2023年中考数学综合压轴题突破——待定系数法求二次函数图象.docx

1、2023年中考数学综合压轴题突破待定系数法求二次函数图象一、综合题1已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x10124y1012125（1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x321012y0343m5（1）直接写出表格当中的m值： ；（2）求这个二次函数的表达式；（3）在图中画出这个二次函数的图象（4）直接写出当4x0时，y的取值范围是 3如图，抛物线L：yax2+bx3与r轴交于A（2，0），B（6，0）与y轴交于点C，点P的坐标为（m， m1）（1）请

2、求出L的解析式及对称轴（2）当点P在L上时，求m的值（3）过点P作x轴的垂线，分别与x轴、抛物线L交于点M，N当线段PN 时，求m的值；若点P，M，N三点不重合，当其中两点关于第三点对称时，直接写出m的值4函数 的图象与 轴交于点 ， . （1）若 ，求该函数的表达式； （2）若 ， 的值还确定吗？请说明理由； （3）若点 ， 在该函数的图象上，试比较 与 . 5如图1，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点为抛物线对称轴上的一点，使取得最小值，求点的坐标；（3）如图2，若是线段上方抛物线上一动点，过点作垂直于轴，交线段于点，是否存在点使线段

3、的长度最大，如存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由6已知：如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为 ，点 ，另抛物线经过点 ，M为它的顶点. （1）求抛物线的解析式； （2）求 的面积 . 7如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 （1）求抛物线的表达式； （2）点 为抛物线的顶点，在 轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，位于 轴右侧且垂直于 轴的动直线 沿 轴正方向从 运动到 (不含 点和 点)，分别与抛物线、直线 以及 轴交于点 ，过点 作 于点 ，求面积 的最大值 8在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，经过点的抛物

4、线与y轴交于点，直线l为该抛物线的对称轴，点B为点A关于对称轴l的对称点，连接AB、OB.（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）点P为对称轴l左侧抛物线上的点，过点P作于点D，作轴于点C，连接CD，问是否存在点P，使得PCD与AOB相似？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.9如图，已知抛物线 经过原点 、 ，直线 经过抛物线的顶点 ，点 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结 、 、AB，过点 作 轴，分别交线段 、 于点 、 . （1）求抛物线的表达式； （2）当 时，求证： ； （3）当 时，求点 的坐标. 10如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-

5、x2-2x+c(c0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1,0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点。（1）求该抛物线的解析式和顶点E的坐标；（2）设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大；（3）如图2，若直线0D的解析式是y=-3x，点P和点0分别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。11如图，直线y= x+ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C不重合）抛物线y= x+bx

6、+c经过点A、C，与x轴交于另一点B， （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是PAPC的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由 12如图，抛物线的图象与 轴交于 和 两点，交 轴于点 ，点 、 是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点 、 （1）请直接写出D点的坐标 （2）求抛物线的解析式 （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 13如图，对称轴为直线x=-1的抛物线

7、y=a(x-h) 2-4(a0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上，且SPOC=4SBOC.求点P的坐标； （3）设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值. 14如图，已知抛物线yax2+bx3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值.（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物

8、线和直线BC于F、G，使FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标.15如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是A和C，且抛物线的对称轴为x=-2（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上找一点D，使ACD的面积最大，直接写出点D的坐标及最大面积16如图，已知正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且面积为16，点H是正方形OABC的中心，反比例函数y 经过点H，与AB，BC分别交于点E、F，过点H作HDOA于点D，以DH为对称轴，且经过点E的抛物线L与反比例函数的图象交于点P （1）求k的值； （2）若抛物线经过点F，求此时

9、抛物线L的函数解析式； （3）设抛物线L的顶点的纵坐标为m，点P的坐标为（x0，y0），当 x08，求m的取值范围 17已知，如图抛物线 与坐标轴分别交于点 ， ， ，点P是线段AB上方的抛物线上的一个动点. （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作 于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点P的坐标，和PQ最大值； （3）过点P作x轴的垂线交线段AB于点M，再过点P作 轴交抛物线于点N，请问是否存在点P使 为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在说明理由. 18如图，二次函数y-x2+（k-1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OAOB（1）求该二次函数的解析式；（2）

10、若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；设ABC的面积为S，试求出S的最大值答案解析部分1【答案】（1）解：由表格可知，抛物线经过（0，1）、（2，1）， 对称轴为直线x 1，抛物线的顶点为（1，2），设抛物线的解析式为 ，代入（0，1）得，1a2，解得a3，二次函数的解析式为： （2）解： ， 二次函数图象的开口向上、对称轴是直线x1，顶点坐标（1，2）2【答案】（1）0（2）解：由表格可知抛物线的顶点坐标为 ， 则设抛物线解析式为： ，将点 代入 得： ，解得： ，抛物线解析式为： ；（3）解：抛物线图像如图所示： （4）3【答案】（1）解：将A（2，0），B（6，0）代入抛物线

11、得： ，解得： ，L的解析式为： ，对称轴为： ；（2）解：点P在L上， 将P点代入L中得： ，解得： ， ；（3）解：由题可知，点N在抛物线上， N( ， )，M(m，0)，P、M、N在一条直线上，且垂直于x轴，则有 ，解得： 或 ，m=2或5或84【答案】（1）解： 函数 的图象与 轴交于点 ， . 若 ，则 ，解得 ， 该函数的表达式为 ；（2）解：若 ， 的值能确定，理由如下： 函数 的图象与 轴交于点 ， . ， ，ac0， ；（3）解： 函数 的图象与 轴交于点 ， . 抛物线的对称轴为直线 ， ， ，当 时，得c=-3，此时点 到对称轴的距离等于点 到对称轴的距离， ，当c-3时

12、， 点 到对称轴的距离大，点 到对称轴的距离小， 抛物线开口向下， .当c-3时， 点 到对称轴的距离小，点 到对称轴的距离大， 抛物线开口向下， .5【答案】（1）解：对称轴为直线的抛物线经过，与轴的另一交点为A点A的坐标为(-1，0)设该抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)把代入，得解得故抛物线的解析式为；（2）解：设BC所在的直线的解析式为把B、C的坐标分别代入得：解得的解析式为，当时，此时取得最小值；（3）解：存在，设，当时，取得最大值，此时点的坐标为6【答案】（1）解：A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上， ，解方程组，得 ，故抛物线的解

13、析式为y=-x2+4x+5（2）解：过点M作MNy轴交BC轴于点N，则MCB的面积=MCN的面积+MNB的面积= MNOB. y=-x2+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）2+9，M（2，9），B（5，0），由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=-x+5，当x=2时，y=-2+5=3，则N（2，3），则MN=9-3=6，则SMCB= 65=15.7【答案】（1）解：把点A（-2，0）、B（8，0）、C（0，4）分别代入 ，得： ，解得 ，则该抛物线的解析式为： ；（2）解：不存在 抛物线经过A（-2，0）、B（8，0），抛物线的对称轴为 ，将 代入 得： ，抛物线的顶点坐

14、标为： ，假设在 轴上存在点 ，使MNB=90 ，设点N的坐标为(0，m)，过顶点M做MHy轴于点H，MNH+ONB=90 ，MNH+HMN=90 ，HMN=ONB，MHNNOB， ，B（8，0），N (0，m)， ， ， ，整理得： ， ，方程无实数解，所以假设不符合题意，在 轴上不存在点 ，使MNB=90 ；（3）解：PQBC，PFOB， ，EFOC， ，PQEBOC，得 ，B（8，0）、C（0，4）， ， ， ， ， ，当PE最大时， 最大，设直线 的解析式为 ，将B（8，0）、C（0，4）代入得 ，解得： ，直线 的解析式为 ，设点P的坐标为 ，则点E的坐标为 ， ， ，当 时， 有最

15、大值为4， 最大值为 8【答案】（1）解：把点和点分别代入，得到， 解得，抛物线的表达式是，当 y0时，得到，解得， 抛物线与x轴只有一个交点（1，0）；（2）解：抛物线的对称轴l为直线x1，点B为点A关于对称轴l的对称点，且点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（-2，1），AB2，AO1，设点P的坐标为（t，），则PC，PD1t，过点P作于点D，作轴点C，lx轴，点D、P、C是矩形的顺次相邻的三个顶点，CPD90，直线l为该抛物线的对称轴，点B为点A关于对称轴l的对称点，ABl，lx轴，ly轴， ABy轴，BAOCPD90，若PCDABO，则， ，整理得， 解得，当时，0，此时点P的坐标是（

16、1，0），PCD不存在；当时，4，此时点P的坐标是（3，4），PCD存在，如图1所示；若PCDAOB，则， ，整理得， 解得，当时，0，此时点P的坐标是（1，0），PCD不存在；当时，此时点P的坐标是（，），PCD存在，如图2所示；综上点P的坐标是（3，4）或（，）.9【答案】（1）解：抛物线 经过原点 、 ， 对称轴为 ，直线 经过抛物线的顶点 ， .设 ，抛物线经过原点 ， ， .（2）证明： ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， （3）解：记CE与y轴交于点M，过点B作 ，垂足为点N. 设 . ， ，又 ， ， ， . 轴，x轴y轴， ， ， ， （舍）， ， .10【答案】（1）解：抛

17、物线y=-x2-2x+c(c)的图象经过点B（1，0）. -12-21+c=0，解得c=3.抛物线y=-x2-2x+C(c0)的解析式是y=-x2-2x+3. 顶点E的坐标是（-1，4）.（2）解：x2-2x+3=0.解得x=1，x=-3.，OA=3,OC=3. ：D点的横坐标是a, D(a,-a2-2a+3)，连结DO，如图所示。四边形AOCD的面积=AOD的面积+COD的面积 .当a=- 时，四边形AOCD的面积最大。（3）解：直线l:y=-3x，可设Q点的坐标是（a，-3a） （）平行四边形以OC为边时，P点的坐标是（a,a2-2a+3），如图 所示，PQ=OC，得-3a-（a2-2a+

18、3)=3.整理得a2-a+6-0，解得；a1=3，a2=-2.此时2点的坐标分别是（3，-9），(一2，6）.P点的坐标是（a,-a2+2a+3），如图所示，PQ=OC，得-3a-（a2-2a+3)=3.整理得a2-a=0，解得：a1=1，a2=0不合题意，舍去），此时Q点的坐标是（1，-3）.（)平行四边形以OC为对角线时，如图所示，根据平行四边形的对角线相互平分可知，点P与点Q关于OC的中点成中心对称，则P点的坐标是（a，-a2-2a+3），Q(-a,3a）得到：-a2-2a+3+3a=3.整理得a2+a=0，解得；a1=-1，a2=0(不合题意，舍去），此时Q点的坐标是(-1，3）.综上

19、所述，满足条件的Q点坐标为：(3.，9），（-2，6），（1，-3）和（-1，3）.11【答案】（1）解：由y= x+ ， 得：A（-3，0），C（0， ）， 将其代入抛物线解析式得： ，解得： ，y= ，对称轴是x=-1，由对称性得B（1，0）；（2）解：延长BC与对称轴的交点就是点P， 设直线BC的解析式为y=mx+n，把B（1，0），C（0， ）代入得： ，解得： ，则直线BC解析式为：y=- x+ ，当x=-1时，y=2 ，P（-1， 2 ）；（3）解：结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与M相切，理由如下： 在RtAOC中，tanCAO= ，CAO=30，ACO=60，点D是

20、的中点， ，ACD=DCO=30，OF=OCtan30=1，CF O=60，AFG中，AF=3-1=2，AFG=CFO=60，FG=2，AFG为等边三角形，GAF=60，CAG=30+60=90，ACAG，AG为M的切线 12【答案】（1）解： 抛物线与 轴交于点A(-3、0),和点B(1、0), 抛物线的对称轴为： ， C、D是抛物线上一对对称点，点C(0、3), （2）解：设抛物线的解析式为 （ ，a、b、c常数）， 根据题意得解得 所以抛物线的解析式为 （3）解：根据题意要使 的周长要最小， 的和要最小，因为点C和点D是抛物线上两对称点，则 ，即 的和要最小， 如图：直线BD与抛物线的对

21、称轴相交点P即为所求，设直线BD的解析式为 经过 ， ,解得： 直线BD的解析式为 抛物线的对称轴为直线 ，点P在抛物线对称轴上， 当 时， ， 为所求13【答案】（1）由题意对称轴为直线 ， 设抛物线解析式为 ，把点 代入得 ， .所求抛物线的解析式是 .（2）如图1. ，当 时， .所以点 ， .令 ，解得 ，或 . 点 ， .设点 .此时 . .由 得 .解得 或 .所以 或 .所以点 的坐标为 ，或 .（3）如图2. 设直线 的解析式为： .把 ， 代入得 ，解得 .所以直线AC的解析式为 .设点 ，点 .所以 .所以当 时， 有最大值 .14【答案】（1）解：将A（1，0）和B（3，

22、0）代入yax2+bx3得： ，解得 ，抛物线的解析式yx2+4x3（2）解：连接BC交直线DE于M，如答图1： 抛物线的解析式yx2+4x3中令x0得y3，令y0得x1或3，C（0，3），A（1，0），B（3，0），且顶点D（2，1），对称轴x2，AC ，BC3 ，AMC的周长最小，即是AM+CM最小，而M在对称轴上，AMBM，AM+CM最小就是BM+CM最小，此时M与M重合，AM+CM最小值即是BC的长度即AM+CM最小值为3 ，AMC的周长最小为3 + ，设直线BC解析式为ykx+n，将C（0，3），B（3，0）代入得： ，解得 ，直线BC解析式为yx3，令x2得y-1，M（2，-1）（

23、3）解：设P（m，0）， 过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，F（m，m2+4m3），G（m，m3），而C（0，3），CF2m2+（m2+4m）2，CG2m2+m22m2，FG2（m2+3m）2，FCG是等腰三角形，分三种情况：CFCG时，m2+（m2+4m）22m2，解得m0或m3或m5，m0时F、G与C重合，舍去；m3时，F、G与B重合，舍去，m5，P（5，0），CFFG时，m2+（m2+4m）2（m2+3m）2，解得m0（舍去）或m4，P（4，0），CGFG时，2m2（m2+3m）2，解得m0（舍去）或m3 或m3+ ，P（3 ，0）或P（3+ ，0），总上所述，FCG是等

24、腰三角形，P的坐标是：（5，0）或（4，0）或（3 ，0）或（3+ ，0）.15【答案】（1）解：把x=0代入y=x+3中，y=3，点C的坐标为（0，3）把y=0代入y=x+3中，x=-3，点A的坐标为（-3，0）把点A（-3，0），C（0，3）及对称轴x=-2代入抛物线的解析式，得解得 二次函数的解析式为y=x2+4x+3（2），ACD的最大面积为16【答案】（1）解：正方形OABC面积为16， A（4，0），B（4，4），C（0，4），H（2，2）， 反比例函数y 经过点H，k4（2）解：由已知可知：F（1，4），E（4，1）， DH为对称轴， 设二次函数解析式为ya（x2）2+h， ，

25、， yx2+4x+1（3）解：P（x0，y0）在反比例函数图象上， y0 ，当 x08，有 y0 ，设函数ya（x2）2+m，E（4，1）在函数上， a ，当P（ ， ）时，m 当P（8， ）时，m ， m 17【答案】（1）解： 抛物线过点 、 ， 设抛物线解析式为 ，将点 代入，得： ，解得： ，所以抛物线解析式为 ；（2）解：如图1，过点P作 与点M，交AB于点N，作 于点G， 设直线AB解析式为 ，将点 、 代入，得：解得： 则直线AB解析式为 ，设 其中 ，则 ， ， ， ， 当 时，点P的坐标为 ， 的面积有最大值，最大值为 ， ， ， ， ， ， ，即 ，解得： ， 最大值为 ；

26、（3）解：如图2， 若 为等腰直角三角形，则 ，设点P的横坐标为a，点N的横坐标为b， ， ，则 ， ， ，解得： 或 ，所以 或 .18【答案】（1）解：二次函数解析式为yx2+（k1）x+3， 当x0，y3，即点B的坐标为（0，3），OAOB，OA3，即点A的坐标为（3，0），把点A的坐标代入yx2+（k1）x+3得，（3）2+（3）（k1）+30，解得k1， 该二次函数解析式为yx22x+3； （2）解：过点C作CDx轴于点D，交AB于点E，过点B作BFCD于点F，如图所示： 设直线AB的解析式为ykx+b，把点A（3，0）、B（0，3）代入ykx+b得， ，解得k1，b3，直线AB的解析式为yx+3，设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，x22x+3），SSACE+SBCE CE（AD+BF） （x22x+3）（x+3）3 ，当x 时，S有最大值，S最大