2022秋高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 3.docx

1、3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程A级必备知识基础练1.抛物线y=1ax2的准线方程是y=1,则a的值是()A.14B.-14C.4D.-42.(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程可以为()A.y2=xB.x2=8yC.x2=-8yD.y2=-8x3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0等于()A.4B.2C.1D.84.如图,已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|=()A.25B.12C.15D.135.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:x2

2、3-y2=1的焦距为.若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p0)的焦点重合,则实数p的值为.B级关键能力提升练6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线7.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=4F

3、Q,则|QF|等于()A.72B.52C.3D.29.(多选题)对抛物线y=18x2,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,2)B.开口向右,准线方程为x=-132C.开口向右,焦点为132,0D.开口向上,准线方程为y=-210.在平面直角坐标系xOy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是.11.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=2p4,解

4、得p=12,所以抛物线的方程可以为y2=x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=-2py(p0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=-2p(-2),解得p=4,所以抛物线的方程可以为x2=-8y.3.C如图,易知F14,0,准线l的方程为x=-14.过A作AAl,垂足为A,则|AF|=|AA|,即54x0=x0+p2=x0+14,x0=1.4.C易知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),抛物线的准线方程l:y=-1.又点A的坐标为(2,0),直线AF的斜率k=0-12-0=-12.如图,过点M作MGl于点G,根据抛物线的定义知|FM|=|MG|.在RtMNG中,易知ta

5、nMNG=-k=12,|MG|NG|=12,即|NG|=2|MG|,|MN|=|MG|2+|NG|2=5|MG|,|FM|MN|=15.故选C.5.44在双曲线C:x23-y2=1中,a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p0)的焦点重合,在抛物线y2=2px(p0)中,p2=c,即p=4.6.D由题意知,直线C1D1平面BB1C1C,则C1D1PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.7.C如图,分别过A,B作AA1l于A1,BB1l于B1,由抛

6、物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,|BC|=2|BF|,|BC|=2|BB1|,BCB1=30,AFx=60,连接A1F,则AA1F为等边三角形,过F作FF1AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,抛物线方程为y2=3x.8.C过点Q作QQl于点Q,如图.FP=4FQ,|PQ|PF|=34,又焦点F到准线l的距离为4,|QF|=|QQ|=3.9.AD抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.10.3设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-

7、1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,|PB|=|PM|2-12=(x-1)2+y2-1=x2+y2-2x=|x|,即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F12,0,准线方程为x=-12,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-12.过点A作准线的垂线,垂足为K,可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=72,即有|PA|+|PB|的最小值为3.11.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,故x1+x2=5p4.由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故抛物线的方程

8、为y2=8x.(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则y1=-22,y2=42.故A(1,-22),B(4,42).设OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(1+4,-22+42),又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),可得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.12.D由抛物线的方程可知焦点F(0,3),则准线方程为y=-3,如图,过点P作x轴的垂线,垂足为点A,延长PA交准线于点B,设圆(x-4)2+y2=1的圆心为点C.根据抛物线的定义可得|PA|=|PB|-|AB|=|PF|-|AB|,|PA|+|PQ|=|PF|+|PQ|-|AB|=|PF|+|PQ|-3,当|PA|+|PQ|最小时,则|PF|+|PQ|最小,即F,P,Q(Q位于C,P之间)三点共线时,|PA|+|PQ|最小,(|PF|+|PQ|)min=|FC|-|QC|=32+42-1=4,(|PA|+|PQ|)min=(|PF|+|PQ|)min-3=4-3=1.