重视基本概念原理 强调数学思维方法——2022年高考“集合、常用逻辑用语、不等式”专题解题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究重视基本概念原理强调数学思维方法2022年高考“集合、常用逻辑用语、不等式”专题解题分析曹媛，李金生李金生（河北省保定市教育科学研究所河北省保定市教育科学研究所；河北省保定市第二中学河北省保定市第二中学）摘要：分析2022年高考数学试卷中“集合、常用逻辑用语、不等式”试题发现，知识点分布、题型、难度相对稳定，命题注重基础知识的巩固与理解，注重学生数学素养的提升、数学方法的掌握、科学态度的形成，有较强的引导作用.通过对典型试题的解法分析，总结解题规律，并提出复习备考建议.关键词：集合；常用逻辑用语；不等式；试题分析；解法分析收稿日期

2、：2022-07-05作者简介：曹媛（1981），女，中学一级教师，主要从事高中数学教学和命题研究.集合、常用逻辑用语、不等式内容在 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称标准）中作为主题一的预备知识出现，旨在帮助学生完成初、高中数学学习的过渡.2022年高考对这部分内容的考查重视基本概念原理、强调数学思维品质、凸显学科能力，有较强的引导作用.其中，集合和常用逻辑用语属于高考数学的重点内容，考查稳定、难度小，主要以选择题形式呈现，而对不等式的考查相对灵活，题型全面，单纯考查不等式的试题较少，更注重与其他知识相融合的综合考查，这体现了不等式的基础性和工具性，也展示了不等式命

3、题的综合性和应用性.一、试题分析2022年高考数学对本部分内容的考查与 标准要求一致，体现了基础性、综合性、应用性和创新性的要求.对六份全国试卷和三套地方试卷（除上海卷）中的各考点分布情况进行分析，如表1所示.试卷全国新高考卷全国新高考卷全国甲卷全国乙卷北京卷天津卷浙江卷理文理文考点分布及题号集合11，17（2）3111111常用逻辑用语624不等式7，18（2）12，22（3）12，16，2312，23（同理科）4，9，235，23（同理科）53，9，10表1集合、常用逻辑用语、不等式考点分布 21下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究从表1可以看出，在每份试卷中均

4、设有一道集合选择题，考查的重点都是集合的基本运算，与往年高考一致；常用逻辑用语的有关试题只在地方卷中出现；不等式的考查题型多样，常与其他模块知识综合命题，难度较大，具有很强的灵活性.1.对集合和常用逻辑用语的考查注重基础性集合和常用逻辑用语是基本的数学语言和数学工具，使用这些语言能更简洁、准确地表述数学研究对象，严谨地进行数学推理，促使学生积累数学抽象和逻辑推理经验.2022年高考数学在这部分内容中特别注重对基本概念和基本能力的考查，试题呈现基础化和常规化的趋势.其中，对集合的考查主要集中在集合的交集、并集、补集运算，试题基本出现在选择题第一题的位置，难度小；常用逻辑用语试题在全国卷中未出现，

5、三套地方卷中分别出现一道选择题，只考查了充分条件与必要条件的判断，都属于简单题.2.对不等式的考查注重综合性和应用性不等关系在现实世界和日常生活中广泛存在，是数学中的基本数量关系.不等式是2022年高考数学中重点考查的内容之一，直接考查内容有不等式解法、基本不等式和线性规划等方面.试题更注重通过不等式与函数、数列、解析几何等其他知识的内在联系进行综合考查.例如，利用不等式性质比较大小、求范围或最值、证明不等关系等问题，全面考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等素养，体现了不等式的综合性和应用性.二、解法分析1.集合2022年高考数学对集合内容的考查题型为单选题，试题简单，主要考查内

6、容为：集合的含义与表示，集合间的基本关系，集合的基本运算.集中考查了数集间的集合运算，集合的表示形式有列举法和描述法.运算为求集合交集、并集、补集的独立运算和混合运算.例1（全国新高考卷17）已知 an 是等差数列，bn 是公比为2的等比数列，且 a2-b2=a3-b3=b4-a4.（1）证明：a1=b1；（2）求集合|k bk=am+a1，1 m 500 中元素的个数.（1）证明：设数列 an 的公差为 d，则a1+d-2b1=a1+2d-4b1，a1+d-2b1=8b1-()a1+3d.解得 b1=a1=d2.所以原命题得证.（2）解：由 bk=am+a1，得 b1 2k-1=a1+()m

7、-1 d+a1.由（1）知，b1=a1=d2.所以 2k-1=2m，即 m=2k-2 1，500.解得 2 k 10.所以满足等式的解 k=2，3，4，10.故集合 k|bk=am+a1，1 m 500 中的元素个数为10-2+1=9.【评析】此题以数列为背景考查集合元素的定义，集合的表示法描述法.利用描述法表示集合时要注意代表元的属性，此题中集合的代表元为 k，通过推理和运算得到代表元 k 满足的条件为 2k-2 1，500()k Z+，通过分析易求得满足此条件的 k 的个数.此题第（2）小题注重对基本概念和基本技能的考查，同时对转化与化归思想有一定的要求.例2（全国甲卷理3）设全集U=-2

8、，-1，0，1，2，3，集合 A=-1，2，B=x|x2-4x+3=0，则 U()A B等于（）.（A）1，3（B）0，3（C）-2，1（D）-2，0解法1：由题意，B=x|x2-4x+3=0=1，3.所以 A B=-1，1，2，3.所以 U()A B=-2，0.故选择选项D.解法2：由题意，B=x|x2-4x+3=0=1，3.所以 U A=-2，0，1，3，UB=-2，-1，0，2.所以 U()A B=()U A()UB=-2，0.故选择选项D.【评析】此题重点考查集合的表示法（列举法、描述法）、全集的概念、并集和补集的混合运算.若集合中的元素是离散的，常用Venn图来求解；若集合中的元素是

9、连续的实数，则用数轴表示，需要特别注意区间端点是否可以取到；若元素是离散与连续的相互运算，要关注运算特征.如果求集合的交集，则结果一定是离散的，可以用列举法；如果求集合的并集与补集，用数轴求解.由于此题较简单，所以解法1和解法2在运算难度上没什么区别，但当有些集合本身很复杂，22下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究不便于直接求解时，便可以用“正难则反”的思想，运用解法2的方法，分别从其补集入手，问题可能就会变得简单，最后运用摩根定律解决问题.集合的概念、表示、交并补集的运算是2022年高考数学考查的重点，类似试题还有全国甲卷（理科）第1题，全国乙卷（文、理科）第1题

10、，全国新高考卷第1题，北京卷第1题，浙江卷第1题.2.常用逻辑用语2022年高考数学中考查常用逻辑用语的试题难度适中，题量较少，只有北京卷、浙江卷、天津卷中各出现了一道单选题，试题考查的内容主要是对充分条件、必要条件、充要条件的判断.这部分内容常涉及与其他章节知识的综合（北京卷与数列综合，浙江卷与三角综合），需要学生理解逻辑用语的意义，并把握各知识之间的内在联系，融会贯通，灵活运用转化与化归思想处理问题.例3（北京卷6）设 an 是公差不为0的无穷等差数列，则“an 为递增数列”是“存在正整数 N0，当 n N0 时，an 0”的（）.（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要

11、条件（D）既不充分也不必要条件解：设等差数列 an 的公差为 d，则 d 0.记 x 为不超过 x 的最大整数.若 an 为单调递增数列，则 d 0.若 a1 0，则当 n 2 时，an a1 0；若 a1 0，得 n 1-a1d.取 N0=|1-a1d+1，则当 n N0 时，an 0，所以“an 是递增数列”“存在正整数 N0，当n N0 时，an 0”；另 一 方 面，若 存 在 正 整 数 N0，当 n N0 时，an 0，取 k N 且 k N0，则 ak 0.假设 d 0，令 an=ak+()n-k d k-akd，且 k-akd k.当 n|k-akd+1时，an 0，即数列 a

12、n 是递增数列.所以“an 是递增数列”“存在正整数 N0，当n N0 时，an 0”.所以“an 是递增数列”是“存在正整数 N0，当n N0 时，an 0”的充分必要条件.故选择选项C.【评析】此题主要考查充要条件的判定，以无穷等差数列的单调性为背景进行命制.充分性通过解一次不等式可以实现判定，必要性用反证法即可证明.另外，作为不需要写过程的单选题，此题也可以用数形结合的方法求解：公差不为0的等差数列的图象是分布在一条斜率不为0的直线上的离散点，结合公差正负情况，利用等差数列的单调性可以很容易分析出答案.此题难度适中，对学生的演绎推理能力和数形结合能力有一定要求，充分体现了高考考查要求的基

13、础性和综合性.例4（浙江卷4）设 x R，则“sin x=1”是“cos x=0”的（）.（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解法1：由 sin2x+cos2x=1，可知当 sin x=1时，cos x=0，充分性成立；当 cos x=0 时，sin x=1，必要性不成立.所以当 x R 时，“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件.解法2：由已知，得sin x=1 x=2k+2，k Z，cos x=0 x=k+2，k Z.因为x|x=2k+2，k Z 是x|x=k+2，k Z的真子集，所以“sin x=1”是“cos x=0”的充

14、分不必要条件.故选择选项A.【评析】此题以三角函数为背景考查充要条件的判定问题，可以用同角三角函数关系式直接推导，得到“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件，也可以通过解三角方程把两个条件等价转化为两个集合，利用集合的关系，得到“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件.2022年高考数学试卷中考查充分条件与必要条件的判断的还有天津卷第2题.23下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究3.不等式相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，需要理解等式和不等式的共性与差异，掌握不等式的性质和定理.2022年全国各地区高考数学试卷对不等式的考查难

15、度较大，重点考查比较大小、最值范围、不等式的证明，思维量大、综合性强，多与函数、导数、三角等内容综合，只有全国乙卷和浙江卷考查了比较基础的线性规划问题.2022年高考数学对这部分内容的考查体现了基础性、综合性、应用性和创新性的要求.以下将从不等式的直接应用和综合应用两个方面对2022年全国各地区高考数学试卷中与不等式相关的试题的解法进行简要评析与综述.（1）不等式的直接应用.不等式的直接应用在高考命题中的具体体现一般有以下几点：一是利用不等式的性质求不等式的解集；二是线性规划（利用不等式的几何意义求范围）；三是利用不等式的性质或基本不等式证明某些不等关系成立.2022年高考数学对这部分内容的考

16、查难度适中，侧重基础性.例5（浙江卷9）已知 a，b R，若对任意 x R，a|x-b+|x-4-|2x-5 0，则（）.（A）a 1，b 3（B）a 1，b 3（C）a 1，b 3（D）a 1，b 3解法1：（排除法）令 x=4，得 a|4-b-3 0.显然，a 0且b 4.排除选项A，B，C，故选择选项D.解法2：（极限法）当 x +时，a|x-b+|x-4-|2x-5=()a-1 x+1-ab.若对任意 x R，a|x-b+|x-4-|2x-5 0，必有 a 1.排除选项A，B.令 b=4，当 x=4 时，可得-3 0.不成立.故排除选项C.所以选择选项D.解法3：（图象法）由题意，对任

17、意的 x R，有a|x-b|2x-5-|x-4 恒成立.设 f()x=a|x-b，g()x=|2x-5|-x-4=|1-x，x 52，3x-9，52 x 0，b 0，c 0，由（1），得 a+b+2c=a+4c 3，即 0 0，b 0，c 0，由（1），得 a+b+2c=a+4c 3，即 0 a+4c 3.所以 1a+1c 13()a+4c 1a+1c=135+ac+4ca 13|5+2 ac 4ca=3.所以 1a+1c 3.【评析】此题主要考查利用柯西不等式或均值不等式证明不等关系.考虑到此题中已知条件为整式平方和形式，故由结论可以联想到柯西不等式或三元均值不等式，并由此准确构造出已知条件

18、和所证结论之间的不等关系.在构造柯西不等式解决问题时，要关注柯西不等式的形式要求，准确构造.这类试题要求学生通过观察、比较、分析甚至猜想发散思维，运用学过的数学知识（定理）和数学方法，经过必要的推理，得出正确的结论.此类试题重点考查了学生的抽象思维、归纳概括和演绎推理能力.2022年高考数学试卷中考查不等式的证明的还有全国乙卷（文、理科）第23题，其主要考查不等式性质和均值不等式，属于基础题.例8（全国乙卷文5）若x，y满足约束条件|x+y 2，x+2y 4y 0，则 z=2x-y 的最大值是（）.（A）-2（B）4（C）8（D）12解法1：由题意作出可行域，如图2阴影部分所示.y=2xx+2

19、y=4x+y=2xyO224图2转化目标函数 z=2x-y 为 y=2x-z，上下平移直线 y=2x-z，可得当直线过点()4，0 时，直线的纵截距最小，z 取最大值.所以 zmax=2 4-0=8.故选择选项C.解法2：由已知，可得 2x-y=5()x+y-3()x+2y-2，2x-y=2()x+2y-5y 8.故选择选项C.【评析】此题是线性规划的常规问题，目标函数为最基本的截距型，没有涉及斜率型或距离型，考查学生对不等式几何表达的理解.解决此类问题首先要作出可行域，再根据目标函数对应直线的倾斜程度，找到最优解，求出目标函数的最值.此题也可以根据不等式的性质直接求目标函数的最值.线性规划试

20、题主要考查了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.2022年高考数学试卷中考查线性规划的还有浙江卷第3题.（2）不等式的综合应用.不等式的综合应用试题在高考考查中重点突出了 25下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究综合性、应用性和创新性，难度较大，一般出现在客观题和主观题的压轴题位置，往往和函数、导数、三角函数等结合，以求最值范围、比较大小等形式出现，对学生的逻辑推理、数学抽象、数据分析和数学运算等素养要求较高.比较大小问题.例9（全国乙卷理4）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日

21、周期的比值，用到数列 bn：b1=1+11，b2=1+11+12，b3=1+11+12+13，依此类推，其中k N()k=1，2，.则（）.（A）b1 b5（B）b3 b8（C）b6 b2（D）b4 b7解法1：（特值法）因为 k N()k=1，2，不妨令 k=1，则 b1=2，b2=32，b3=53，b4=85，b5=138，b6=2113，b7=3421，b8=5534.所以选项A，B，C错误.故选择选项D.解法2：（单调性）令 bn=1+1tn，则 t1=1，t2=1+12，t3=1+12+13，t4=1+12+13+14，.显然，t1 bi()i=2，3，8.同理可得，t2 ti()i

22、=3，4，8.b2 bi()i=3，4，8，t3 bi()i=4，5，8，t4 ti()i=5，6，8.b4 bi()i=5，6，8，t5 bi()i=6，7，8，t6 ti()i=7，8.b6 bi()i=7，8，t7 bi()i=8.所以 b1 b3 b5 b7 b8 b6 b4 b2.所以选项A，B，C错误.故选择选项D.【评析】此题以数列为背景考查比较大小问题，反复利用正分数分母增大值减小这一性质，得到奇数项、偶数项，以及相邻项的大小关系.比较大小的常用方法一般有以下几种：利用不等式的性质（作差法、作商法、放缩法、找中间量）；构造函数，利用函数的单调性；利用基本不等式；几何意义.要特别

23、注意的是，对于选择题要善于利用特值法解决复杂问题.另外，此题以嫦娥二号卫星探月为背景，创造性地将立德树人根本任务融入考试评价过程，虽然考点简单，但背景新颖，阅读量大，对学生的阅读理解、信息搜索和信息整理能力要求较高.例10（全国甲卷文12）已知 9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则（）.（A）a 0 b（B）a b 0（C）b a 0（D）b 0 a解法1：令 f()x=logx()x+1，x ()1，+，即 f()x=ln()x+1ln x，x ()1，+.则 f()x=ln xx+1-ln()x+1x()ln x2=x ln x-()x+1 ln()x+1x()x+1()ln x

24、2 log910 log1011.由 9m=10，可得 m=log910.所以 log89 m log1011.所以 a=10m-11 10log1011-11=0，b=8m-9 1.而 lg 9 lg 11|lg 9+lg 1122=|lg 9922 lg 11lg 10，即 m lg 11.所以 a=10m-11 10lg 11-11=0.因为 lg 8 lg 10|lg 8+lg 1022=|lg 8022 lg 10lg 9，即 log89 m.所以 b=8m-9 0 b.故选择选项A.解法3：因为 9m=10，所 以 a=10m-10-1=10m-9m-1，b=8m-9=8m-10+

25、1=1-()9m-8m.令 f()x=()t+1x-tx()x 1，t 1，则 f()x=()t+1x ln()t+1-tx ln t 0.所以 f()x=()t+1x-tx()x 1，t 1 单调递增.所以 f()x f()1=1.所以 a=10m-9m-1 0，b=8m-9m+1 0 b.故选择选项A.【评析】此题以指数函数和对数函数为背景考查比较大小问题.分析三个数据 m=log910，a=10m-11，b=8m-9之间的内在联系，注意到0=10log1011-11=8log89-9，要比较 a，b与0的大小，只需要比较 log89，log910，log1011 的大小即可.解法1抽象出

26、函数 f()x=logx()x+1=ln()x+1ln x，应用导数的知识判断出函数的单调性，从而解决问题；解 法 2 利 用 基 本 不 等 式 比 较 三 者 的 大 小，由log98 log910|log98+log91022=|log98022log910，进而可以解决问题；解法3抽象出函数 f()x=()t+1x-tx()x 1，t 1，应用导数的知识判断出函数的单调性解决问题.此题对学生的逻辑推理和运算求解能力有较高要求.例11（全国新高考卷7）设 a=0.1e0.1，b=19，c=-ln 0.9，则（）.（A）a b c（B）c b a（C）c a b（D）a c x+1()0

27、x -x+1.所以11-x ex()0 x 1.所以 xex-x1-x 0.所以 0.1e0.1 0.11-0.1=19.所以 a b.设 g()x=xex+ln()1-x()0 x 1，则 g()x=()x+1 ex+1x-1=()x2-1 ex+1x-1.令 h()x=ex()x2-1+1，则 h()x=ex()x2+2x-1.当 0 x 2-1时，h()x 0，函数 h()x 单调递减；当2-1 x 0，函数 h()x 单调递增.因为 h()0=0，所以当 0 x 2-1时，h()x 0.所以当 0 x 0，函数 g()x 单调递增；所以 g()0.1 g()0=0，即 0.1e0.1

28、-ln 0.9.所以 a c.所以 c a b故选择选项C.解法2：由 ex 11-x()0 x 1，令 x=0.1，可得 e0.1 109，即 0.1e0.1 19.所以 a b.由 ln x 12x-1x()0 x 1，令 x=109，可得 ln109 12109-910=19180 0.11.所以 c x+1()0 x 0.1 ()1+0.1=0.11.所以 a 0.11.所以 a c.所以 c a 0，则在ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BD AD cos ADB=m2+4+2m；在ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CD AD cos ADC=4m2+4-4m.所以 AC2A

29、B2=4m2+4-4mm2+4+2m=4()m2+4+2m-12()1+mm2+4+2m=4-12()m+1+3m+1 4-122()m+1 3m+1=4-2 3，当且仅当 m+1=3m+1，即 m=3-1时，等号成立.所以当 ACAB 取最小值时，m=3-1.DABC图3故答案为3-1.【评析】此题以解三角形为载体考查最值问题，从已知和结论中很容易分析出 ACAB 是因变量，BD 为自变量.在ADB 中应用余弦定理可以得到 AB 与 BD 的关系；在 ADC 中应用余弦定理可以得到 AC 与 BD的关系，进而建立自变量和因变量间的函数关系，所建立的函数是典型的二次分式，先分离常数，然后转化为

30、基本不等式或利用函数单调性求最值即可.例13（全国乙卷理9/文12）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）.（A）13（B）12（C）33（D）22解法1：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，四边形ABCD对角线夹角为，则 S四边形ABCD=12 AC BD sin 12 AC BD 12 2r 2r=2r2，当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立，即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面四边形ABCD面积的最大值为 2r2.因为 r2+h2=1，所以 VO-ABCD=13 2r2

31、 h=23r2 r2 2h2 23|r2+r2+2h233=4 327，当且仅当 r2=2h2，即 h=33 时等号成立.故选择选项C.解法2：由解法1，可得 VO-ABCD=13 2()1-h2 h.令 f()h=13 2()1-h2 h，则 f()h=23()1-3h2=23()1-3h()1+3h.利用导数易求得 f|33=4 327 即为函数的最大值.故选择选项C.【评析】此题是考查函数与不等式的综合应用问题，需要学生设自变量，建立自变量与所求量之间的关系，通过函数或不等式求最值.此题解题思路清晰，容易求得四棱锥底面所在圆的半径与四棱锥高的关系为 r2+h2=1，再建立四棱锥体积与 r

32、，h 之间的关系 VO-ABCD=13 2r2h.此时求体积最值有两个方法可选：解法1利用基本不等式求最值；解法2减元后构造函数，利用导数分析函数的单调性，从而求解.2022年高考数学试卷中考查利用不等式求最值范围的还有全国新高考卷第18题，此题的解题思路与例12类似，采用求最值的通法（构造函数求最值）即可求解.不等式与函数导数的综合.例14（全国新高考卷22）已知函数 f()x=xeax-ex.（1）当 a=1时，讨论 f()x 的单调性；（2）当 x 0 时，f()x ln()n+1.以下仅研究第（3）小题的证法.证法1：（综合法）取 a=12，则 x 0，总有 xe12 x-ex+1 1

33、，t2=ex，x=2 ln t.故 2t ln t t2-1，即 2 ln t 1恒成立.所以对任意的 n N，有 2 ln n+1nn+1n-nn+1.整理，得 ln()n+1-ln n ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln()n+1-ln n=ln()n+1.故不等式成立.证法2：（分析法）112+1+122+2+1n2+nln()n+1 i=1n1i2+ii=1nlni+1i ln n+1n1n2+n.令 t=n+1n，则 n=1t-1，1 t 2.所以 ln n+1n1n2+n ln t t-1t.令 g()t=ln t-t+1t，1 t 2，利用导数容易证得 g()t 0.所

34、以原式成立.【评析】此题的第（3）小题考查导数和数列背景下的不等式证明问题，可以根据已有函数不等式合理构建数列不等式，或直接把不等式右边变形为数列前 n项和的形式，转化为比较两个数列通项公式大小问题.解法1由（2）的结论取 a=12，得到 2 ln t 1 恒成立，从而得到 ln()n+1-ln n 1n2+n对任意的 n N 恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式；解法2把 ln()n+1 变形为i=1nlni+1i，进而把原式转化为比较 ln n+1n和1n2+n的大小问题，通过构造函数即可求解.此题的难点在于建立已知函数和所证不等式之间的关系，要求学生具有较强的抽象思维、归纳概括和演绎

35、推理能力.三、解法赏析例15（全国新高考卷12）（多选题）若x，y满足 x2+y2-xy=1，则（）.（A）x+y 1（B）x+y -2（C）x2+y2 2（D）x2+y2 1解法1：因为 x=y=1 满足 x2+y2-xy=1，所以选项A错误；令 x=12，则 y2-12 y-34=0.所以存在 x，y 使得 xy 0，即存在 x，y 使得 x2+y2=xy+1 b a（B）b a c（C）a b c（D）a c b解：因为 cb=4 tan 14，当 x 0，2时，sin x x 14.所以 cb 1，即 c b.设 f()x=cos x+12 x2-1，x ()0，+，则 f()x=-s

36、in x+x 0.所以 f()x 在()0，+上单调递增.所以 f 14 f()0=0.所以 cos14-3132 0.所以 b a.所以 c b a.故选择选项A.【评析】此题考查不等式的重要应用比较大小，难度较大，单纯用不等式的性质很难解决，所以尝试构造函数或放缩.构造函数的方法，对比三个数据，发现三者之间的联系：a=1-12 142，b=cos14，c=sin 1414，都与 14 有关，进一步抽象出 a=1-12 x2，b=cos x，c=sin xx，从而想到构造相关函数，最后借助导数研究函数的单调性，达到比较大小的目的.例17（浙江卷10）已知数列 an 满足 a1=1，an+1=

37、an-13a2n()n N，则（）.（A）2 100a100 52（B）52 100a100 3（C）3 100a100 72（D）72 100a100 4解：由 a1=1，易 得 a2=23 ()0，1，an+1-an=-13a2n 13，即 1a2-1a1 13，1a3-1a2 13，1a4-1a3 13，1an-1an-1 13()n 2.累加，得 1an-1 13()n-1，即 1an 13()n+2()n 2.所以 an 3n+2()n 2.所以 a100 134.所以100a100 10034 3.因为 1an+1-1an=13-an13-3n+2=131+1n+1()n 2，所以

38、 1a2-1a1=131+12，1a3-1a2 131+13，1a4-1a3 131+14，1an-1an-1 131+1n()n 3.累加，得 1an-1 1n.所以 1an-1 13()n-1+1312+13+1n 13()n-1+13ln21 32 nn-1=13()n-1+13ln n()n 3.所以 1a100-1 33+13ln 100 33+23ln 10 136.所以100a100 10036 52.（方法2）1a100-1 33+1312+13+1100 33+1312 6+18 93=34+318 39，即 1a100 140，即100a100 52.综上所述，52 100

39、a100 13，进而变为可以求和的数列得到 100a100 52.试题充分体现了对学生数据分析、数学抽象、逻辑推理和数学建模素养的考查.四、复习备考建议集合、常用逻辑用语和不等式是高中数学中的基本内容，是研究数学问题的基础和工具.通过对2022年高考数学试卷中这部分典型试题的解题分析，提出以下几点备考建议.1.重视对基本概念和基本原理的深入理解高考更重视对运用概念、性质、定理解决问题的基本方法、基本技能的考查.在对集合、常用逻辑用语和不等式内容进行复习的过程中，要以课程学习情境为主，紧扣教材，对相关概念、原理进行梳理.例如，高考的主要考点：集合的概念及表示，集合间的关系，集合的运算，充分必要条

40、件，全称量词和存在量词，不等式相关性质和定理，解不等式的方法.2.注重对知识的综合应用，提高关键能力新高考对这三部分内容的命题形式多样，突出了对学生关键能力和数学核心素养的考查.注意借助集合、充分必要条件、全称量词和存在量词对其他模块知识的常规综合考查.不等式要在掌握基本性质和定理的基础上注意与函数、数列、几何等知识的综合，重点理解不等式与这些知识的内在联系和相互转化，提高逻辑推理、运算求解、空间想象等关键能力.3.感悟数学思想方法，提升数学核心素养复习中要重视对数学思想的感悟和掌握，在解题（下转第40页）31下半月（高中版）2022年第78期（总第267268期）解题研究四、典型模拟题1.设

41、 a=e2-ln 2，b=e3-ln 3，c=2e-2e（其中，e 2.718 28，是自然对数的底数），则（）.（A）a b c（B）b a c（C）b c a（D）c a 1，N=|x x 0，x Z，则 M N 的子集个数为（）.（A）2（B）4（C）6（D）8答案：B.2.使不等式 a+b 2ab 成立的一个充分不必要条件是（）.（A）a 0，b 0（B）ab=1（C）()2a-1()2b-1 0（D）()a-1()b-1 b c（B）c a b（C）a c b（D）b a c答案：B.参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 景芳.2021年高考“集合、常用逻辑用语、复数”专题解题分析J.中国数学教育（高中版），2021（7/8）：15-20.3 庄艳侠.2021年高考“不等式”专题解题分析J.中国数学教育（高中版），2021（7/8）：81-87.（上接第31页）40