湖州市2021学年第一学期期末调研测试卷高二数学参考答案(第三稿).pdf

1、2021 学年第一学期期末调研测试卷高二数学参考答案一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的题号12345678答案CDADBBAC二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分题号9101112答案BCABDABACD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 2,1,2 或2,1,2；14 5；1557；1622四解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算

2、步骤17（本小题满分 10 分）已知数列 na是等差数列，数列 nb是各项均为正数的等比数列，且113ab，2214ab，3453aaab（）求数列 na和 nb的通项公式；（）设nnncab（*Nn），求数列 nc的前 n 项和nS 解（）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q，且0q，依题意有112111433adbqadbq，-2 分由113ab，又0q，解得32qd，-4 分故21nan，且3nnb，*Nn-6 分（）由题意得21 3nnnncabn，故其前 n 项和 123123nnnSaaaabbbb 123357213333 nn-8 分3 1332132312

3、132nnnnn n因此前 n 项和32312nnSn n，*Nn-10 分资料第一时间更新，认准公众号：一枚试卷君18（本小题满分 12 分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥 AB（AB 是圆O的直径）规划在公路l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA规划要求：线段 PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点 A，B 到直线l 的距离分别为 AC 和 BD（,C D 为垂足），测得10AB，6AC，12BD（单位:百米）（）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（）在规划要求下，点Q能否选在 D处？并说明理由解

4、：（）如图，过O作OHl，垂足为 H 以O 为坐 标 原 点，直 线 OH 为 y 轴，建 立 平 面 直 角 坐 标系-1分因为 AB 为圆O的直径，10AB，所以圆O的方程为2225xy-2分因为6AC，12BD，所以92ACBDOH，故直线l 的方程为9y，则点 A，B 的纵坐标分别为3，3从而 4,3A，4,3B ，-3分直线 AB 的斜率为 34因为 PBAB，所以直线 PB 的斜率为43，直线 PB 的方程为42533yx-4 分所以 13,9P，-5 分所以22(134)(93)15PB 因此道路 PB 的长为15（百米）-6分（）若点Q选在 D 处，连结 AD，可求出点4,9D

5、，又 4,3A，-7分所以线段 AD：36(44)4yxx -8 分由2225364xyyx 解得4x 或2425x，-10 分故不妨取3x，得到在线段 AD 的点153,4M，因为22221533454OM，所以线段 AD 上存在点到点O的距离小于圆O的半径5-11 分因此点Q选在 D处不满足规划要求-12分19（本小题满分 12 分）已知抛物线C：22ypx（0p）的准线与 x 轴的交点为1,0（）求C 的方程；（）若过点 2,0P的直线l 与抛物线C 交于 A，B 两点请判断2211PAPB是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：（）由题意，可得12p ，即2p，-2 分故抛

6、物线C 的方程为24yx-4 分（）2211PAPB为定值，且定值是 41 下面给出证明证明：设直线l 的方程为2xmy，11,A x y，22,B x y，-6 分联立抛物线有224xmyyx，消去 x 得2480ymy，则21212816204ymyymy ，-8 分又21|1PAmy，22|1PBmy-10 分得222222121111|11PAPBmymy22221222222121616114164 14 1yymmmy ymm因此2211PAPB为定值，且定值是 41-12 分20（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，点1B 在底面 ABC 内的射影恰好是点C

7、，D 是 AC 的中点，且满足 DADB（）求证：AB 平面11BCC B；（）已知22ACBC，直线1BB 与底面 ABC 所成角的大小为 3，求二面角1CBD C的大小解：（）因为点1B 在底面 ABC 内的射影恰好是点C，所以1BC 面 ABC 因为 AB 面 ABC,所以1BCAB-2 分因为 D 是 AC 的中点，且满足 DADB所以 DADBDC，所以2ABC,所以BCAB-4 分因为1BCBCC,AB 平面11BCC B-5 分（）因为1BC 面 ABC，所以直线1BB 与底面 ABC 所成角为1B BC，即13B BC-6 分因为1BC ，所以1tan33BCBC如图所示，以C

8、 为原点，1,CA Cy CB 为,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系则 0,0,0C,13,022B，1,0,0D，1 0,0,3B,-7 分所以113,322BB，13,022BD，设1,C x y z，由11CCBB得，13,322x y z，即113,322C 则11,3,3BC -8 分设平面1DBC 的一个法向量为,nx y z，则1330130022n BCxyzn BDxy ，不妨令3x，则3,1,2n 因为1BC 面 ABC，所以面 DBC 的一个法向量为10,0,3CB-10 分记二面角1CBD C的平面角为，由图知，为锐角所以1112coscos,2CB nCB nC

9、Bn ，-11 分即4 所以二面角1CBD C的大小为 4-12 分21（本小题满分 12 分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为BA,两个等级，其中 B 等设备安全系数低于 A 等设备企业定时对生产设备进行检修，并将部分 B 等设备更新成 A 等设备据统计，2020 年底该企业 A 等设备量已占全体设备总量的%30从 2021 年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将%16的 B等设备更新成 A 等设备，与此同时，%4的 A 等设备由于设备老化将降级成 B 等设备（）在这种制度下，是否有可能在将来的某一年，该企业的 A 等设备占全体设备的比例超过%80；（）至

10、少在哪一年底，该企业的 A 等设备占全体设备的比例超过%60（参考数据：340.5125，440.40965，540.327685）解：（）记该企业全部生产设备总量为“1”，2020 年开始，经过 n 年后 A 等设备量占总设备量的百分比为na，则经过 1 年即 2021 年底该企业 A 等设备量1396716210 10010 1005a，-1 分25454)1%(16%)41(1nnnnaaaa，-3 分可得1444555nnaa，又142055a 所以数列45na是以25为首项，公比为 45的等比数列，可得424555nna，所以41 452 5nna，-5 分显然有45na，所以 A

11、等设备量不可能超过生产设备总量的%80-7 分（）由41 4352 55nna（），得 4255n-8 分因为45ny 单调递减，又44255，54255，-10 分所以在 2025 年底实现 A 等设备量超过生产设备总量的%60-12 分22（本小题满分 12 分）已知椭圆C:22221xyab（0ab）的离心率是32，且过点2,1P（）求椭圆C 的标准方程；（）若直线l 与椭圆C 交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点，且2OM，求 AOB面积的最大值解：（）由题知2241132abca，-2 分解得222826abc，因此，椭圆C 的标准方程为22182xy-4 分

12、（）当 ABx轴时，M 位于 x 轴上，且OMAB，-5 分由2OM 可得6AB，此时132AOBSOMAB；当 AB 不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 ykxt，与椭圆交于 11,A x y，22,B xy，由22182xyykxt，得222148480kxktxt得122814ktxxk，21224814tx xk，-6 分从而224,1414kttMkk已知2OM，可得22222 141 16ktk-7 分 22222212122284814141414kttABkxxx xkkk 2222216 82114ktkk-8 分设O 到直线 AB 的距离为 d，则2221tdk，结合22222 141 16ktk化简得222222124111621 16AOBkkSAB dk-9 分22222124121641 16kkk此时AOB的面积最大，最大值为 2-11 分当且仅当221241kk 即218k 时取等号，综上,AOB的面积的最大值为 2-12 分