近十年全国卷分类汇编（学生）227页.pdf

1、1目录第 1 节 集合与逻辑.1第 2 节 函数.5第 3 节 三角函数.17第 4 节 三角恒等变换.24第 5 节 解三角形.28第 6 节 平面向量.39第 7 节 线性规划.44第 8 节 框图.47第 9 节 数列.53第 10 节 立体几何（小题）.71第 11 节 立体几何（文科大题）.86第 12 节 立体几何（理科大题）.96第 13 节 概率统计 I.109第 14 节 概率统计 II.121第 15 节 圆锥曲线小题.152第 16 节 圆锥曲线大题.170第 17 节 导数小题.182第 18 节 导数大题第一问.187第 19 节 复数.200第 20 节 二项式定理

2、与排列组合【理科】.204第 21 节 极参.208第 22 节 不等式选讲.2211第 1 节 集合与逻辑一、集合1已知集合NMPNM,5,3,1,4,3,2,1,0，则集合 P 的子集有（）A2 个B4 个C6 个D8 个2.（2021 年全国乙卷）已知集合21,Ss snnZ，41,Tt tnnZ，则TS（）ABSCTD Z3（2018 年全国 I 卷）已知集合220Ax xx，则ACR=（）A12xx B12xx C 21xxxxD|1|2x xx x 4（2019 年全国卷）已知集合24260MxxNx xx，则 MN=（）A43xx B42xx C22xx D 23xx5（2016

3、 年全国 II 卷）已知集合=1,2,3，=|(+1)(2)0,，则 =（）A1B1，2C0，1，2，3D 1，0，1，2，36（2020 年全国卷）已知集合 A=x|x|1，xZ，则 AB=（）AB3，2，2，3）C2，0，2D2，27（2013 年全国 I 卷）已知集合 Ax|x22x0，Bx|5 x5，则()AABBABRCB ADA B8（2017 年全国 I 卷）已知集合 A=x|x1，B=x|31x ，则（）A|0ABx xB ABRC|1ABx xD AB 29设集合1,2,4A，240Bx xxm若 1AB，则 B ()A1,3B1,0C1,3D1,510已知集合1,3,Am，

4、1,Bm，若 ABA，则m （）A0 或3B0 或3C1 或3D1 或311（2020 年全国卷）设集合 A=x|x2 4 0，B=x|2x+a 0，且 AB=x|2 x 1，则 a=（）A4B2C2D412（2018 年全国 II 卷）已知集合223Ax y xyxZyZ，则 A 中元素的个数为（）A9B8C5D413已知集合22(,)1Ax y xy，(,)Bx y yx，则 AB中元素的个数为（）A3B2C1D014（2020 年全国卷）已知集合(,)|,Ax yx yyx*N，(,)|8Bx yxy，则 AB中元素的个数为（）A2B3C4D6二、逻辑1已知命题 p：xR，23xx；命题

5、q：xR，321xx，则下列命题中为真命题的是（）A pqBpq C pq Dpq 32.（2021 年全国乙卷文）已知命题:,sin1pxx R；命题:qx R|e1x ，则下列命题中为真命题的是（）A pqBpq C pq D pq3设命题2:,2nPnN n，则P为（）A2,2nnN n B2,2nnN n C2,2nnN n D2,2nnN n 4（2014 年全国卷）不等式组1,24,xyxy的解集为 D，有下面四个命题：1:(,),22px yD xy ，2:(,),22px yD xy，3:(,),23px yD xy4:(,),21px yD xy ，其中的真命题是（）A23,

6、ppB12,p pC13,p pD14,p p5.（2019 年全国卷）记不等式组026yxyx，表示的平面区域为 D，命题92,),(:yxDyxp；命题122,),(:yxDyxq.给出了四个命题：pq；pq；pq ；pq ，这四个命题中，所有真命题的编号是（）ABCD6（2014 年全国卷）函数()f x 在0 xx处导数存在，若 p:000,:fxq xx是()f x 的极值点，则（）Ap 是 q 的充分必要条件Bp 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Cp 是 q 的必要条件但不是 q 的充分条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件47.（2021 年全国甲卷理

7、）等比数列 na的公比为 q，前 n 项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8（2020 年全国卷）设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线 l平面，直线 m平面，则 ml.则下述命题中所有真命题的序号是_.14pp12pp23pp34pp 5第 2 节 函数一、函数基础1（2018 全国 I 卷文 13）已知函数 22logf xxa

8、，若 31f，则 a _2（2020 全国 I 卷文 8）设3log 42a，则 4 a （）A 116B 19C 18D 163（2015 全国 II 卷理 5）设函数211 log(2),1,()2,1,xx xf xx，2(2)(log 12)ff（）A3B6C9D124（2015 全国 I 卷文 10）已知函数 1222,1 log1,1xxf xxx ，且 3f a ，则6fa（）A74B54C34D145（2021 年全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足5lg

9、LV已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A1.5B1.2C0.8D0.6二、函数的性质1（2013 全国 II 卷文 13）设 f x 是以 2 为周期的函数，且当1,3x时，()2f xx，则1=f _.62（2014 全国 II卷文 15）偶函数 y=()f x 的图像关于直线2x对称，3)3(f，则)1(f_3（2017 年全国 II 卷文）已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，当(,0)x 时，32()2f xxx，则(2)f _.4（2016 年全国 III 卷文）已知 fx 为偶函数，当0 x 时，1()e xf

10、 xx，则曲线 yf x在点(1,2)处的切线方程是_.5已知()f x 为偶函数，当0 x 时，()ln()3f xxx，则曲线()yf x在点(1,3)处的切线方程是_6（2019 年全国卷）设 f(x)为奇函数，且当 x 0 时，f(x)=e1x ，则当 x b aBb c aCa c bDa b c5（2016 年全国 III 卷理）已知432a，254b，1325c，则（）AbacBabcCbcaDcab116（2019 年全国 III 卷文）设 fx 是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调递减，则（）A233231log224fff B233231log224fff C233321

11、22log 4fffD23323122log 4fff7（2014 年全国 II 卷理）设sin33,cos55,tan35,abc 则（）AabcBbcaCcbaDcab8（2020 年全国卷文）设3log 2a，5log 3b，23c，则（）A acbBabcCbcaDcab9（2017 年全国 I 卷理）设 x、y、z 为正数，且235xyz，则（）A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2xb，则（）Aln(ab)0B3a0Dab11若 ab0，0c1，则（）AlogaclogbcBlogcalogcbCacbcDcacb12（2016 年全国 I 卷理）若 1，0 1，则（）

12、A B Clog logDlog log13（2018 年全国卷理数）设0.2log0.3a，2log 0.3b，则（）A0ababB0ababC0ababD0abab1214（2020 年全国卷理）若242log42logabab，则（）A2abB2abC2abD2ab15（2020 年全国卷理 12）已知 5584，13485设 a=log53，b=log85，c=log138，则（）AabcBbacCbcaDca 0，0，直线4x和45x是函数 f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴，则=（）A 4B 3C 2D 3424第 4 节 三角恒等变换一、两角和差公式1（2011 全国

13、 II 卷文 14）已知3(,)2，tan2，则cos _.2.（2017 全国 I 卷文 15）已知(0)2a，tan=2，则cos()4=_3.(2015 全国卷理 2)oooosin 20 cos10cos160 sin10=（）A32B32C12D 124.（2020 全国 III 卷文 5）已知sinsin=31，则sin=6（）A 12B33C 23D225.（2020 全国卷理 9）已知 2tan tan(+4)=7，则 tan =（）A2B1C1D26.（2019 全国 I 卷文 7）tan255=（）A23B2+3C23D2+37.（2018 全国 II 卷文 15）已知51

14、tan()45，则 tan _8.（2016 全国 I 卷文 14）已知是第四象限角，且53)4sin(，则)4tan(.259（2018 全国 II 卷理 15）已知sincos1，cossin0，则sin=_10（2013 全国 II 卷理 15）设为第二象限角，若 tan（+4）=12，则 sin+cos=_.11（2014 全国 I 卷理 8）设(0,),(0,),22且1 sintan,cos则（）A32B32C 22D 22二、二倍角公式1（2014 全国卷文 2）若0tan，则A0sinB0cosC02sinD02cos2.（2020 全国卷理 2）若为第四象限角，则（）Acos

15、20Bcos20Dsin2 0，求使得 Sn an 的 n 的取值范围二、等比数列1（2015 年全国卷）已知等比数列na满足13a ，13521aaa，则357aaa（）A 21B 42C63D842（2020 年全国卷）设na是等比数列，且1231aaa，234+2aaa，则678aaa（）A12B24C30D323（2019 年全国卷文）已知各项均为正数的等比数列 na的前 4 项和为 15，且53134aaa，则3a （）A16B8C4D24（2020 年全国卷）记 Sn 为等比数列an的前 n 项和若 a5a3=12，a6a4=24，则nnSa=（）A2n1B221nC22n1D21

16、n15（2013 年全国卷理）等比数列na的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1，a5=9，则 a1=（）A 31B31C 91D91566（2015 年全国卷文）已知等比数列na满足114a，35441a aa，则2a （）A 2B1C 12D 187已知na为等比数列，472aa，568a a ，则110aa（）A 7B5C 5D 78（2019 年全国卷理）记 Sn 为等比数列an的前 n 项和若214613aaa，则 S5=_9（2017 年全国 III 卷理）设等比数列 na满足 a1+a2=1，a1 a3=3，则 a4=_10（2013 年全国卷文）设首项为 1，公比为

17、 23 的等比数列 na的前n 项和为nS，则（）A21nnSaB32nnSaC43nnSaD32nnSa11（2013 年理科）已知数列na满足130nnaa，243a ，则na的前 10 项和等于（）A106(1 3)B101(1 3)9C103(1 3)D103(1 3)12（2015 年全国卷文）数列 na中112,2,nnnaaa S为 na的前 n 项和，若126nS，则n _.13（2012 年文科数学）等比数列 na的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比 q=_。14设等比数列 na的前 n 项和为 Sn若 S2=3，S4=15，则 S6=（）A31B32C63D

18、645715（2021 年全国甲卷文）记nS 为等比数列 na的前 n 项和.若24S，46S，则6S（）A7B8C9D1016（2016年全国I卷理）设等比数列 na满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为17（2018 年全国卷文）等比数列 na中，15314aaa，（1）求 na的通项公式；（2）记nS 为 na的前n项和若63mS，求m 18（2017 年全国 I 卷）记 Sn 为等比数列 na的前 n 项和，已知 S2=2，S3=-6.（1）求 na的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列58三、等差与等比混合1等差数列 na

19、的首项为 1，公差不为 0若2a、3a、6a 成等比数列，则 na的前 6 项的和为（）A 24B 3C3D82（2014 年全国卷文）等差数列na的公差是 2，若248,a a a 成等比数列，则na的前n 项和nS （）A(1)n n B(1)n n C(1)2n n D(1)2n n 3已知等差数列 na的前n 项和为nS，等比数列 nb的前n项和为nT，且11a ，11b ，224ab.（1）若337ab，求 nb的通项公式；（2）若313T，求5S.4已知等比数列 na中，31,311qa，（1）nS 为数列 na前 n 项的和，证明：21nnaS.（2）设nnaaab32313lo

20、g.loglog，求数列 nb的通项公式；595（2013 年全国 II 卷文）已知等差数列 na的公差不为零，a1=25，且1a，11a，13a 成等比数列.（）求 na的通项公式；（）求1a+a4+a7+a3n-2.6（2019 年全国 II 卷文）已知na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa.（1）求na的通项公式；（2）设2lognnba，求数列nb的前 n 项和.7（2013 年全国理科大纲卷）等差数列 na的前 n 项和为nS，已知232Sa，且124,S SS 成等比数列，求 na的通项公式.608（2020 年全国卷文）设等比数列an满足124aa，318aa（1）

21、求an的通项公式；（2）记nS 为数列log3an的前 n 项和若13mmmSSS，求 m9（2016 年全国 I 卷文）已知 是公差为 3 的等差数列，数列 满足1=1，2=13，+1+1=（）求 的通项公式；（）求 的前 n 项和10.（2021 年全国新高考卷）已知数列 na满足11a ，11,2,.nnnanaan 为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列 nb的通项公式；（2）求 na的前 20 项和.61四、含 Sn1（2013 年全国 I 卷文）若数列an的前 n 项和为 Sn 23 an 13，则数列an的通项公式是an=_.2（2018 年全国 I 卷理）记n

22、S 为数列 na的前n 项和，若21nnSa，则6S _3（2012 年全国文科大纲卷）已知数列 na的前n 项和为nS，11a ，12nnSa，则nS（）A12 nB1)23(nC1)32(nD121n4设nS 是数列na的前n 项和，且11a ，11nnnaS S，则nS _5.（2012 年全国文科大纲卷）已知数列na 中，1a=1，前 n 项和23nnnSa（）求23,a a()求na 的通项公式627（2016 年全国 III 卷理）已知数列 na的前 n 项和1nnSa，其中0（）证明 na是等比数列，并求其通项公式；（）若53132S，求 五、证明等差等比数列1（2014 年全国

23、卷）已知数列 na满足111,31nnaaa.(1)证明12na 是等比数列，并求 na的通项公式；(2)证明：121113.2naaa.632.（2018 年全国 I 卷文）已知数列 na满足11a ，121nnnana，设nnabn（1）求123bbb，；（2）判断数列 nb是否为等比数列，并说明理由；（3）求 na的通项公式3（2019 年全国卷理）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0，1434nnnaab，1434nnnbba.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.4（2016 年全国 III 卷文）已知各项都为正数的数列 na满足1

24、1a ，211(21)20nnnnaaaa.（）求23,a a；（）求 na的通项公式.645（2014 年全国卷理）已知数列 na的前n 项和为11,1,0,1nnnnnSaaa aS，其中 为常数（1）证明：2nnaa；（2）是否存在，使得 na为等差数列？并说明理由6（2021 年全国甲卷理）已知数列 na的各项均为正数，记nS 为 na的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列 na是等差数列：数列nS是等差数列；213aa注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分657（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）记nS 为数列 na的前 n 项和，nb 为数列

25、 nS的前n 项积，已知212nnSb（1）证明：数列 nb是等差数列;（2）求 na的通项公式六、裂项相消求和1（2012 年全国 II 卷）已知等差数列 na的前n 项和为55,5,15nSaS，则数列11nna a 的前100 项和为（）A100101B 99101C 99100D 1011002（2017 年全国 II 卷理科）等差数列 na的前n 项和为nS，33a ，410S，则11nkkS_663等比数列 na的各项均为正数，且212326231,9aaaa a.（1）求数列 na的通项公式；（2）设 bnlog3a1log3a2log3an，求数列1nb的前 n 项和nT.4（

26、2013 年全国 I 卷文）已知等差数列 na的前n 项和nS 满足30S，55S （1）求 na的通项公式；（2）求数列21211nnaa的前n 项和675（2014 年全国 II 卷）等差数列 na的前 n 项和为nS，已知110a，2a 为整数，且4nSS.（1）求 na的通项公式；（2）设11nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT.6（2015 年全国卷理）nS 为数列na 的前n项和.已知na 0，22nnaa=43nS .（）求na 的通项公式；（）设11nnnba a，求数列nb 的前n 项和.7（2017 全国 III 卷文）设数列 na满足123(21)2naanan

27、.（1）求 na的通项公式；（2）求数列 21nan的前n 项和688（2011 年全国 II 卷理）设数列 na满足11110,111nnaaa。（）求 na的通项公式；（）设11nnabn，记1nnkkSb，证明：1nS 七、错位相减求和1（2014 年全国卷文）已知 na是递增的等差数列，2a，4a 是方程 x25x60 的根.（1）求 na的通项公式；（2）求数列 2nna的前n项和.692（2020 年全国卷理）设na是公比不为 1 的等比数列，1a 为2a，3a 的等差中项（1）求na的公比；（2）若11a ，求数列nna的前n 项和3（2020 年全国卷理）设数列an满足 a1=

28、3，134nnaan（1）计算 a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前 n 项和 Sn704.（2021 年全国乙卷）设 na是首项为 1 的等比数列，数列 nb满足3nnnab 已知1a，23a，39a 成等差数列（1）求 na和 nb的通项公式；（2）记nS 和nT 分别为 na和 nb的前 n 项和证明：2nnST 八、其他1（2014 年全国卷）数列 na满足,2,1181aaann则1a_2（2020 年全国卷理）数列na中，12a，m nmnaa a，若155121022kkkaaa，则 k （）A2B3C4D53数列na满足1(1)21nnnaan ，

29、则na的前60 项和为_。4（2020 年全国卷文）数列na满足2(1)31nnnaan ，前 16 项和为 540，则1a _.5（2016 年全国 II 卷理）Sn 为等差数列an的前 n 项和，且 a1=1，S7=28，记 bn=lgan，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.9=0，lg99=1（）求 b1，b11，b101；（）求数列bn的前 1000 项和71第 10 节 立体几何（小题）一、表面积与体积1（2014 年全国卷文 7）正三棱柱111ABCA B C的底面边长为2，侧棱长为3，D 为 BC 中点，则三棱锥11AB DC的体积为（）A3B 32C1D322（2019

30、年全国卷文 16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDA B C D挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_ g.3（2018 年全国 I 卷文 10）在长方体1111ABCDA B C D中，2ABBC，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（）A8B 6 2C8 2D8 34.（2021 年全国新高考卷）已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展

31、开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A 2B2 2C 4D 4 2725(2015 全国 I 卷文 6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛6（2018 全国 I 卷文 5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12O O 的平面截该圆柱

32、所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（）A12 2B12C8 2D107（2021 年全国高考甲卷数学文）已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为30 则该圆锥的侧面积为_.8.（2018 年全国 II 卷理 16）已知圆锥的顶点为 S，母线SA，SB 所成角的余弦值为 78，SA与圆锥底面所成角为 45，若 SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_9（2020 年全国卷文 3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A514B51

33、2C514D5127310（2018 年全国 I 卷理 12）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（）A 3 34B 2 33C 3 24D3211（2017 年全国 1 卷理 16）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O，D，E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的

34、最大值为_二、三视图1（2014 年全国卷文 8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱742（2018 年全国卷文 3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）3（2011 年全国考试文科）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()ABCD4（2021 年高考甲卷理）在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方

35、体截去三棱锥 A EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）ABCD755（2020 年全国卷理 7）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M，在俯视图中对应的点为 N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A EB FCGD H6（2017 年全国 1 卷理 7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A10B12C14D167（2016 年全国卷文 10）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画

36、出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36 5B54+18 5C90D81768（2017 年全国卷文 6）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90B 63C 42D369（2014 年全国卷文 6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A 2717B 95C 2710D 3110（2012 年全国理科）如图，网格纸上小正

37、方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D187711（2020 年全国卷文 9）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A6+4 2B4+4 2C6+23D4+2312（2014 年全国卷理 12）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A6 3B6C 6 2D 413（2015 年全国卷理 6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A 18B 17C 16D 157814（2018 年全国 I 卷理 7）某圆柱的

38、高为 2，底面周长为 16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）A2 17B 2 5C3D215（2016 年全国 I 卷理 6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 283，则它的表面积是（）A17B18C20D2816（2013 年全国 1 卷理 8）某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+167917（2016 年全国卷文 7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何

39、体的三视图，则该几何体的表面积为（）A 20B 24C28D 3218（2015 年全国卷文 11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则 r ()A1B2C 4D8三、点、线、面位置关系1（2019 年全国卷理 7）设，为两个平面，则的充要条件是（）A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面802（2013 年全国全国卷理 4）已知 m，n 为异面直线，m平面，n平面，直线 l 满足 l m，l n，,l,l则（）A且l B且l C与相交，且交线垂直于

40、lD与相交，且交线平行于l3、是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n，那么.（2）如果 m，n，那么 mn.（3）如果，m，那么 m.（4）如果 mn，那么 m 与所成的角和 n 与所成的角相等，其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号）四、异面直线形成的角1（2018 年全国卷 II 文 9）在正方体1111ABCDA B C D中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线 AE与CD 所成角的正切值为（）A22B32C52D722（2012 年全国文科）已知正方体1111ABCDA B C D中，E、F 分别为11BBCC、的中点，那么异面直线 AE 与1D

41、 F 所成角的余弦值为_.813（2018 年全国 II 卷理 9）在长方体1111ABCDA B C D中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A 15B56C55D224.（2021 年全国乙卷文）在正方体1111ABCDA B C D中，P 为11B D 的中点，则直线 PB 与1AD 所成的角为（）A 2B 3C 4D 65（2017 年全国 II 卷理 10）已知直三棱柱111CC 中，C120，2，1CCC1，则异面直线1 与1C所成角的余弦值为（）A32B155C105D336（2012 年全国卷理 16）三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边

42、长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为_.7（理科）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）828.（2016 年全国 I 卷 12）平面过正方体 ABCDA1B1C1D1 的

43、顶点 A，11/DCB平面，平面=，平面11=，则 m，n 所成角的正弦值为（）A 32B 22C 33D139（2015 年全国卷理）如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC（1）证明：平面 AEC平面 AFC；（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值83五、球1（2017 年全国卷理 8）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A B 34C 2D 42.已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且6,2 3

44、ABBC，则棱锥OABCD的体积为_3（2013 年全国 I 卷文 15）已知 H 是球O的直径 AB 上一点，:1:2AH HB，AB 平面 ，H 为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_.4.（2021 年全国甲卷理）已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC的体积为（）A212B312C24D34845（2013 年全国 1 卷理 6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A 5003

45、cm3B 8663 cm3C13723 cm3D10003 cm36（2020 年全国文 16）已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_7（2016 年全国卷文 11）在封闭的直三棱柱 111内有一个体积为 V 的球，若，=6，=8，1=3，则该球体积 V 的最大值是（）A4B92 C6D323 8正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（）A 814B16C9D 2749（2013 年全国卷文 15）已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 3 22，底面边长为3，则以 O为球心，OA 为半径的球的表面积为_.10（202

46、0 年全国卷文 12）已知,A B C 为球O的球面上的三个点，1O 为 ABC的外接圆，若1O 的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）A64B48C36D328511（2017 年全国 I 卷文 16）已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O的直径.若平面 SCA 平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O 的表面积为_12（2015 年全国卷理 9）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90o，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（）A36B64C144D 256

47、13（2018 年全国卷文 12）设 ABCD，是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥 DABC体积的最大值为（）A12 3B18 3C 24 3D54 314（2020 年全国卷文 11）已知ABC 是面积为 9 34的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为（）A3B 32C1D3215已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为（）A26B36C23D2216（2019 年全国卷理 12）已知三棱锥 P-A

48、BC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为（）A8 6B 4 6C 2 6D686第 11 节 立体几何（文科大题）一、面积与体积1.（2013 年全国 I 卷）如图，三棱柱111ABCA B C中，CACB，1ABAA，160BAA（1）证明：CAAB1；（2）若6,21CACBAB，求三棱柱111ABCA B C的体积2（2013 年全国 II 卷）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D,E 分别是 AB，BB1 的中点.（）证明：BC1/平面 A1CD;（）设 AA1=

49、AC=CB=2，AB=2 2，求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.3（2019 年全国卷）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBB C C的体积874.（2021 年全国乙卷）如图，四棱锥 PABCD的底面是矩形，PD 底面 ABCD，M 为 BC 的中点，且 PBAM（1）证明：平面 PAM 平面 PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥 PABCD的体积5（2016 年全国 III 卷）如图，四棱锥 中，平面，=3，=4，为线段上一点，=2，为的

50、中点（I）证明/平面；（II）求四面体 的体积.6.（2021 年全国甲卷）已知直三棱柱111ABCA B C中，侧面11AA B B 为正方形，2ABBC，E，F 分别为 AC 和1CC 的中点，11BFA B.（1）求三棱锥 FEBC的体积；（2）已知 D 为棱11A B 上的点，证明：BFDE.887（2018 年全国 I 卷）如图，在平行四边形 ABCM 中，3ABAC，90ACM，以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA（1）证明：平面 ACD 平面 ABC；（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且23BPDQDA，求三棱锥QA

51、BP的体积8（2015 年全国卷）如图，长方体1111ABCDA B C D中,116,10,8ABBCAA，点,E F 分别在1111,A B D C 上，114A ED F，过点,E F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值9（2017 年全国 II 卷）四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,01,90.2ABBCADBADABC（1）证明：直线/BC平面 PAD;（2）若 PCD面积为2 7，求四棱锥 PABCD的体积.8910（2016 年全国 II

52、 卷）如图，菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD 交于点O，点,E F 分别在,AD CD上，,AECF EF交 BD 于点 H，将 DEF沿 EF 折起到 D EF 的位置.（）证明：ACHD；（)若55,6,2 24ABACAEOD，求五棱锥 DABCFE 的体积.11.（2019 年全国卷）图 1 是由矩形,ADEB Rt ABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中1,2ABBEBF，60FBC，将其沿,AB BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明图 2 中的,A C G D四点共面，且平面 ABC 平面 BCGE；（2）求图 2 中的四边形 AC

53、GD 的面积.9012（2017 年全国 I 卷）如图，在四棱锥 PABCD中，ABCD，且90BAPCDP .（1）证明：平面 PAB 平面 PAD；（2）若 PAPDABDC，90APD，且四棱锥 PABCD的体积为 83，求该四棱锥的侧面积13（2015 年全国卷）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点，BEABCD 平面，（I）证明：平面 AEC 平面 BED；（II）若120ABC，,AEEC三棱锥 EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.14（2012 年全国 I 卷）如图，三棱柱111ABCA B C中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=12 AA1，

54、D 是棱 AA1 的中点（I）证明：平面 BDC 平面1BDC；（）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.9115（2017 年全国 III 卷）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD 是直角三角形，AB=BD若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比16（2020 年全国卷）如图，D 为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，APC=90（1）证明：平面 PAB平面 PAC；（2）设 DO=2，圆锥的侧面积为3，求三

55、棱锥 PABC 的体积.9217如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延长交 AB 于点 G.（）证明：G 是 AB 的中点；（）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积二、点到平面的距离（文科）1已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，CC1=2 2,E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面BED 的距离为（）A2B3C 2D12（2019 年全国卷）已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一

56、点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为3，那么 P 到平面 ABC 的距离为_933（2019 年全国卷）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离4如图，四棱锥 PABCD中，90ABCBAD，2,BCADPABPAD与都是边长为2的等边三角形.（I）证明：;PBCD（II）求点 A 到平面 PCD 的距离.5（2018 年全国 II 卷）如图，在三棱锥 PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC

57、，O为 AC 的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且2MCMB，求点C 到平面 POM 的距离946（2014 年全国卷）如图，三棱柱111ABCA B C中，侧面CCBB11为菱形，CB1的中点为 O，且AO平面CCBB11.（1）证明：ABCB1；（2）若1,60,011BCCBBABAC,求三棱柱111ABCA B C的高.7（2014 年全国卷）如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 面 ABCD，E 为PD 的中点（1）证明：/PB平面 AEC;（2）设1AP ，3AD，三棱锥 PABD的体积34V，求 A 到平面 PBC 的距离95

58、三、其他1（2020 年全国卷）如图，在长方体1111ABCDA B C D中，点 E，F 分别在棱1DD，1BB 上，且12DEED，12BFFB证明：（1）当 ABBC时，EFAC；（2）点1C 在平面 AEF 内2.（2018 年全国卷文）如图，矩形 ABCD所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于C，D 的点（1）证明：平面 AMD 平面 BMC；（2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由96第 12 节 立体几何（理科大题）一、线面角（理科）1（2016 年全国卷）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB=AD=A

59、C=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点.（）证明：MN平面 PAB；（）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.2（2015 年全国卷）如图，长方体1111ABCDA B C D中,=16AB，=10BC，18AA，点 E，F 分别在11A B，11C D 上，114A ED F过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值973（2013 年全国 I 卷）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，BA A1=60.（

60、）证明：ABA1C；（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值4.（2018 年全国 I 卷）如图，四边形 ABCD为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PFBF.（1）证明：平面 PEF 平面 ABFD；（2）求 DP 与平面 ABFD所成角的正弦值.985.如图，四棱锥 SABCD中，/ABCD,BCCD，侧面 SAB 为等边三角形，2,1ABBCCDSD.（1）证明：SD 平面 SAB；（2）求 AB 与平面 SBC 所成角的大小的正弦值6（2012 全国卷

61、）如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为菱形，PA 底面 ABCD，2 2AC，2PA，E 是 PC 上的一点，2PEEC（1）证明：PC 平面 BED；（2）设二面角 APBC为90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.997（2018 年全国 II 卷）如图，在三棱锥 PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为 AC 的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC为30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值二、二面角（理科）1（2019 年全国卷）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在

62、棱 AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1 的正弦值.1002（2020 年全国卷）如图，在长方体1111ABCDA B C D中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DEED，12BFFB（1）证明：点1C 在平面 AEF 内；（2）若2AB，1AD ，13AA，求二面角1AEFA的正弦值3（2013 年全国卷）如图，直三棱柱111ABCA B C中，D，E 分别是 AB，1BB 的中点，122AAACCBAB.（1）证明：1/BC平面1ACD；（2）求二面角1DACE的正弦值1014（2012 年全国 I 卷）如图，

63、直三棱柱111ABCA B C中，112ACBCAA，D 是棱1AA 的中点，BDDC 1。（1）证明：BCDC 1；（2）求二面角11CBDA的大小.5（2019 年全国卷）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值1026.（2021 年全国乙卷）如图，四棱锥 PABCD的底面是矩形，PD 底面 ABCD，1PDDC，M 为 BC 的中点，且 PBAM（1）求 BC；（2）求二面角 APMB的正弦值7（2017 年全国卷）

64、如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP .（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角 APBC 的余弦值.1038四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面 ABCD（1）证明：PABD；（2）若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值9（2013 年全国卷）如图，四棱锥 P-ABCD 中，090ABCBAD，2BCAD，PAB和 PAD都是等边三角形.（）证明：PBCD；（）求二面角 A-PD-C 的余弦值.10410（2019 年全国卷）图 1 是由矩形 ADE

65、B，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 BCGA 的大小.11（2018 年全国卷）如图，边长为 2 的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于C，D 的点（1）证明：平面 AMD 平面 BMC；（2）当三棱锥 MABC体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值10512（2016 年全国卷）如图，菱形

66、 ABCD的对角线 AC 与 BD 交于点,5,6O ABAC，点,E F分别在,AD CD 上，5,4AECFEF交 BD 于点 H，将 DEF沿 EF 折到 D EF位置，10OD.（1）证明：D H平面 ABCD；（2）求二面角 BD AC的正弦值.13（2014 年全国卷）如图，三棱柱111CBAABC 中，侧面CCBB11为菱形，CBAB1.（）证明：1ABAC；（）若1ACAB，BCABCBB,6001，求二面角111CBAA的余弦值.10614（2014 全国卷）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为PD 的中点(1)证明：PB平面 A

67、EC；(2)设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 E-ACD 的体积。15（2021 年全国甲卷）已知直三棱柱111ABCA B C中，侧面11AA B B 为正方形，2ABBC，E，F 分别为 AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点11BFA B。（1）证明：BFDE；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小?10716.（2017 年全国卷）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点

68、 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值.17（2016 年全国 1 卷）如图，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，=2，=90，且二面角 与二面角 都是60.（1）证明：平面 平面；（2）求二面角 的余弦值.10818（2020 年全国卷）如图，D 为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，66PODO（1）证明：PA 平面 PBC；（2）求二面角 BPCE的余弦值19（2017 年全国卷）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形且垂直于底面

69、 ABCD，o1,90,2ABBCADBADABC E 是 PD 的中点（1）证明：直线/CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为o45，求二面角 MABD的余弦值109第 13 节 概率统计 I一、抽样1（2013 年全国 I 卷）为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样2（2018 年全国卷文）某公司有大量客户，且不同龄

70、段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_3（2019 年全国卷文）某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是（）A8 号学生B200 号学生C616 号学生D815 号学生二、古典概型1（2020 年全国卷文）设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（）A 15B 25

71、C 12D 452（2018 年全国II 卷理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（）A 112B 114C 115D 1181103（2019 年全国卷理）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（）A 516B 1132C 2132D 11164（2019 年全国卷文）生物实验室有 5

72、 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为（）A 23B 35C 25D 155（2018 年全国 II 卷文）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2人都是女同学的概率为（）A0.6B0.5C0.4D0.36.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）A 310B 15C 110D 1207.（2016 年全国 III 卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，

73、只记得第一位是M，I，N 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A815B18C115D1308（2017 年全国 II 卷文）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A 110B 35C 310D 251119为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A 13B 12C 23D 5610（2013 年全国 I 卷文）从 1，2，3，4

74、 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（）A 12B 13C 14D 1611.有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A 13B 12C 23D 3412（2014 年全国卷文）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_.13（2014 年全国卷文）甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_14（2013 年全国 II 卷理）从 n 个正整数 1，2，n

75、 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 114，则 n=_.15（2014 年全国 I 卷理）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A 81B 83C 85D 8711216（2019 年全国卷文）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A 16B 14C 13D 1217（2021 年全国高考甲卷数学文）将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A0.3B0.5C0.6D0.818.（2021 年全国甲卷理）将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一

76、行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A 13B 25C 23D 4519.（2021 年全国乙卷理）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60 种B120 种C240 种D480 种三、几何概型1.（2016 年全国 I 卷理）某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（）A 13B 12C 23D 342（2016 年全国 II

77、 卷文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（）A 710B 58C 38D 3101133（2017 年全国 I 卷理）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A 14B 8C 12D 44（2018 年全国 I 卷理）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，ACABC

78、的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记为 III在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为 p1，p2，p3，则（）Ap1=p2Bp1=p3Cp2=p3Dp1=p2+p35.（2021 年全国乙卷文）在区间10,2 随机取 1 个数，则取到的数小于 13 的概率为（）A 34B 23C 13D 166.（2021 年全国乙卷理）在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1 个数，则两数之和大于 74 的概率为（）A 79B 2332C 932D 297（2016 年全国 II 卷理）从区间0,1随机抽取 2个数1,2，1，2，构成n 个数对(1,1)，

79、(2,2)，(,)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A4B2C4D2114四、信息读取1某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5下面叙述不正确的是()A各月的平均最低气温都在 0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于 20的月份有 5 个2（2015 年全国卷理）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图以下结论不正确

80、的是（）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）115A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4（2018

81、 年全国 I 卷理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半五、数字特征1（2019 年全国卷理）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9个原始评分相比，不变的

82、数字特征是（）A中位数B平均数C方差D极差2（2017 年全国 I 卷文）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn 的平均数Bx1，x2，xn 的标准差Cx1，x2，xn 的最大值Dx1，x2，xn 的中位数1163（2020 年全国卷文）设一组样本数据 x1，x2，xn 的方差为 0.01，则数据 10 x1，10 x2，10 xn 的方差为（）A0.01B0.1C1D104（2020 年全国卷理）在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别

83、为1234,pp pp，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A14230.1,0.4ppppB14230.4,0.1ppppC14230.2,0.3ppppD14230.3,0.2pppp5（2019 年全国卷文）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.y 的分组0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类

84、企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到 0.01）附：748.602.1176（2013 年全国 I 卷文）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3

85、.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？1187某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010（I）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于

86、基本保费”求 P（A）的估计值；（）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”求P（B）的估计值；（）求续保人本年度的平均保费估计值1198（2014 年全国卷文）某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于 90 的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价六、二项分布（理科）与条件概率1（2018 年全国卷文）若某群体中的成员只用现金支付的

87、概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（）A0.3B0.4C0.6D0.72（2018 年全国卷理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，2.4DX，46P XP X，则 p （）A0.7B0.6C0.4D0.31203（2015 年全国卷）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A0.648B0.432C0.36D0.3124某地区空气质量监测资

88、料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A0.8B0.75C0.6D0.455（2019 年全国卷理）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41获胜的概率是_6（2019 年全国卷理）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点

89、率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.7一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX _8.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_。121第 14 节 概率统计 II一、频率分布直方图1（2021 年全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地

90、农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间2（2015 年全国文）某公司为了了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对其产品的满意度的评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率

91、分布表.（）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值，给出结论即可）122B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（）根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.1233.（2018 年全国 I 卷文）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日

92、用水量0,0.10.1,0.20.2,0.30.3,0.40.4,0.50.5,0.60.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0,0.10.1,0.20.2,0.30.3,0.40.4,0.50.5,0.6频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）1244（2019 年全国卷文）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度

93、，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成,A B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P C 的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.1255（2014 年全国卷文）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指

94、标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？126二、回归方程1（2014 年全国卷理）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号

95、 t1234567人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求 y 关于 t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121niiiniittyybtt，aybt。1272（2020 年全国卷文）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数

96、据(xi，yi)(i=1，2，20)，其中 xi和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix，2011200iiy，2021)80iixx（，2021)9000iiyy（，201)800iiixyxy（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，20)的相关系数（精确到 0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法

97、，并说明理由.附：相关系数 r=12211)niiiiinniixyxxyyyx（，1.414.1283（2016 年全国 III 卷理）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiit y，721()0.55iiyy，7 2.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，

98、回归方程 yabt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，=.a yb t 1294（2017 年全国 I 卷文）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸995101299699610019929981004抽取次序910111213141516零件尺寸10269911013100292210041005995经计算得16119.9716iixx，16162221111160.212161

99、6iiiisxxxx，16162118.518.439,8.52.78iiiixxi，其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,.,16i（1）求,1,2,.,16ix ii 的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3,3xs xs之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（）在3,3xs xs之外的数据称为离群值，试剔除

100、离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）附：样本,1,2,.,iix yin的相关系数12211niiinniiiix ynxyrxxyy，0.0080.091305（2020 年全国卷文）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,20)iix yi 得到下面的散点图：由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是（）A yabxB2yabxCexyabDlnyabx1316（2015

101、年全国卷理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费ix 和年销售量iy（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiww yy46.65636.8289.81.61469108.8表中iiwx，w=1881iiw（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判

102、断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v，22(,)u v，(,)nnu v，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：132三、独立性检验1（2019 年全国卷我）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计

103、男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b dP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8281332（2021 年全国甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有 99%的把握认为

104、甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.8281343（2020 年全国卷理）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级0，200(200，400(400，6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用

105、该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3或 4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 22 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8281354（2018 年全国卷理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产

106、方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？1365（2017 年全国 II 卷理）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了

107、 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）137四、频率与概率1（2020 年全国卷文）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级

108、品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据

109、，厂家应选哪个分厂承接加工业务?1382（2019 年全国卷理）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.（1）求 P（X=2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.3某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经

110、验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，写出 Y

111、的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率1394（2015 年全国卷理）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A、B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：6273819295857464537678869566977888827689B 地区：7383625191465373648293489581745654766579（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分

112、不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率1405.设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别是 0.6，0.5，0.5，0.4 各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值.6.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝

113、 10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理（）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式（）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量 n14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率.（命题意图）本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均

114、值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题.1417（2020 年全国卷理）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.五、分布列和期望1根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的

115、概率为 0.3设各车主购买保险相互独立（）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；（）X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求 X 的期望1422（2013 年全国 II 卷理）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 x（单位：t，100 x150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T 表示利润.（）将 T 表示为 x 的函数；（）根据直方图

116、估计利润 T 不少于 57000 元的概率;（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 x100,110)，则取 x=105，且 x=105 的概率等于需求量落入100，110)，求 T 的数学期望.1433根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(II)求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.4.（2021 年全国新高考卷）某学校组织

117、“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题

118、？并说明理由.1445（2014 年全国卷理）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均值 x 和样本方差2s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 Z 服从正态分布2,N ，其中 近似为样本平均数 x，2 近似为样本方差2s.（i）利用该正态分布，求 187.8212.2PZ；（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2 的产品件数.利用（i）的结果，求 EX

119、.附：15012.2，若2,ZN 则 0.6826PZ，220.9544PZ1456为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2,N .（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)uu之外的零件数，求(1)P X 及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)uu之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（）试说明上述监控生产过程方法的合

120、理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，16162221111160.2121616iiiisxxxx，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，1,2,16i.用样本平均数 x 作为的估计值 ，用样本标准差 s 作为的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到 0.01）.附：若随机变量 Z 服从正态分布2,N ，则 330.9

121、974PZ，160.99740.9592，0.0080.09.1467甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 12，各局比赛的结束相互独立，第 1 局甲当裁判.（）求第 4 局甲当裁判的概率；（）X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望.8（2013 年全国 I 卷理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1

122、件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望。1479（2016 年全国 I 卷理）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器

123、时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（1）求 X 的分布列；（2）若要求()0.5，确定 n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在=19 与=20 之中选其一，应选用哪个？14810某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购

124、进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式.（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由.14911乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换，每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分，设

125、在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（1）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；（2）表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 的期望.12设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望.15013（2018 年全国 I 卷理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检

126、验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为()f p，求()f p 的最大值点0p；（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的0p 作为 p 的值已知每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望

127、值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？15114（2019 年全国卷理）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈

128、则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求 X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p ，11iiiipapbpcp(1,2,7)i，其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1iipp(0,1,2,7)i 为等比数列；(ii)求4p，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性152第 15 节 圆锥曲线小题一、直线和圆1（2020 年全国卷文 6）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若

129、=1AC BC，则点 C 的轨迹为（）A圆B椭圆C抛物线D直线2（2015 年全国卷理 7）过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 MN（）A2B8C4D103（2020 年全国卷文 8）点(0，1)到直线1yk x距离的最大值为（）A1B 2C3D24（2016 年全国卷理 4）圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a（）A43B34C3D25（2018 年全国 I 卷文 15）直线1yx 与圆22230 xyy交于 AB，两点，则 AB _6设直线2yxa与圆 C：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A，B 两点，若2

130、3AB，则圆 C 的面积为_。7（2020 年全国卷文 6）已知圆2260 xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A1B2C3D41538（2016 年全国卷文 15）已知直线l：360 xy与圆2212xy交于,A B 两点，过,A B分别作l 的垂线与 x 轴交于,C D 两点.则 CD _.9（2018 年全国卷理 6）直线20 xy分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是（）A26，B48，C23 2，D 2 23 2，10（2020 年全国卷文 8）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 23

131、0 xy的距离为（）A55B 2 55C 3 55D 4 5511（2011 年文科数学）设两圆1C、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C=（）A4B4 2C8D8 212（2016 年全国卷理 16）已知直线l：330mxym与圆2212xy交于 A，B 两点，过 A，B 分别作l 的垂线与 x 轴交于C，D 两点，若|2 3AB，则|CD _13（2014 年全国卷理 16）设点 M（0 x,1），若在圆 O:221xy 上存在点 N，使得OMN=45，则0 x 的取值范围是_.15414（2020 年全国卷理 11）已知M：222220 xyxy，直线l：

132、220 xy，P 为l上的动点，过点 P 作M 的切线,PA PB，切点为,A B，当|PMAB最小时，直线 AB 的方程为（）A 210 xy B 210 xy C 210 xy D 210 xy 二、椭圆1（2011 年考试文科数学）椭圆181622 yx的离心率为（）A 13B 12C32D222（2011 年理科数学）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F，2F 在 x 轴上，离心率为22，过1F 作直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF的周长为16，那么C 的方程为_3（2014 年文大纲卷）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左右焦点为 F1,F2

133、，离心率为33，过 F2 的直线 l 交 C 与 A,B 两点，若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为（）A22132xyB2213xyC221128xyD221124xy4（2013 年全文科大纲）已知121,0,1,0FF是椭圆 C 的两个焦点，过2F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A、B 两点，且3AB ，则C 的方程为（）A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy1555.（2021 年全国乙卷文）设 B 是椭圆22:15xCy 的上顶点，点 P 在 C 上，则 PB 的最大值为（）A 52B6C5D26（2018 年全国 I 卷文 4）已知椭圆C：22

134、21(0)4xyaa 的一个焦点为(2 0)，则C 的离心率为（）A 13B 12C22D 2 237直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为()A 13B 12C 23D 348.（2017 全国卷卷文 11）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为（）A63B33C23D 139（2013 年全国卷文 5）设椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，P 是C 上的点，2PF 1F2F，12PF

135、F=30o，则 C 的离心率为（）A36B 13C 12D3315610（2018 年全国 II 卷文）已知1F，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PFPF，且2160PF F，则C 的离心率为（）A312B23C312D3111（2021 年全国甲卷理）已知12,F F 是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且121260,3F PFPFPF，则 C 的离心率为（）A72B 132C7D 1312（2012 年全国 I 卷理 4）设1F、2F 是椭圆 E：22221(0)xyabab的左、右焦点，P 为直线32ax 上一点，21F PF是底角为30的等腰三角形，则

136、 E 的离心率为（）A 12B 23C 34D 4513.（2018 年全国 II 卷理 16）已知1F，2F 是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A 是C的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为36的直线上，12PF F为等腰三角形，12120F F P，则C 的离心率为（）A 23B 12C 13D 1414（2021 年全国高考甲卷理）已知12,F F 为椭圆 C：221164xy的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQF F，则四边形12PFQF 的面积为_15715（2019 年全国卷文 15）设12FF，为椭圆22:+13620 xyC 的两个焦

137、点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F为等腰三角形，则 M 的坐标为_.16.（2021 年全国新高考卷）已知1F，2F 是椭圆C：22194xy 的两个焦点，点 M 在C 上，则12MFMF的最大值为（）A13B12C9D617（2013 年全国 I 卷理 11）已知椭圆22xa 22yb 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为（）A245x 236y 1B236x 227y 1C227x 182y 1D218x 92y 118（2016 年全国卷文 12）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：

138、22+22=1(0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A13B12C23D3419（2021 年全国乙卷理）设 B 是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C 上的任意一点 P都满足|2PBb，则C 的离心率的取值范围是（）A2,12B 1,12C20,2D10,215820（2019 年全国卷文 12）已知椭圆 C 的焦点为121,01,0FF()，()，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点，若BFAF22

139、2，1BFAB，则 C 的方程为（）A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy21（2013 年理科数学（全国大纲卷）椭圆 C：22143xy 的左右顶点分别为12,A A，点 P 在 C上且直线2PA 斜率的取值范围是 2,1，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A 1 3,2 4B 3 3,8 4C 1,12D 3,1422（2017 年全国卷文 12）设 A，B 是椭圆 C：2213xym 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M满足AMB=120，则 m 的取值范围是（）A(0,19,)B(0,39,)C(0,14,)D(0,34,)三、双曲线1（2014 年全国卷文

140、4）已知双曲线)0(13222ayax的离心率为 2，则 a=（）A2B26C25D12（2017 年全国 II 卷文 5）若1a ，则双曲线2221xya 的离心率的取值范围是（）A(2,)B(2,2)C(1,2)D(1,2)1593（2016 年全国卷理 5）已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（）A(1,3)B(1,3)C(0,3)D(0,3)4（2017 全国 III 卷文 14）双曲线22219xya （a 0）的一条渐近线方程为35yx，则 a=_5（2013 年全国卷文 4）已知双曲线2222:1xyC ab(0,0)a

141、b的离心率为52，则C 的渐近线方程为（）A14yx B13yx C12yx D yx 6（2018 年全国卷 II 文 6）双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为（）A2yx B3yx C22yx D32yx 7（2020 年全国卷文 14）设双曲线 C：22221xyab(a0，b0)的一条渐近线为 y=2 x，则C 的离心率为_8（2015 年全国卷文 15）已知双曲线过点(4,3)，且渐近线方程为12yx，则该双曲线的标准方程为_.1609（2018 年全国卷文 10）已知双曲线22221(00)xyCabab：，的离心率为 2，则点(4,0)到C 的渐近

142、线的距离为（）A 2B 2C 3 22D 2 210（2021 年全国甲卷文）点3,0 到双曲线221169xy 的一条渐近线的距离为（）A 95B 85C 65D 4511（2021 年全国乙卷文）双曲线22145xy 的右焦点到直线280 xy的距离为_12（2014 年全国卷理 4）已知 F 为双曲线 C:)0(322mmmyx的一个焦点，则点 F 到 C的一条渐近线的距离为（）A3B3Cm3D m313双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（）A2B2 2C4D 4 214.（2021 年全国乙卷理）已知双曲线22:1(0)x

143、Cymm 的一条渐近线为30 xmy，则 C的焦距为_16115（2012年全国卷理8）已知F1、F2为双曲线C：x-y=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则 cosF1PF2=（）A 14B 35C 34D 4516（2014 年理科数学大纲卷）已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为1F、2F，点 A 在 C 上，若122F AF A，则21cosAF F（）A 14B 13C24D2317（2017 年全国卷文 5）已知 F 是双曲线 C：2213yx 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1，3)，则 APF的面积为（）A 13B 1

144、 2C 2 3D 3218（2011 年理科数学）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C交于 A,B 两点，AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（）A 2B3C2D319（2016 年全国卷理 11）已知 F1，F2 是双曲线1:2222 byaxE的左、右焦点，点 M 在 E 上，M F1 与轴垂直，sin21=13，则 E 的离心率为（）A 2B32C 3D216220（2015 年全国卷理 11）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（）A5B 2C3D

145、221（2018 年全国卷理数 11）设1F,2F 是双曲线)0,0(1:2222babyaxC的左、右焦点，O是坐标原点过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若16PFOP，则C 的离心率为（）A5B3C 2D222（2017 年全国卷理 15）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线C 的一条渐近线于交 M、N 两点，若60MAN，则C 的离心率为_23（2011 年理科数学）已知1F，2F 分别为双曲线221927xyC：的左、右焦点，点 AC，点 M的坐标为2,0，AM 为12F AF的角平分线，则2AF

146、 _。24（2015 年全国卷理 5）已知00(,)M xy是双曲线C：2212xy 上的一点，1F，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF，则0y 的取值范围是（）A33(,)33B33(,)66C2 2 2 2(,)33D2 3 2 3(,)3316325（2015 年全国卷文 16）已知 F是双曲线22:18yC x 的右焦点，P 是 C 左支上一点，0,6 6A，当 APF周长最小时，该三角形的面积为26（2020 年全国卷理 15）已知 F 为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为

147、 3，则 C 的离心率为_.27（2020 年全国卷理 8）设O为坐标原点，直线 xa与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于,D E 两点，若 ODE的面积为 8，则C 的焦距的最小值为（）A4B8C16D3228（2019 年全国卷文 10）双曲线 C:22221(0,0)xyabab的 一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率为（）A2sin40B2cos40C1sin50D1cos5029（2020 年全国卷理 11）设双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5 P 是 C 上一点，且 F1PF2P若PF1F2

148、 的面积为 4，则 a=（）A1B2C4D816430（2019 年全国卷文 10）已知 F 是双曲线22:145xyC-=的一个焦点，点 P 在C 上，O为坐标原点，若=OPOF，则OPF的面积为（）A 32B 52C 72D 9231（2019 年全国卷理 10）双曲线 C：2242xy=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=POPF，则PFO 的面积为（）A 3 24B 3 22C2 2D3 232（2020 年全国卷文 11）设12,F F 是双曲线22:13yC x 的两个焦点，O为坐标原点，点 P 在C 上且|2OP，则12PF F的面积为（）A

149、72B3C 52D233（2018 年全国 I 卷理 11）已知双曲线 C：2213xy，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|=（）A 32B3C2 3D434（2019 年全国卷理 16）已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若1F AAB，120F B F B，则 C 的离心率为_165四、抛物线1（2014 年全国卷文 10）已知抛物线 C：xy 2的焦点为 F，),(00 yxA是 C 上一点，0

150、45 xAF，则0 x（）A1B2C4D82（2020 年全国卷理 4）已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（）A2B3C6D93（2020 年全国 卷理 5）设O为坐标原点，直线2x 与抛物线 C：22(0)ypx p交于 D，E 两点，若ODOE，则C 的焦点坐标为（）A 1,04B 1,02C(1,0)D(2,0)4.（2016 年全国卷文 5）设 F 为抛物线2:4C yx的焦点，曲线0kykx与C 交于点 P，PFx轴，则 k （）A 12B1C 32D 25.（2021 年新高考卷）已知O为坐标原

151、点，抛物线C：22ypx(0p)的焦点为 F，P 为C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQOP，若6FQ，则C 的准线方程为_.1666（2014 全国卷文 10）设 F 为抛物线2:3C yx的焦点，过 F 且倾斜角为30的直线交C 于 A，B 两点，则 AB （）A303B6C12D7 37（2014 年全国卷理 10）设 F 为抛物线 C:23yx的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A 3 34B 9 38C 6332D 948（2018 年全国 I 卷理 8）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F

152、，过点（2，0）且斜率为 23 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM FN =（）A5B6C7D89已知抛物线C:28yx与点2,2M，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于 A,B 两点，若0MA MB，则 k （）A 12B22C 2D 210（2018 年全国卷理 16）已知点1 1M，和抛物线24C yx：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于 A，B 两点若90AMB，则k _16711过抛物线 C：y24x 的焦点 F，且斜率为3 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方)，l 为 C的准线，点 N 在 l 上且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为（）A5B2

153、2C2 3D3 312（2017 年全国卷理 16）已知 F是抛物线C:28yx的焦点，是C 上一点，F 的延长线交 y 轴于点 若 为 F 的中点，则 F _13（2014 年全国卷理 10）已知抛物线 C：xy82 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q是直线 PF 与 C 得一个交点，若4FPFQ，则 QF=（）A 27B3C 25D214（2013 年全国卷文 10）设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，直线l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|，则l 的方程为（）Ay=x-1 或 y=-x+1By=33（x-1）或 y=33（x-1）Cy=3（x

154、-1）或 y=3（x-1）Dy=22（x-1）或 y=22（x-1）15（2017 年全国 1 卷理 10）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A16B14C12D10168五、圆锥曲线综合1（2015 年全国卷理 14）一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_.2已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点.则 C 的方

155、程为（）A221810 xyB22145xyC22154xyD22143xy3（2013 年全国卷理 11）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点 M 在 C 上，5MF，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（）A24yx或28yxB22yx或28yxC24yx或216yxD22yx或216yx4（2017 年全国卷理 9）若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为 2，则C 的离心率为（）A2B3C 2D 2 335（2019 年全国卷文 9）若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆2231xypp 的一个焦点，则p=

156、（）A2B3C4D81696（2015 年全国卷文 5）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 12，E 的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合，,A B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 AB （）A3B6C9D127（2012 年全国卷文 8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线xy162 的准线交于,A B 两点，4 3AB，则C 的实轴长为（）A 2B2 2C D8以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点.已知|AB|=4 2，|DE|=2 5，则 C 的焦点到准线的距离为（）A8B6C4D29（2019 年全国

157、卷理 11）设 F 为双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为（）A 2B3C2D5170第 16 节 圆锥曲线大题一、求方程1（2014 年文科）已知抛物线 C:22(0)ypx p的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且54QFPQ.（1）求抛物线 C 的方程；2（2020 年全国卷文）已知 A、B 分别为椭圆 E：2221xya （a1）的左、右顶点，G 为 E的上顶点，8AG GB，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与

158、 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；3（2020 年全国卷）已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为 154，A，B 分别为C 的左、右顶点（1）求C 的方程；1714（2019 全国卷）已知点 A(2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 12.记 M 的轨迹为曲线 C.（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；5（2013 年全国 I 卷）已知圆22:11Mxy，圆22:19Nxy，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线C（）求C 的方程；6（2016 年全国 I 卷理

159、）设圆222150 xyx的圆心为 A，直线 l 过点 B（1，0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明 EAEB为定值，并写出点 E 的轨迹方程；1727（2020 年全国卷）已知椭圆 C1：22221xyab(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|=43|AB|（1）求 C1 的离心率；8（2013 年全国 II 卷理）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：22221xyab（0

160、ab）右焦点的直线30 xy交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且OP 的斜率为 12.（）求椭圆 M 的方程；9（2015 年全国卷文）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，点(2,2)在C 上。（1）求C 的方程；（2）直线l 不过原点O且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.17310.（2018 年全国 III 卷）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143xyC：交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为10Mmm，（1）证明：12k ；11（2019 年全国卷文）已知12

161、,F F 是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点（1）若POF2 为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点 P，使得12PFPF，且12F PF的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.12（2014 年全国卷理）设1F，2F 分别是椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点，M 是C 上一点且2MF 与 x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为 N.（1）若直线 MN 的斜率为 34，求C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且15MNF N，求a，b.17413.（2014 年全国 I 卷理）已知点

162、 A(0，2)，椭圆 E：22221xyab(ab0)的离心率为32，F是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2 33，O 为坐标原点.(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.14（2017 年全国 II 卷文）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C22:12xy 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足2NPNM.（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x 上，且1OP PQ.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线l 过 C 的左焦点 F.17515（2017 年全国 I 卷理

163、）已知椭圆 C：2222=1xyab（ab0），四点 P1（1，1），P2（0，1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆 C 上.（）求 C 的方程；（）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.二、求值与证明1已知 A 是椭圆 E：22143xy 的左顶点，斜率为 0k k 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N在 E 上，MANA.（）当 AMAN时，求AMN的面积1762（2016 年全国卷文）在直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：22(0)y

164、px p于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.（）求OHON；3（2016 年全国 III 卷文）已知抛物线：2=2的焦点为，平行于轴的两条直线1,2分别交于，两点，交的准线于，两点（）若在线段上，是的中点，证明：；4（2017 年全国 III 卷文）在直角坐标系 xOy 中，曲线22yxmx与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；1775（2017 年全国 III 卷理）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以

165、线段 AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；6（2015 年全国卷理）已知椭圆222:9(0)Cxym m，直线l 不过原点O且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M（）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；7（2011 年全国 II 卷理）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C：2212yx 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为2的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足0OAOBOP（）证明：点 P 在 C 上；1788（2019 年全国卷文）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB=4，M 过点 A，B 且与

166、直线 x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径9（2017 年全国 I 卷文）设 A、B 为曲线C：24xy 上两点，A与 B 的横坐标之和为4（1）求直线 AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程17910（2019 年全国卷理）已知曲线 C：y=22x，D 为直线 y=12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.（1）证明：直线 AB 过定点：11（2018 年全国 I 卷文）设抛物线22Cyx：，点20A，20B ，过点 A 的直线l 与C交于 M，N 两点（1）当l

167、与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；（2）证明：ABMABN 18012.（2015 年全国卷理）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y=24x 与直线,0ykxa a交与 M，N 两点。（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.13（2019 年全国卷理）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 32 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若3APPB，求|AB|18114.（2021 年全国乙卷理）已知抛

168、物线2:20C xpy p的焦点为 F，且 F 与圆22:(4)1Mxy 上点的距离的最小值为 4（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB面积的最大值15.（2021 年新高考卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点117,0F、21217,02FMFMF，点 M 的轨迹为C.（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x 上，过T 的两条直线分别交C 于 A、B 两点和 P，Q 两点，且TA TBTP TQ，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.182第 17 节 导数小题一、切线方程1（2013 年全国 II 卷）已知曲线

169、421yxax 在点-12a，处切线的斜率为 8，a=（）A9B6C-9D-62（2014 年全国 II 卷）曲线1xyxe 在点（1,1）处切线的斜率等于（）A2eB eC2D13（2020 年全国卷）函数43()2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（）A21yx B21yx C23yxD21yx4（2017 年全国卷）曲线21yxx在点（1，2）处的切线方程为_5曲线2lnyx在点1,0 处的切线方程为_6曲线 y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为_.7（2018 年全国 II 卷）曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为_8.曲线21xye 在点0,2

170、 处的切线与直线0y 和 yx围成的三角形的面积为（）A.13B.12C.23D.19（2019 年全国卷）曲线23()e xyxx在点(0,0)处的切线方程为_18310（2015 年全国卷）已知函数 31f xaxx 的图像在点 1,1f的处的切线过点2,7，则 a _.11（2020 年全国卷）曲线ln1yxx 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_.12（2014 年全国卷）设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a=（）A0B1C2D313（2019 年全国卷）已知曲线elnxyaxx在点1,ae 处的切线方程为2yxb，则（）A,1ae b

171、B,1ae bC1,1aebD1,1aeb 14（2018 年全国卷理数）曲线1 exyax在点0 1，处的切线的斜率为 2，则a _15（2015 年全国卷文）已知曲线lnyxx在点1,1 处的切线与曲线221yaxax 相切，则 a=_16（2020 年全国卷理）若直线 l 与曲线 y=x 和 x2+y2=15 都相切，则 l 的方程为（）Ay=2x+1By=2x+12Cy=12 x+1Dy=12 x+1217（2016 年全国 II 卷理）若直线=+是曲线=ln+2 的切线，也是曲线=ln(+1)的切线，则=18418.（2021 年全国新高考卷）若过点,a b 可以作曲线exy 的两条

172、切线，则（）AebaBeabC0ebaD0eab二、已知函数单调性求参数范围1.若函数21()f xxaxx在 1(,)2 是增函数，则 a 的取值范围是（）A 1,0B 1,)C0,3D3,)2（2014 年全国卷文）若函数 lnf xkxx在区间1,上单调递增，则实数k 的取值范围是（）A,2 B,1 C2,D1,3若函数()cos2sinf xxax在区间(,)6 2 内是减函数，则实数 a 的取值范围是_.4若函数 1 sin 2sin3fxxxax在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（）A1,1B11,3C1 1,3 3D11,3 三、其他1（2020 年全国卷）设函数e()xf

173、 xxa若(1)4ef，则 a=_2.（2021 年全国新高考卷）函数 212lnf xxx 的最小值为_.1853（2014 年全国卷）已知函数32()31f xaxx，若()f x 存在唯一的零点0 x，且00 x，则 a的取值范围是（）A2,B1,C,2 D,1 4若2x 是函数21()(1)xf xxaxe 的极值点，则()f x 的极小值为（）A 1B32eC35eD15.（2021 年全国乙卷文）设0a，若 xa为函数 2fxa xaxb的极大值点，则（）AabB abC2abaD2aba6（2013 年全国 I 卷理）若函数 f(x)=(1x2)(x2axb)的图像关于直线 x=

174、2 对称，则 f(x)的最大值是_.7已知函数33yxxc的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c （）A 2 或 2B 9 或 3C 1 或 1D 3 或 18（2015 年全国卷理 12）设函数()fx 是奇函数()f x（xR）的导函数，(1)0f，当0 x 时，()()0 xfxf x，则使得()0f x 成立的 x 的取值范围是（）A(,1)(0,1)B),1()0,1(C(,1)(1,0)D(0,1)(1,)1869（2015 年全国卷理）设函数(21)xf xexaxa，其中1a，若存在唯一的整数0 x，使得0()0f x，则 a 的取值范围是（）A3,12eB33,2e 4C33,

175、2e 4D3,12e10（2014 年全国卷）设函数 3sinxf xm若存在 fx 的极值点0 x 满足22200 xf xm，则 m 的取值范围是（）A,66,B,44,C,22,D,11,11.设点 P 在曲线12xye上，点Q 在曲线ln(2)yx上，则 PQ 最小值为（）A1ln 2B2(1 ln 2)C1ln 2D2(1ln 2)12（2018 年全国 I 卷）已知函数 2sinsin 2f xxx，则 fx 的最小值是_187第 18 节 导数大题第一问一、切线方程1已知函数()(1)ln(1)f xxxa x.（I）当4a 时，求曲线()yf x在1,(1)f处的切线方程；2（

176、2018 年全国卷文）已知函数 21xaxxf xe（1）求曲线 yf x在点0,1处的切线方程；3（2014 年全国卷文）已知函数32()32f xxxax，曲线()yf x在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为 2.（1）求 a；4.（2011 年全国文科）已知函数 3233 6+124f xxaxa xaaR。(1)证明：曲线 yf x在0 x 处的切线过点2 2，；1885.（2014 年全国卷文）设函数 21ln12afxaxxbx a，曲线 11yf xf在点，处的切线斜率为 0。（1）求 b；6（2020 年全国卷文）设函数3()f xxbxc，曲线()yf x在点(12，

177、f(12)处的切线与 y轴垂直（1）求 b7（2014 年全国卷理）设函数1()lnxxbef xaexx，曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求,a b；8（2011 年理科）已知函数ln()1axbf xxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy（1）求 a、b 的值；1899（2015 年全国卷理）已知函数31()4f xxax（1）当 a 为何值时，x 轴为曲线()yf x的切线；10（2013 年全国 I 卷理）已知函数2(),()()xf xxaxb g xe cxd.若曲线()yf x和曲线()yg x都过点(0,

178、2)P,且在点 P 处有相同的切线42yx.（）求 a b c d,的值;二、讨论单调性【不含参】1（2016 年全国 III 卷文）设函数()=ln +1（）讨论()的单调性；2（2018 年全国 II 卷文）已知函数 32113fxxa xx（1）若3a ，求 f x 的单调区间；1903（2017 年全国 II 卷文）设函数2()(1)xf xx e，且()f x 0.（I）讨论函数()f x 的单调性；4（2020 年全国卷文）已知函数()(2)xf xea x.（1）当1a 时，讨论()f x 的单调性；5（2020 年全国卷理）已知函数2()exf xaxx.（1）当 a=1 时，

179、讨论 f（x）的单调性；6（2013 年全国 II 卷文）已知函数2()xf xx e.（1）求 f(x)的极小值和极大值；1917.（2016 年全国 II 卷理）(1)讨论函数()=2+2 的单调性，并证明当0 时，(2)+2 0；8（2018 年全国 I 卷文）已知函数 e1xf xalnx（1）设2x 是 f x 的极值点求 a，并求 f x 的单调区间；9.（2021 年全国乙卷理）设函数 lnfxax，已知0 x 是函数 yxf x的极值点（1）求 a；10（2012 年全国 I 卷理）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2xf xfefxx；（1）求()f x 的解

180、析式及单调区间；19211.（2021 年全国甲卷理）已知0a 且1a ，函数()(0)axxf xxa（1）当2a 时，求 fx 的单调区间；（2）若曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围【含参】1（2020 年全国卷文）已知函数32()f xxkxk（1）讨论()f x 的单调性；2.（2019 年全国卷文）已知函数32()22f xxax.（1）讨论()f x 的单调性；1933（2012 年全国 II 卷文）已知函数321()3f xxxax。（I）讨论()f x 的单调性；4.（2021 年全国乙卷文）已知函数32()1f xxxax（1）讨论 fx 的单调性

181、；5（2015 年全国卷文）已知 ln1f xxax.(1)讨论 fx 的单调性；6已知函数2()(2)(1)xf xxea x.（）讨论()f x 的单调性；1947（2017 年全国 III 卷文）已知函数2()ln(21)f xxaxax.（1）讨论()f x 的单调性；8.（2021 年全国甲卷文）设函数22()3ln1f xa xaxx，其中0a.（1）讨论 fx 的单调性；（2）若 yf x的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围.8（2014 年全国 II 卷理）函数 ln11axf xxaxa.（1）讨论 fx 的单调性；1959.（2018 年全国 I 卷理）已知函数1

182、()lnf xxaxx（1）讨论()f x 的单调性；10（2013 年全国 II 卷理）已知函数 f(x)=xe-ln(x+m).(1)设 x=0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；11（2013 年全国 I 卷文）已知函数2()()4xf xe axbxx，曲线()yf x在点(0,(0)f处切线方程为44yx（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值19612（2017 年全国 I 卷理）已知函数()f x=ae2x+(a2)exx.（1）讨论()f x 的单调性；13（2017 年全国 I 卷文）已知函数 2xxf xeeaa

183、 x（1）讨论()f x 的单调性；三、证明1（2011 年理科）设函数 2ln 12xf xxx，证明：当0 x 时，0f x。2（2018 年全国卷理数）已知函数 22ln 12f xxaxxx（1）若0a，证明：当 10 x 时，0f x；当0 x 时，0f x；1973（2015 年全国卷 II 理数）设函数2()emxf xxmx（1）证明：()f x 在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；4（2013 年全国卷 II 理数）已知函数(1)()ln(1)1xxf xxx.（）若0 x 时，()0f x，求 的最小值；5已知函数()1lnf xxax（1）若()0f x，求 a 的值

184、；6（2017 年全国卷 II 理数）已知函数 2ln,f xaxaxx x且 0f x.（1）求 a；1987（2020 年全国卷 II 理数）已知函数 f x=2lnx+1（1）若 f x 2x+c，求 c 的取值范围；8（2013 年全国）已知函数 32=331.f xxaxx（I）当-2a 时，讨论 f x 的单调性；（II）若2,x 时，0f x，求a 的取值范围.9（2014 年全国文科）函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a0).（1）讨论函数 f(x)的单调性；（2）若函数 f(x)在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围.19910（2018 年全国 II 卷理）已知函

185、数 2xexf xa（1）若1a ，证明：当0 x 时，1fx ；11（2019 年全国 II 卷文）已知函数()(1)ln1f xxxx，证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；12（2019 年全国 II 卷理）已知函数 11lnxf xxx.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；200第 19 节 复数一、复数计算1.（2017 年全国 II 卷）(1i)(2i)（）A1 iB13iC3iD3 3i2（2013 年全国 II 卷）3(13)i=（）A-8B8C 8iD8i3（2018 年全国卷 II）12i1 2i（）A43i55B43i55C34 i55D3

186、4 i554（2014 年全国卷）23)1()1(ii（）Ai1Bi1Ci1Di15（2020 年全国卷）4)1(i=（）A4B4C4iD4i6（2013 年全国卷）设复数 z 满足12i zi，则 z=（）A-1+iB-1-iC1+iD1-i7.（2016 年全国 III 卷）若=1+2，则 41=（）A1B-1CiD-i8（2012 年全国 I 卷）复数32izi 的共轭复数是（）A 2iB 2iC 1i D 1i 2019（2020 年全国卷）复数113i的虚部是（）A310B110C 110D 31010（2017 年全国 I 卷）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A2(1)iiB2

187、1iiC2(1)iD 1ii11（2015 年全国卷）若 a 为实数,且 2i3i1 ia，则a（）A 4B 3C3D 412（2016 年全国 1 卷）设1 2iai的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则a（）A3B2C2D313.（2021 年全国乙卷理）设 2346zzzzi，则 z （）A1 2iB1 2iC1 iD1i14下面是关于复数21zi 的四个命题：其中的真命题为（）1:2pz 22:2pzi3:pz 的共轭复数为1 i4:pz 的虚部为 1A23,ppB12,p pC24,ppD34,pp二、坐标与象限1（2017 年全国 III 卷）复平面内表示复数 z=i(2+i)的点

188、位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（2019 年全国卷）设 z=-3+2i，则在复平面内 z 对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2023（2014 年全国卷）设复数1z，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi，则12z z（）A-5B5C-4+iD-4-i4（2016 年全国卷）已知(3)(1)zmmi在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（）A(31)，B(1 3)，C(1,)D(3)，5（2019 年全国卷）设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A22+11()xyB22(1)1xyC22(1)1y

189、x D22(+1)1yx 三、模1（2020 年全国卷）若312iiz ，则|=z（）A0B1C 2D22.若43zi，则zz （）A1B 1C 4355 iD 4355 i3（2019 年全国卷）设3i12iz，则 z=（）A2B3C 2D14(2017 年全国 III 卷)设复数 z 满足(1+i)z=2i，则z（）A 12B22C 2D22035（2013 年全国 II 卷）21 i=（）A2 2B2C 2D16（2015 年全国卷）设复数 z 满足 1+z1z=i，则z（）A1B 2C3D27（2016 年全国卷）设yixi1)1(，其中 x，y 是实数，则i=xy（）A1B 2C3D

190、28（2020 年全国卷）若 z=1+i，则|z22z|=（）A0B1C 2D29（2013 年全国卷）已知复数 z 满足(3443izi），则 z 的虚部为（）A-4B45C4D 45204第 20 节 二项式定理与排列组合一、二项式定理【nba)(型】1.（2020 年全国卷）262()xx的展开式中常数项是_(用数字作答)2（2018 年全国卷）522xx的展开式中4x 的系数为（）A10B20C40D803201x的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为_.4（2016 年全国 I 卷）(2+)5的展开式中，x3 的系数是_.（用数字填写答案）5（2014 年全国 II 卷）8x

191、yyx的展开式中22x y 的系数为_.610 xa的展开式中，7x 的系数为 15，则 a=_.(用数字填写答案)7（2013 年全国 I 卷）设 m 为正整数，(xy)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m（）A5B6C7D88（2012 年全国 II 卷）若nxx)1(的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为_.205【nbanm)(型】1（2019 年全国卷）42)1)(21(xx的展开式中 x3 的系数为（）A12B16C20D242（2014 年全国 I 卷）8xyxy的

192、展开式中27x y 的系数为_.（用数字填写答案）3（2017 年全国 I 卷）621(1)(1)xx展开式中2x 的系数为（）A15B20C30D354（2017 年全国 III 卷）(x+y)(2 x-y)5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A-80B-40C40D805（2020 年全国卷）25()()xxyxy的展开式中 x3y3 的系数为（）A5B10C15D206（2015 年全国卷）4()(1)axx的展开式中，若 x 的奇数次幂的项的系数之和为 32，则a _7（2013 年全国卷）已知(1ax)(1x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a（）A4B3C2D185

193、12axxxx的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（）A-40B-20C20D402069（2013 年全国 II 卷）84(1)(1)xy的展开式中22x y 的系数是（）A56B84C112D168【ncba)(型】1（2015 年全国卷）52xxy的展开式中，52x y 的系数为（）A10B20C30D60二、排列组合1（2014 年全国 II 卷）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A60 种B70 种C75 种D150 种2某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 为朋

194、友，每位朋友1 本，则不同的赠送方法共有（）A4 种B10 种C18 种D20 种3将2 名教师，4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A12种B10种C9种D8 种4将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种2075（2016 年全国 II 卷）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A24B1

195、8C12D96安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有()A12 种B18 种C24 种D36 种76 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种.（用数字作答）8（2018 年全国 I 卷）从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）9（2020 年全国卷）4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种.208第 21 节 极参一、直线参数方程中的“t”1（2018 年全国 II

196、 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为24xcosysin（为参数），直线l 的参数方程为12xtcosytsin（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为1,2，求l 的斜率2（2018 年全国卷）在平面直角坐标系 xOy 中，O的参数方程为cossinxy，（为参数），过点02，且倾斜角为 的直线l 与O交于 AB，两点（1）求 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程209二、椭圆上点到直线的距离1.（2016 年全国 III 卷）在直角坐标系中，曲线1的参数方程为 =3cos=sin（为参数），以坐标原点

197、为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为sin(+4)=2 2.（1）写出1的普通方程和2的直角坐标方程；（2）设点在1上，点在2上，求 的最小值以及此时的直角坐标.2（2019 年全国卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos3 sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值2103（2014 年全国卷）已知曲线221:149xyC，直线l：2,22,xtyt（t 为参数）.（I）写出

198、曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II）过曲线C 上任意一点 P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点 A，PA 的最大值与最小值4（2017 年全国 I 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cos,sin,xy（为参数），直线 l 的参数方程为4,1,xattyt（为参数）（1）若1a ，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a 211三、认识参数方程1（2020 年全国卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为22223xttytt，(t 为参数且t1)，C 与坐标轴交于 A，B 两点.（1）求|AB|：（2

199、）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程.2（2014 年全国卷）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos,0,2（1）求C 得参数方程；（2）设点 D 在C 上，C 在 D 处的切线与直线:32l yx垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标2123（2013 年全国 II 卷）已知动点,P Q 都在曲线2cos:2sinxtCyt（t 为参数）上，对应参数分别为t与202t，M 为 PQ 的中点（1）求 M 的轨迹的参数方程；（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数

200、，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点4.（2021 年全国甲卷理）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2 cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为1,0，M 为 C 上的动点，点 P 满足2APAM，写出的轨迹1C的参数方程，并判断 C 与1C 是否有公共点2135（2020 年全国卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos,sinkkxtyt(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4 cos16 sin30（1）当1k 时，1

201、C 是什么曲线？（2）当4k 时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标6（2020 年全国卷）已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1：224cos4sinxy，（为参数），C2：1,1xttytt （t 为参数）.（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.2147.（2021 年全国乙卷文）在直角坐标系 xOy 中，C的圆心为2,1C，半径为 1（1）写出C的一个参数方程;（2）过点4,1F作C的两条切线以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标

202、系，求这两条切线的极坐标方程8（2012 年全国 I 卷）已知曲线1C 的参数方程是2cos3sinxy（是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C:的极坐标方程是 =2，正方形 ABCD 的顶点都在2C上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2，3）.（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）设 P 为1C 上任意一点，求2222|PAPBPCPD的取值范围.215四、极坐标下的弦长公式1（2011 年全国文科）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos(22sinxy为参数)，M是曲线1C 上的动点，点 P 满足2OPOM.（1）求

203、点 P 的轨迹方程2C；（2）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 与曲线12,C C 交于不同于原点的点,A B，求 AB.2在直角坐标系 xOy 中，直线1;2C x ，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求1C，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为4R，设23,C C 的交点为,M N，求2C MN的面积2163（2015 全国卷）直角坐标系 xOy 中，曲线1cos,:sin,xtCyt（t 为参数，且0t），其中0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin,:2 3cos.CC（）求

204、2C 与3C 交点的直角坐标；（）若1C 与2C 相交于点 A，1C 与3C 相交于点 B，求 AB 最大值.4在直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为22(6)25xy（）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（）直线l 的参数方程是cossinxtyt（t 为参数），l 与C 交于,A B 两点，|10AB，求l 的斜率217五、极坐标1（2013 年全国 I 卷）已知曲线1C 的参数方程为45cos,55sinxtyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin。（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程

205、；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02）。2（2017 年全国 III 卷）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为2+,xtykt（t 为参数），直线 l2 的参数方程为2,xmmmyk （为参数），设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线C（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:cossin20l，M 为l3 与 C 的交点，求 M 的极径.2183（2019 年全国卷）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M 在曲线:4sinC 上，直线 l 过点(4,0)A且与 OM 垂直，垂足为 P

206、.（1）当0=3 时，求0 及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.4在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos4（1）M 为曲线1C 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足16OMOP，求点 P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 2,3，点 B 在曲线2C 上，求 ABO面积的最大值2195（2018 年全国 I 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的方程为2yk x.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标

207、方程为22 cos30.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.6（2019 年全国卷）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧 AB，BC，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M 是弧 AB，曲线2M 是弧BC，曲线3M 是弧 CD.（1）分别写出1M，2M，3M 的极坐标方程；（2）曲线 M 由1M，2M，3M 构成，若点 P 在 M 上，且|3OP，求 P 的极坐标.2207.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为cos1sinxatyat（t 为参数，a0）

208、.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos.（）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（）直线 C3 的极坐标方程为=0，其中0 满足 tan 0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.221第 22 节 不等式选讲一、去单绝对值1（2011 年文科）设函数()f x|xa|+3x，其中 a0（1）当 a1 时，求不等式()f x 3x+2 的解集；（2）若不等式()f x 0 的解集为x|x 1，求 a 的值2（2016 年全国 III 卷）已知函数()=|2|+.（1）当 a=2 时，求不等式()6 的解集；（2）

209、设函数()=|2 1|，当 时，()+()3，求的取值范围.二、去双绝对值【会解不等式】1已知函数()f x=2xax.()当3a 时，求不等式()f x 3 的解集；()若()f x 4x 的解集包含1,2，求 a 的取值范围.2222（2018 年全国 II 卷）设函数()52f xxax.（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若()1f x 恒成立，求 a 的取值范围.3（2016 年全国 II 卷）已知函数11()22f xxx，M 为不等式()2f x 的解集.（）求 M；（）证明：当 a，bM时，1abab.4（2017 年全国 I 卷）已知函数2()4f xxax

210、，()|1|1|g xxx（1）当1a 时，求不等式()()f xg x的解集；（2）若不等式()()f xg x的解集包含1，1，求 a 的取值范围2235（2013 年全国 I 卷）已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3（1）当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；（2）设 a1，且当 x1,2 2a 时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围6（2017 年全国 III 卷）已知函数()f x=x+1x2.（1）求不等式()f x 1 的解集；（2）若不等式()f x x2x+m 的解集非空，求实数 m 的取值范围.7（2018 年全国 I 卷）已知 11fxxax.（

211、1）当1a 时，求不等式 1fx 的解集；（2）若0,1x时不等式 f xx成立，求 a 的取值范围.2248（2019 年全国卷）已知()|2|().f xxa xxxa（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若(,1)x 时，()0f x，求 a 的取值范围.9（2015 年全国卷）已知函数()|1|2|,0f xxxa a.（1）当1a 时，求不等式()1f x 的解集；（2）若()f x 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.10（2020 年全国卷）已知函数2()|21|f xxaxa.（1）当2a 时，求不等式()4f x的解集；（2）若()4

212、f x，求 a 的取值范围.22511（2014 年全国卷）设函数1()|(0)f xxxa aa（1）证明：()2f x；（2）若(3)5f，求 a 的取值范围【会画图像】12（2016 年全国 1 卷）已知函数 f(x)=x+12x3.（）在答题卡第（24）题图中画出 y=f(x)的图像；（）求不等式f(x)1 的解集.22613（2018 年全国卷）设函数 211f xxx（1）画出 yf x的图像；（2）当0 x，f xaxb，求 a b的最小值14（2020 年全国卷）已知函数()|31|2|1|f xxx（1）画出()yf x的图像；（2）求不等式()(1)f xf x的解集15.（2021 年全国甲卷理）已知函数()2,()2321f xxg xxx（1）画出 yf x和 yg x的图像；（2）若 f xag x，求 a 的取值范围