2023-2024学年高二数学上学期期中模拟试题02（北师大版2019选一第1-3章）（Word版附解析）.docx

1、 2023-2024学年高二数学上学期期中模拟考试全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1直线过点，且方向向量为，则（）A直线的点斜式方程为B直线的斜截式方程为C直线的截距式方程为D直线的一般式方程为【答案】D【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为2因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，其一般式为故A错误，D正确；化为斜截式：，故B错误；化为截距式：，故C错误.故选：D2已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则（）A10B12C13D20【答案】C【详解】由直线过定点，直线可化为，令，解得，即直线恒过定点，

2、又由直线和，满足，所以，所以，所以.故选：C.3已知直线，其方程分别为：，：，其中，则的最小值为（）A2BCD8【答案】D【详解】直线：和：平行，且它们的斜率相等，在轴上的截距不相等，且，当且仅当，即时，等号成立，的最小值是8.故选：D.4“”是“直线与圆相交”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】直线与圆相交，显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件.故选：B.5如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（）ABCD【答案】B【详解】因为,所以，故选:B.6已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（）A B CD

3、【答案】C【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，上、下焦点分别为，.因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，设双曲线方程为，则有，所以双曲线的方程为.故选：C7已知：，：，则下列说法中，正确的个数有（）（1）若在内，则；（2）当时，与共有两条公切线；（3）当时，与的公共弦所在直线方程为；（4），使得与公共弦的斜率为.A1个B2个C3个D4个【答案】B【详解】因为：，：，所以：，：，则，则，由在内，可得，即，故（1）错误；当时，所以，所以两圆相交，共两条公切线，故（2）正确；当时，：，：，两圆相交由，得：，即故（3）正确；公共弦所成直线的斜率为，令，无解，故（4）错误.故选：B.8已知椭圆

4、的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（）A1BC2D【答案】B【详解】由题意得，则，所以椭圆方程为，因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，因为，所以点为线段的中点，设，则，所以，所以，所以，即，所以，所以直线为，即，因为M为直线上任意一点，所以的最小值为点到直线的距离，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（）A圆的圆心为 B点在圆内C圆的半径为

5、5D点在圆内【答案】ABC【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；由，得点在圆内，B正确；由，得点在圆外，D错误.故选：ABC10已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（）AB13CD19【答案】BD【详解】由题知，或，解得或.故选：BD11已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（）A直线恒过点 BC直线被圆截得的最短弦长为 D当时，圆上存在无数对点关于直线对称【答案】ABD【详解】直线，恒过点，所以A正确；圆的圆心坐标为，所以B正确；圆的圆心坐标为，圆的半径为2直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对

6、点关于直线对称，所以D正确故选：ABD12如图，已知正方体的棱长为2，分别为，的中点，以下说法正确的是（）A平面B到平面的距离为C过点，作正方体的截面，所得截面的面积是D平面与平面夹角余弦值为【答案】ABD【详解】以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，则平面，故A正确；向量为平面的法向量，且，所以到平面的距离为，故B正确；作中点，的中点，的中点，连接，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C错误；平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设两个平面夹角为，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是 .

7、【答案】【详解】两直线方程联立，得，所以交点为设与直线垂直的直线方程为，把代入中，得，故答案为：14已知，若，四点共面，则 【答案】5【详解】解：因为，且，四点共面，所以，则，解得，故答案为：515已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点且，则 .【答案】【详解】解：椭圆得，设，则，即.故答案为：16若点在曲线：上运动，则的最大值为 .【答案】/【详解】曲线方程化为，是以为圆心，3为半径的圆，表示点与点连线的斜率，不妨设即直线：，又在圆上运动，故直线与圆有公共点，则，化简得解得，故的最大值为.故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知两条不同

8、直线：，：(1)若，求实数a的值；(2)若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离【答案】(1)；(2)【详解】（1）由，得，解得；（2）当时，有，解得，：，：，即，两直线与的距离为18（12分）设直线l的方程为(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M；(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值【答案】(1)当不论a为何值，直线恒过定点；(2)直线l的方程为或.(3)6【分析】（1）将原直线方程变形为，由求解；（2）分截距是否为0两种情况，求得参数，即可得答案.（3）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范

9、围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）直线l的方程为，整理可得：，当时不论a为何值，即，可证当不论a为何值，直线恒过定点；（2）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为.当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，故，解得，可得直线l的方程为：.综上所述，直线l的方程为或.（3）由题意知，令，解得，解得； 令，解得，解得或.综上有.， 当且仅当，即时取等号.（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程，即.19（12分）已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线与圆相交于，两点，为坐标原点，求.【答案】(1) (

10、2)1【详解】（1）因为，所以，线段的中点坐标为，则的中垂线方程为，即，故圆的圆心在直线上.联立方程组，解得，故圆圆心的坐标为，圆的半径，则圆的标准方程为.（2）设，联立方程组，整理得，则，.故.20（12分）设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，(1)求抛物线的方程；(2)设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p值作答.（2）求出直线的方程，与的方程联立，再求出三角形面积作答.【详解】（1）抛物线：的准线方程为，依题意，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，则直线的方程为，由消去y得：，解得

11、，所以的面积.21（12分）如图，内接于O，为O的直径，为的中点，且平面平面(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析 (2)【详解】（1）因为是O的直径，所以，因为，所以，又因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面ACD，所以平面（2）因为，所以，所以，因为平面，平面，所以，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，显然，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则令，则，所以，设二面角所成角为，则，所以二面角的正弦值为22（12分）如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）椭圆的标准方程为：，即，将点，代入即可求得和的值，求得椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程,可得坐标，进而根据两点斜率公式即可求解.【详解】（1）由题意可知：焦点在轴上，设椭圆的标准方程为：，由椭圆的离心率，即，将代入椭圆方程：，解得：，椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知：直线有斜率，且，设直线方程为， ，整理得：，故由韦达定理可知：，由得：,故直线方程为，因此所以因此 ，为定值.