2022秋高中数学 第二章 直线和圆的方程 2.docx

1、2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系A级必备知识基础练1.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是()A.(-5,15)B.(-,-5)(15,+)C.(-,4)(13,+)D.(4,13)2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或123.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为()A.0B.4C.-2D.34.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位

2、置不可能为()5.已知直线ax+by+c=0(ab0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或53B.-35或32C.-23或23D.-43或-347.过点P(3,5)作圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为.8.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为 m.9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2

3、+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.B级关键能力提升练10.若点(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是()A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且过圆心11.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,3212.直线y=x+b与曲线x=1-y2有且只有一个交点,则b满足()A.|b|=2B.-1b1或b=-2C.-1b0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则

4、k的值为()A.2B.212C.22D.214.(多选题)从点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后,照射到圆C:x2+y2-4x-4y+7=0上,则下列结论正确的是()A.若反射光线与圆C相切,则切线方程为3x-4y-3=0B.若反射光线穿过圆C的圆心,则反射光线方程为x-y=0C.若反射光线照射到圆上后被吸收,则光线经过的最短路程是52-1D.若反射光线反射后被圆C遮挡,则在x轴上被挡住的范围是-34,115.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从

5、基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,则DE的最短距离为()A.6 kmB.(42-1)kmC.(42+1)kmD.4 km16.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为.17.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的

6、“盲区”中的时长约秒(精确到0.1).18.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(02,解得m15.故选B.2.D圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,可化为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为|7-b|5=1,得b=2或b=12,故选D.3.AB由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为22,所以圆心到直线的距离d=22-2222=2.又d=|a-2|2,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.4.ABD由题意,可得a20,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.5.B由题意知,|c

7、|a2+b2=1,a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.6.D由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.又因为反射光线与圆相切,所以|-3k-2-2k-3|k2+1=1,整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-43,或k2=-34.7.4由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圆心A坐标(1,1),半径r=2,又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|=(3-1)2+(5-1)2=25,设B为切点,由直线PB为圆A的切线,得到ABP为直角三角形,根据勾股定

8、理得|PB|=|AP|2-|AB|2=(25)2-22=4.则切线长为4.8.251以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如右图所示:由题意可知,设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,当水面下降1m后,设A(x0,-3)(x00),代入圆的方程中,得x0=51,所以此时水面宽251m.9.解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,若直线l的斜率不存在,直线l与圆相离,与题意不符.故设直线方程是y=k(

9、x+2),即kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式,得|k+2k|k2+11,即k218,解得-24kr2,从而圆心(0,0)到直线的距离为d=r2a2+b2(0,r),所以直线与圆相交但不过圆心.11.A设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d.易知d-rdd+r,即2d32.又AB=22,SABP=12|AB|d=2d,2SABP6.12.B曲线x=1-y2含有限制条件,即x0,故曲线表示单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中,画出y=x+b与曲线x=1-y2(就是x2+y2=1,x0)的图象,如图所示.相切时,b=-2,其他

10、位置符合条件时需-10)的距离就是PC的最小值,|1+4|k2+1=5,k=2或k=-2(舍去).故选D.14.BCD点A(-3,3)关于x轴的对称点为A(-3,-3).圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,由题意知反射光线的斜率存在,设反射光线方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.对于A,由相切知|2k-2+3k-3|k2+1=1,解得k=43或k=34.反射光线方程为y+3=43(x+3)或y+3=34(x+3).即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0,故A错误;又经过点A(-3,-3),C(2,2)的方程为y=x,故B正确;因为|AC|=(2+3)2+(2+3)2=

11、52,所以直线的最短路程为52-1,故C正确;由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和-34,0,所以被挡住的范围是-34,1,故D正确.15.B以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE为最短距离,此时DE的最小值为|0+0-8|2-1=(42-1)km.16.-33,33如图所示,CAB=BAD=30,直线l的倾斜角的取值范围为030或150180.直线l的斜率的取值范

12、围为-33,33.17.4.4以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),可得出直线PQ的方程y-10+t=20-2.5t20(x-10),圆O的方程为x2+y2=1,由直线PQ与圆O有公共点,可得|2.5t-202-t+10|1+(20-2.5t20)21,化为3t2+16t-1280,解得0t87-83,而87-834.4,因此,点Q在点P的“盲区”中的时长约为4.4秒.18.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0a4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2a.直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心

13、C到直线l的距离是|4-2a|2=2|2-a|.设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得L=2(2a)2-(2|2-a|)2=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.0-a+m,即2am,2a-m=22a,m=(2a-1)2-1.0a4,02a22,m-1,8-42.19.解如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).设AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).再设切点分别为E,F,G,则|OE|+|EA|+|OF|+|FB|=2r+|AG|+|BG|.即2r+|AB|=|OA|+|OB|,r=1

14、,内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=2x-1.又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,将代入,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.P(x,y)是内切圆上的点,0x2,|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为|PA|22+|PB|22+|PO|22=4(|PA|2+|PB|2+|PO|2),以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112,最小值为92.20.B如图所示,半圆的方程为x2+y2=3.62(y0),D(0.8,0),设A(0.8,y),代入半圆的方程得0.82+y2=3.62,解得y3.5.因此这辆卡车的平顶车篷距离地面的高度最高不得超过3.5m.故选B.