2023届新高考高三模拟数学试题 含答案.docx

1、2023 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学（考试时间 120 分钟，满分 150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合2Z4120Axxx，|esin,RBy yx x，求 AB（）A 2,1,0,1,2

2、B12xx C 1,0,1,2D2x x 或1x 2化简313 icos60isin6022（）A 1B1CiD i3在 ABC 中，点 D在 BC 边上，且 BDDC，点 E 在 AC 边上，且45AEAC，连接 DE，若 DEmABnAC，则 mn（）A15B 45C45D 154日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度其表达式为 RN，其中 R 的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为5.754701 8.6xy，其中 y为就餐人数（本窗口），x 为餐品新鲜度()R，则当2N，2000 时，y 近似等于（）（已知.75658.64.23 10）A470B47

3、1C423D4325素数对(,2)p p 称为孪生素数，将素数 17 拆分成n 个互不相等的素数之和，其中任选 2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（）A 15B 13C 14D 126设120231e2023a，2024ln 2023b，sin(0.2023)c ，则（）AcabB abcCbacDcba7已知空间四边形 ABCD，ABBCAC，DBBC，且4BC，6BD，面 ABC 与面BCD夹角正弦值为 1，则空间四边形 ABCD外接球与内切球的表面积之比为（）A172301 336B172301 536C 301 172 336D 301 172 5368已知函数()e(ln)3xf

4、 xxa xx，对于0,x ，()4f x 恒成立，则满足题意的a 的取值集合为（）A 0B0,1C 1,0,1D 1二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有错选得 0分9下列选项中，不正确的是（）A对于任何两个集合，()()ABAB恒成立B“对于2x，2320 xx”的否定是“2x，2320 xx”C对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱D一元线性回归模型中ybxa，其中的b，a 叫做b，a 的最小二乘估计10已知正方体 ABCDA B C D 边长为

5、 2，则（）A直线 BD与直线 AC 所成角为 2B与 12 条棱夹角相同的最大截面面积为3 3C面切球与棱切球半径之比为1:3D若 Q 为空间内一点，且满足 D Q与 AB 所成角为 3，则 Q 在平面 ABCD内的轨迹为椭圆11已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为 12，椭圆上一点 P 与焦点1F，2F 所形成的三角形面积最大值为3，下列说法正确的是（）A椭圆方程为22:143xyCB直线l：3470 xy与椭圆 C 无公共点C若过点 O 作OAOB，A，B 为与椭圆 C 的交点，则弦 AB 中点 H 所在轨迹为圆，且2127r D若过点 Q（3，2）作椭圆两条切线，切点分别为

6、 A，B，P 为直线 PQ 与椭圆 C 的交点，则3APQBkk 12已知函数()e ln1xf xx，()fx是 f x 的导数，下列说法正确的是（）A曲线 yf x在 0,0f处的切线方程为 yxB()fx在0,1x上单调递增，在(1,)x 上单调递减C对于任意的12,(0,)x x 总满足 1212f xxf xf xD直线 yx与 yf x在(1,0)x 上有一个交点且横坐标取值范围为1(1,)2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若函数()sin(2)f xx，(,)关于6x 对称，则 _14632()yxyx的展开式中24x y 的系数为_15若直线l

7、同时与曲线221:2Cxy和曲线2:e1xCy 均相切，则直线l 的方程为_16已知1:a，2a，L，na 为有穷整数数列，对于给定的正整数 m，若对于任意的1,2,nm，在 中存在ia，1ia ，L，(,0)ijai j使得12iiiijaaaan，则称 为“m同心圆数列”若12:,ka aa为“2023同心圆数列”，则 k 的最小值为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分17在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.(1)从下列中选择一个证明：证明：sinsinabAB；证明：222cos2bcaAbc.(2)若3sin5A，4b，cba，求 ABC 面积的最小值

8、18若一个数列的奇项为公差为正的等差数列，偶项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为11*11,21,2,Nnnand nkkNaa qnk k，若数列*Nnan为“摇摆数列”且11a ，123aaa，2320a a 则：(1)求 na的通项公式；(2)若nnbna，求数列 nb的前2n 项和2nT（注：21(1)(21)6nin nni）19已知底面为正方形的四棱柱 ABCDA B C D ，ADAA，4ADAA，E，F，H 分别为 AA，A D，C D 的中点，ABE 的面积为 4，P 为直线 FH 上一动点且FPPH(1)求证：当1 时，BPAC；(2)求

9、多面体 BACC E的体积；(3)是否存在实数，使得线段 BP 与平面 BC E 夹角余弦值为 16 20人类探索浩瀚太空的步伐从未停止，假设在未来，人类拥有了两个大型空间站，命名为“领航者号”和“非凡者号”其中“领航者号”空间站上配有 2 搜“M2 运输船”和 1 搜“T1 转移塔”，“非凡者号”空间站上配有 3 搜“T1 转移塔”现在进行两艘飞行器间的“交会对接”假设“交会对接”在 M 年中重复了 n 次，现在一名航天员乘坐火箭登上这两个空间站中的一个检查“领航者号”剩余飞行器情况，记“领航者号”剩余 2 搜“M2 运输船”的概率为nP，剩余 1 搜“M2运输船”的概率为nq 其中宇航员的

10、性别与选择所登录空间站的情况如下表所示男性宇航员女性宇航员“领航者号”空间站380220“非凡者号”空间站120280P（2Kk）0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()n adbcKnabcdab cd ac bd (1)是否有 99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；(2)若 k 为函数()lnxf xx极大值的 2e 倍，求nnkpq与11nnkpq的递推关系式；(3)求nX 的分布列与数学期望 nE X21仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用

11、了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将2222:1(0)xyCabab由仿射变换得：xxa，yyb，则椭圆22221xyab 变为221xy，直线的斜率与原斜率的关系为akkb，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为55，过右焦点2F 且垂直于 x 轴的直线与C相交于,A B 两点且8 55AB，过椭圆外一点 P 作椭圆C 的两条切线 1l，2l 且 12ll，切点分别为,M N(1)求证：点 P 的轨迹方程为229xy；(2)若原点O 到 1l，2l 的距离分别为1d，2d，延长表示距离1d，2d

12、 的两条直线，与椭圆C 交于,Y W 两点，过O 作OZYW交YW 于 Z，试求：点 Z 所形成的轨迹与 P 所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数22已知函数ln()axf xx，Ra在ex 处取到极值(1)求 a，并指出 f x 的单调递增区间；(2)若 f x 与 yb有两个交点12,x x，且12xx，证明：214e 1 1exxb1C【分析】解不等式化简集合 A，求出函数的值域化简集合 B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式24120 xx得：26x，因此 1,0,1,2,3,4,5A ，因为当 x R 时，1sin1x ，有 eesine

13、x ，因此|eeByy，所以 1,0,1,2AB .故选：C2A【分析】利用复数代数形式的四则运算法则即可得解.【详解】313cos60isiin6022313132222ii3214i34 31 1 故选：A.3A【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求m，n，进而可求mn【详解】解：如图，连接 AD则1413()25210DEDAAEABACACABAC ，12m ，310n，则15mn.故选：A.4A【分析】根据题目将数据代入公式，结合指数函数单调性求解即可.【详解】当2N，2000 时，200010002xRN，因为.75658.64.23 10，且5.758.6x单调递

14、减，所以5.75 10008.60，所以当1000 x 时4704701 0y，故选：A5B【分析】由已知结合古典概率公式即可求解【详解】素数1723 57 ，可拆成 4 个互不相等的素数，在 4 个互不相等的素数中，任取两个的所有情况为(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)共 6 种，其中为孪生素数的情况有 2 种，分别是(3,5),(5,7)，所以孪生素数的概率为 2163 故选：B 6A【分析】构造函数 eln 1,0,1xf xxxx，利用导数确定函数的单调性可得 12023111eln 100202320232023ff，即可判断,a b大小关系；估计

15、实数12023 与0.20230.2023180 的大小关系及大致倍数关系，构造函数 1esin6,0,1000 xh xxx x，利用导数确定单调性可得 12023111esin 600202320232023hh，从而结合正弦函数的单调性可比较,a c 大小，即可得结论【详解】解：设 eln 1,0,1xf xxxx，则 11 e1xfxxx，设 11 e1xg xfxxx，则 212 e01xgxxx恒成立，所以 fx在0,1 上单调递增，所以 00fxf恒成立，则 f x 在0,1 上单调递增，故 12023111eln 100202320232023ff，即12023112024el

16、n 1ln202320232023，所以 ab；因为10.000494322023，0.20230.20230.003530816 0.00049432180 ，则10.202362023 ，设 1esin6,0,1000 xh xxx x，则 1 e6cos6xh xxx，又设 1 e6cos6xm xh xxx，故 2 e12sin60 xm xxx恒成立，所以 h x在10,1000 x 上单调递增，所以 110001111e6cos0100010001000h xh 恒成立，则 h x 在10,1000上单调递减，则 12023111esin 600202320232023hh，120

17、2311esin 620232023 又1sin 6sin 0.20232023，则120231esin 0.20232023，即ca；综上，cab.故选：A 7C【分析】根据空间四边形 ABCD的线面关系可得 DB 平面 ABC，则空间四边形 ABCD可以内接于圆柱中，根据圆柱的外接球半径求得空间四边形 ABCD的外接球半径 R，又根据内切球的几何性质用等体积法可求得空间四边形 ABCD的内切球半径r，即可得空间四边形 ABCD外接球与内切球的表面积之比.【详解】解：面 ABC 与面 BCD夹角正弦值为 1，面 ABC 面 BCD，又面 ABC 面 BCDBC,DBBC DB面 BCD，DB

18、 平面 ABC，则空间四边形 ABCD可以内接于圆柱12O O 中，如下图所示：点 D在上底面圆周上，ABC 三个顶点在下底面圆周上，则圆柱12O O 的外接球即空间四边形 ABCD的外接球，取12O O 的中点为O，连接OA，则球心为O，半径为 ROA，且126OOBD，2O A为正 ABC的外接圆半径，由正弦定理得248 32sin60332BCO A，即24 33O A，所以2212214323ROAO OO A；如下图，设空间四边形 ABCD的内切球球心为Q，连接,QA QB QC QD，设内切球半径为r，则11113333D ABCO ABCO ABDO ADCO BCDABCABD

19、ADCBCDVVVVVSrSrSrSr ，又ADC中，22462 13ADCD，所以22142 1328 32ADCS，所以1134 4 sin606324 3324 3611124 12 34 4 sin604 68 34 6222D ABCABCABDADCBCDVrSSSS ，所以外接球与内切球的表面积之比为22222434301 172 334364 36RRrr.故选：C.8D【分析】将()4f x 在0,)x 时恒成立转化为lne(ln)10 x xaxx 对于0,x 恒成立，设lntxx，且Rt，即满足10teat 成立即可求满足题意的a 的取值【详解】解：函数()e(ln)3x

20、f xxa xx，对于0,x ，()4f x 恒成立，即 e(ln)34xxa xx，对于0,x 恒成立，可变化为：lne(ln)10 x xaxx 对于0,x 恒成立，设lntxx，则函数t 在0,上单调递增，函数的值域为R，则不等式lne(ln)10 x xaxx 转化为10teat 在Rt 上恒成立，设 =e1th tat，则 eth ta，当0a 时，则 e0th ta恒成立，所以 h t 在Rt 上单调递增，又 00e0 10ha ，则00t，使得 000h th，不满足10teat 恒成立；当0a 时，令 e0th ta，得lnta，所以,lnta 时，()0h t，h t 单调递

21、减，ln,ta 时，()0h t，h t 单调递增，所以 lnmin=lneln1ln1ah thaaaaaa ，则ln10 aaa设()ln1g aaaa，则()11 lnln0g aaa，得1a ，所以0,1a时，()0g a，g a 单调递增，1,a 时，()0g a，g a 单调递减，所以()11 ln1 10g ag ，又()ln10g aaaa，所以 0g a，即1a .所以综上所述，a 的取值集合为|1a a 故选：D【点睛】关键点睛：函数的恒成立问题，将函数进行适当的变形，构造函数是解题关键 对于指对混合型的不等式，可考虑分离函数或同构转换，本题中的 exx与ln xx正好可以

22、利用指对互化转换为同构形式，其母函数为本题中选择了lntxx，其中lnlneeeeexxxx xtx，结合导数可确定lnRtxx，将不等式lne(ln)10 x xaxx 转换为证明10teat，从而确定a 的取值情况.9CD【分析】根据集合间的关系以及含有量词的命题的否定，相关系数的概念和最小二乘估计的概念依次判断即可【详解】解：对于任何两个集合，都有()()ABAAB，所以()()ABAB恒成立，故 A正确；“对于2x，2320 xx”的否定是“2x，2320 xx”，故 B 正确；对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强；相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故 C 错误；一元

23、线性回归模型中ybxa，其中的b，a 叫做 b，a 的平均值，b，a 叫做 b，a 的最小二乘估计，故 D 错误.故选：CD.10AB【分析】根据给定的正方体，证明 ACBD判断 A；确定符合条件的最大截面并求出面积判断 B；求出两球半径比判断 C；求出点 Q 的轨迹方程判断 D 作答.【详解】如图，在正方体 ABCDA B C D 中，DD 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，则 DDAC，而 ACBD，DDBDD，,DD BD 平面 BDD，因此 AC 平面 BDD，又 BD 平面 BDD，所以 ACBD，A 正确；与正方体 ABCDA B C D 的12条棱夹角相同的最大截面为其中6条

24、棱中点依次连接所形成的的正六边形，如图，点,M N E F R T 分别为正方体 ABCDA B C D 棱,AB BC CC C D D A A A 中点，多边形 MNEFRT 为正六边形，其边长为 2，其面积为236(2)3 34S ，B 正确；因为正方体 ABCDA B C D 的面切球直径为其棱长，棱切球直径为其面对角线长，因此面切球与棱切球半径之比为212 22，C 错误；点 Q 在平面 ABCD内，过 Q 作/QHAB 交 AD于 H，连接 D H，如图，而 AB 平面 ADDA ，D H平面 ADDA ，则 ABDH，即有QHD H，显然HQD 是 D Q与 AB 所成的角，则有

25、3HQD，于是得|2|D QQH，在平面 ABCD中，以 DA，DC 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，设(,)Q x y，则22|DQxy，2222|,|4QHyD QD DDQxy，于是得2242|xyy，整理得223144yx，所以 Q 在平面 ABCD内的轨迹为双曲线，D 错误.故选：AB11AC【分析】先利用离心率，焦点三角形面积最大值算出 a，b，得出椭圆方程，再逐一分析.【详解】由题意123cabc，2243ab，22143xy，故 A 正确；联立221433470 xyxy，得2214210 xx，2=424 210，故有两个交点，故 B 错误；因为22OA OBA

26、B OHS，22SABSOA OBOH，且2222222222222|11|1|OAOBABSOAOBOHSOHOAOBOAOB而2222222111|abOAOBOHa b2222a bOHab设,H x y，则222222a bxyab，又2243ab22127xy，故 C 正确；设过椭圆外的点 Q（3，2）的切线方程为(3)2yk x联立221,43(3)2xyyk x得2222438 32364840kxkk xkk；(3)2yk x 与椭圆相切，0，整理得：251210kk，6315k，故两切线为定直线，则 A，B 为定点，故ABk为定值，P 为直线 PQ 与椭圆 C 的交点，则 P

27、 为动点则PQABkk为定值不成立，故 D 错误故选：AC12ACD【分析】求出函数 f x 的导数()fx，利用导数几何意义求出切线方程判断 A；确定给定区间上单调性判断 B；构造函数推理论证不等式判断 C；利用零点存在性定理判断 D 作答.【详解】11()eln(1)ee ln(1)11xxxfxxxxx，则(0)1f ，而(0)0f，因此，曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为 yx，A 正确；1()()e ln(1)1xg xfxxx，则221()e ln(1)1(1)xg xxxx，设221()ln(1)1(1)h xxxx，当0,x 时，2233122101(1)(1)(1)x

28、h xxxxx，则函数 h x 在0,)上单调递增，010h xh，因此()0g x对任意的0,x 恒成立，所以 g x 在0,)上单调递增，B 错误；120,0 xx，211212121212)()()(eln(1e ln(1e ln(1xxxxf xxf xf xxxxx，设222222()(eln)(1e ln(1e ln(1)()()x xxxxf xxf xf xxxxx，0 x，则 222211eln(1e ln(1)()(11x xxxxxxg xxg xxxx由选项 B 知，g x 在(0,)上单调递增，而20 xxx，则2)()(g xxg x，即有2()()()0 xg x

29、xg x，因此函数()x 在(0,)上单调递增，122()(0)()(0)()(0)0 xf xff xf，即有 1212f xxf xf x，所以对任意的12,(0,)x x ，总满足 1212f xxf xf x，C 正确；令()()e ln(1)xm xf xxxx，10 x，1()e ln(1)11xm xxx，令1()e ln(1)11xu xxx，10 x，221()e ln(1)1(1)xu xxxx，由选项 B 知，221()ln(1)1(1)h xxxx，当 10 x 时，2310(1)xh xx，即有函数()h x 在(1,0)上单调递增，而12(e1)1 2ee0h ，(

30、0)10h，存在10(,0)e1x，使得0()0h x，当01xx 时，()0h x，则()0u x，当00 xx时，()0h x，则()0u x，于是得函数()u x 在0(1,)x-上单调递减，在0(,0)x上单调递增，而(0)0u，则有0()0u x，又2222e12e1e(e1)e(2e)1ee 1e10u ，因此存在210(e1,)xx，使得1()0u x，当11xx 时，()()0m xu x，当10 xx时，()()0m xu x，于是得函数()m x 在1(1,)x上单调递增，在1(,0)x上单调递减，则1()(0)0m xm，又33e1313(e1)3ee13ee10m ，从

31、而存在唯一321(,)e1xx，使得2()0m x，显然当20 xx时，()0m x，又1111()ln222em，令11()ln()2v xxxx，222111(1)()0222xv xxxx，因此函数()v x 在(0,)上单调递减，1()(1)02vv，有11 13ln(2)22 24，113ln 2e4 e，则111132 e3ln02122e)42e(4 em，即2102x ，从而函数 m xf xx在(1,0)x 上有唯一零点21(1,)2x ，所以直线 yx与 yf x在(1,0)x 上有一个交点且横坐标取值范围为1(1,)2，D 正确.故选：ACD【点睛】结论点睛：函数 y=f

32、(x)是区间 D 上的可导函数，则曲线 y=f(x)在点00(,()xf x0()xD处的切线方程为：000()()()yf xfxxx.13 6 或56【分析】由题意可得()f x 在6x 处取最值，从而得6k，Zk，再根据(,)确定k 的值，即可得 的值.【详解】解：因为函数 sin 2f xx，(,)关于6x 对称，所以sin16332fk ，Z6kk，Zk，当0k 时，6；当1k 时，56.故答案为：6 或561490【分析】根据题意，将式子展开成60615666663322CCCyyxyxx yyxx，24x y 的系数分两种情况讨论即可【详解】解：60615666663322CCC

33、yyxyxx yyxx，24x y 在第一个括号里取 2 时，第二个括号里取4246C x y，此时系数是462 C30，24x y 在第一个括号里取 3yx 时，第二个括号里取3336C x y，此时系数是363 C60，则24x y 的系数306090.故答案为：90 1520 xy【分析】设曲线2C 上切点为001,exx，利用导函数求斜率进而可得到切线关于0 x 的方程，再利用圆心到切线的距离等于半径求0 x 即可.【详解】令()e1xf x ，则()exfx，设在曲线 yf x上的切点坐标为001,exx，则该点切线斜率00()exkf x，所以切线方程为000(e1)e()xxyx

34、x，整理得0000ee1 e0 xxxxyx，又因为圆222xy上的圆心0,0 到切线方程的距离为 2，所以000022e1 e2e1xxxx ，解得00 x，所以切线方程为20 xy，故答案为：20 xy1664【分析】求出当kn时，1a，2a，L，na 最多能表示 12n n个数字，由(1)20232n n即可求解k的最小值.【详解】对于此题，我们先从简单的算起当1k 时，则1a 最多能表示1a 共 1 个数字；当2k 时，则1a，2a 最多能表示1a，2a，12aa共 3 个数字；当3k 时，则1a，2a，3a 最多能表示1a，2a，3a，12aa，23aa，123aaa共 6 个数字；

35、当 kn时，则1a，2a，na 最多能表示1(1)(1)(2)12nin nnnni 个数字；minmin1(1)(1)(2)12023(Z)642nin nnnninkn，故答案为：64.17(1)证明见解析(2)245【分析】（1）若选择证明：sinsinabAB证法一：三角形外接圆法，设 ABC 的外接圆的圆心为O，半径为 R，结合三角形边角关系，对 A 为锐角，钝角及直角各种情况进行证明；证法二：向量法，以 A 作为原点，以射线 AB 的方向为 x 轴的正方向建立直角坐标系，C 在 y轴上的投影为C，结合向量的投影即可证明；若选择证明：222cos2bcaAbc证法一：建系法，以 A

36、点为原点，ABC 的边 AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，结合两点间的距离公式可证；证法二：解析法，对 A 为锐角，钝角及直角各种情况进行讨论，结合三角形边角关系即可证明（2）由已知结合三角形的面积公式即可得解【详解】（1）若选择证明：sinsinabAB.证法一：三角形外接圆法设 ABC 的外接圆的圆心为O，半径为 R，如图由图（1）知，当 A 为锐角时，BD为直径，AD，2sinsinaaRAD；由图（2）知，当 A 为钝角时，BD为直径，180AD，sinsin2aaADBDR，2sinaRA；如图（3），当90A 时，BC 为直径，2sinaaBCRA.对于任意三角形都有2si

37、naRA 同理，2sinbRB sinsinabAB.证法二：向量法当 A 为钝角时，以 A 作为原点，以射线 AB 的方向为 x 轴的正方向建立直角坐标系，C 在 y 轴上的投影为C，如图所示，向量 AC 与 BC 在 y 轴上的投影均为 OC，即cos90sinOCACAbA，sinsinOCBCBaB，sinsinaBbA，即 sinsinabAB.以同样的方式可以证明 A 为锐角或直角时上式同样成立，sinsinabAB.若选择证明：222cos2bcaAbc.证法一：建系法以 A 点为原点，ABC 的边 AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则0,0A，cos,sinC bA b

38、A，,0B c由两点间的距离公式得222cossin0BCbAcbA，即2222cosabcbcA，则222cos2bcaAbc证法二：解析法当 A 为锐角时，过C 作CDAB于 D则cosADbA，sinCDbA，cosBDABADcbA，在 Rt BCD 中，222BCCDBD，即2222sin(cos)abAcbA，所以2222cosabcbcA，则222cos2bcaAbc当 A 为钝角时，过C 作CD垂直于 BA的延长线于 D，则cos(180)cosADbAbA，sin(180)sinCDbAbA，cosBDADABbAc ，在 Rt BCD 中，222BCCDBD，即2222si

39、n(cos)abAbAc，所以2222cosabcbcA，则222cos2bcaAbc当 A 为直角时，222 cos0,abcA，满足222cos2bcaAbc，综上，222cos2bcaAbc（2）cba，4c，113624sin422555SbcAcc ，ABC 面积的最小值为 245 18(1)121,21,N2,2,N*nnnnkkank k(2)132231 4483239nnnnnnT【分析】（1）根据题意列出关于d 的方程，结合等差等比数列通项公式的概念即可得结果.（2）求出数列 nb的通项公式，分奇数项和偶数项分别进行求和计算即可【详解】（1）设11*11,21,2,Nnna

40、nd nkkNaa qnk k 由题意得211212121220222aadaaadaddq121,21,N2,2,N*nnnnkkank k（2）21*2,21,2,2,Nnnnnn nkkNbnannk k 先求奇数项的和：22nbnn，21nk，Nk，2222213(21)nSnn 引入2222222424 12nWnn，221221 41123nnninnnSnWi2222121 411 2122436nnninnnn nnSiWnn 再求偶数项的和：12nnbn，2nk，*Nk，132124622 24 2221 22 23 22nnnSnn 262224622241 22 2242

41、22223nnnnnnnSnSSnS 1231114 1 44444444441 43nnnnnnnnn11131 44444399nnnnnnS 11322221 411 2131 4431 448322436939nnnnnnnnn nnnnnnnTSSn 19(1)证明见解析(2)16(3)不存在【分析】（1）由 ABE 的面积为 4，推导出90EAB，即 AAAB，又 ADAA，可得 AA 平面 ABCD当1 时，P 为 FH 的中点，P 在 B D 上，可证得 AC 平面 BDDB ，从而得BPAC；（2）由题意可证得 BD 平面 ACC E，则1132B ACC EACC EVSB

42、D，代入求解即可；（3）以 D为原点，DA所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设,2,4P aa，求出平面 BC E 的法向量，利用向量夹角公式列出关于a的方程，即可得出结论【详解】（1）ABE 的面积为 4，2,4AEAB，1sin42 AE ABEAB，sin1EAB，则90EAB，即 AAAB，又 ADAA，ADABA，,AD AB 平面 ABCD，故 AA 平面 ABCD，当1 时，1FPPH，则 P 为 FH 中点，P 在 B D 上，DD 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，DDAC，又 ACBD，DDBDD，,DD BD 平

43、面 BDDB ，AC 平面 BDDB ，又 BP 平面 BDDB ，BPAC（2）AA 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，AABD，即 AEBD，又 ACBD，AEACA，,AE AC 平面 ACC E，BD 平面 ACC E 多面体 BACC E的体积244 21112 2163232B ACC EACC EVSBD（3）以 D为原点，DA所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，0,0,0D，(4,4,0)B，(4,0,2)E，0,4,4C，设,2,4P aa，所以0,4,2BE，4,0,4BC ，4,2,4BPaa，设平面 BC E 的

44、法向量,nx y zr，则00n BEn BC ，即200yzxz，令2z，则,12yx，2,1,2n，若线段 BP 与平面 BC E 夹角余弦值为 16，则2135cos,166BP n，2235cos,63 2436BP naBP nBP naa，233626220aa，2(62)4 33 622782600 ，方程无解不存在，使得线段 BP 与平面 BC E 夹角余弦值为 16 20(1)有 99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联(2)11122311nnnnpqpq(3)分布列见解析，1()13nnE X，*nN【分析】（1）由题意得2K，结合题意，即可得出答案；（2）求

45、导得2k，分别求出np，nq，即可得出答案；（3）由（2）得111213pq，11122311nnnnpqpq，利用等比数列的通项公式可得1213nnnpq，求出np，nq，即可得出答案【详解】（1）解：221000380 280 120 220106.6710.828500 500 600 400K有 99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联（2）解：()lnxf xx，函数定义域为 0,11,，则 2ln1lnxfxx，由 0fx得ex，由()0fx得ex，由 0fx得01x 或1ex，()f x在(e,)上单调递增，在(0,1)和(1,e)上单调递减，当ex 时，()f x

46、取得极小值，且 eef，k 为函数()lnxf xx极小值的 2e 倍，2k，113111133CC1CC3p，113211133CC2CC3q，11113312211111111113333CCCC1270 1CCCC3927ppqpqpq，11111111332221122111111111111133333333CCCCCCCC12161CCCCCCCC9327qpqpqq 当2n 时1111312111111111113333CCCC120 1CCCC39nnnnnnnppqpqpq，1111111133222112111111111111133333333CCCCCCCC121CCC

47、CCCCC93nnnnnnqpqpqq，2，得1111124121222399333nnnnnnnpqpqqpq从而11122311nnnnpqpq（3）解：由（2）得111213pq，11122311nnnnpqpq，数列21nnpq是首项为 13，公比为 13 的等比数列，111121333nnnnpq，即1213nnnpq，*nN，联立得1313595nnqq ，又131515q，则数列35nq 是首项为 115，公比为19的等比数列，11131595nnq，*nN 由得1131111123109235nnnnnpq，*nN 311111109235nnnnpq ，*nN nX 的概率分

48、布列为：nX012P1nnpqnqnp则1()011213nnnnnnE Xpqqp ，*nN 21(1)证明见解析(2)是定值，定值为 619【分析】（1）利用仿射变换将椭圆方程变为圆的方程，设原斜率分别为1k，2k，1 21k k ，则变换后斜率2121 22ak kk kb，设变换后坐标系动点00,Q xy，过点00,Q xy的直线为00:l yyk xx，将圆的方程和直线方程联立，利用直线和圆相切结合韦达定理求解即可；（2）由图中的垂直关系，利用等面积法1122OYWSOY OWYW OZ和222222222|11|OYOWYWOYOWOYOWOWOY，结合椭圆的性质求解即可.【详解】

49、（1）由仿射变换得：xxa，yyb，则椭圆22221xyab 变为221xy设原斜率存在分别为1k，2k，1 21k k ，变换后为11akkb，22akkb，所以222121 2221aak kk kebb ，设变换后的坐标系动点00,Q xy，过点00,Q xy的直线为00:l yyk xx00:0l kxykxy到原点距离为00211kxydk，即2222200000011210kxykxkx y ky ，由韦达定理得：2012220211yak kxb ，化简得：22222200a xb yab由于原坐标系中0 xxa，00yyxaxb，0yby所以在原坐标系中轨迹方程为：2222xy

50、ab，由2554 55ceaba 解得2254ab，所以点 P 的轨迹方程为229xy，当切线斜率不存在时，由椭圆方程22154xy 易得 P 点在229xy上.（2）如图所示延长OY 交 1l 于 N，延长OW 交 2l 于 M，由题意可知2GPMOGPOHP ，所以四边形OGPH 为矩形，2YOW，所以1122OYWSOY OWYW OZ，且222222222|11|OYOWYWOYOWOYOWOWOY，222|YWOWOY分子分母同乘2|OZ得22222241114SOZSOZOYOW，因为OYOW，当直线,OY OW 斜率存在时，设3:OYlyk x，31:OWlyxk，由222231

51、xyabyk x解得2222223Ya bxba k，222232223Ya b kyba k，所以2222322231a bkOYba k，由2222311xyabyxk 解得222232223Wa b kxb ka，2222223Wa byb ka，所以2222322231a bkOWb ka，所以222222223322222222223311(1)(1)ba kb kaaba bka bka bOYOW，当斜率不存在时仍成立，所以222221|abOZa b，2222222209a bOZxyab，所以 Z 所形成的轨迹与 P 所形成的轨迹的面积之差2061999是定值.22(1)0a

52、，函数 f x 的单调递增区间为0,e(2)证明见解析【分析】（1）利用极值点导数为 0 求 a 的值，再利用导数大于 0 求单调递增区间即可；（2）设11:1e e 1lyx，21:4ee e4elyx，1l、2l 与 yb交点横坐标分别为3x，4x，利用作差法比较1()()f xl x和2()()f xl x的大小进而比较1x 与3x 和2x 与4x 的大小即可.【详解】（1）由题意可得21ln()axfxx，因为 f x 在ex 处取到极值，所以21lne(e)0eaf，解得0a，所以21 ln()xfxx，令()0fx，解得0ex，即函数 f x 的单调递增区间为0,e.（2）过极值点

53、 e 1,e和(1,0)设11:1e e 1lyx，过极值点 e 1,e和(4e,0)设21:4ee e4elyx，1l、2l 与 yb交点横坐标分别为3x，4x，联立11:1e e 1lyx与 yb得23ee1xb，联立21:4ee e4elyx与 yb得243e4exb，令 11e e 1g xf xx，所以 2221lnln1ee1eexxxxg xxxx令 221lneem xxxx，2222112ee21eeeexxm xxxx，二次函数222eeyxx 对称轴为14x，且1x 时0y，ex 时0y，所以 m x 在1,e 上先单调递增再单调递减，又因为 10m，e0m，所以 00m

54、 xg x在1,e 恒成立，所以 1f xlx在1,e 恒成立，所以 11311f xlxlx，所以31xx，令 1(4e)e(e4e)h xf xx，所以 2224elnln13e(4e)3exxxxh xxxx，令 224eln3exxn xx，2222124e24e3e3e3exxxn xxx，二次函数2224e3eyxx对称轴为ex，且ex 时0y，所以()0n x恒成立，所以()n x 单调递增，又(e)0n，所以()0h x 在(e,4e)上恒成立，所以2()()f xl x在(e,4e)恒成立，所以2242()()()f xl xl x，所以42xx，所以21434e 1 1exxxxb.【点睛】本题难点在于第二问，214e 1 1exxb可看作过4ex 和1x 的两条割线，且两条割线交于极值点 e 1,e，进而构造11:1e e 1lyx，21:4ee e4elyx即可求解.