2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数图象的几何变换.docx

1、2023年中考数学综合压轴题训练二次函数图象的几何变换一、综合题1如图，已知：二次函数yx2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y x3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，OCA的正切值为 （1）求二次函数的解析式与顶点P坐标； （2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P，若SABPSBCP，求m的值 2先将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象与x轴相交于点A和点B（1）求线段的长；（2）设直线与的图象交于Q点，当的面积为18时，试确定Q点的坐标3在平面直角坐标系中，将抛物线 ： 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线 . （1）求

2、新抛物线 的表达式； （2）如图，将 沿x轴向左平移得到 ，点 的对应点 落在平移后的新抛物线 上，求点B与其对应点 的距离. 4如图，已知二次函数的图象经过点，交轴于点.（1）求的值.（2）延长至点，使得.若将该抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，平移后的抛物线恰好经过A，C两点，已知，求，的值.5如图，已知点A（0，4）和点B（3，0）都在抛物线ymx2+2mx+n上（1）求m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形ABCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；6在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线 （ ）上，且 ， （1）若 ，求

3、b，c的值； （2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，试求出OB，OC的数量关系； （3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过 ，点A的对应点 ，当 时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标 7在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，其中a为常数，点 在此抛物线上（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；（2）设点 为抛物线上一点，当 时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；（3）已知点 为平面直角坐标系内两点，连接 若抛物线向上平移c个单位 的过程中，与线段 恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围8如图，二次函数的图象以 为顶点，且过点 ，与x轴交于A，B两点 （1）求这个二

4、次函数的解析式；（2）将该二次函数图象沿x轴左右平移，当图象经过原点时，D点随图象移至 ，求 的值 9抛物线G： 与 轴交于A、B两点，与 交于C（0，-1），且AB =4OC. （1）直接写出抛物线G的解析式： ；（2）如图1，点D（-1，m）在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作 轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，点M在 轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在 轴左侧的抛物线G上，若SCMN=2，求点M的坐标.10如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点为A（2， ）

5、，抛线物与y轴交于点B（0， ），点C在其对称轴上且位于点A下方，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90，点A落在抛物线上的点P处 （1）求抛物线的解析式； （2）求线段AC的长； （3）将抛物线平移，使其顶点A移到原点O的位置，这时点P落在点D的位置，如果点M在y轴上，且以O，C，D，M为顶点的四边形的面积为8，求点M的坐标 11如图，在平面角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C. （1）求A点、C点的坐标；（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，连接 ， ， .若四边形 的面积为 ，请求出此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新

6、抛物线 ，新抛物线 与原抛物线对称轴交于点D.点E为新抛物线 上的一个动点，点 为直线 上一点，直接写出所有使得以点D，E，F，B为顶点构成的四边形是平行四边形的点E的横坐标，并把求其中一个点E的横坐标的过程写出来. 12如图，二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于点A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点（1）求出二次函数yax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行

7、四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由13如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B两点，且过点C（0，2）.抛物线W2与抛物线W1关于原点对称，点C在W2上的对应点为C. （1）求抛物线W1的表达式；（2）写出抛物线W2的表达式；（3）若点P在抛物线W1上，试探究：在抛物线W2上是否存在点Q，使以C、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.14二次函

8、数ya（xh）2+k（a0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y，再将得到的对称抛物线y向上平移m（m0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数ya（xh）2+k（a0）的m阶变换（1）已知：二次函数y2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为 ，这个抛物线的2阶变换的表达式为 （2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6（x1）2+5二次函数M的函数表达式为 若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6（x1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标（3）抛物线y3x26x+1的顶

9、点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C若ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值 15如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其对称轴直线与轴交于点（1）求该抛物线的函数表达式为 ；（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，求四边形面积最大值和点此时的坐标； （3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，点是平面内一点，若以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点的坐标 16已知二次函数yx2+bx+c+1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1x

10、2，与y轴的负半轴交于点C（1）当b1时，求c的取值范围； （2）如果以AB为直径的半圆恰好过点C，求c的值； （3）在（2）的条件下，如果二次函数的对称轴l与x轴、直线BC、直线AC的延长线分别交于点D、E、F，且满足DE2EF，求二次函数的表达式 17如图1，抛物线yx2bxc与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0）P为该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式（2）将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位长度，点P的对应点为P，若OPOP，求OPP的面积（3）如图2，连接AP，BP，设APB的面积为S，当2m2时，求S的最大值18抛物线yax2+bx6a与x轴交于A，B两点，且

11、A（2，0），抛物线的顶点为P.（1）求点P的坐标；（用只含a的代数式表示） （2）若8a5，求ABP面积的最大值； （3）当a1时，把抛物线yax2+bx6a位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不动，得到新的函数图象.若直线yx+t与新的函数图象至少有3个不同的交点，求t的取值范围. 答案解析部分1【答案】（1）解：y x3， x0时，y3，当y0时， x30，解得x6，点B（6，0），C（0，3）， tanOCA ， OA2，即A（2，0）， 将A（2，0）代入yx2+bx，得4+2b0，解得b2，yx22x（x1）21，则抛物线解析式为yx22x，顶点P的坐标为（1，1）（2）

12、解：如图， 由平移知点P坐标为（1，1m）， 设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1， ）， SABP ABPH 4（m+1）2（m+1），SBCPSPMC+SPMB PMOB |1m+ |63| m|，2（m+1）3| m|，解得m 或m 2【答案】（1）解：由题意可得的解析式为，对于：，令，则，解得：，；（2）解：直线与的图象交于Q点，解得：的解析式为，将，代入，即解得：，Q点坐标为或3【答案】（1）解：由抛物线 ： 知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线 的表达式是： ，即 （2）解：由平移的性质知，点A与点 的纵坐标相等， 所以将 代入抛物线 ，得 ，则

13、 或 （舍去）所以 ，由平移的性质： ，即点B与其对应点 的距离为4个单位.4【答案】（1）解：由知，当时， 故点B坐标为（0，），A（2，），对称轴为直线x=，；（2）解：A（2，），B（0，）， 且轴，C（3，）.根据A（2，）和C（3，）确定线段AC的中点坐标为（，），根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴直线x=，设平移后的抛物线表达式为，把C（3，）代入，解得：.5【答案】（1）解：由于抛物线经过A（0，4）和点B（3，0），则有， 解得 故m ，n14（2）解：如图， AB=5， 由（1）得：y=-(x+1)2+，四边形ABCD为菱形，BC=AB=5，抛物线向右平移5个单位，

14、y=-(x+1-5)2+=-(x-4)2+.6【答案】（1）解：把 代入 ，可得 ， 解 ，可得 ， ；（2）解：由 ，得 对于 ，当 时， 抛物线的对称轴为直线 所以 ， ， 因为 ，所以 ， ， ；（3）解：由平移前的抛物线 ，可得 ，即 因为平移后 的对应点为 可知，抛物线向左平移m个单位长度，向上平移2b个单位长度则平移后的抛物线解析式为 ，即 把 代入，得 ，所以 当 时， （不合题意，舍去）；当 时， ，因为 ，所以 所以 ，所以平移后的抛物线解析式为 即顶点为 ， ，设 ，即 因为 ，所以当 时，p随b的增大而增大因为 ，所以当 时，p取最大值为 ，此时，平移后抛物线的顶点所能达

15、到的最高点坐标为 ， 7【答案】（1）解： 点 在此抛物线上2a-4=16-4（a-1）-2a 解之：a=3，二次函数解析式为：，2a-4=23-4=2 点A的坐标为（-4，2）.（2）解：y=x2+2x-6=（x+1）2-7抛物线的对称轴为直线x=-13x2当-3x-1时y随x的增大而减小，当x1时，y最小值7；当x3时，y最大值3；当-1x2时，y随x的增大而增大，当x2时，y最大值2，y最大2点M的纵坐标y的最大值与最小值的差为：y最大y最小2（7）9（3）解： PQx轴 抛物线开口向上，对称轴为直线x1，抛物线顶点坐标为（1，c7）， 当抛物线顶点落在PQ上时，c73， 解之：c4，符

16、合题意； 如图， 抛物线经过点Q（2，3）时 3446c， 解之：c5， 抛物线经过点P时 3446c， 解之：c3，0c3符合题意，c的取值范围为：0c3或c48【答案】（1）解：二次函数的图象顶点为 ， 设二次函数的解析式为 ，把点 代入得： ，抛物线的解析式为 （2）解：当 时，即 解得： ， ，点 ，点 ，分两种情况：如图，抛物线 向右平移3个单位经过原点，此时 ，则 ，可得： ， 在 中， ， ， 如图，抛物线 向左平移1个单位经过原点，此时 ，则 ，过点C作 于点E，由 ， 得 在 中， ， ， 综上所述， 的值为 或 9【答案】（1）（2）当 时， ，即：点D为（ ） 直线OD为

17、： 设P（ ），则Q为（ ），则：当 时，PQ取得最大值 ，此时点P位 （3）设点 ，则N C点坐标为 可设直线CM为 ，代入M点坐标得： 直线CM为 过点N作 轴交CM于点E，则E点为 解得： ， （舍去）M 10【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：ya（x2）2+ ， 抛线物与y轴交于点B（0， ）， a（02）2+ ，a 物线的解析式为：y （x2）2+ （2）解：顶点A（2， ）， 抛物线的对称轴为直线x2，设ACt，则点C（2， t），将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90，点A落在抛物线上的点P处ACP90，ACPCt，点P（2+t， t），点P在抛物线上， t （2+t2）2+

18、，t10（不合题意舍去），t22，线段AC的长为2（3）解：AC2，P点坐标为（4， ），C点坐标为（2， ）， 抛物线平移，使其顶点A（2， ）移到原点O的位置，抛物线向左平移2个单位，向下平移 个单位，而P点（4， ）向左平移2个单位，向下平移 个单位得到点D，D点坐标为（2，2），设M（0，m），当m0时， （m+ +2）28，解得m ，此时M点坐标为（0， ）；当m0时， （m+ +2）28，解得m ，此时M点坐标为（0， ）；综上所述，M点的坐标为（0， ）或（0， ）11【答案】（1）解：令 ，则 ， 解得： ， ，A（1，0），B（3，0），令 ，则 ，C（0，3），A、C的坐标

19、分别为A（1，0），C（0，3）；（2）解：如图，连接OP， 设点P的坐标为（x， ），点P在第四象限，x0， 0，四边形 的面积为 ， ， ，解得： ， ，当 时， ，当 时， ，点P的坐标为（ ， ），（ ， ）；（3）解：A（1，0），C（0，3）， AO1，CO3，在 中， ，将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，新抛物线 是由原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的， ， ，原抛物线的对称轴为直线 ，将 代入 ，得： ，点D的坐标为（1，6），设直线BC的解析式为 ，将B（3，0），C（0，3）代入，得： ，解得： ，直线BC的解析式为 ，点E为新抛物线 上

20、的一个动点，设点E的坐标为（a， ），点D，E，F，B为顶点构成的四边形是平行四边形，如图，当 ， 时，直线BF的解析式为 ，设直线DE的解析式为 ，将D（1，6）代入 ，得 ，解得： ，直线DE的解析式为 ，将 与 联立方程，得 ，解得： ， （与点D重合，不符合题意，舍去），此时点E的横坐标为4；如图，当 ， ，且点E在点F的右上方时，则 ， ， ， ， ， ，点 为直线 上一点， ，解得： ， ，点E的横坐标为 ， ；如图，当 ， ，且点E在点F的左下方时，则 ， ， ， ， ， ，点F为直线 上一点， ，解得： ， （与点D重合，不符合题意，舍去），点E的横坐标为4，综上所述，符合题意

21、的点E的横坐标为4， ， .12【答案】（1）解：将点A（1，0），B（4，0），代入yax2+bx+4， 得： ，解得： ，二次函数的表达式为：yx2+3x+4，当x0时，y4，C（0，4），设BC所在直线的表达式为：ymx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入ymx+n，得： ，解得： ；BC所在直线的表达式为：yx+4；（2）解：DEx轴，PFx轴，DEPF， 只要DEPF，四边形DEFP即为平行四边形，y ，点D的坐标为：（ ， ），将x 代入yx+4，即y 4 ，点E的坐标为：（ ， ），DE ；设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，t2+3t+4），F的坐标为：（t，t+4），P

22、Ft2+4t，由DEPF得：t2+4t ，解得： （不合题意舍去）， ，当t 时， ，点P的坐标为（ ， ）；（3）解：存在，理由如下：如图2所示： 由（2）得：PFDE，CEDCFP，又PCF与DCE有共同的顶点C，且PCF在DCE的内部，PCFDCE，只有PCFCDE时，PCFCDE， ，C（0，4）、E（ ， ），CE ，由（2）得：DE ，PFt2+4t，F的坐标为：（t，t+4），CF t， ，t0， （t+4）3，解得：t ，当t 时， ，点P的坐标为：（ ， ）；13【答案】（1）解：把点A、点C的坐标分别代入y x2+bx+c中， 得： ，b ，c=2，y （2）解：抛物线w1

23、：y （x+1）2 的顶点是（1， ）， w2的顶点是（1， ），w2的解析式是：y （x1）2+ x2+ x+2（3）解：存在. 由题意知， ，则 .若CC是对角线，如图，W1和W2关于原点对称，P、Q也关于原点对称，设点P到y轴的距离为h，平行四边形 的面积=2 CCh24，4h24，h6，即P点横坐标是6或6，当x6时，y 62+ 6210，Q（6，10），当x6时，y （6）2 624，Q（6，4），当CC是边时，PQCC，PQCC，如图，设点Q（x， ），P（x， ），由知：x6或6，当P（6，10）时，y 62+ 6+24，Q（6，4），PQ144，当x6时，y （6）2+ （6）

24、+210，PQ14，PQCC，CC不能为边，综上所述，当C、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24时，点Q的坐标是（6，10）或（6，4）.14【答案】（1）（2，1）；y2（x2）21（2）y（x+1）2+1；解：存在，理由： y（x+1）2+1，令y0，则x2或0， 故点B（2，0），而点A（1，1）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式：ykx+b得： ，解得： ， 故直线AB的函数表达式为：yx+2， y6（x1）2+5x22x+6， 如下图，过点P作PDAB交于点D，故点P作y轴的平行线交AB于点H， 直线AB的倾斜角为45，则DP PH， 设点P（x，x22x+6

25、），则点H（x，x+2）， DP PH （x22x+6x2） （x23x+4）， 0，故DP有最小值，此时x ， 故点P（ ， ）（3）解：抛物线y3x26x+1的顶点为点A，与y轴交于点B， 则点A（1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y3（x1）24+m，故点C（1，m4），则AB210，AC24+（m8）2，BC21+（m5）2，当ABAC时，104+（m8）2，解得：m8 ；当ABBC时，同理可得：m8或2，故m的值为：8+ 或8 或8或215【答案】（1）（2）解： 点 与点 关于对称轴直线 对称， ， ，其对称轴直线 与 轴交于点 ， ， ， ，设直线 的解析

26、式为 ，则 6k+d=0d=4 ，解得： k=23d=4 ， 直线 的解析式为 ，过点 作 轴交 于点 ，如图， ，则 ， ， ， ， ， ， 当 时， 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ；（3）（6，0）或 或 16【答案】（1）解：已知二次函数yx2+bx+c+1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），当b1时， 令x2+bx+c+10，则b24（c+1）14c40 ， 考虑点C在负半轴，则c+10，c1当b1时，c的取值范围是c1（2）解：C（0，c+1）， 令x2+bx+c+10，解得点A（ ，0），点B（ ，0），如果以AB为直径的半圆恰好过点C，则由直径所对的圆周角为直角，

27、得ACB90，二次函数的对称轴l与x轴交于点D，则D（ ，0），CD ，即 ，化简得c2+3c+20，c2或c1（舍）答：c的值为2（3）解：设EFk，DE2K， DEOC，DEBOCB， ， ， OCDF，AOCADF ， ， ADBD， 又x1x21， ， 二次函数的表达式为： 17【答案】（1）解：由题意，得 12b+c=01232+3b+c=0，解得b=1c=32则该抛物线解析式为：；（2）解：抛物线yx2bxc与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0）， AB4抛物线是向下平移了2个单位，PP2OPOP，OAPP，且PC1OPP的面积PP|m|m|；把（m，1）代入抛物线解析式，得1m

28、2m解得m1故OPP的面积是1；（3）解：将抛物线：yx2x配方，得：y（x1）22 ，当m1时，S4当m2时，S3当m2时，S5S的最大值为：5；18【答案】（1）解：点A（2，0），在抛物线 yax2+bx6a上， 4a2b6a0，ba， .点P坐标为 .（2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线 ， 点B与点A关于直线 对称，B（3，0），AB5，点P坐标为 ，设ABP面积为S，则 .8a5 ，S随a的增大而减小.a8时，ABP面积的最大值为125.（3）解：a1，ba， yx2x6，yx2x6与x轴交于A（2，0），B（3，0）.新函数为 y=x2x6(x3或x2)x2+x+6(2x3) ，当直线yx+t过点B（3，0）时，直线与新函数图象有3个不同的交点.即3+t0，解得t3；当直线yx+t与抛物线yx2+x+6（2x3）有唯一公共点时，直线与新函数的图象有3个不同的交点.即方程x2+x+6x+t有两个相等的实数根.整理，得x22x+t6044（t6）0，解得t7，t的取值范围为3t7.