出对发散性思维和创新性思维的考查.在填空题的答案设计上,给学生较大的思考空间,对知识之间的联系、直观想象等素养作了深入的

4、考查. 4.该试卷加强学科核心素养考查,强化数学思想方法的渗透,深入考查关键能力,优化试题设计,发挥数学科高考的选拔功能,助力提升学生综合素质.通过设置综合性的问题和较为复杂的情境,加强关键能力的考查.如第22题重视基于数学素养的关键能力的考查,在数学知识、数学能力和创新思维层面都有所体现,具有较好的选拔功能.5.该试卷突出思维品质考查,强调独立思考和创新意识.如第8题对思维的灵活性有较高要求,在抽象的情境中发现函数周期性是问题的关键.6.该试卷通过设置综合性的问题和较为复杂的情境,加强关键能力的考查,如第22题将函数、导数、数列与不等式等知识有机结合,考查学生灵活应用函数、不等式思想解决复杂

5、问题的能力,对直观想象能力和逻辑推理能力也有较高的要求.三、考点分布细目表题号命题点模块（题目数）1简单不等式的解法及集合的交集运算1.集合（共1题）2.不等式（共3题）2复数的乘法运算复数（共1题）3数学文化与直线的斜率1.数列（共3题）2.解析几何（共5题）4排列组合排列组合及概率统计（共3题）5平面向量的坐标运算平面向量（共1题）6三角变换三角函数与解三角形（共3题）7球与几何体的切接立体几何（共3题）8抽象函数函数与导数（共4题）9三角函数的图象与性质、导数的几何意义1.三角函数与解三角形（共3题）2导数10抛物线解析几何（共5题）11几何体的体积立体几何（共3题）12基本不等式不等式

6、（共3题）13正态分布排列组合及概率统计（共3题）14导数的几何意义函数与导数（共4题）15直线与圆解析几何（共5题）16直线与椭圆解析几何（共5题）17等差数列与等比数列数列（共3题）18解三角形三角函数与解三角形（共3题）19用样本估计总体及概率计算排列组合及概率统计（共3题）20线面平行的证明及二面角立体几何（共3题）21双曲线解析几何（共5题）22用导数研究函数单调性、不等式恒成立及证明1.函数与导数（共4题）2.不等式（共3题）3.数列（共3题）四、 试题深度解读1. 已知集合,则A. B. C. D. 【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及集合的交集运算,考查数学运算与数学抽象的

7、核心素养.难度：容易【答案】B【解析】因为,故选B.【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合,一个离散的数集,无需化简,足见命题者有意降低试题难度,突出对交集的考查.【知识链接】求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如x|yf(x),y|yf(x),(x,y)|yf(x)三者是不同的；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究

8、其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2. A. B. C. D. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易【答案】D【解析】,故选D.【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同

9、类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简,一般化为abi(a,bR)的形式,再结合相关定义解答(4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简,一般化为abi(a,bR)的形式,再结合复数的几何意义解答3.图1是中国古代建筑中的举架结构,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图其中是举,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为已知成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则A. 0.75

10、B. 0.8C. 0.85D. 0.9【命题意图】本题以古代数学文化为背景,考查斜率的计算,考查数学建模及数学运算的核心素养.难度：容易【答案】D【解析】设,则,因为成公差为0.1的等差数列,所以,因为的斜率为0.725,所以,所以,故,故选D.【点评】近年来的全国卷注重设置真实情境,命制具有教育意义的试题,发挥教育功能和引导作用.请同学们关注这一变换,强化相关训练.【知识链接】1.P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1x2,则l的斜率k.2.根据斜率求倾斜角的范围时,当斜率有正有负,要分与两种情况讨论4.已知向量,若,则A. B. C. 5D. 6【命题意图】本题考查向量的坐

11、标运算及向量数量积的性质,考查数学运算的核心素养.难度：中等偏易【答案】C【解析】因为,所以,所以由得,即 ,解得,故选C【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略求两向量的夹角：cos,要注意0,两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|;|ab|;若a(x,y),则|a|.5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成

12、一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【命题意图】本题考查排列组合,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【答案】B【解析】解法一：因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看做一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换,有 种排列方式,故安排这5名同学共有种不同的排列方式,故选B解法二：丙和丁相邻的排列方式共有种,丙和丁相邻且甲站在两端的排列方式共有种,所以甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式

13、共有24种,故选B.【点评】排列组合不是每年必考,但也是高考热点,高考中或者单独考查,或者与古典概型交汇考查,或者与分布列交汇考查.【知识链接】求解排列组合问题的常用方法1.限制元素(位置)优先法：元素优先法：先考虑有限制条件的元素,再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置,再考虑其他位置.2.正难则反排异法：有些问题,正面考虑情况复杂,可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉.3.复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时,常常分成若干类,再由分类加法计数原理解决或分成若干步,再由分步乘法计数原理解决.在解题过程中,常常既要分类,也要分步,其原则是先分类,再分步.4.相离问题

14、插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.5.相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”作全排列,最后再“松绑”将“捆绑”元素在这些位置上作全排列.6.定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数,也可看作组合问题.7.相同元素隔板法：隔板模型是解决排列组合问题的一种基本方法,常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题,运用隔板法必须同时具备以下三个条件：所有元素必须相同

15、；所有元素必须分完；每组至少有一个元素.8.“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理6. 若,则A. B. C. D. 【命题意图】本题考查三角变换,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：中等【答案】C【解析】解法一：由得,即,即所以,故选C解法二：取,得,此时,排除A,B,取,得,此时,排除D,故选C.【点评】在新高考试卷中三角函数一般有1道解答题与1到2道客观题,解答题通常考查解三角形,且时常与三角变换交汇,客观题若有1道,通常为考查三角

16、函数图象与性质的题目,若有2道,则会出现考查三角变换的题目.【知识链接】1.三角恒等变换要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点2.在三角函数的化简、求值过程中,通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用,当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变角”的一种提示,可以根据问题的需要,将常用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.7.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为A. B.

17、 C. D. 【命题意图】本题考查球与几何体的切接,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等【答案】A【解析】设该正三棱台上下底面圆的半径分别为,所以,解得,设该球的球心到上下底面的距离分别为,球的半径为,所以,故或,即或,解得,符合题意,所以球的表面积为故选A【点评】球与几何体的切接是高考热点,常作为客观题压轴题出现,但由于同学们对这类问题比较重视,训练比较多,对解题套路比较熟悉,故该题仍可以得分.【知识链接】1.几何体的外接球问题关键是确定球心位置,主要方法有：将几何体还原或补为正方体或长方体,进而确定球心；几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；球心到各顶点的距离都相

18、等；球心一定在外接球的直径上2.求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑：一是根据球的截面的性质,利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R2r2d2求.8. 已知函数的定义域为R,且,则（）A. B. C. 0D. 1【命题意图】本题考查抽象函数的性质与求值,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：难【答案】A【解析】解法一：因为,令可得,所以,令可得,即,所以为偶函数,令得,即有,两式相加得,所以,所以是周期函数,其中一个周期为因为,所以由于22除以6余4,所以故选A解法二：由三角函数的和差化积公式及,构造函数,可得的周期,且由于22除以6余4,所以故选A【点评】对抽

19、象函数的考查是最近几年高考的热点,且难度都比较大,求解抽象函数问题要重视赋值法的应用,此外还可以构造具体函数求解.【知识链接】1.若满足,则是周期函数,且一个周期为；2. 满足,则是周期函数,且一个周期为6；3. 若,则,取,即得.二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知函数的图像关于点中心对称,则A. 在区间单调递减B. 在区间有两个极值点C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的切线【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易【答案】A

20、D【解析】由题意得,所以,即,又,所以时,故对A,当时,由正弦函数单调性知在上是单调递减,A正确；对B,当时,由正弦函数单调性知在区间只有1个极值点,由,解得,即为函数的唯一极值点,B错误；对C,当时,直线不是对称轴,C错误；对D,由得,解得或,从而得或,所以函数在点处的切线斜率为,切线方程为即,D正确；故选AD【点评】三角函数图象与性质基本是高考每年必考,难度中等或中等以下,考查热点是函数的单调性及对称性、极值与最值.【知识链接】1.f(x)Asin(x)(A,0),则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)2f(x)Asin(x)(A,0

21、)的图象关于直线对称的充要条件是；关于点对称的充要条件是；3f(x)Asin(x)+B,0)的图象关于直线对称的充要条件是；关于点对称的充要条件是. 10. 已知O为坐标原点,过抛物线焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点,若,则A. 直线的斜率为B. C. D. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系,考查直观想象与逻辑推理的核心素养,难度：中等【答案】ACD【解析】对于A,易得,由可得点在的垂直平分线上,则点横坐标为,代入抛物线可得,则,则直线的斜率为,A正确；对于B,由斜率为可得直线的方程为,联立抛物线方程得,设,则,则,代入抛物线得,解得,则,则,B

22、错误；对于C,由抛物线定义知：,C正确；对于D,则为锐角,又,则为锐角, ,D正确.故选ACD.【点评】解析几何在高考中一般有3到4道试题,若有3道试题,则这3道试题分别涉及椭圆、双曲线、抛物线；若有4道试题,则这3道试题分别涉及直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线,本试卷由于有1道与直线斜率有个的数学文化试题,使得解析几何试题达到了5道,创历史新高.【知识链接】(1)设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1y2p2.弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)以弦AB为直径的圆与准线相切通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点

23、最短的弦(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此11. 如图,四边形为正方形,平面,记三棱锥,的体积分别为,则A. B. C. D. 【命题意图】本题考查几何体体积的计算,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：较难【答案】CD【解析】解法一：设,因为平面,则,连接交于点,连接,易得,又平面,平面,则,又,平面,则平面,又,过作于,易得四边形为矩形,则,则,则,则,则,故A、B错误；C、D正确.故选CD.解法二：由,的底面积相同,的高DE是高BF的2倍,可得,连接交于点,取DE中点G,连接BG,与MF交于点O,

24、则BGEF,BG=EF,所以EF=3BO,所以=,即 ,所以A,B错误；,C,D正确；故选CD.【点评】立体几何在高考中一般有2道客观题,1道解答题,客观题中立体几何考查的热点是几何体中元素的位置关系与数量关系、几何体的表面积与体积、球与几何体的切接等.【知识链接】空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面,特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面)等,它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法,应熟练掌握(3

25、)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通过将其顶点和底面进行转化,借助体积的不变性解决问题12. 若x,y满足,则A. B. C. D. 【命题意图】本题考查均值不等式的应用,考查逻辑推理的核心素养.难度：难【答案】BC【解析】因为（R）,由得,解得,当且仅当时,当且仅当时,所以A错误,B正确；由得,解得,当且仅当时取等号,所以C正确；由得,设,所以,因此,当时,所以D错误故选BC（选项D也可以这样排除： 由 得,当时,如令,得,所以D错误）【点评】把均值不等式的应用作为客观题压轴题,在新高考中是第一次出现,由于老高考中的高频考点线性规

26、划从新教材中消失,使得对均值不等式应用考查的频率变大.【知识链接】1.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式凑配法求最值的基本技巧：配凑系数；配凑常数；配凑分子；配凑分母；配凑项数2.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求最值求型最值问题,常通过“1”来进行转化,但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决,有一些看似可以通过基本不等式解决的问题,由于条件的限制,等号不能够成立,这时就不能用基本不等式来解决,而要借助于其他求值域的方法来解决3,若已

27、知条件为含有的等式,可利用或ab将式子转化为含ab或a+b的一元二次不等式,将ab,a+b作为整体解出范围.4,形如,可设,形如的式子,可先配方得,设.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知随机变量X服从正态分布,且,则_【命题意图】本题考查正态分布,考查数学运算的核心素养.难度：容易【答案】【解析】因为,所以,因此【点评】该题型各种资料上出现的比较多,高考不回避这种命题方式,是把此题作为了送分题,求解本题的关键是正态曲线关于直线对称.【知识链接】1.能熟练应用正态曲线的对称性解题,并注意以下几点：(1)正态曲线与x轴之间的面积为1；(2)正态曲线关于直线x对称,从而在关

28、于x对称的区间上概率相等；(3)几个常用公式：P(Xa)1P(Xa)；P(X0,则P(Xb).2.无论是正态分布的正向或逆向的应用问题,关键都是先确定,然后利用对称性,将所求概率转化到三个特殊区间14. 曲线过坐标原点的两条切线的方程为_,_【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易【答案】 ,【解析】因为,当时,设切点为,由,所以,所以切线方程为,又切线过坐标原点,所以,解得,所以切线方程为,即；当时,设切点为,由,所以,所以切线方程为,又切线过坐标原点,所以,解得,所以切线方程为,即.【点评】导数的几何意义是高考热点,基本每年必考,考查方式主要

29、有：求曲线在某点处的切线方程,求曲线过某点的切线方程,确定曲线的条数,求公切线,根据曲线满足条件求参数范围.【知识链接】(1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率也就是说,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是.求以曲线上的点(x0,f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0),并化简(2)求曲线过某点的切线方程,一般是先设出切点,写出过切点的切线方程,把已知点代入,求出切点坐标,把问

30、题转化为求在切点处的切线方程.(3) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.(4) 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.15. 设点,若直线关于对称的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_【命题意图】本题考查直线与圆,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【答案】【解析】关于对称的点的坐标为,在直线上,所以所在直线即为直线,所以直线的方程为,即；圆,圆心,半径,由直线l与圆有公共点,得圆心到直线的距离,即,解得,即【点评】本题把对称问题与直线与圆的位置关系交汇

31、考查,虽有所创新,但思路比较明晰,仍属于得分题.【知识链接】1.点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P(x,y)满足2.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决求直线关于点的对称直线的方程,其主要方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线平行,由点斜式得到所求直线方程,当然,斜率必须存在3.点A(a,b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m,n),则有,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l：AxByC0

32、对称,则线段P1P2的中点在l上,且连接P1P2的直线垂直于l,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行16. 已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为_【命题意图】本题考查直线与椭圆,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难【答案】【解析】解法一：设的中点为,因为,所以,设,则,所以,即所以,即,设直线,令得,令得,即,所以,即,解得或（舍去）,又,即,解得或（舍去）,所以直

33、线,即解法二： ,设的中点为,则 ,设,则,所以,即所以,即,所以,由得,两式联立解得,所以所以直线AB方程为,即【点评】本题虽然以椭圆为载体,但并没有涉及椭圆的几何性质,主要考查学生的运算能力,注意涉及弦中等问题常用点差法.【知识链接】在椭圆中,若直线l与该椭圆交于点,点为弦AB中点,O为坐标原点,则,对于双曲线、抛物线也有类似结论.四、解答题：本题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17. 已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且（1）证明：；（2）求集合中元素个数【命题意图】本题考查等差数列与等比数列基本量的计算,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中等偏易.【解

34、析】（1）设数列的公差为,由得,整理得,所以（2）由（1）知,因为,所以,整理得,即,由得,所以k的取值依次为,故集合中的元素个数为9【点评】数列解答题是新高考必考题.通常考查利用方程思想求基本量及数列的通项与求和,难度一般为中等偏易或中等,今年的数列题运算量难度都比较小,属于得分题.【知识链接】等差(比)数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d（q）,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题18. 记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,已知（1）求的面积；（2）若,求b【命题意图】本题考查三角形面积公

35、式、正弦定理及余弦定理的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等.【解析】（1）由题意得,则,即,由余弦定理得,所以,则,又,所以,则.（2）由正弦定理得,所以,则,.【点评】解三角形是高考必考题,今年的解三角形题背景比较新颖,活而不难,是一道考查能力的好题.【知识链接】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思

36、想及分类与整合思想19. 在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为,该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间,求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001）.【命题意图】本题考查频率分布直方图、用样本估计总体及条件概率的计算,考查数据分析及数学建模的核心素养.

37、难度：中等【解析】（1）平均年龄（岁）（2）设一人患这种疾病的年龄在区间,所以（3）设任选一人年龄位于区间,任选一人患这种疾病,则由条件概率公式可得【点评】概率统计解答题注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断,进而做到由样本数据估计总体特征.该类阅读量一般比较大,但难度多为中等,由于概率统计知识点比较多,高考每年考查的知识点不固定,古典概型、相互独立事件的概率及条件概率,统计图表、分布列、期望与方差的应用、正态分布、回归分析、独立性检验都层出现在高考解答题中.【知识链接】1.解决频率分布

38、直方图问题时要抓住3个要点(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示,故每组样本的频率为组距,即矩形的面积(3)直方图中每组样本的频数为频率总体数2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法(1)众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点横坐标；(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；(3)平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.20. 如图,是三棱锥的高,E是的中点（1）证明：平面；（2）若,求二面角的正弦值【命题意图】本题考查线面平行的证明及二面角的求法,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.难度：中等【解析】（1）连接并

39、延长交于点,连接、,因为是三棱锥的高,所以平面,平面,所以、,又,所以,即,所以,又,即,所以,所以所以,即,所以为的中点,又为的中点,所以,又平面,平面,所以平面.(2)如图,以点A为坐标原点,直线分别为x轴,y轴,过点A与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,因为,所以,又,所以,所以,所以,则,设平面的法向量为,则,令,得；设平面的法向量为,则,取,得；设二面角为,则=所以,故二面角的正弦值为.【点评】立体几何解答题在高考中难度一般低于解析几何题,属于得分题,第1问一般为线面位置关系的证明,书写时要注意步骤的规范,第2问一般用空间向量求空间角,运算失误是失分主要原因,利用空间向量

40、求二面角,对二面角是锐角还是钝角的判断是一个难点,近几年不少高考题都是求二面角的正弦值,这样可以回避判断二面角是锐角还是钝角.【知识链接】1.证明线面位置关系应注意的问题(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范2.利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面

41、的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小21. 已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点在C上,且过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立：M在上；注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【命题意图】本题考查双曲线的方程、几何性质及直线与双曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑推理的核心素

42、养.难度：难【解析】（1）设,C的右焦点为,即,C的渐近线方程为,即,由得,C的方程为.（2）由已知得直线的斜率存在且不为零,直线的斜率不为零,若选由推或选由推：由成立可知直线的斜率存在且不为零；若选推,则为线段的中点,假若直线的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知在轴上,即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称,从而,与已知不符；总之,直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件在上,等价于；两渐近线方程合并为,联立消去y并化简整理得,设,线段中点,则,设,则条件等价于,移项并利用平方差公式整理得：,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,由,所以直线的斜率,直线,即,代入双

43、曲线的方程,即中,得,解得,同理得,条件等价于,综上所述：条件在上,等价于；条件等价于；条件等价于；选推:由解得,成立；选推：由解得,成立；选推：由解得：,成立.【点评】本题虽然难度比较大,但第1问比较容易,是能够得分的,对于数学基础不太好的学生,解析几何第1问要争取做对.解析几何解答题前些年多以椭圆与抛物线为载体命题,从去年开始出现了以双曲线为载体进行命题.解析几何解答题一个突出特点是运算量比较大,相等一部分学生会因运算不过关出错,或嫌麻烦,直接放弃,所以求解解析几何第2问必须提高运算能力.本题第2问又是“结构不良问题”,需要考生先作出选择,然后再求解,对考生的逻辑推理能力、数学抽象能力等有

44、很深入的考查,体现了素养导向、能力为重的命题原则.【知识链接】本题实质是斜率之和为定值问题,关于斜率之和为定值,有以下结论：1.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点,2. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；3. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；22. 已知函数（1）当时,讨论的单调性；（2）当时,求a的取值范围；（3）设,证明：【命题意图】本题考查用导数研究函数的单调性及导

45、数在不等式恒成立及证明不等式中的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难【解析】（1）当时,则,当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增.（2）设,则,又,设,则,若,则,故存在,使得,总有,故在为增函数,故时,故在为增函数,故时,与题设矛盾.若,则,设,故,故在上为减函数,故,即时成立.所以,故总成立,即在上为减函数,所以.当时,所以,所以在上为减函数,所以.综上,a的取值范围是.（3）取,则,总有成立,令,则,故即对任意的恒成立.所以对任意的,有,整理得,故,故不等式成立.【点评】虽然是压轴题,本题第1问依然属于得分题,难题争取得点分,应成为每位考生的答题策略.第3问是导数背景下

46、的数列不等式的证明,此类问题通常由前面一问整理出一个不等式,再通过赋值与叠加法证明.【知识链接】不等式恒成立问题的求解策略1.通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号.有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即

47、“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.2通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值分类参数法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题.一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参数.要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题.3.若不等式类型为,（或）类型,通常先求出使为增（减）函数的参数范围,然后再证明在其他范围内存在,使得在上为减（增）函数,（或）,不等式不成立,本题中,属于此类模型.