第14讲 解析几何常见常考模型（解析版）.pdf

1、第 14 讲 解析几何常见常考模型高考预测一：垂直弦模型1已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点是 F，若过焦点的直线与 C 相交于 P，Q 两点，所得弦长|PQ 的最小值为 4（1）求抛物线 C 的方程；（2）设 A，B 是抛物线 C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，若 OAOB，OMAB，M 为垂足，证明：存在定点 N，使得|MN 为定值【解析】解：（1）设直线 PQ 的方程为2pxmy,1(P x,1)y,2(Q x,2)y,联立222pxmyypx 得2220ypmyp,所以122yypm,212y yp,2121212()222ppxxmymym yyppmp所以221212|

2、222(1)22ppPQPFFQxxxxppmppm,当0m 时，|24minPQp,解得2p,所以抛物线的方程为24yx(2)设直线 AB 的方程为 xtys,3(A x,3)y,4(B x,4)y,因为 OAOB，则0OA OB，即34340 x xy y,又2334yx,2444yx,所以223412044yyy y,解得3416y y ,联立24xtysyx,得2440ytym,所以34416y ym ,4m,则直线 AB 的方程为4xty,所以直线过定点(4,0),记作 K 点，当 K 点与 M 点不重合时，OMK为直角三角形，下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君90OMK，|4

3、OK，当 N 为OK 的中点时，1|22MNOK，当点 K 与点 M 重合，N 为 OK 中点时，|2MN，所以存在点(2,0)N,使得|MN 为定值 22已知椭圆2222:1(0)xyCabab，(2 2P，0)、7(1,)2Q是椭圆 C 上的两点（）求椭圆 C 的方程；（）是否存在直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，交 y 轴于点(0,)Mm，使|2|2|OAOBOAOB成立？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】解：（）根据题意可得222222 21714aababc，解得22b，26c，所以椭圆的方程为22182xy（）假设存在这样的直线，由已知可得直线的斜率存

4、在，设直线方程为 ykxm，由22182ykxmxy，得222(14)8480kxkmxm，2216(82)0km，(*)设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则12281kmxxk ，21224841mx xk，22221212121228()()()41mky ykxm kxmk x xkm xxmk，由|2|2|OAOBOAOB，得 OAOB，即0OA OB，即12120 x xy y，故22858 0km ，代入(*)解得2 105m 或2 105m 所以 m 的取值范围为(，2 102 10)(55，)3已知曲线 C 上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线10y 的距离相等（

5、）求曲线 C 的方程；（）若不经过坐标原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 OAOB求证：直线 l 过定点【解析】（）解：因为曲线 C 上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线10y 的距离相等，根据抛物线的定义可知，曲线 C 的轨迹是以(0,1)F为焦点，直线10y 为准线的抛物线，故曲线 C 的方程为24xy；（）证明：设直线:l ykxb，1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立方程组24ykxbxy，可得2440 xkxb，所以124xxk，124x xb，所以221212()()ABxxyy，2211OAxy，2222OBxy，因为线段 AB 为直线的圆过点

6、 O，所以 OAB为直角三角形，故有222ABOAOB，所以22222212121122()()xxyyxyxy，化简可得12120 x xy y，又因为11ykxb，22ykxb，所以2212121212()()()y ykxb kxbk x xxx kbb，所以2212121212(1)()x xy ykx xkb xxb，因为124xxk，124x xb，所以2221212(1)(4)44x xy ykbkbkbbb，所以240bb，解得0b 或4b，因为直线 l 不过原点 O，所以0b，故4b，所以直线:4l ykx，令0 x，则4y，所以直线 l 恒过定点(0,4)4已知椭圆2222

7、:1(0)xyCabab的左、右两个焦点分别是1F，2F，焦距为 2，点 M 在椭圆上且满足212MFF F，12|3|MFMF（）求椭圆 C 的标准方程；（）点 O 为坐标原点，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 OAOB，证明2211|OAOB为定值，并求出该定值【解析】解：（）依题意12|22F Fc，所以1c 由12|3|MFMF，12|2MFMFa，得13|2MFa，21|2MFa，于是222212123|()()2222aaF FMFMFa，所以2a，所以2221bac，因此椭圆 C 的方程为2212xy（）证明：当直线 l 的斜率存在时，设直线:AB ykxm，1(A

8、x，1)y，2(B x，2)y，由2222xyykxm消去 y 得222(12)4220kxkmxm，由题意，0，则12221224122212kmxxkmx xk，因为 OAOB，所以12120 x xy y，即1212()()0 x xkxm kxm，整理得2232(1)mk而22222222211|OAOBABOAOBOAOBOAOB，设 h 为原点到直线 l 的距离，则|OA OBAB h，所以222111|OAOBh，而2|1mhk，所以22221113|2kOAOBm当直线 l 的斜率不存在时，设1(A x，1)y，则有1OAk ，不妨设1OAk，则11xy，代入椭圆方程得2123

9、x，所以224|3OAOB，所以22113|2OAOB综上22113|2OAOB5已知抛物线2:2(0)C ypx p焦点为 F，抛物线上一点 A 的横坐标为 2，且10FA OA （）求此抛物线 C 的方程；（）过点(4,0)做直线交抛物线 C 于 A，B 两点，求证：OAOB【解析】（）解：设抛物线2:2(0)C ypx p，点0(2,)Ay，则有204yp，(,0)2pF，200(2,),443102pFAyFA OApyp，2p，所以抛物线 C 的方程为24yx；（）证明：当直线 l 斜率不存在时，此时:4l x，解得(4,4)A，(4,4)B，满足0OA OB ，OAOB；当直线 l

10、 斜率存在时，设:(4)l yk x，联立方程222224(84)160(4)yxk xkxkyk x，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则21212284,16kxxx xk，则22212121212(1)4()16OA OBx xy ykx xkxxk 22216(1)3216160kkk，即有 OAOB综上，OAOB成立6已知 A，B 为椭圆22221xyab 上的两个动点，满足90AOB（1）求证：原点 O 到直线 AB 的距离为定值；（2）求11|OAOB的最大值；（3）求过点 O，且分别以 OA，OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹方程【解析】（1）证明：当直线 AB

11、 的斜率不存在时，由 yx代入椭圆方程可得：22221xxab，解得22abxab，此时原点 O 到直线 AB 的距离为22abab当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxt，1(A x，1)y，2(B x，2)y联立222222ykxtb xa ya b，化为222222 222()20ba kxa ktxa ta b，0，则2122222a ktxxba k，2 22212222a ta bx xba k，90AOB12121212()()0 x xy yx xkxt kxt，化为221212(1)()0kx xkt xxt，化为22 22222 22222222(1)(

12、)20ka ta ba k ttba kba k，化为2222221ta bkab，原点 O 到直线 AB 的距离222|1tabdkab综上可得：原点 O 到直线 AB 的距离为定值22abab（2）解：由（1）可得2211|22abOA OBABab，22|abOA OBABab，2211|OAOBOAOBabOAOBOA OBABab222222|2|OAOBababababOAOB，当且仅当|OAOB时取等号11|OAOB的最大值为222abab（3）解：如图所示，过点 O，且分别以 OA，OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹满足：OPPA，OPPB因此 P，A，B 三点共线由（

13、1）可知：原点 O 到直线 AB 的距离为定值22abab分别以 OA，OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹方程为222222a bxyab高考预测二：内接直角三角形模型7在直角坐标系 xOy 中，点 M 到1(3,0)F、2(3,0)F的距离之和是 4，点 M 的轨迹 C 与 x 轴的负半轴交于点 A，不过点 A 的直线:l ykxb与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q（1）求轨迹 C 的方程；（2）当0AP AQ 时，求 k 与b 的关系，并证明直线 l 过定点【解析】解：（1）点 M 到(3,0)，(3,0)的距离之和是 4，M的轨迹 C 是长轴长为 4，焦点在 x 轴上焦距为

14、2 3 的椭圆，其方程为2214xy（2）将 ykxb，代入曲线 C 的方程，整理得222(14)8440kxkbxb，因为直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 P 和 Q，所以222222644(14)(44)16(41)0k bkbkb设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，则122814kbxxk ，21224414bx xk且2212121212()()()yykxb kxbk x xkb xxb显然，曲线 C 与 x 轴的负半轴交于点(2,0)A，所以11(2,)APxy，22(2,)AQxy，由0AP AQ，得1212(2)(2)0 xxy y将、代入上式，整理得22121650

15、kkbb，所以(2)(65)0kbkb，即2bk或65bk经检验，都符合条件当2bk时，直线 l 的方程为2ykxk显然，此时直线 l 经过定点(2,0)点即直线 l 经过点 A，与题意不符当65bk时，直线 l 的方程为65()56ykxkk x显然，此时直线 l 经过定点6(,0)5点，且不过点 A 综上，k 与 b 的关系是：65bk，且直线 l 经过定点6(,0)5点8已知椭圆 C 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为1F，2F，P 为椭圆 C 上的动点，12PF F 的面积最大值为3，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 3450 xy相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线

16、l 过定点(1,0)且与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 M 是椭圆 C 的右顶点，直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于 P，Q 两点，试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由【解析】解：（1）由题意椭圆 C 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为1F，2F，P 为椭圆 C 上的动点，12PF F 的面积最大值为3，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 3450 xy相切可得12221 2325134PF FSc bb，解得1b ，3c，2a 所以椭圆 C 的方程是2214xy （4 分）（2）以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点

17、当直线 l 斜率不存在时以线段 PQ 为直径的圆的方程为：223xy，恒过定点(3,0)（5 分）当直线 l 斜率存在时设(1)yk x，(0)k 由22(1)14yk xxy得2222(14)8440kxk xk设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则有2122814kxxk，21224414kx xk（7 分）又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点，所以点(2,0)M由题意可知直线 AM 的方程为：11(2)2yyxx，故点)P 直线 BM 的方程为：22(2)2yyxx，故点222(0,)2yQx（8 分）若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点0(N x，0)，则等价于0PN QN

18、 恒成立（9 分）又因为1012(,)2yPNxx，2022(,)2yQNxx，所以21201222022yyPN QNxxx 恒成立又因为2221212122224484(2)(2)2()424141414kkkxxx xxxkkk，22222121212122224483(1)(1)()1(1)141414kkky yk xk xkx xxxkkkk，所以2222212000212212414304(2)(2)14ky ykxxxkxxk解得03x 故以线段 PQ 为直径的圆过 X 轴上的定点(3,0)（12 分）（或设1xmy 请酌情给分）9过抛物线24xy上不同两点 A、B 分别作抛物

19、线的切线相交于 P 点，0PA PB （1）求点 P 的轨迹方程；（2）已知点(0,1)F，是否存在实数 使得2()0FA FBFP？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由【解析】解法（一):（1）设1(A x，21)4x，由24xy，得：2xy，12,22PAPBxxkk0PA PB ，PAPB，124x x （4 分）直线 PA 的方程是：2111()42xxyxx即21124x xxy 同理，直线 PB 的方程是：22224x xxy，（6 分）由得：121122(14xxxxx xy 、2)xR点 P 的轨迹方程是1()yxR（8 分）（2）由（1）得：211(,1)4xFAx，22

20、2(,1)4xFBx，12(2xxP，12121)(,2),42xxFPx x，2222121212(1)(1)2()2444xxxxFA FBx xFP ，所以2()0FA FBFP 故存在1 使得2()0FA FBFP（14 分）解法（二):（1）直线 PA、PB 与抛物线相切，且0PA PB ，直线 PA、PB 的斜率均存在且不为 0，且 PAPB，设 PA 的直线方程是(ykxm k，mR，0)k 由24ykxmxy得：2440 xkxm（4 分）216160km即2mk 即直线 PA 的方程是：2ykxk同理可得直线 PB 的方程是：211yxkk，（6 分）由2211ykxkyxk

21、k 得：11xkRky 故点 P 的轨迹方程是1()yxR（8 分）（2）由（1）得：2(2,)Ak k，2(Bk，211)k，2221(2,1),(,1)FAk kFBk k，1(FPkk，2222112)4(1)(1)2()FA FBkkkk 故存在1 使得2()0FA FBFP（14 分）10已知椭圆2222:1(0)xyMabab，点1(1,0)F、(2,0)C 分别是椭圆 M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线 l（不与 x 轴重合）交 M 于 A，B 两点（1）求椭圆 M 的标准方程；（2）若(0,3)A，求 AOB的面积；（3）是否存在直线l，使得点 B 在以线段 AC 为直径的

22、圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由【解析】解：（1）由1(1,0)F、(2,0)C 得：2,3ab（2 分）椭圆 M 的标准方程为：22143xy；（4 分）（2）因为(0,3)A，1(1,0)F，所以过 A、1F 的直线l 的方程为：113xy，即330 xy，（6 分）解方程组22330143xyxy，得123 33,5yy，（8 分）1214 31|25ABCSyy；（10 分）（2）结论：不存在直线 l 使得点 B 在以 AC 为直径的圆上理由如下：设0(B x，00)(22)yx，则2200143xy假设点 B 在以线段 AC 为直径的圆上，则0BC BA ，即10

23、BC BF ，因为(2,0)C，1(1,0)F，所以10000(1,)(2,)BF BCxyxy 2200023xxy20013504 xx，（12 分）解得：02x 或 6，（14 分）又因为026x ，所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上，即不存在直线 l，使得点 B 在以 AC 为直径的圆上（16 分）11已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆 C 的左顶点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知过点6(,0)5的直线l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若直线l 垂直于 x 轴，求AQB的大小；若直线l 与 x 轴不垂直，是否存在直线l 使得 QAB为

24、等腰三角形？如果存在，求出直线 l 的方程；如果不存在，请说明理由【解析】解：（1）设椭圆 C 的标准方程为22221(0)xyabab，由题意知：231,42cbaa，所以椭圆 C 的标准方程为2214xy（4 分）（2）由（1）得(2,0)Q 设1(A x，1)y，2(B x，2)y，当直线 l 垂直于 x 轴，l 的方程为65x ，（5 分）l 的方程与 C 联列得6 464(,),(,)5 555AB（不妨设点 A 在 x 轴上方），（6 分）此时1AQk，1BQk ，1,2AQBQkKAQB （8 分）当直线 l 与 x 轴不垂直时，不存在直线l 使得 QAB为等腰三角形（10 分）

25、证明如下：由题意可设6:()(0)5AB yk xk，联列方程组得2222(25100)2401441000kxk xk，显然0，22211221212636(2,)(2,)(1)(2)()40525QA QBxyxykx xkxxk，所以 QAQB（12 分）假 设 存 在 直 线 l 使 得QAB为 等 腰 三 角 形，则 QAQB 取 AB 的 中 点 M，212222466,()25205520MMMxxkkxyk xkk，（13 分）连接 QM，则 QMAB，记点6(,0)5为 N，所以222601320(520)kQM NMk，所以 QM与 NM不垂直，矛盾，故不存在直线 l 使得

26、 QAB为等腰三角形（16 分）高考预测三：中点弦模型12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线20 xy相切 A、B 是椭圆的左、右顶点，直线 l 过 B 点且与 x 轴垂直（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 G 是椭圆 C 上异于 A、B 的任意一点，作 GHx轴于点 H，延长 HG 到点 Q 使得|HGGQ，连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M，N 为线段 MB 的中点，判断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系，并证明你的结论【解析】（本小题满分 12 分）解：（1）由题意：O 到直线20 xy的距离

27、为 b，22|2|11b 则1b ，2342ea，椭圆 C 的标准方程为2214xy（4 分）（2）设0(G x，0)y，则0(Q x，02)y(2,0)A 直线 AQ 的方程为002(2)2yyxx（6 分）与2x 联立得：008(2,)2yMx 004(2,)2yNx 则直线 QN 的方程为0000004222()2yyxyyxxx（8 分）即200002(4)80 x y xxyy220014xy，方程可化为00240 x xy y（10 分）(0,0)到直线 QN 的距离为2200424xy故直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切（12 分）13已知椭圆2222:1(0)xyEa

28、bab的左、右焦点分别为1F、2F，A 为上顶点，1AF 交椭圆 E 于另一点 B，且2ABF的周长为 8，点2F 到直线 AB 的距离为 2（）求椭圆 E 的标准方程；（）求过(1,0)D作椭圆 E 的两条互相垂直的弦，M、N 分别为两弦的中点，求证：直线 MN 经过定点，并求出定点的坐标【解析】解：221212()()()48I ABAFBFAFAFBFBFa，2a设22cab，因为(0,)Ab，直线 AB 的方程为1,0 xybxcybccb即，点2F 到直线 AB 的距离22|22bcbcbcdbcabc，2,2bc，椭圆 E 的标准方程：22142xy()II设以M为中点的弦与椭圆交

29、于1(x，1)y，2(x，2)y，则21212122224(1)(1)()2222mxxmymym yymm222(,)22mM mm，同理2222(,)21 21mmNmm，2222223122222(1)122MNmmmmmKmmmm，22232:()22(1)2mmMN yxmmm，整理得232()2(1)3myxm，直线 MN 过定点 2(,0)3当直线11PQ 的斜率不存在或为零时，11PQ、22P Q 的中点为点 D 及原点 O，直线 MN 为 x 轴，也过此定点，直线 MN 过定点 2(,0)314已知 A，B，C 是椭圆22:14xWy 上的三个点，O 是坐标原点（）当点 B

30、是W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（）当点 B 不是W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由【解析】解：()I 四边形 OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点(2,0)直线 AC 是 BO 的垂直平分线，可得 AC 方程为1x 设(1,)At，得22114t，解之得32t（舍负）A的坐标为3(1,)2，同理可得 C 的坐标为3(1,)2因此，|3AC，可得菱形 OABC 的面积为1|32SACBO；()II 四边形 OABC 为菱形，|OAOC，设|(1)OAOCr r，得 A、C 两点是圆222xyr与椭圆22:14xWy 的公共点，解之得22

31、314xr设 A、C 两点横坐标分别为1x、2x，可得 A、C 两点的横坐标满足2122 313xxr，或212 313xr且222 313xr，当2122 313xxr时，可得若四边形 OABC 为菱形，则 B 点必定是右顶点(2,0)；若212 313xr且222 313xr，则120 xx，可得 AC 的中点必定是原点 O，因此 A、O、C 共线，可得不存在满足条件的菱形 OABC综上所述，可得当点 B 不是W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形15已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为 12，左、右焦点分别为1F，2F，点 G 在椭圆 C 上，且1260FGF，12G

32、F F 的面积为3（1）求椭圆 C 的方程：（2）设椭圆的左、右顶点为 A，B，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点 M，N（不同于点 A，)B，探索直线 AM，BN 的交点能否在一条垂直于 x 轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由【解析】解：（1）设1(,0)Fc，2(,0)F c，12cea，2ac，3bc，左、右焦点分别为1F，2F，点 G 在椭圆 C 上，且1260FGF，12GF F 的面积为3 2 tan303b，解得3b，解得1c ，2a，3b，椭圆 C 的方程为22143xy（2）由（1）知(2,0)A，(2,0)B，当直线 l 的斜率不存在时，直线:

33、1l x，直线 l 与椭圆 C 的交点坐标3(1,)2M，3(1,)2N，此时直线1:(2)2AMyx，3:(2)2BNyx，联立两直线方程，解得两直线的交点坐标(4,3)，它在直线4x 上当直线 l 的斜率存在时，设直线:(1)l yk x，代入椭圆 C 的方程22143xy，整理，得222(34)84(3)0k xk xk，设直线 l 与椭圆 C 交点1(M x，1)y，2(N x，2)y，则2122834kxxk，21224(3)34kx xk，直线 AM 的方程为11(2)2yyxx，即11(1)(2)2k xyxx，直线 BN 的方程为22(2)2yyxx，即21(1)(2)2k x

34、yxx，由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y，得1212122(23)34x xxxxxx12122121223()4()24x xxxxxxx222222128(3)2424343484234kkxkkkxk222222464()3444634kxkkxk，直线 AM 与直线 BN 的交点在直线4x 上综上所述，直线 AM，BN 的交点必在一条垂直于 x 轴的定直线上，这条直线的方程是4x 16已知椭圆：22221(0)xyabab过点(2E，1)，其左、右顶点分别为 A，B，左、右焦点为1F，2F，其中1(2F，0)（1）求栖圆 C 的方程：（2）设0(M x，0)y为椭圆 C 上异

35、于 A，B 两点的任意一点，MNAB于点 N，直线00:240l x xy y，设过点 A 与 x 轴垂直的直线与直线 l 交于点 P，证明：直线 BP 经过线段 MN 的中点【解析】解：（1）由题意知，22122|(22)1(22)14aEFEF，则2a，2c，2b，故椭圆的方程为22142xy，（2）由（1）知(2,0)A，(2,0)B，过点 A 且与 x 轴垂直的直线的方程为2x ，结合方程00240 x xy y，得点002(2,)xPy，直线 PB 的斜率为0 200002224xyxky ，直线 PB 的方程为002(2)4xyxy，因为 MNAB于点 N，所以0(N x，0)，线

36、段 MN 的中点坐标00(,)2yx，令0 xx，得20000024(2)44xxyxyy，因为220024xy，所以220000042442xyyyyy，即直线 BP 经过线段 MN 的中点17已知定圆22:2150Q xyx，动圆 M 和已知圆内切，且过点(1,0)P，（1）求圆心 M 的轨迹及其方程；（2）试确定 m 的范围，使得所求方程的曲线 C 上有两个不同的点关于直线:4l yxm对称【解析】解（1）已知圆可化为22(1)16xy，设动圆圆心(,)M x y，则|MP 为半径，又圆 M 和圆Q 内切，即|4MPMQ，故 M 的轨迹是以 P，Q 为焦点的椭圆，且 PQ 中心为原点，故

37、动圆圆心 M 的轨迹方程是22143xy（2）假 设 具 有 对 称 关 系 的 两 点 所 在 直 线 l 的 方 程 为14yxn，代 入 椭 圆 方 程 中 有22134()1204xxn，即2213816480 xnxn若要椭圆上关于直线 l 对称得不同两点存在，则需 l 与椭圆相交，且两交点 P、Q 到直线l 的距离相等，即线段 PQ 的中点 M 在直线 l 上，故22644 13(1648)0nn，131322n设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，则12813nxx，1212124()2413yyxxnn，12441313nnm，故413nm ，134mn ，13131324

38、2m，即2 132 131313m高考预测四：角分线模型18已知椭圆 E 经过点(2,3)A，对称轴为坐标轴，焦点1F，2F 在 x 轴上，离心率12e（1）求椭圆 E 的方程；（2）求12F AF的平分线所在直线 l 的方程；（3）在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【解析】解：（1）设椭圆方程为22221(0)xyabab椭圆 E 经过点(2,3)A，离心率12e 222212491abaab，216a，212b 椭圆方程 E 为：2211612xy；（2）1(2,0)F，2(2,0)F，(2,3)A，1AF方程为：3460 xy，2AF

39、方程为：2x 设角平分线上任意一点为(,)P x y，则|346|2|5xyx得 210 xy 或280 xy斜率为正，直线方程为 210 xy；（3）假设存在1(B x，12)(y C x，2)y两点关于直线 l 对称，12BCk 直线 BC 方程为12yxm 代入2211612xy 得22120 xmxm，BC中点为3(,)24mm代入直线 210 xy 上，得4m BC中点为(2,3)与 A 重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆22142xy，过坐标原点的直线交椭圆于 P，A 两点，其中点 P在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂

40、足为 C，连结 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k（）当2k 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；（）证明：对任意 k，都有 PAPB【解析】解：（）当2k 时，直线 PA 的方程为2yx，221422xyyx，解得，2343xy 或2343xy ；故2(3A，4)3，2(3P，4)3，2(3C，0)；故直线 AB 的斜率40312233k，故直线 AB 的方程为23yx，故点 P 到直线 AB 的距离422|2 233332d（）证明：由题意，设(2sinP，2 cos)(0)2，则(2sin,2 cos)A，(2sin,0)C，设(2sinB，2 cos)(0)2，

41、(4sin,2 cos)AC，(2sin2sin,2 cos)CB，A、C、B 三点共线，4sin2 cos2 cos(2sin2sin)0，即 2sincoscossinsincos，(4sinAP，2 2 cos)，(2sin2sin,2 cos2 cos)PB，4sin(2sin2sin)2 2 cos(2 cos2 cos)AP PB，224(2sinsin2sincoscoscos)，令222sinsin2sincoscoscost，则22sinsincoscos1sint ，2 2 得，22222(2sincoscossin)(2sinsincoscos)(sincos)(1sin

42、)t，即22222222222244sincoscossin4sinsincoscossincos(1)2(1)sinsintt，即22222244sincossincos(1)2(1)sinsintt，即2222243sin1sin(1sin)(1)2(1)sinsintt，即22223sin1sin(1)2(1)sintt，即222 sin(1)1tt ，故0t 或22sin2t，当22sin2t 时，24(2sin2)AP PB，此时 A 与 B 点重合，故不成立；故40AP PBt，故 PAPB20设 A 是单位圆221xy 上的任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直

43、线l 与 x 轴的交点，点 M在直线 l 上，且满足丨 DM 丨m丨 DA 丨(0,1)mm当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C()I 求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（）过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点，其中 P 在第一象限，它在 y 轴上的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H，是否存在 m，使得对任意的0k，都有 PQPH？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由【解析】解：()I 如图 1，设(,)M x y，0(A x，0)y丨 DM 丨m丨 DA 丨，0 xx，0|ym y0 xx，01|yym点 A

44、 在圆上运动，22001xy 代入即得所求曲线 C 的方程为2221(0,1)yxmmm(0m，1)(1，)，01m 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为2(1,0)m，2(1,0)m1m 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为2(0,1)m，2(0,1)m（）如图 2、3，1(0,1)x，设1(P x，1)y，2(H x，2)y，则1(Qx，1)y，1(0,)Ny，P，H 两点在椭圆 C 上，222211222222m xymm xym 可得212121212()()()()yyyymxxxx Q，N，H 三点共线，QNQHkk，1121122yyyxx

45、x2112112()()2PQPHy yymkkx xx PQPH，1PQPHkk 212m 0m，2m 故存在2m，使得在其对应的椭圆2212yx 上，对任意0k，都有 PQPH21已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点3(1,)2A，C 的四个顶点构成的四边形面积为 4 3（1）求椭圆 C 的方程；（2）在椭圆 C 上是否存在相异两点 E，F，使其满足：直线 AE 与直线 AF 的斜率互为相反数；线段 EF的中点在 y 轴上若存在，求出EAF的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）由已知得2219142 30ababab，解得24a，23b，椭圆 C

46、的方程22143xy；（2）设直线 AE 的方程为3(1)2yk x，代入22143xy，得222(34)4(32)41230kxkk xkk设1(E x，1)y，2(F x，2)y，且1x 是方程的根，212412334kkxk，用 k 代替上式中的 k，可得222412334kkxk，E，F 的中点在 y 轴上，120 xx，22224123412303434kkkkkk，解得32k ，因此满足条件的点 E，F 存在由平面几何知识可知EAF的角平分线方程为1x 把1x 代入22143xy，可得32y ，所求弦长为 322如图，已知椭圆22221(0)xyabab，(2,0)A是长轴的一个端

47、点，弦 BC 过椭圆的中心 O，且0AC BC，|2|OCOBBCBA（）求椭圆的方程；（）设 P、Q 为椭圆上异于 A，B 且不重合的两点，且PCQ的平分线总是垂直于 x 轴，是否存在实数 ，使得 PQAB，若存在，请求出 的最大值，若不存在，请说明理由【解析】解：()0IAC BC，90ACB，又|2|OCOBBCBA，即|2|BCAC，AOC是等腰直角三角形（2 分）(2,0)A，(1,1)C，而点 C 在椭圆上，22111,2aab243b，所求椭圆方程为223144xy；（4 分）()II 对于椭圆上两点 P，Q，PCQ的平分线总是垂直于 x 轴，PC与CQ 所在直线关于1x 对称，

48、PCkk，则CQkk ，（6 分）(1,1)C，PC的直线方程为(1)1yk x，QC 的直线方程为(1)1yk x ，将代入223144xy 得222(13)6(1)3610kxk kxkk，(1,1)C在椭圆上，1x是方程的一个根，2236113Pkkxk（8 分）以 k 替换 k，得到2236131Qkkxk()213PQPQPQk xxkkxx90ACB，(2,0)A，(1,1)C，弦 BC 过椭圆的中心 O，(2,0)A，(1,1)B ，13ABk，PQABkk，/PQAB，存在实数 ，使得 PQAB（10 分）2222221241602 30|()()11313396kkPQkkk

49、k当2219kk时即33k 时取等号，又|10AB，2 302 33310max（13 分）23已知椭圆222:12xyC a 过点(2,1)P（）求椭圆 C 的方程，并求其离心率；（）过点 P 作 x 轴的垂线l，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线 l 上），点 A 关于l 的对称点为 A，直线 A P与 C 交于另一点 B 设 O 为原点，判断直线 AB 与直线 OP 的位置关系，并说明理由【解析】解：（）由椭圆方程椭圆222:12xyC a 过点(2,1)P，可得28a 所以222826ca，所以椭圆 C 的方程为22182xy，离心率6322 2e，（）直线

50、AB 与直线 OP 平行证明如下：设直线:1(2)PA yk x，:1(2)PB yk x ，设点 A 的坐标为1(x，1)y，2(B x，2)y，由2218221xyykxk得222(41)8(12)161640kxkk xkk，21216164214kkxk，21288214kkxk同理22288241kkxk，所以1221641kxxk ，由1121ykxk，2221ykxk 有121228()441kyyk xxkk，因为 A 在第四象限，所以0k，且 A 不在直线 OP 上121212AByykxx，又12OPk，故ABOPkk，所以直线 AB 与直线 OP 平行24已知点 F 是抛

51、物线2:2(0)C xpy p的焦点，若点0(4,)Py在抛物线 C 上，且以点 F 为圆心，PF 长为半径的圆与直线4y 相切（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 P 作直线 PA，PB 分别交抛物线 C 于点 A，B，若APB的平分线与 x 轴平行，试探究：直线 AB的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由【解析】解：（1）根据题意，得004,22162ppypy解得2p，04y，所以抛物线 C 的方程为24xy（2）由（1）知，(4,4)P，由APB的平分线与 x 轴平行，可知直线 AP，BP 的斜率都存在，且不等于零两斜率互为相反数设1(A x，1)y，2(B

52、x，2)y，直线:(4)4AP yk x，0k 由2(4)4,4yk xxy，得2416160 xkxk，已知此方程的一个根为 4，所以141616xk，所以144xk，同理244xk，所以128xx ，128xxk，所以121212(4)4(4)4()88816yyk xk xk xxkkkk ，12121628AByykkxxk，故直线 AB 的斜率为定值 2 25如图，设 F 为抛物线22(0)ypx p的焦点，P 是抛物线上一定点，其坐为0(x，00)(0)yx，Q 为线段OF 的垂直平分线上一点，且点 Q 到抛物线的准线 l 的距离为 32（1）求抛物线的方程；（2）过点 P 任作两

53、条斜率均存在的直线 PA、PB，分别与抛物线交于点 A、B，如图示，若直线 AB 的斜率为定值02y，求证：直线 PA、PB 的倾斜角互补【解析】解：（1）抛物线的方程为22ypx，直线 l 的方程为2px （1 分）又点Q 在线段 OF 的垂直平分线上，且 F 为抛物线22ypx的焦点，点 Q 的横坐标为4p（2 分）又点Q 到抛物线的准线 l 的距离为 32，3342p，即2p 抛物线的方程为24yx（5 分）（2）设(1,1)A x y，(2,2)B xy，则2121AByykxx又因为点 A，B 均在抛物线24yx上，所以有221212,44yyxx，所以212122212112444

54、AByyyykyyxxyy，故由已知得，120120422(*)yyyyyy （7 分）又由已知易知10 xx，20 xx，所以有10201020,PAPByyyykkxxxx从而有10201020PAPByyyykkxxxx，(*)（8 分）又因为点 A，B，P 均在抛物线 24yx上，所以有221212,44yyxx，2004yx，把它们分别代入(*)式，并化简可得：20101201020102010204()4()4(2)44()()()()PAPByyyyyyykkyyyyyyyyyyyy（10 分）把(*)代入，可得12010204(2)0()()PAPByyykkyyyy故直线 P

55、A、PB 的倾斜角互补（12 分）高考预测五：切线模型26已知左、右焦点分别为1F、2F 的椭圆2222:1(0)xyCabab与直线1y 相交于 A、B 两点，使得四边形12ABF F 为面积等于 2 2 的矩形（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆1C 上一动点 P（不在 x 轴上）作圆22:1O xy 的两条切线 PC、PD，切点分别为 C、D，直线 CD 与椭圆1C 交于 E、G 两点，O 为坐标原点，求OEG的面积OEGS的取值范围【解析】解：（1）可得2(,)bA c a，21ba ，由矩形12ABF F 为面积等于 2 2 可得2c，22222abaca，2,2ab椭圆 C 的方

56、程为：22142xy（2）设(2Pm，2)(0)n n，则以线段 OP 为直径的圆的方程为2222()()xmynmn，又圆 O 的方程为221xy，两式相减得直线 CD 的方程为 221mxny 由2222124mxnyxy得2222(42)4180mnxmxn，设1(E x，1)y、2(G x，2)y，则231221122222222211168111|224(84)84(84)OEGmnSx yx yxxnmnmnmn令22184tmn，则2224OEGStt，1(8t，12 224ytt 的图象是开口朝下，且以直线1t 为对称轴的抛物线，故1(8t，12 时，函数为增函数，故30(8O

57、EGS，6 227已知(,1)T m为抛物线2:2(0)C xpy p上一点，F 是抛物线 C 的焦点，且|2TF（1）求抛物线 C 的方程；（2）过圆22:(2)1E xy 上任意一点 G，作抛物线 C 的两条切线 1l，2l，与抛物线相切于点 M，N，与 x 轴分别交于点 A，B，求四边形 ABNM 面积的最大值【解析】解：（1）|2TF，由抛物线定义知，122p ，2p，24xy（2）设1(M x，1)y，2(N x，2)y，0(G x，0)y，0 3y ，1，切线11:2()AMx xyy，因此：11122Ayxxx，切线22:2()ANx xyy，因此：22222Byxxx，另一方面

58、，点0(G x，0)y在两切线上，从而满足：011020202()2()x xyyx xyy，因此切点弦 MN 的方程为：002()x xyy，直线 MN 与抛物线24xy进行方程联立：200240 xx xy，从而1202xxx，1204x xy，且2222000000|1416444xMNxyxxy，ABMNGMNGABSSS2220012000020|4|1144|22224xyxxxxyyx2330002222200012004111(4)|(4)2422yxyxyyxxxy2222000000000114(4)83(73)22xyxyyyyyy，当0 3y ，1时，220001183

59、(4)13 2 322yyy，2200073773()924yyy ，9 3ABMNS，当且仅当03y 时，取到最大值28已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)xyabab，则椭圆在其上一点0(A x，0)y处的切线 方 程 为00221x xy yab，试 运 用 该 性 质 解 决 以 下 问 题：在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中，已 知 椭 圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且经过点2(1,)2A（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 F 为椭圆 C 的右焦点，直线l 与椭圆 C 相切于点 P（点 P 在第一象限），过原点 O 作直线 l 的平行线与直

60、线 PF 相交于点 Q，问：线段 PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由【解析】解：（1）由题意知22222221121caababc，解得2a，1b ，椭圆 C 的方程为2212xy（2）设0(P x，0)y，依材料可知，切线 l 的方程为0022x xy y，过原点 O 且与 l 平行的直线l 的方程为0020 x xy y，椭圆 C 的右焦点(1,0)F，所以直线 PF 的方程为000(1)0y xxyy，联立00000(1)020y xxyyx xy y，所以2000002(,)22yx yQxx，所以2222000000000002222|()()()()2222yx

61、 yxyPQxyxxxx22020022004(1)4(1)2(2)22(2)(2)xxxxx为定值29已知椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，直线:7l yx与椭圆 C 有且只有一个公共点（1）求该椭圆的离心率以及标准方程；（2）若点(,0)Q t是 x 轴上任一定点，动弦 m 所在直线过点Q 且与椭圆交于 A，B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为1B，直线1AB 交 x 轴于点 P，则|OQOP是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由【解析】解：（1）由焦点与短轴的一个端点构成等边三角形可得3 232bcc，22224abcc，所以离

62、心率1142cea，所以椭圆的方程为：2222143xycc，即22234120 xyc，由题意联立与直线 l 的方程：22234(7)120 xxc，整理得：2278 728120 xxc，因为直线:7l yx与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以22874 7(28 12)0c ，解得：21c ，所以椭圆的标准方程为：22143xy；离心率12cea；（2）由题意可得直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为：xmyt，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则12(B x，2)y，直 线 与 椭 圆 联 立2234120 xmytxy，整 理 可 得：222(43)63120mymtyt，2 222364(43)(312)0m tmt，即2234tm，122643mtyym，212231243ty ym，直线1AB的方程为：121112()yyyyxxxx，令0y 可得21121121121121212()()()()44y xxy m yym ytyytxxtyyyyyytt ，即4(P t，0)，所以4|4|OQOPtt为定值