高考数学总复习：正弦定理和余弦定理.pdf

1、1.正弦定理(1)内容:=2R(其中R为ABC外接圆的半径).(2)正弦定理的几种常见变形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(其中R是ABC外接圆半径)abcsinAsinBsinC,;222abcsinAsinBsinCRRRasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;a:b:c=sinA:sinB:sinC.2.余弦定理(1)余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.(2)余弦定理的变形222222222;2;2.2bcabcaccosAcosBcosbacabbCca

2、(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令ABC为90,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.3.解斜三角形的类型在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:4.测距离的应用5.测高的应用6.仰角俯角方位角视角(1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60.(3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.7.ABC的面积公式有22aa1(1)211(2)2h(ha);(r);2241(3)()21(pabc.4)()()()2S

3、asinBsinCabcSabsinCR sinAsinBsinCasinARSr abcSp papbpc表示 边上的高为内切圆半径其中考点陪练1.ABC,a,B60,A()A.135B.90C.45D.2,033b已知中那么角 等于232,.232:sin23,AaAB,A45.absinAsinBsinAb解析 由正弦定理得可得又所以所以答案:C2.ABCa b c,a1,c4,B45,ABC2.4 3.5.2.()6 2ABCD的边分别为 且则的面积为ABC1122:S1 4si522n4.acsinB 解析答案:C2223.ABC,A B Cabc,acbtanBB3,.6352.6

4、()633acABCD在中 角 的对边分别为、若则角 的值为或或2222223,313.22:ac232,btanBBsinB(0,).22B33acacbcosBcosBactanBsinB解析 由联想到余弦定理并代入得显然在内或答案:D4.在ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若B=45,则角A等于()A.30B.30或105C.60D.60或1203,2,ab:sinAA),A,3.22(,.43.3ADabsinAsinBasinBb解析 由正弦定理得又或故选答案:D5.(2010湖南)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120,a,则()A.abB.abC

5、.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:c2=a2+b2-2abcos120a2-b2-ab=0b=AC知CB,则C有两解.2 3,AB,ABACsinCsinB12 332.22ABsinBAC(1)当C为锐角时,C=60,A=90,由三角形面积公式得:S=ABACsinA=2sin90=.(2)当C为钝角时,C=120,A=30,由三角形面积公式得:S=ABACsinA=ABC的面积为或1212 32 2 312112 323,22 2 33.解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2|BC|BC|2-6|BC|+8=

6、0,|BC|=2或|BC|=4.(1)当|BC|=2时,S=|AB|BC|sinB(2)当|BC|=4时,S=|AB|BC|sinBABC的面积为或2 33,212112 323.2212112 342 3.222 33.反思感悟本题主要考查正弦定理三角形面积公式及分类讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推理能力.类型二判断三角形的形状解题准备:1.这类题型主要是利用正余弦定理及其变形,把题设条件中的边角关系转化为角或边的简单关系,从而进行判断.2.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角为着眼点,利用正余弦定理及变形,把已知条件转化为内角三角函数之间的关系,走三角变形

7、之路;二是化角为边,以边为着眼点,利用正余弦定理及变形,把已知条件转化为边的关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.【典例2】在ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状.分析利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.解解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B).得a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsin

8、A.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.0A,0B180,故B=135不适合题意,是个增解.这个增解产生的根源是忽视了ab这一条件,根据三角形的边角关系,角B应小于角A,故B=135应舍去.正解在ABC中,由正弦定理可得因为ab,所以AB,所以B=45.答案45评析已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角时,一定要注意根据边角关系,确定适合题意的角是一个还是两个.2602,26bsinAsinsinBa错源二因忽视边角关系而致错【典例2】在ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么ABC是()A.锐角

9、三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形222222,tanAa,tanBbsinAcosAsinBcosB,sin2Asin2B,AB.ABC,C.,tanAatanBbsinAcosBsin AcosBsinAcosAsinBsin BcosAsinB错解由得即所以所以所以所以所以是等腰三角形 选剖析上述错解忽视了满足sin2A=sin2B的另一个角之间的关系:2A+2B=180.222222,tanAa,tanBbsinAcosAsinBcosB,sin2Asin2,B,ABAB90.ABC,D.tanAasinAcosBsin AtanBbcosAsinBsin B

10、cosBsinAcosAsinB正解由得即所以所以所以所以或所以是等腰三角形或直角三角形 选答案D评析判断三角形形状时,一定要把边或角的关系考查周全,避免遗漏.错源三因忽视角的范围而致错【典例3】在ABC中,若A=2B,求的取值范围.错解在ABC中,由正弦定理,可得因为0B,所以-1cosB1,所以-22cosB2,又,所以02cosB2,所以的取值范围是(0,2).ab222,asin BsinBcosBcosBbsinBsinB0ab ab剖析上述错解忽视了根据已知条件A=2B进一步考查角B的取值范围.正解在ABC中,由正弦定理,可得因为A=2B,A+B,所以所以cosB1,所以12cos

11、Bbc,即最大边长为a,所以A=120,因为b=a-4,c=b-4=a-8,4,2abacb 所以在ABC中由余弦定理,得解得a=14或a=4,所以最大边长为4或14.剖析上述错解忽视了已知条件a=4+b中隐含的a4这一要求.222(4)(8)1,2(4)(8)2aaacosAaa 正解由可得b-c=4,所以abc,即最大边长为a,所以A=120,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在ABC中由余弦定理,得4,2abacb 解得a=14或a=4,因为a=4+b,所以a4,所以最大边长为14.222(4)(8)1,2(4)(8)2aaacosAaa 评析对于题目中的隐含条件,尤其是范围条件,

12、一定要善于挖掘.错源五忽视内角和定理的限制5ABC,3sinA4cosB6,3cosA4sinB15.,.66C52.6633()ABCD【典例】在中则 的大小为或或3461.3sin ABsinC41215,266,C.sinAcosBcosAsinBC错解由平方相加得或故选,3cosA4sinB111.3c2o.356sAAC.剖析 平方易增解 由得3461.341215,266sin ABsinCC.C,AB1 3cosA4s5.6611,325inB0,c.os,3AAC,CA6.6sinAcosBcosAsinB正解由平方相加得或若则故应选答案A技法一方程思想【典例1】如图,D是直角

13、ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.(1)证明:sin+cos2=0;(2)若AC=,求的值.3DC 1:BAD(2)2sinsins2,22.inc22os20.2cos 解证明 因为所以即 222ADC,.sinsin.1:sincos2,si()3,3()33(ncos212sin),330.33.22sinsins33in,.223sin0sinDCACsinsinDCDCsinsin 在中由正弦定理 得即所以又由可知所以即解得或因为故从而方法与技巧第(2)问借助正弦定理得到“sin=sin”,结合第(1)问的结论消去角,把问题转化为关于sin的一元二次方程,通过解

14、方程求得.此题灵活运用了消元思想和方程思想.3技法二分类讨论思想【典例2】如图,有两条相交成60的直线xx,yy,其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在xx,Oy上行驶,起初甲离O点30 km,乙离O点10 km,后来两车均用60 km/h的速度,甲沿xx方向,乙沿yy方向行驶(设甲、乙两车最初的位置分别为A,B).(1)起初两车的距离是多少?(2)用包含t的式子表示,t小时后两车的距离是多少?解(1)由余弦定理,知AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=302+102-23010=700.故AB=(km).即起初两车的距离是1210 710 7.km(2)设甲乙两车t小时后的位置分别为P,Q

15、,则AP=60t,BQ=60t.当0t 时,POQ=60.此时OP=30-60t,OQ=10+60t.由余弦定理,得PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos60=10800t2-3600t+700.12当时,POQ=120.此时OP=60t-30,OQ=10+60t.由余弦定理,得PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120=10800t2-3600t+700.综上知PQ2=10800t2-3600t+700.则故t小时后两车的距离是12t 210 108367.PQtt210 108367().

16、PQttkm方法与技巧本题是一个解三角形的实际问题,由于两车的行驶方向导致以O点为起点的两线段的夹角发生变化,因此必须对两种情况进行分类讨论.技法三数形结合思想【典例3】在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100 m后,又从B点测得斜度为45.设建筑物的高为50 m,求山坡对于地平面的斜度的倾斜角的余弦值.解题切入点本题是测量角度问题,首先应根据题意画出图形,如图所示.设山坡对于地平面的斜度的倾斜角EAD=,这样可在ABC中利用正弦定理求出BC;再在BCD中,利用正弦定理得到关于的三角函数关系式,进而解出.100301510015.3ABC,BAC15,CBA18045135,ACB30,AB100 m.,BCB010015CD,CD50,BCCBD45,CDB90.,30100155030.49,5(0)BCsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin 解 在中根据正弦定理 有所以又在中根据正弦定理 有3.cos1 解得3 1.即山坡对于地面的斜度的倾斜角的余弦值为方法与技巧题中已知条件较多,为了求倾斜角,根据题意画出其示意图,将已知条件归结到ABC与BCD中.在BCD中,利用三角形的性质,将CDB与角联系起来,从而在两个三角形中,利用正弦定理将求出.