(九年级数学)轨迹专题题目汇编.pdf

1、Directed by kang第 1页（共 53页）轨迹专题题目汇编1如图，在直角O的内部有一滑动杆 AB，当端点 A 沿直线 AO 向下滑动时，端点 B 会随之自动地沿直线 OB 向左滑动，如果滑动杆从图中 AB 处滑动到 A B 处，那么滑动杆的中点 C 所经过的路径是()A直线的一部分B圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分2如图，在等腰 Rt ABC中，2ACBC，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC的中点当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是()AB22 C2D23如图，在等腰 Rt ABC中，斜边8AB，点 P 在以 AC 为直径的

2、半圆上，M 为 PB 的中点，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 C 时，点 M 运动的路径长是()A 2 2B2C 2D 2 24如图，ABC，EFG均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交于点 M 当EFG绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是()Directed by kang第 2页（共 53页）A 23B31C2D315如图，在等边 ABC中，10AB，4BD，2BE，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连接 PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A时，点 F 运动的路径长是(

3、)A8B10C3D56如图，在矩形 ABCD 中，3AB，3AD，点 E 从点 B 出发，沿 BC 边运动到点 C，连结 DE，点 E 作 DE 的垂线交 AB 于点 F 在点 E 的运动过程中，以 EF 为边，在 EF 上方作等边 EFG，则边 EG 的中点 H 所经过的路径长是()A 2 3B3 3C 332D 2337如图，等腰 Rt ABC中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点，P 为 AC 边上的动点，OQOP交 BC 于点Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长为()Directed by kang第 3页（共 53页）A24

4、 B22 C1D2二填空题（共 12 小题）8如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是度9如图，NOOM于 O，线段 AB 为 2，60ABO 若端点 A 沿直线 ON 下滑，且端点B 沿直线 OM 向右滑行，于是线段 AB 的中点 P 也随之运动，已知端点 A 下滑到 A 时，32AA 则中点 P 随之运动到 P 时经过的路线长为10如图，在等腰 Rt ABC中，2 2ACBC，点

5、P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是11如图，在等腰 Rt ABC中，2ACBC，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC的中点，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是Directed by kang第 4页（共 53页）12如图，在 Rt ABC中，4ACBC，90ACB，点 D 为 AC 上一动点，连接 BD 交以斜边 AB 为直径的半圆于点 E，N 为 BE 中点当点 D 从点 A 运动到点 C 时，点 N 运动的路径长是13如图，ABC，EFG均是边长为 2 的等

6、边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交于点 M 当 EFG绕点 D 旋转时，点 M 运动的路径长为14如图，ABC、EFG均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交于点 M 当 EFG绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最大值是15如图，ABC，EFG分别是边长为 2 和 1 的等边三角形，D 是边 BC，EF 的中点，直线 AG，FC 相交于点 M，当EFG绕点 D 旋转一周时，点 M 经过的路径长为Directed by kang第 5页（共 53页）16如图，在等腰直角 ABC中，90B，D，E 分别为 BC、AB 上

7、的点，7 3AB，3BE，2 3BD，点 P 从点 E 出发沿 BA 方向运动，连接 PD，以 PD 为边，在 PD右侧按如图方式作等腰直角PDF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是17如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为(1,0)，30ABO，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 OBA的边按 OBAO运动一周，同时另一端点 Q随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果3PQ，那么当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为18在平面直角坐标系中，已知点(4,0)A，点 B 为 y 轴正半轴上一个动点，连接 AB，以 AB为一

8、边向下作等边 ABC，连结 OC，则 OC 的最小值为Directed by kang第 6页（共 53页）19在平面直角坐标系中，已知 x 轴上一点(2 3A，0)，B 为 y 轴上的一动点，连接 AB，以 AB 为边作等边 ABC如图所示，已知点 C 随着点 B 的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则 ACOC的最小值是三解答题（共 6 小题）20已知 ABC是等腰直角三角形，2ACBC，D 是边 AB 上一动点(A、B 两点除外），将 CAD绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到 CEF，其中点 E 是点 A 的对应点，点 F 是点 D 的对应点（1）如图 1，当90 时，G 是边 AB

9、上一点，且 BGAD，连接 GF 求证：/GFAC；（2）如图 2，当 90180 时，AE 与 DF 相交于点 M 当点 M 与点 C、D 不重合时，连接 CM，求CMD的度数；设 D 为边 AB 的中点，当 从 90 变化到180 时，求点 M 运动的路径长21如图，在直角坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴上，OBA是等腰直角三角形且Directed by kang第 7页（共 53页）2AB，线段1PQ ，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 OBA的边按 OBAO运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动（1）求 A、B 两点的坐标；（2）若 P 运动

10、的路程为 m，OPA的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式；（3）当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为22如图 1，抛物线经过(1,0)A，(7,0)B，7(0,)4D三点，以 AB 为边在 x 轴上方作等边三角形 ABC（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线 x 轴上方是否存在点 M，使4 39ABMABCSS？若存在，请求出点 M 坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，E 是线段 AC 上的动点，F 是线段 BC 上的动点，AF 与 BE 相交于点 P 若 CEBF，试猜想 AF 与 BE 的数量关系，请说明理由，并求出APB的度数；若 AFBE，当点 E 由 A 运

11、动到 C 时，试求点 P 经过的路径长23已知抛物线213:(0)2Cyaxbxa经过点(1,0)A 和(3,0)B（1）求抛物线1C 的解析式，并写出其顶点 C 的坐标；（2）如图 1，把抛物线1C 沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线2C，此时点 A，C 分Directed by kang第 8页（共 53页）别平移到点 D，E 处设点 F 在抛物线1C 上且在 x 轴的下方，若DEF是以 EF 为底的等腰直角三角形，求点 F 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，ENEM交直线 BF 于点 N，点 P 为线段 MN 的中点，当点 M 从点 B

12、向点 C 运动时：tanENM的值如何变化？请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的路线长24已知抛物线213:(0)2Cyaxbxa经过点(1,0)A和(3,0)B（1）求抛物线1C 的解析式，并写出其顶点 C 的坐标（2）如图 1，把抛物线1C 沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线2C，此时点 A，C 分别平移到点 D，E 处设点 F 在抛物线1C 上且在 x 轴的上方，若DEF是以 EF 为底的等腰直角三角形，求点 F 的坐标（3）如图 2，在（2）的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，ENEM交直线 BF 于点 N，点 P 为线段 MN 的中点，当点 M

13、从点 B 向点 C 运动时：tanENM的值如何变化？请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的路线长Directed by kang第 9页（共 53页）25如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(8,0)，直线 BC 经过点(8,6)B，(0,6)C，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 a 度得到四边形 OA B C ，此时直线 OA、直线 B C 分别与直线 BC 相交于点 P、Q（1）四边形 OABC 的形状是，当90a 时，BPBQ 的值是（2）如图 2，当四边形 OA B C 的顶点 B 落在直线 BC 上时，求OPB 的面积（3

14、）在四边形 OABC 旋转过程中，当 0180a时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使12BPBQ？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由Directed by kang第 10页（共 53页）轨迹专题题目汇编参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1如图，在直角O的内部有一滑动杆 AB，当端点 A 沿直线 AO 向下滑动时，端点 B 会随之自动地沿直线 OB 向左滑动，如果滑动杆从图中 AB 处滑动到 A B 处，那么滑动杆的中点 C 所经过的路径是()A直线的一部分B圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到1122OC

15、ABA BOC ，从而得出滑动杆的中点 C 所经过的路径是一段圆弧【解答】解：连接 OC、OC，如图，90AOB，C 为 AB 中点，1122OCABA BOC ，当端点 A 沿直线 AO 向下滑动时，AB 的中点 C 到 O 的距离始终为定长，滑动杆的中点 C 所经过的路径是一段圆弧故选：B【点评】本题考查了轨迹，圆的定义与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键Directed by kang第 11页（共 53页）2如图，在等腰 Rt ABC中，2ACBC，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC的中点当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动

16、的路径长是()AB22 C2D2【分析】取 AB 的中点 O、AC 的中点 E、BC 的中点 F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到22 2ABBC，则122OCAB，122OPAB，再根据等腰三角形的性质得 OMPC，则90CMO，于是根据圆周角定理得到点 M 在以OC 为直径的圆上，由于点 P 点在 A 点时，M 点在 E 点；点 P 点在 B点时，M 点在 F 点，则利用四边形CEOF 为正方得到22EFOC，所以 M 点的路径为以 EF 为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点 M 运动的路径长【解答】解：取 AB 的中点 O、AC 的中点 E、

17、BC 的中点 F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰 Rt ABC中，2ACBC，22 2ABBC，122OCAB，122OPAB，90ACBC在O上，M为 PC 的中点，OMPC，90CMO，点 M 在以 OC 为直径的圆上，点 P 点在 A 点时，M 点在 E 点；点 P 点在 B 点时，M 点在 F 点，易得四边形 CEOF 为正方形，2EFOC，Directed by kang第 12页（共 53页）M点的路径为以 EF 为直径的半圆，点 M 运动的路径长1222222故选：B【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹解决此题的关键是利用等腰三

18、角形的性质和圆周角定理确定 M 点的轨迹为以 EF 为直径的半圆3如图，在等腰 Rt ABC中，斜边8AB，点 P 在以 AC 为直径的半圆上，M 为 PB 的中点，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 C 时，点 M 运动的路径长是()A 2 2B2C 2D 2 2【分析】如图，连接 PA、PC，取 AB、BC 的中点 E、F，连接 EF、EM、FM 首先证明90EMF，推出点 M 的轨迹是 EF，即 EF 为直径的半圆，图中红线部分，由此即可解决问题【解答】解：如图，连接 PA、PC，取 AB、BC 的中点 E、F，连接 EF、EM、FM AC是直径，90APC，Directed by ka

19、ng第 13页（共 53页）BEEA，BMMP，/EMPA，同理/FMPC，BMEBPA，BMFBPC，90BMEBMFBPABPC ，90EMF，点 M 的轨迹是 EF，(EF 为直径的半圆，图中红线部分）BCAC，90ACB，8AB，4 2AC，12 22EFAC，EF 的长22故选：B【点评】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点 M 的运动轨迹，属于中考常考题型4如图，ABC，EFG均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交于点 M 当EFG绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是()A 2

20、3B31C2D31【分析】取 AC 的中点 O，连接 AD、DG、BO、OM，如图，易证DAGDCF，则有DAGDCF，从而可得 A、D、C、M 四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO BMOM，即 BMBOOM，当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小，只需求出 BO、OM 的值，就可解决问题【解答】解：AC 的中点 O，连接 AD、DG、BO、OM，如图ABC，EFG均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，ADBC，GDEF，DADG，DCDF，90ADGCDGFDC ，DADGDCDF，Directed by kang第 14页（共 53页）DAG

21、DCF，DAGDCF A、D、C、M 四点共圆根据两点之间线段最短可得：BO BMOM，即 BMBOOM，当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小，此时，2222213BOBCOC，112OMAC，则31BMBOOM 故选：D【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点 M 的运动轨迹是解决本题的关键5如图，在等边 ABC中，10AB，4BD，2BE，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连接 PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点 E 运动到

22、点 A时，点 F 运动的路径长是()A8B10C3D5【分析】连结 DE，作 FHBC于 H，如图，根据等边三角形的性质得60B，过 D 点作 DEAB，则122BEBD，则 点 E 与 点 E 重 合，所 以30BDE，32 3DEBE，接着证明DPEFDH 得到2 3FHDE，于是可判断点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 2 3，当点 P 在 E 点时，作等边三角形Directed by kang第 15页（共 53页）1DEF，则1DFBC，当点 P 在 A 点时，作等边三角形2DAF，作2F QBC于 Q，则2DF QADE，所以8DQAE，所以128F FDQ，于

23、是得到当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 8【解答】解：连结 DE，作 FHBC于 H，如图，ABC为等边三角形，60B，过 D 点作 DEAB，则122BEBD，点 E与点 E 重合，30BDE，32 3DEBE，DPF为等边三角形，60PDF，DPDF，90EDPHDF 90HDFDFH，EDPDFH，在 DPE和 FDH中，PEDDHFEDPDFHDPFD ，DPEFDH，2 3FHDE，点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 2 3，当点 P 在 E 点时，作等边三角形1DEF，1306090BDF ，则1D

24、FBC，当点 P 在 A 点时，作等边三角形2DAF，作2F QBC于 Q，则2DF QADE，所以1028DQAE，128F FDQ，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 8故选：A Directed by kang第 16页（共 53页）【点评】本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质6如图，在矩形 ABCD 中，3AB，3AD，点 E 从点 B 出发，沿 BC 边运动到点 C，连结 DE，点 E 作 DE 的垂线交 AB 于点 F 在点 E 的运动过程中，以 EF 为边，在 EF

25、 上方作等边 EFG，则边 EG 的中点 H 所经过的路径长是()A 2 3B3 3C 332D 233【分析】连接 FH，取 EF 的中点 M，连接 BM，HM，依据 BMEMHMFM，可得点 B，E，H，F 四点共圆，连接 BH，则30HBEEFH ，进而得到点 H 在以点 B 为端点，BC 上方且与射线 BC 夹角为30 的射线上，再过 C 作 CHBH 于点 H，根据点 E 从点 B 出发，沿 BC 边运动到点 C，即可得到点 H 从点 B 沿 BH 运动到点 H，再利用在 Rt BH C 中，33 3cos322BHBCCBH，即可得出点 H 所经过的路径长是 3 32【解答】解：如

26、图，连接 FH，取 EF 的中点 M，连接 BM，HM，在等边三角形 EFG 中，EFFG，H 是 EG 的中点，90FHE，1302EFHEFG，又M是 EF 的中点，FMHMEM，在 Rt FBE中，90FBE，M 是 EF 的中点，BMEMFM，BMEMHMFM，Directed by kang第 17页（共 53页）点 B，E，H，F 四点共圆，连接 BH，则30HBEEFH ，点 H 在以点 B 为端点，BC 上方且与射线 BC 夹角为 30 的射线上，如图，过 C 作CHBH 于点 H，点 E 从点 B 出发，沿 BC 边运动到点 C，点 H 从点 B 沿 BH 运动到点 H，在

27、Rt BH C 中，90BH C，33 3cos322BHBCCBH，点 H 所经过的路径长是 3 32故选：C【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，轨迹问题，解直角三角形以及四点共圆的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上中线的性质以及含 30 角的直角三角形的性质得出结论7如图，等腰 Rt ABC中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点，P 为 AC 边上的动点，OQOP交 BC 于点Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长为()A24 B22 C1D2【分析】连接OC，O

28、M、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到12OMPQ，12CMPQ，则 OMCM，于是可判断点 M 在 OC 的垂直平分线上，则点 M 运动的轨迹为 ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解Directed by kang第 18页（共 53页）【解答】解：连接 OC，OM、CM，如图，M为 PQ 的中点，12OMPQ，12CMPQ，OMCM，点 M 在 OC 的垂直平分线上，点 M 运动的轨迹为ABC的中位线，点 M 所经过的路线长112 AB 故选：C【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹也考查了等腰直角三角形的性质二填空题（共 12 小题）8

29、如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是144度【分析】首先连接OE，由90ACB，易得点 E，A，B，C 共圆，然后由圆周角定理，求得点 E 在量角器上对应的读数【解答】解：连接 OE，90ACB，A，B，C 在以点 O 为圆心，AB 为直径的圆上，点 E，A，B，C 共圆，32472ACE，Directed by kang第 19页（共 53页）2144AOEACE 点 E 在量角

30、器上对应的读数是：144 故答案为：144【点评】本题考查的是圆周角定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用9如图，NOOM于 O，线段 AB 为 2，60ABO 若端点 A 沿直线 ON 下滑，且端点B 沿直线 OM 向右滑行，于是线段 AB 的中点 P 也随之运动，已知端点 A 下滑到 A 时，32AA 则中点 P 随之运动到 P 时经过的路线长为112【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到1122OPABA BOP ，即 P是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在 Rt AOB中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到30AOP，3OA，则易求出2OA

31、OAAA ，即可得到 A OB 为等腰直角三角形，得到45A B O ，则15POPA OPAOP ，然后根据弧长公式计算即可【解答】解：连接 OP、OP，如图，ONOM，P 为 AB 中点，1122OPABA BOP ，2AB，1OP，Directed by kang第 20页（共 53页）当 A 端下滑 B 端右滑时，AB 的中点 P 到 O 的距离始终为定长 a，P是随之运动所经过的路线是一段圆弧，60ABO，30AOP，3OAa，32AA，2OAOAAA ，2sin2OAA B OA B ，45A B O ，45A OP ，15POPA OPAOP ，弧 PP的长15118012a，即

32、 P 点运动到 P 所经过路线 PP的长为 112 故答案为：112【点评】本题考查了弧长公式：(180n Rln为弧所对的圆心角的度数，R 为半径），也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质，难度一般10如图，在等腰 Rt ABC中，2 2ACBC，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是Directed by kang第 21页（共 53页）【分析】取 AB 的中点 O、AC 的中点 E、BC 的中点 F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如

33、 图，利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到24ABBC，则122OCAB，122OPAB，再根据等腰三角形的性质得OMPC，则90CMO，于是根据圆周角定理得到点 M 在以OC 为直径的圆上，由于点 P 点在 A 点时，M 点在 E 点；点 P 点在 B 点时，M 点在 F 点，则利用四边形CEOF 为正方得到2EFOC，所以 M 点的路径为以 EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点 M 运动的路径长【解答】解：取 AB 的中点 O、AC 的中点 E、BC 的中点 F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰 Rt ABC中，2 2ACBC，24ABBC，1

34、22OCAB，122OPAB，M为 PC 的中点，OMPC，90CMO，点 M 在以 OC 为直径的圆上，点 P 点在 A 点时，M 点在 E 点；点 P 点在 B 点时，M 点在 F 点，易得四边形 CEOF 为正方形，2EFOC，M点的路径为以 EF 为直径的半圆，点 M 运动的路径长1 212故答案为【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定 M 点的轨迹为以 EF 为直径的半圆11如图，在等腰 Rt ABC中，2ACBC，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PCDirected by kang第 2

35、2页（共 53页）的中点，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是2【分析】如图，连接 OP，OC，取OC 的中点 K，连接 MK 由三角形的中位线定理可得12KM，推出当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径是以 K 为圆心，12长为半径的半圆【解答】解：如图，连接 OP，OC，取 OC 的中点 K，连接 MK 2ACBC，90ACB，222AB，112OPAB，CMMP，CKOK，1122MKOP，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径是以 K 为圆心，12 长为半径的半圆，点 M 运动的路径长112222 ，故答案为

36、 2【点评】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹12如图，在 Rt ABC中，4ACBC，90ACB，点 D 为 AC 上一动点，连接 BD 交以斜边 AB 为直径的半圆于点 E，N 为 BE 中点当点 D 从点 A 运动到点 C 时，点 N 运动的路径长是22 Directed by kang第 23页（共 53页）【分析】如图，设 AB 的中点为 O，连接 OC，ON，取 BC，OB 的中点 F，H，连接 FH 证明90FHO，推出点 N 的运动轨迹是弧OF 利用弧长公式计算即可【解答】解：如图，设 AB 的中点为 O，

37、连接 OC，ON，取 BC，OB 的中点 F，H，连接 FH BNEN，ONBE，90ONB，点 N 的运动轨迹是弧OF AB是直径，90ACB，4ACBC，OCAB，4 2AB，BFFC，BHOH，/FHOC，FHOB，90FHO，OF 的长90221802【点评】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型13如图，ABC，EFG均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交于点 M 当 EFG绕点 D 旋转时，点 M 运动的路径长为2Directed by kang第 24页（共 53页）【

38、分析】如图，连接 AD、DG 只要证明90AMC，即可解决问题【解答】解：如图，连接 AD、DG ABC，EFG均是边长为 2 的等边三角形，BDCD，DEDF，ADBC，GDEF，90ADCGDF ，ADGCDF，ADDG，DCDF，DAGDGADCFDFC ，180DCFDCM，180DAMDCM ，180ADCAMC ，90AMC，点 M 的轨迹是以 AC 为直径的圆，点 M 运动的路径长为 2，故答案为 2【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题14如图，ABC、EFG均是边长为 2 的等边三角形，点

39、 D 是边 BC、EF 的Directed by kang第 25页（共 53页）中点，直线 AG、FC 相交于点 M 当 EFG绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最大值是31【分析】取 AC 的中点O，连接 AD、DG、BO、OM，如图，易证 DAGDCF，则有DAGDCF，从而可得 A、D、C、M 四点共圆，根据两点之间线段最短可得 BO BMOM，即 BMBOOM，当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最长，只需求出 BO、OM 的值，就可解决问题【解答】解：AC 的中点O，连接 AD、DG、BO、OM，如图 ABC，EFG均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、

40、EF 的中点，ADBC，GDEF，DADG，DCDF，90ADGCDGFDC，DADGDCDF，DAGDCF，DAGDCF A、D、C、M 四点共圆 根据两点之间线段最短可得：BOOMBM，当 M 在线段 BO延长线与该圆的交点处时，线段 BM 最长，此时，223BOBCCO，112OMAC，则31BMBOOM Directed by kang第 26页（共 53页）故答案是：31【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点 M 的运动轨迹是解决本题的关键 15如图，ABC，EFG分别是

41、边长为 2 和 1 的等边三角形，D 是边 BC，EF 的中点，直线 AG，FC 相交于点 M，当 EFG绕点 D 旋转一周时，点 M 经过的路径长为43【分析】如图，连接 AD、DG 只要证明90AMC，即可解决问题【解答】解：如图，连接 AD、DG ABC，EFG均是边长为 2 和 1 的等边三角形，BDCD，DEDF，ADBC，GDEF，90ADCGDF ，ADGCDF，3ADDGCDDF，ADGCDF，DAGDCF，90DAGMACACD ，90DCFACDCAMACMCAM ，90AMC，在旋转过程中，90AMC不变，点 M 在以 AC 为直径圆周上运动，且点 M 运动的路径是来回共

42、两个 13 的圆周，点 M 经过的路径长为 43，故答案为 43 Directed by kang第 27页（共 53页）【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题16如图，在等腰直角 ABC中，90B，D，E 分别为 BC、AB 上的点，7 3AB，3BE，2 3BD，点 P 从点 E 出发沿 BA 方向运动，连接 PD，以 PD 为边，在 PD右侧按如图方式作等腰直角 PDF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是3 6【分析】首先证明点 F 的运动轨迹是线段12F F，想办法求出1B

43、F、2BF 即可解决问题；【解答】解：如图，作 FMAB于 M，FNBC于 N 180MBNEFD，E、B、D、F 四点共圆，Directed by kang第 28页（共 53页）45ABFEDF ，点 F 的运动轨迹是图中线段12F F 当 P 与 E 重合时，易证FMEFND，FMFN，MEDN，可得四边形 FMBN 是正方形，23 3BEBDBMMEBNDNFM，3 32BMFM，13 62BF，当点 P 与 A 重合时，同法可得29 62BF，129 63 63 622F F，故答案为 3 6【点评】本题考查轨迹、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，勾股定

44、理等知识，解题的关键是准确寻找点的运动轨迹，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题17如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为(1,0)，30ABO，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 OBA的边按 OBAO运动一周，同时另一端点 Q随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果3PQ，那么当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为4【分析】首先根据题意正确画出从 OBA运动一周的图形，分四种情况进行计算：点 P 从 OB时，路程是线段 PQ 的长；当点 P 从 BC时(QCAB，C 为垂足），点 Q从 O 运动到 Q，计算 OQ 的长就是运动的路程；点

45、 P 从 CA时，点 Q 由 Q 向左运动，路程为 QQ；点 P 从 AO时，点 Q 运动的路程就是点 P 运动的路程；最后相加即可【解答】解：在 Rt AOB中，30ABO，1AO ，Directed by kang第 29页（共 53页）2AB，22213BO，当点 P 从 OB时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的路程为3，如图 3 所示，QCAB，则90ACQ，即 PQ 运动到与 AB 垂直时，垂足为 P，当点 P 从 BC时，30ABO60BAO906030OQD cos30CQAQ 2cos30CQAQ211OQ 则点 Q 运动的路程为1QO ，当点 P 从 CA时，如图 3

46、所示，点 Q 运动的路程为23QQ，当点 P 从 AO时，点Q 运动的路程为1AO ，点 Q 运动的总路程为：312314 故答案为：4Directed by kang第 30页（共 53页）【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题18在平面直角坐标系中，已知点(4,0)A，点 B 为 y 轴正半轴上一个动点，连接 AB，以 AB为一边向下作等边 ABC，连结 OC，则 OC 的最小值为2【分析】以 OA 为对称轴作等边ADE，连接 EC，并延长 EC 交 x 轴于点 F 证明点 C

47、在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答【解答】解：如图，以 OA 为对称轴作等边 ADE，连接 EC，并延长 EC 交 x 轴于点 F 在 AEC与 ADB中，ABACBADCAEADAE，Directed by kang第 31页（共 53页）()AECADB SAS，120AECADB ，60OEF，4OFOA，点 C 在直线 EF 上运动，当 OCEF时，OC 最小，122OCOF，则 OC 的最小值为 2故答案为：2【点评】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键19在平面直角坐标系中，已知 x 轴上一点(2 3

48、A，0)，B 为 y 轴上的一动点，连接 AB，以 AB 为边作等边 ABC如图所示，已知点 C 随着点 B 的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则 ACOC的最小值是6【分析】作等边 AOD，构造出 BAOCAD，从而得到90ADCAOB ，找到点 C的运动轨迹为直线CD，延长 AD 交 y 轴于点 A，利用已知条件可证明直线CD 就是线段 AA的中垂线，从而 ACOCA COC，而 O、C、A三点共线时，A COC的值最小，最小值为 OA 的长Directed by kang第 32页（共 53页）【解 答】解：如 图 所 示，在 第 四 象 限 以 OA 为 边 长 作 等 边AOD，

49、连接 OD，并作直线 CD，延长 AD 交 y 轴于点 A等边 ABC、等边AODABAC，AOAD，60BACOAD BACOACOADOAC BAOCAD 在 BAO和 CAD中ABACBAOCADAOAD()BAOCAD SAS AOBADC 90AOB90ADCCDAD点 C 随着点 B 的运动形成的图形是直线CD90AOA，60OAD30AA O12OAAA12ADOAAADirected by kang第 33页（共 53页）点 D 是 AA 的中点CDADCD是 AA 的中垂线ACA CACOCA COC又点 C 在直线 CD 上运动，所以点 O、C、A 三点共线时，A COC的

50、值最小，最小值为 OA 的长在 R AOA中，90AOA，60OAD，2 3OA OA 36OAACOC的最小值为 6故答案为 6【点评】本题主要考查等边三角形的性质、利用轴对称求最短线路这里构造三角形全等找到点 C 的运动轨迹是关键三解答题（共 6 小题）20已知 ABC是等腰直角三角形，2ACBC，D 是边 AB 上一动点(A、B 两点除外），将 CAD绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到 CEF，其中点 E 是点 A 的对应点，点 F 是点 D 的对应点（1）如图 1，当90 时，G 是边 AB 上一点，且 BGAD，连接 GF 求证：/GFAC；（2）如图 2，当 90180 时，AE

51、与 DF 相交于点 M 当点 M 与点 C、D 不重合时，连接 CM，求CMD的度数；设 D 为边 AB 的中点，当 从 90 变化到180 时，求点 M 运动的路径长【分析】（1）欲证明/GFAC，只要证明AFGB 即可解决问题（2）先证明 A、D、M、C 四点共圆，得到45CMFCAD ，即可解决问题利用的结论可知，点 M 在以 AC 为直径的O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即Directed by kang第 34页（共 53页）可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，CACB，90ACB，45AABC，CEF是由 CAD旋转逆时针 得到，90 ，CB与CE 重合，45CBEA，9

52、0ABFABCCBF ，BGADBF，45BGFBFG ，45ABGF，/GFAC（2）如图 2 中，CACE，CDCF，CAECEA，CDFCFD，ACDECF，ACEDCF，2180CAEACE，2180CDFDCF，CAECDF，A、D、M、C 四点共圆，45CMFCAD ，180135CMDCMF （补 充：不 用 四 点 共 圆 的 方 法：由OACODM，推 出AODCOM，推 出OCMOAD，即可证明45)CMFCDMDCMCAOOADCAD 如图 3 中，O 是 AC 中点，连接 OD、CM ADDB，CACB，CDAB，90ADC，由可知 A、D、M、C 四点共圆，当 从 9

53、0 变化到180 时，点 M 在以 AC 为直径的O上，运动路径是弧 CD，Directed by kang第 35页（共 53页）OAOC，CDDA，DOAC，90DOC，CD 的长9011802当 从 90 变化到180 时，点 M 运动的路径长为 2【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公Directed by kang第 36页（共 53页）式、四点共圆等知识，解题的关键是发现 A、D、M、C 四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点 M 的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题21如图，在直角坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴上，

54、OBA是等腰直角三角形且2AB，线段1PQ ，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 OBA的边按 OBAO运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动（1）求 A、B 两点的坐标；（2）若 P 运动的路程为 m，OPA的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式；（3）当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为2 2【分析】（1）由OBA是等腰直角三角形且2AB，得出1OAOB，即可得出 A、B 两点的坐标；（2）分三种情况讨论：当点 P 在 OB 边上时，由三角形面积公式即可得出结果；当点 P 在 AB 边上时，作 PDOA于 D，APD是等腰直角三角形，则1PBm，

55、求出AP 的长，由等腰直角三角形的性质得出 PD 的长，由三角形面积公式即可得出结果；当点 P 在 AO 边上时，OPA不存在；（3）根据题意正确画出从 OBA运动一周的图形，分四种情况进行计算：点 P 从OB时，路程是线段 PQ 的长；当点 P 从 BC时(QCAB，C 为垂足），点 Q 从 O 运动到 Q，计算OQ 的长就是运动的路程；点 P 从CA时，点 Q 由 O 向左运动，路程为 QO；点 P 从 AO时，点 Q 运动的路程就是点 P 运动的路程；最后相加即可【解答】解：（1）OBA是等腰直角三角形且2AB，1OAOB，A点的坐标为：(1,0)，B 点的坐标为：(0,1)；（2）分三

56、种情况讨论：当点 P 在 OB 边上，即 01m 时，如图 1 所示：Directed by kang第 37页（共 53页）OPA的面积1111222SOAOPmm；当点 P 在 AB 边上，即121m 时，如图 2 所示：作 PDOA于 D，APD是等腰直角三角形，1PBm，2(1)21APABPBmm，2222(21)12222PDAPmm ，OPA的面积11221221(1)2222244OAPDmm，即122244Sm；当点 P 在 AO 边上，即2122m 时，OPA不存在；综 上 所 述，S与m之 间 的 函 数 关 系 式 为1(01)2Smm，或122(121)244Smm；

57、（3）OBA是等腰直角三角形，45ABOBAO ，1OAOB，1PQ ，当点 P 从 OB时，点Q 运动的路程为 PQ 的长，即为 1；如图 3 所示，QCAB，则90ACQ，即 PQ 运动到与 AB 垂直时，垂足为 P，当点 P 从 BC时，45ABOBAO，904545OQD ，22AQPQ，21OQAQOA，则点 Q 运动的路程为21QO ；当点 P 从 CA时，点Q 运动的路程为21QO ；当点 P 从 AO时，点Q 运动的路程为1AO ，点 Q 运动的总路程为：12121 12 2 ；Directed by kang第 38页（共 53页）故答案为：2 2【点评】本题是三角形综合题目

58、，考查的等腰直角三角形的性质、三角形面积公式以及分类讨论思想的应用；熟练掌握等腰直角三角形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键22如图 1，抛物线经过(1,0)A，(7,0)B，7(0,)4D三点，以 AB 为边在 x 轴上方作等边三角形 ABC（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线 x 轴上方是否存在点 M，使4 39ABMABCSS？若存在，请求出点 M 坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，E 是线段 AC 上的动点，F 是线段 BC 上的动点，AF 与 BE 相交于点 P 若 CEBF，试猜想 AF 与 BE 的数量关系，请说明理由，并求出APB的度数；若 AFBE，当点 E 由

59、 A 运动到 C 时，试求点 P 经过的路径长Directed by kang第 39页（共 53页）【分析】（1）先设出抛物线的解析式，然后将已知点的坐标代入求解即可；（2）过点 C 作CKx轴，垂足为 K 先求得三角形 ABC 的面积，从而得到 ABM的面积，依据三角形的面积公式可求得点 M 的纵坐标为 4，由点 M 在抛物线可知可知4y，从而可求得对应的 x 的值，于是得到点 M 的坐标；（3）先证明依据 SAS BECAFB，由全等三角形的性质可得到 AFBE，接下来证明FABABPABC ，最后依据三角形的内角和定理可求得APB的度数；如图 3所示：设 AB 所在圆的圆心为 M，点

60、H 在圆 M 上，连接 AM、BM、AH、BH，过点M 作 MGAB，垂足为 G 依据圆的内角四边形的性质和圆周角定理可求得AMB的长，接下来，依据等腰三角形三线合一的性质可得到3AG，60AMG，然后依据特殊锐角三角函数值可求得 AM 的长，最后依据扇形的弧长公式求解即可；如图 4 所示：当 AEBF时依据 SAS 可证明 AEBBAF，从而得到PABPBA，故此可知点 P在 AB 的垂直平分线上，最后依据特殊锐角三角函数求得 CN 的长即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为274yaxbx将点 A、B 的坐标代入得：749704704abab，解得：14a，2b ，抛物线的解析式为217

61、244yxx（2）存在点 M 使得4 39AMBABCSS如图 1 所示：过点 C 作CKx轴，垂足为 K Directed by kang第 40页（共 53页）ABC为等边三角形，6ABBCAC，60ACB CKAB，3KABK，60ACK 3 3CK1163 39 322ABCSAB CK 4 39 3129ABMS设217(,2)44M xxx 1|122MAB y，即21176(2)12244xx 解得19x，21x 1(9,4)M，2(1,4)M（3）AFBE，120APB理由：如图 2 所示；ABC为等边三角形，BCAB，CABF Directed by kang第 41页（共

62、53页）在 BEC和 AFB中BCABCABFCEBF，BECAFB AFBE，CBEBAF 60FABABPABPCBEABC 18018060120APBPABABP 如图 3 所示：当 CEFB时由可知：120APB，点 P 的运动轨迹是一条弧设 AB 所在圆的圆心为 M，点 H 在圆 M 上，连接 AM、BM、AH、BH，过点 M 作MGAB，垂足为 G 120APB，60AHB 120AMB AMMB，MGAB，3AGBG，60AMGBMG 32AGAM，即332AM 2 3AM点 P 运动的路径1202 34 31803如图 4 所示：当 AEBF时Directed by kang

63、第 42页（共 53页）在ABE和 BAF中AEFBEABFBAABBA，ABEBAF AFEB，FABEBA APBP点 P 在 AB 的垂直平分线上点 P 运动的路线3 3NC点 P 经过的路径长为 4 33 或3 3【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法则求二次函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值，圆内接四边形的性质、圆周角定理、扇形的弧长公式、线段垂直平分线的判定，根据题意确定出点 P 运动的轨迹是解题的关键23已知抛物线213:(0)2Cyaxbxa经过点(1,0)A 和(3,0)B（1）求抛物线1C 的解析式，

64、并写出其顶点 C 的坐标；（2）如图 1，把抛物线1C 沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线2C，此时点 A，C 分别平移到点 D，E 处设点 F 在抛物线1C 上且在 x 轴的下方，若DEF是以 EF 为底的等腰直角三角形，求点 F 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，ENEM交直线 BF 于点 N，点 P 为线段 MN 的中点，当点 M 从点 B 向点 C 运动时：tanENM的值如何变化？请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的路线长Directed by kang第 43页（共 53页）【分析】（1）根据待定系数法即可求得

65、解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据 A、C 的坐标求得直线 AC 的解析式为1yx，根据题意求得4EF，求得/EFy 轴，设213(,)22F mmm，则(,1)E m m，从而得出213(1)()422mmm，解方程即可求得 F 的坐标；（3）先求得四边形 DFBC 是矩形，作 EGAC，交 BF 于 G，然后根据EGNEMC，对应边成比例即可求得 tan2EMENMEN；根据勾股定理和三角形相似求得10EN，然后根据三角形中位线定理即可求得【解答】解：（1）抛物线213:(0)2Cyaxbxa经过点(1,0)A 和(3,0)B，30239302abab 解得121ab

66、，抛物线1C 的解析式为21322yxx，22131(1)2222yxxx ，顶点 C 的坐标为(1,2)；（2）如图 1，作 CHx轴于 H，(1,0)A，(1,2)C，2AHCH，45CABACH，直线 AC 的解析式为1yx，DEF是以 EF 为底的等腰直角三角形，45DEF，Directed by kang第 44页（共 53页）DEFACH，/EFy轴，2 2DEAC，4EF，设213(,)22F mmm，则(,1)E m m，213(1)()422mmm，解得3m（舍)或3m ，(3,6)F；（3）tanENM的值为定值，不发生变化；如图 2，DFAC，BCAC，/DFBC，DFB

67、CAC，四边形 DFBC 是矩形，作 EGAC，交 BF 于 G，2 2EGBCAC，ENEM，90MEN，90CEG，CEMNEG，ENGEMC，EMECENEG，(3,6)F，4EF，(3,2)E，(1,2)C，22(3 1)(22)4 2EC ，4 222 2EMEN，tan2EMENMEN；Directed by kang第 45页（共 53页）tanENM的值为定值，不发生变化；直角三角形 EMN 中，12PEMN，直角三角形 BMN 中，12PBMN，PEPB，点 P 在 EB 的垂直平分线上，点 P 经过的路径是线段，如图 3，EGNECB，ENEGEBEC，4 2EC，2 2E

68、GBC，2 10EB，2 22 104 2EN，10EN，12PP是 BEN的中位线，1211022PPEN；点 M 到达点 C 时，点 P 经过的路线长为102Directed by kang第 46页（共 53页）【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线24已知抛物线213:(0)2Cyaxbxa经过点(1,0)A和(3,0)B（1）求抛物线1C 的解析式，并写出其顶点 C 的坐标（2）如图 1，把抛物线1C 沿着直线 AC

69、 方向平移到某处时得到抛物线2C，此时点 A，C 分别平移到点 D，E 处设点 F 在抛物线1C 上且在 x 轴的上方，若DEF是以 EF 为底的等腰直角三角形，求点 F 的坐标（3）如图 2，在（2）的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，ENEM交直线 BF 于点 N，点 P 为线段 MN 的中点，当点 M 从点 B 向点 C 运动时：tanENM的值如何变化？请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的路线长Directed by kang第 47页（共 53页）【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据 A、C 的坐标求

70、得直线 AC 的解析式为1yx，根据题意求得4EF，求得/EFy 轴，设213(,)22F mmm，则(,1)E m m，从而得出213()(1)422mmm，解方程即可求得 F 的坐标；（3）先求得四边形 DFBC 是矩形，作 EGAC，交 BF 于 G，然后根据EGNEMC，对应边成比例即可求得 tan2EMENMEN；首先证明点 P 在 EB 的垂直平分线上，推出点 P 经过的路径是线段 PP，如图32，当点M 与 B 重合时，根据勾股定理和三角形相似求得10EN，然后根据三角形中位线定理即可求得；【解答】解：（1）解：（1）抛物线213:(0)2Cyaxbxa经过点(1,0)A和(3,

71、0)B，30239302abab 解得121ab，抛物线1C 的解析式为21322yxx，22131(1)2222yxxx，顶点 C 的坐标为(1,2)；（2）如图 1，作 CHx轴于 H，Directed by kang第 48页（共 53页）(1,0)A，(1,2)C ，2AHCH，45CABACH，直线 AC 的解析式为1yx，DEF是以 EF 为底的等腰直角三角形，45DEF，DEFACH，/EFy轴，2DEAC2，4EF，设213(,)22F mmm，则(,1)E m m，213()(1)422mmm，解得3m （舍)或3m，(3,6)F；（3）tanENM的值为定值，不发生变化；如

72、图 2 中，作 EGAC，交 BF 于 G，Directed by kang第 49页（共 53页）DFAC，BCAC，/DFBC，DFBCAC，四边形 DFBC 是平行四边形，90CDF，四边形 DFBC 是矩形，2EGBCAC2，ENEM，90MEN，90CEG，CEMNEG，ENGEMC，EMECENEG，(3,6)F，4EF，(3,2)E，(1,2)C ，4 2EC，4 222 2EMEN，tan2EMENMEN；Directed by kang第 50页（共 53页）tanENM的值为定值，不发生变化；如图 3 1 中，直角三角形 EMN 中，12PEMN，直角三角形 BMN 中，1

73、2PBMN，PEPB，点 P 在 EB 的垂直平分线上，点 P 经过的路径是线段 PP，如图32，当点 M 与 B 重合时，EGNECB，ENEGEBEC，4EC 2，2EGBC2，2EB10，2 22 104 2EN，10EN，12PP是 BEN的中位线，1211022PPEN；点 M 到达点 C 时，点 P 经过的路线长为102Directed by kang第 51页（共 53页）【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线

74、，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题25如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(8,0)，直线 BC 经过点(8,6)B，(0,6)C，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 a 度得到四边形 OA B C ，此时直线 OA、直线 B C 分别与直线 BC 相交于点 P、Q（1）四边形 OABC 的形状是矩形，当90a 时，BPBQ 的值是（2）如图 2，当四边形 OA B C 的顶点 B 落在直线 BC 上时，求OPB 的面积（3）在四边形 OABC 旋转过程中，当 0180a时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使12BPBQ？若存在，请直接写出点 P 的

75、坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断；当90 时，就是长与宽的比；（2）根据勾股定理求得 PB的长，再根据三角形的面积公式进行计算；（3）在四边形 OABC 旋转过程中，当 0180a时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使12BPBQ构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得 PC 的长，进一步求得坐标【解答】解：（1）点 A 的坐标为(8,0)，直线 BC 经过点(8,6)B，(0,6)C，8BCAO，/BCAO，四边形 OABC 是平行四边形又 OCOA，平行四边形 OABC 的形状是矩形；当90 时，P 与 C 重合，如图 1，8BP，8614

76、BQBPOC，则84147BPBQ Directed by kang第 52页（共 53页）故答案是：矩形；47；（2）如图 2，在 OCP和 B A P 中，90OPCB PAOCPAOCB A ，OCP()B A P AAS OPB P设 B Px，在 Rt OCP中，222(8)6xx，解得254x 11257562244OPBSB P OC；（3）存在这样的点 P 和点 Q，使12BPBQ理由如下：过点 Q 画 QHOA于 H，连接 OQ，则 QHOCOC，12POQSPQ OC，12POQSOP QH，PQOP设 BPx，12BPBQ，2BQx，如图 3，当点 P 在点 B 左侧时，

77、3OPPQBQBPx，在 Rt PCO中，222(8)6(3)xx，解得13 612x ，23 612x ，（不符实际，舍去）3 692PCBCBP，13 6(92P，6)，如图 4，当点 P 在点 B 右侧时，OPPQBQBPx，8PCx在 Rt PCO中，222(8)6xx，解得254x，257844PCBCBP，Directed by kang第 53页（共 53页）27(4P，6)，综上可知，存在点13 6(92P ，6)，27(4P，6)使12BPBQ【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解声明：试 题解析著作权 属菁优网所有，未经书面同 意，不得复制 发布日期：2020/2/21 15:21:14；用户：刘老师；邮箱：13153010213；学号：26942851