2022秋高中数学 第五章 数列 5.docx

1、5.1.2数列中的递推必备知识基础练1.数列1,3,6,10,15,的一个递推公式是()A.an+1=an+n,nN+B.an=an-1+n,nN+,n2C.an+1=an+(n+1),nN+,n2D.an=an-1+(n-1),nN+,n22.已知数列an的首项a1=1,且满足an+1=12an+12n,此数列的第3项是()A.1B.12C.34D.583.已知数列an中,a1=1,an+1=2an+1,则数列an的一个通项公式为()A.an=nB.an=n+1C.an=2nD.an=2n-14.数列an满足an=4an-1+3(n2),且a1=0,则此数列的第5项是.5.已知数列an中,a

2、1=1,an+1=3anan+3,求通项an.6.(2022山东淄博高青一中高二开学考试)已知数列an中,a1=1,an+1=nn+1an.(1)写出数列an的前5项;(2)写出数列an的一个通项公式.关键能力提升练7.数列an满足a1=12,an+1=1-1an,则a2 022=()A.12B.-1C.2D.38.(2022湖北宜城第一中学高三阶段练习)南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的图形,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列an,则()A.a5-a4=4B.a10

3、0=5 000C.2an+1=an+an+2D.an+1-an=n+19.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=4n2-10n,则a2a6的值为()A.52B.68C.96D.10810.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=-2,an+1=1-1an,nN+,则()A.a40a100C.S40S10011.已知Sn是数列an的前n项和,若an=sinn3,则S2 022的值为.12.已知数列an满足an+2+an=an+1,且a1=1,a2=2,则a2 022=.13.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且对任意的nN+,都有a2n=log2nn+1+an,a2n+1=-an+log

4、2n+2n,则S61=.14.数列an满足a1+2a2+3a3+nan=2n-1(nN+),则an=.若存在nN+使得ann+1n成立,则实数的最小值为.学科素养创新练15.已知数列an满足:a1=2,an+an-1=4n-2(n2).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1+3b2+7b3+(2n-1)bn=an,求数列bn的通项公式.参考答案5.1.2数列中的递推1.B由题可知a1=1,an-an-1=n(nN+,n2).2.Ca1=1,a2=12a1+12=1,a3=12a2+122=34.3.D由题可知a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,故选D.4.255因为an=4

5、an-1+3(n2),a1=0,所以a2=40+3=3,a3=43+3=15,a4=415+3=63,a5=463+3=255.5.解将an+1=3anan+3两边同时取倒数,得1an+1=an+33an,则1an+1=1an+13,即1an+11an=13,1a21a1=13,1a31a2=13,1an1an-1=13,把以上这(n-1)个式子相加,得1an1a1=n-13.a1=1,an=3n+2.6.解(1)由a1=1,可得a2=11+1a1=121=12,a3=22+1a2=2312=13,a4=33+1a3=3413=14,a5=44+1a4=4514=15.(2)数列an的一个通项

6、公式为an=1n.7.C当n=1时,a2=1-2=-1,a3=1-(-1)=2,a4=1-12=12,a5=1-2=-1,所以数列中的项以3为周期重复出现,所以a2022=a(3674)=a3=2.8.D由相邻层球的个数差,归纳可知an+1-an=n+1,a1=1.对an+1-an=n+1累加得an=n(n+1)2,所以a5-a4=5,a100=100(100+1)2=5050,2an+1an+an+2,所以ABC错误.故选D.9.B当n2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-4(n-1)2-10(n-1)=8n-14,所以a2a6=(82-14)(86-14)=68.故选B.10.Da2

7、=1-1a1=32,a3=1-1a2=13,a4=1-1a3=-2,a5=1-1a4=32,所以数列an中的项以3为周期重复出现,前3项和S3=-16,a40=a1=-2,a100=a1=-2,所以a40=a100,S40=13S3+a40=-256,S100=33S3+a100=-152,所以S40S100.故选D.11.0对于函数y=sin3x,T=23=6.a1=32,a2=32,a3=0,a4=-32,a5=-32,a6=0,a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.又2022=6337,S2022=3370=0.12.-1因为an+2+an=an+1,所以an+2=an+1-an.因为

8、a1=1,a2=2,所以a3=a2-a1=2-1=1,a4=a3-a2=1-2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2,a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1,a8=a7-a6=1-(-1)=2,所以数列an中的项以6为周期重复出现,所以a2022=a3376=a6=-1.13.5a2n=log2nn+1+an,a2n+1=-an+log2n+2n,a2n+a2n+1=log2nn+1+log2n+2n=log2n+2n+1,S61=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a60+a61)=1+log232+log243+log23231=1+log232

9、433231=1+log216=5.14.an=2n-1n12设数列nan的前n项和为Sn,则由题可知Sn=2n-1.当n2时,Sn-1=2n-1-1,所以nan=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,所以an=2n-1n(n2).当n=1时,a1=1满足上式,综上所述,an=2n-1n.由题可知,存在nN+使得2n-1n+1,设bn=2n-1n+1,所以bn+1bn=2nn+22n-1n+1=2(n+1)n+21,即bn+1bn,所以数列bn为递增数列,其最小项为b1=12,即有b1=12,的最小值为12.15.解(1)an+an-1=4n-2(n2)可化为(an-2n)+(an-1-2n+2)=0.令cn=an-2n,则当n2时,cn+cn-1=0,即cn=-cn-1.因为a1=2,所以c1=a1-2=0,所以cn=0,即an-2n=0,故an=2n.(2)由b1+3b2+7b3+(2n-1)bn=an,可知b1+3b2+7b3+(2n-1-1)bn-1=an-1(n2),两式作差得(2n-1)bn=an-an-1=2(n2),即bn=22n-1(n2).又当n=1时,b1=a1=2也满足上式,所以bn=22n-1.