湖北省武汉三中2019_2020学年高一数学5月月考试题PDF.pdf

1、武汉市第三中学高一 5 月月考试题（5.31）第卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目的要求）1若 A（-2，3），B（3，-2），C（12，m）三点共线，则 m 的值是（）A12B 12C 2D2【答案】B【解析】【分析】本道题目利用三点共线,得到 ABBC,说明向量对应坐标成比例,建立等式,即可.【详解】因为 A,B,C 三点共线,故 ABBC,而55,5,22ABBCm,建立等式55522m,12m,故选 B.【点睛】本道题目考查了向量平行问题,向量平行满足对应坐标成比例,即可得出答案.2

2、在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB A 3144ABACB 1344ABACC 3144ABACD 1344ABAC【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABC，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到 BCBAAC，之后将其合并，得到3144BEBAAC，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC，从而求得结果.3若向量(0,2)m，(3,1)n，则与2mn共线的向量可以是（）A(3,1)B(1,3)C(3,1)D(1,3)【答案】B【解析】【分析】先利用向量坐标运算求出向量2mn,然后利用向量平

3、行的条件判断即可.【详解】0,2,3,1mn23,3mn31,33,33 故选 B4已知数列 na满足递推关系：11nnnaaa,112a,则2020a（）A12019B12020C12021D12022【答案】C【解析】【分析】利用数列递推关系,结合等差数列的定义得数列1na是首项为 2,公差为1的等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可【详解】解：11nnnaaa,1111nnaa,又112a,数列1na是首项为 2,公差为1的等差数列,即 11nna 20201220192021a,即202012021a.故选 C【点睛】本题考查了数列递推关系,等差数列的概念和等差数列的通项公式,属于

4、基础题5已知等比数列na的各项均为正数，且132a，34a，2a 成等差数列，则20191817aaaa（）A9B6C3D1【答案】A【解析】【分析】易得2220191817181718217aaa qaqaaaaq，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.【详解】设公比为q.由132a，34a，2a 成等差数列，可得312322aaa，所以2111322aa qa q，则2230qq，解1q (舍去)或3q.所以22201918171817181279aaa qaqaaaaq.故选 A.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一

5、般需要设出并求解.6已知两点 2,1,5,3 AB，直线l 过点（1，1），若直线l 与线段 AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是()A2,2,3 B22,3C2 23，D2,2,3【答案】A【解析】【分析】求出直线所过定点 P，画出图形，再求出 PA，PB 的斜率，数形结合得答案【详解】解：直线:10 l axya过定点(1,1)P，1 1221PAk ，312135PBk ，直线:10 l axya与线段 AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是(,2 23,)故选：A 7、若正数 a,b 满足 a+b=2,则1411ab的最小值是()A1B 94C9D16【答案】B【解析】【分析】由2a

6、b可得 114ab，所以可得 411411411111 411411411ababababab，由基本不等式可得结果.【详解】2ab，114ab，又0a，0b，141141111411ababab 4111191 45441144abab，当且仅当41111abab，即13a，53b 时取等号,1411ab的最小值是 94,故选 B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8、已知各项均为正数的等比数列 na的前 4 项和为

7、 15，且53134aaa，则3a（）A16B8C4D2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于1,aq 的方程组，求出1,aq，再利用通项公式即可求得3a 的值【详解】设正数的等比数列an的公比为q，则2311114211115,34aa qa qa qa qa qa，解得11,2aq，2314aa q，故选 C9在ABC中，角 A，B 的对边分别是 a，b，且60A ，2b，ax，若解此三角形有两解，则 x 的取值范围是（）A3x B02xC32xD32x【答案】C【解析】【分析】由三角形有两解可得，6090B 或90120B ，得到sin B 的取值范围，再由正弦定理，即可求解.【

8、详解】由正弦定理得sin3sinbABax，60A，0120B ，要使此三角形有两解，则60120B，且90B，即3sin12B，3312x，解得32x.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，确定角的范围是解题的关系，考查数学运算能力，属于基础题.10已知 ABC中，5,15ABAC，AD 为边 BC 的中线，且4AD，则 BC 边的长为（）A3B3 2C2 3D4【答案】D【解析】【分析】设2BCx，在ABC和ABD中同时用余弦定理表示出cos B，列出关于 x 的方程，解出即可【详解】解：设2BCx，在ABC中22222225215104cos22 5 220 xABCBACxBAB

9、 CBxx，在ABD中2222222549cos22 510ABDBADxxBAB DBxx，2210492010 xxxx，解得2x 则4BC 故选：D【点睛】本题考查余弦定理解三角形，其中在不同三角形中表示同一角的余弦，然后构造方程是关键，考查了学生计算能力，是中档题角形外接圆半径.11设102m，若212212kkmm恒成立，则 k 的取值范围为（）A2,00,4B4,00,2C4,2D2,4【答案】D【解析】由于102m，则 1212mm=21228122122124mmmmmm 当 2m=1-2m 即 m=14时取等号；所以212212kkmm恒成立，转化为 1212mm 的最小值大

10、于等于22kk，即22kk824k 故选 D12在ABC中，E 为 AC 上一点，3ACAE，P 为 BE 上任一点，若(0,0)APmABnAC mn，则 31mn的最小值是A9B10C11D12【答案】D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3APmABnACmABnAE，,A B E 三点共线，则：31mn，据此有：313199366212nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当11,26mn时等号成立.综上可得：31mn的最小值是 12.本题选择 D 选项.第卷 非选择题（共 90

11、分）来源:学|科|网二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知向量(2,1)a，(3,1)b，则向量 a在b方向上的投影为_10214、设等差数列na的前 n 项和为nS，且10a，149SS，则满足0nS 的最大自然数 n 的值为（）A12B13C22D23【答案】C【解析】分析：由等差数列 na的前 n 项和的公式求解149SS，解出1ad、的关系式，再求出0nS 的临界条件，最后得解。详解：等差数列 na的前 n 项和为149nSSS，所以 114517911aaaad 所以12nand，其中10a，所以0d，当0na 时，解得12n，12312232302

12、nSaaa，所以0nS 的最大自然数 n 的值为 22。故选 C点睛：本题应用公式1 2nnn aaS，等差数列的性质：若 mnpq，则aaaamnpq。对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出1ad、的关系式，再求出0nS 的临界条件，判断满足0nS 的最大自然数 n 的值。15、如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为60和30，如果这时气球的高是 30 米，则河流的宽度 BC 为_米.【答案】20 3【解析】【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案【详解】解：由题意可知30C，30BAC，30DAB，30ADm，3020 3cos30BCAB故答

13、案为 20 3.16已知实数 x，y 满足0 xy，则 4xxyxyxy的最小值是_22 2三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或必要的演算步骤）17、已知cba,在同一平面内，且)2,1(a(1)若53c，且ca，求c；(2)若2b，且)()2(baba，求 a 与b的夹角的余弦值17解：（1）设),(yxc ca，)2,1(a，2分5c，522 yx，522 yx，即45422 xx，6363yxyx或)6,3()6,3(cc或5分（2）)()2(baba，0)()2(baba，02022222bbaabbaa即，又2,522ba，1ba，8分101

14、0251cosbaba，a 与b的夹角的余弦值为101010分18、（1）不等式2210mxmx，对任意实数 x 都成立，求 m 的取值范围；（2）求关于 x 的不等式2110(0)axaxa 的解集.【答案】（1）|01mm；（2）当1a 时，不等式的解集为；当01a 时，不等式的解集为11,a；当1a 时，不等式的解集为 1,1a.【解析】【分析】（1）由不等式2210mxmx，对任意实数 x 都成立，结合一元二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（2）由0a，原不等式化为110 xxa，根据根的大小，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，不等式2210mxmx，对任意实数 x 都成立，

15、当0m 时，可得10，不等式成立，所以0m；当0m 时，则满足00m ，即2040mmm，解得01m，所以实数 m 的取值范围|01mm.（2）不等式2110axax 可化为110axx，可得不等式对应一元二次方程的根为11x，21xa，当 11a 时，即1a 时，不等式的解集为；当 11a 时，即01a 时，不等式的解集为11,a；当 11a 时，即1a 时，不等式的解集为 1,1a.【点睛】19、已知na为等差数列，前 n 项和为*()nSnN，nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，2334111412,2,11bbbaa Sb.（）求na和 nb的通项公式；（）求数列2nna b

16、的前 n 项和*()nN.【答案】（）32nan.2nnb.（）2(34)216nn.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差 d 及等比数列的公比q，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（）设等差数列na的公差为 d，等比数列nb的公比为q.由已知2312bb，得 2112b qq，而12b，所以260qq.又因为0q，解得2q.所以，2nnb.由3412baa，可得138da .由11411Sb，可得1516ad，联立，解得11,3ad，由此可得32nan.所以，na的通项公式为3

17、2nan，nb的通项公式为2nnb.（）解：设数列2nna b的前 n 项和为nT，由262nan，有234 2 10 216 2622nnTn ，234124 210 216 2682622nnnTnn，上述两式相减，得2314 26 26 26 2622nnnTn 121212462234 21612nnnnn.得234 216nnTn.所以，数列2nna b的前 n 项和为234 216nn.20、近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5G，然而这并没有让华为却步.华为在 2018 年不仅净利润创

18、下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250 万，每生产 x（千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40 xxxR xxxx，由市场调研知，每部手机售价 0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I）求出 2020 年的利润()W x（万元）关于年产量 x（千部）的函数关系式，（利润=销售额成本）；()II 2020 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（）21060025

19、0,040()10000()9200,40 xxxW xxxx（）2020 年产量为 100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元.【解析】【分析】（）根据销售额减去成本（固定成本250 万和成本 R x）求出利润函数即可.（）根据（）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.【详解】（）当040 x时，227001010025010600250W xxxxxx；当40 x 时，100001000070070194502509200W xxxxxx，210600250,040100009200,40 xxxW xxxx.（）若040 x，210308750W xx，当30

20、 x 时，max8750W x万元.若40 x，10000920092002 100009000W xxx，当且仅当10000 xx时，即100 x 时，max9000W x万元.2020 年产量为 100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元.21、在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且sin31 cosaCcA.（1）求角 A 的大小；（2）若10bc，ABC的面积4 3ABCS，求 a 的值.【答案】（1）3A；（2）2 13【解析】【分析】（1）把sin31cosaCcA 中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得3sin()32A，进而可求得3A（

21、2）由4 3ABCS可得16bc，再由余弦定理可求得2 13a【详解】（1）由正弦定理及sin31 cosaCcA 得 sin sin3sin1 cosACCA，sin0C，sin3 1 cosAA，sin3cos2sin33AAA，3sin32A，又0A，4333A，233A，3A（2）13sin24ABCSbcAbc，16bc 由余弦定理得222222cos233abcbcbcbcbcbcbc，又10bc，22103 1652a ，2 13a22、已知数列 na的前 n 项和1*12N2nnnSan，数列 nb满足2nnnba.（）求证：数列 nb是等差数列，并求数列 na的通项公式；（）

22、设1121nnnnn ncnana ，数列 nc的前 n 项和为nT，求满足*124N63nTn的 n 的最大值.【答案】()2nnna；()4.【解析】【分析】()利用11112nnnnnnaSSaa ，整理可得数列 nb是首项和公差均为 1的等差数列，求出 nb的通项公式可得数列 na的通项公式；()由()可得1112122nnnnn ncnnnn 1112 2121nn，利用裂项相消法求得111242 12163nnT，解不等式可得结果.【详解】()1122nnnSanN，当2n 时，211122nnnSa，11112nnnnnnaSSaa ，化为11221nnnnaa，12,1nnnnnbabb，即当2n 时,11nnbb，令1n,可得11112Saa ,即112a.又1121ba,数列 nb是首项和公差均为 1 的等差数列.于是11 12nnnbnna ，2nnna.()由()可得1112122nnnnn ncnnnn 1112112 21212121nnnnn,2231111112 1.2121212121nnnT111242 12163n,可得162642n，5n，因为 n 是自然数，所以n 的最大值为 4.