2023年广西中考数学专题练——10四边形.docx

1、2023年广西中考数学专题练10四边形一选择题（共14小题）1（2022柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（）A180B270C360D5402（2022河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）AABADBACBDCACBDDDACBAC3（2022玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A互相平分B互相垂直C互相平分且相等D互相垂直且相等4（2023三江县校级一模）如图，BDE90，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是（）A16B

2、8C4D25（2022都安县校级一模）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A对边相等B对角相等C对角线互相垂直D对角线互相平分6（2022都安县校级一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EFAC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF若AB=3，DCF=30，则EF的长为（）A2B3C23D37（2022昭平县二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若EGF45，则GF的长为（）A35B37C9105D2108（2022百色一模）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论正确的是（）AABD与ABC的周长相

3、等BABD与ABC的面积相等C菱形ABCD的周长等于两条对角线长之和的两倍D菱形ABCD的面积等于两条对角线长之积的两倍9（2022昭平县一模）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GEDC于点E，GFBC于点F，连接AG若正方形ABCD的边长为1，AGF105，则线段BG的长为（）A1B23+326C32+66D33+2610（2022玉林模拟）四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列三个条件：ADBC；ADBC；OAOC；从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A0种B1种C2种D3种11（2022港北区二模）如图，在正方形AB

4、CD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF有以下结论：AMNBME；ANEN；BE+DFEF；当AEAF时，BEEC=33，则正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个12（2022河池模拟）要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件陈师傅对4个零件进行了检测根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（）ABCD13（2022桂林模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO2，OB=5，则菱形ABCD的面积是（）A45B85C4D914（2022八步区模拟）我们规定：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab=x1x2

5、+y1y2.如a=（1，3），b=（2，4），则ab=12+3414，已知a=（x1，x2），b=（x+3，4），则ab的最小值为（）A1B2C3D4二填空题（共8小题）15（2022广西）如图，在正方形ABCD中，AB42，对角线AC，BD相交于点O点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EFBE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将EFH沿EF翻折，点H的对应点H恰好落在BD上，得到EFH若点F为CD的中点，则EGH的周长是 16（2022灵山县模拟）如图，点P是正方形ABCD外一点，CPD45，PC，PD分别交AB于点E，F，且AF2EF2，则DF的长为 17（202

6、2玉州区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M如果CDM的周长为10，那么平行四边形ABCD的周长是 18（2022南宁一模）如图，点P是正方形ABCD外一点，APB45，PA，PB分别交CD于点E，F，且CE3EF3，则AE的长为 19（2022南宁模拟）如图，若点O是正方形ABCD外一点，OD=22，OC1，BO=10，则CDO的正切值是 20（2022钟山县模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC，BD交点，AF平分DAC交BD于点G，交DC于点F，若AG1，则GF的长为 21（2022覃塘区三模）如图，点E在ABCD内部，E

7、BBC，EDCD，且EAB45，连接CE对于下列四个结论：ADEABE；DAEDCE；BEAD；当DAB60时，CE2AE其中所有正确结论的序号是 22（2022梧州模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，若BC3，ACB30，则ED的长度为 三解答题（共9小题）23（2022梧州）如图，在ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BEDH，AFCG求证：EFHG24（2022广西）如图，在ABCD中，BD是它的一条对角线（1）求证：ABDCDB；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，

8、若DBE25，求AEB的度数25（2022防城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A（0，2），C（23，0），点D是对角线AC上一点（不与A、C重合），连接BD，作DEBD，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF，连接BE，K为BE的中点，分别连接DK，CK（1）直接写出点B的坐标；（2）求证：DKCK；（3）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长；若不存在，请说明理由26（2022玉州区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且AEBCFD90（1）求证：四边形AECF是平行四边

9、形；（2）当AB5，tanABE=34，CBEEAF时，求平行四边形ABCD的面积27（2022覃塘区三模）已知：在菱形ABCD中，动点P在CD边上（与点C，D均不重合），点M，N分别在BC，AD边上，MN与BP相交于点E，且PENA（1）如图1，若A90，则线段MN与BP的数量关系为 ；（2）如图2，若60A90，在（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若A60，AB4，且P，E分别是CD，BP的中点，求AN的长28（2022平果市模拟）已知，点B，D在线段AF上，ADBF，BCDE且BCDE（1）求证：ABCFDE；（2）连接AE，CF，求证：四边形AEFC是平行四边形

10、29（2022南宁模拟）在菱形ABCD中，ABCBAD，E、F分别是DA、DC边上的动点（1）如图1，当BEAD于点E，EBFBAD时，求证：BEBF；如图2，连结AC，分别交BE、BF于点N和点M，连接EF，若EF=23AC，求MNEF的值；（2）如图3，当ABC2EBF时，延长AD交BF的延长线于点G，延长CD交BE的延长线于点H，连结BD、GH若AB8，BD4，当BGH是等腰三角形时，请直接写出ED的值30（2022百色一模）如图，在ABCD中，点E是BC边上的一点，且DEBC，过点A作AFCD于点F，交DE于点G，连接AE、EF（1）若AE平分BAF，求证：BEEG；（2）在（1）的条

11、件下，若B70，求CDE的度数31（2022南宁模拟）【阅读理解】人教版七年级下册8.3探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产值的比是1：2，现要把一块长AB为200m、宽AD为100m的长方形土地分为两块土地，分别种植这两种作物，怎么样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？【解题过程】如图1，若甲、乙两种作物的种植区分别为长方形AMND和MNCB，此时设AMxm，MBym，根据题意，列出方程组：100x：2100y=3：4x+y=200，解得x=120y=80过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植甲作物，其面

12、积为：10012012000m2，较小的一块土地种乙种作物，其面积为：801008000m2【尝试应用】同学们从以上解决方法得到启发提出解决上述问题的另一思路：若按如图2所示，划分出一块三角形土地AMN种植乙种作物，其余土地种植甲种作物，则AM应该取多长？【拓展应用】现要把另一块长AB为200m、宽AD为100m的长方形土地建成花园小广场，设计方案如图3所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（EFGHMNPQ），设EFxm（55x60）当出口宽为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？2023年广西中考数学专题练10四边形参考答案与试题

13、解析一选择题（共14小题）1（2022柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（）A180B270C360D540【解答】解：四边形ABCD的内角和为360故选：C2（2022河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）AABADBACBDCACBDDDACBAC【解答】解：四边形ABCD是菱形，BACDAC，ABAD，ACBD，故A、B、D正确，无法得出ACBD，故选：C3（2022玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A互相平分B互相垂直C互相平分且相等D互相垂直且相等【解答】解：如图

14、，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EHFGBD，EFACHG，四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是正方形，即EFFG，FEFG，ACBD，ACBD，故选：D4（2023三江县校级一模）如图，BDE90，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是（）A16B8C4D2【解答】解：正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，BE2289，DE2225，BDE90，BD=BE2-DE2=289-225=8，以BD为直径的半圆的面积为：12(82)2=8；故选：B5（2022都安县校级一模）菱形具有而平行四边形不一定具

15、有的性质是（）A对边相等B对角相等C对角线互相垂直D对角线互相平分【解答】解：菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故选：C6（2022都安县校级一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EFAC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF若AB=3，DCF=30，则EF的长为（）A2B3C23D3【解答】解：四边形ABCD是矩形ADBC，ACBDAC，O是AC的中点，AOCO，在AOF和COE中，ACB=DA

16、CAO=COAOF=COE，AOFCOE（ASA），OEOF，又EFAC，四边形AECF是菱形，DCF30，ECF903060，CEF是等边三角形，EFCF，AB=3，CDAB=3，DCF30，CF=332=2，EF2故选：A7（2022昭平县二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若EGF45，则GF的长为（）A35B37C9105D210【解答】解：连接BF交AE于H，四边形ABCD是正方形，ABBCCD，ABEC90，点E、F分别是边BC，CD的中点，BECF，在ABE与BCF中，AB=BCABE=BCFBE=CF，AB

17、EBCF（SAS），BAECBF，AEBF，BAE+AEB90，AEB+EBH90，BHE90，GHF90，FGH45，FGH是等腰直角三角形，ABBC6，AEBF=62+33=35，SABE=12ABBE=12AEBH，BH=ABBEAE=655，HFHGBFBH35-655=955，GF=2HF=9105，故选：C8（2022百色一模）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论正确的是（）AABD与ABC的周长相等BABD与ABC的面积相等C菱形ABCD的周长等于两条对角线长之和的两倍D菱形ABCD的面积等于两条对角线长之积的两倍【解答】解：四边形ABCD是菱形，SABD=12

18、S菱形ABCD，SABC=12S菱形ABCD，SABDSABC，故选：B9（2022昭平县一模）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GEDC于点E，GFBC于点F，连接AG若正方形ABCD的边长为1，AGF105，则线段BG的长为（）A1B23+326C32+66D33+26【解答】解：过A作AHBD于H，如图：四边形ABCD是正方形，ABDCBD45，GFBC，AHBD，ABH，BDG是等腰直角三角形，AHBH=AB2=22，BGF45，AGF105，AGHAGFBGF60，GAH30，GH=AH3=66，BGBH+GH=22+66=32+66，故选：C10（2

19、022玉林模拟）四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列三个条件：ADBC；ADBC；OAOC；从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A0种B1种C2种D3种【解答】解：组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；可证明ADOCBO，进而得到ADCB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；有2种可能使四边形ABCD为平行四边形故选：C11（2022港北区二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF有以下结论

20、：AMNBME；ANEN；BE+DFEF；当AEAF时，BEEC=33，则正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个【解答】解：四边形ABCD是正方形，EAF45，CBDEAF45，又BMEAMN，AMNBME，故正确；由知AMNBME，AMBM=MNEM，AMMN=BMEM，AMBEMN，AMBNME，NEAABM，ABMCBD45，EAF45，NEAEAF45，ANEN，故正确；如图，将ADF绕点A顺时针旋转90得到ABH，则AFAH，DAFBAH，EAF45DAF+BAEHAE，ABEABH90，H，B，E共线，在AEF与AEH中，AE=AEFAE=HAEAF=AH，AEFAEH（SAS）

21、，EFEHBE+BHBE+DF，故正确；在ABE与ADF中，AB=ADABE=ADFAE=AF，ABEADF（SAS），BEDF，BAEDAF22.5，BCCD，CECF，假设正方形边长为1，设CEx，则BE1x，如图，连接AC，交EF于O，AEAF，CECF，AC是EF的垂直平分线，ACEF，OEOF，BAC45，EAC22.5，BEEO1x，2（1x）x，x2-2，BEEC=1-(2-2)2-2=22，故错误，故选：B12（2022河池模拟）要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件陈师傅对4个零件进行了检测根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（）ABCD【解答】解：A、有一个角是直角

22、的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意；C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意；D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意故选：C13（2022桂林模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO2，OB=5，则菱形ABCD的面积是（）A45B85C4D9【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC2AO4，BD2OB25，则菱形ABCD的面积=12ACBD=12425=45故选：A14（2022八步区模拟）我们规定：若a=（x1，y1），b=（x2

23、，y2），则ab=x1x2+y1y2.如a=（1，3），b=（2，4），则ab=12+3414，已知a=（x1，x2），b=（x+3，4），则ab的最小值为（）A1B2C3D4【解答】解：根据题意可知，ab （x1）（x+3）4（x2）x2+3xx34x+8x22x+5（x1）2+4，（x1）20，ab4故选：D二填空题（共8小题）15（2022广西）如图，在正方形ABCD中，AB42，对角线AC，BD相交于点O点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EFBE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将EFH沿EF翻折，点H的对应点H恰好落在BD上，得到EFH若点F为CD的中点，

24、则EGH的周长是 5+5【解答】解：如图，过点E作EMBC于M，作ENCD于N，过点F作FPAC于P，连接GH，将EFH沿EF翻折得到EFH，EGHEGH，四边形ABCD是正方形，ABCDBC42，BCD90，ACDACB45，BD=2BC8，CPF是等腰直角三角形，F是CD的中点，CF=12CD22，CPPF2，OB=12BD4，ACDACB，EMBC，ENCD，EMEN，EMCENCBCD90，MEN90，EFBE，BEF90，BEMFEN，BMEFNE，BMEFNE（ASA），EBEF，BEO+PEFPEF+EFP90，BEOEFP，BOEEPF90，BEOEFP（AAS），OEPF2，

25、OBEP4，tanOEG=GOOE=PFEP，即OG2=24，OG1，EG=22+12=5，OBFP，OBHPFH，tanOBHtanPFH，OHOB=PHPF，OHPH=42=2，OH2PH，OPOCPC422，OH=232=43，在RtOGH中，由勾股定理得：GH=12+(43)2=53，EGH的周长EGH的周长EH+EG+GH2+43+5+53=5+5故答案为：5+516（2022灵山县模拟）如图，点P是正方形ABCD外一点，CPD45，PC，PD分别交AB于点E，F，且AF2EF2，则DF的长为 210【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PA，作正方形ABCD的外接圆O，四边

26、形ABCD是正方形，AOB90，DAC45，CPD45，CPDDAC，P在O上，AC为O的直径，APC90，APDCPD，过点F作FMAP于M，作FNCP于N，FMFN，SPEFSAPF=EFAF=12=12PEFN12APFM=PEAP，CBEAPE90，AEPCEB，PAEBCE，tanPAEtanBCE，PEAP=BEBC=12，AF2EF2AE1+23设BEx，BC2x，ABBC，x+32x，x3，AD2x6，由勾股定理得：DF=AD2+AF2=62+22=210故答案为：21017（2022玉州区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于

27、点M如果CDM的周长为10，那么平行四边形ABCD的周长是 20【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OMAC，AMMCCDM的周长AD+CD10，平行四边形ABCD的周长是20故答案为：2018（2022南宁一模）如图，点P是正方形ABCD外一点，APB45，PA，PB分别交CD于点E，F，且CE3EF3，则AE的长为 35【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PC，四边形ABCD是正方形，AOB90，ACB45，APB45，APBACB，P在O上，AC为O的直径，APC90，APBCPB，过点F作FMAP于M，作FNCP于N，FMFN，SPEFSPFC=EFCF=12=

28、12PEFM12PCFN=PEPC，ADCCPE90，AEDCEP，DAEPCE，tanDAEtanPCE，DEAD=PECP=12，设DEx，AD2x，CE3，x+32x，x3，DE3，AD6，由勾股定理得：AE=AD2+DE2=62+32=35故答案为：3519（2022南宁模拟）如图，若点O是正方形ABCD外一点，OD=22，OC1，BO=10，则CDO的正切值是 13【解答】解：如图，将DCO绕点C逆时针旋转90得BCE，DC与BC重合，CEOC1，BE=OD=22，OE22CE22，OE=2，BE2+OE28+210，BO=10，BO210，BE2+OE2BO2，BEO90，CEO4

29、5，BEC904545，如图，过点C作CGBE于点G，CEG45，CE1，CGEG=22CE=22，BGBEEG22-22=322，tanBCF=CGBG=22232=13，由旋转可知：CBECDO，tanCDOtanBCF=13故答案为：1320（2022钟山县模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC，BD交点，AF平分DAC交BD于点G，交DC于点F，若AG1，则GF的长为 2-1【解答】解：四边形ABCD是正方形，ACBD，EAED，ADF90，AEGADF90，AED是等腰直角三角形，AD=2AE，AF平分DAC，DAFEAG，AEGADFAFAG=ADAE=2，AG1，AF=

30、2，GFAFAG=2-1故答案为：2-121（2022覃塘区三模）如图，点E在ABCD内部，EBBC，EDCD，且EAB45，连接CE对于下列四个结论：ADEABE；DAEDCE；BEAD；当DAB60时，CE2AE其中所有正确结论的序号是 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，DABBCD，ADCABC，EBBC，EDCD，CDECBE90，ADCCDEABCCBE，即ADEABE，故正确；延长DE交AB于F，如图所示：ABCD，EDCD，DFAB，BFEDFA90，EAB45，AEF是等腰直角三角形，EFAF，在BFE和DFA中，FBE=FDABFE=DFAEF=AF

31、，BFEDFA（AAS），BEAD，故正确；BEADBC，CBE90，CBE是等腰直角三角形，BCEEAB45，DABEABBCDBCE，即DAEDCE，故正确；当DAB60时，ADEABE906030，BE2EF，AEF、CBE都是等腰直角三角形，AE=2EF，CE=2BE22EF，CE2AE，故正确；综上所述，正确结论的序号是，故答案为：22（2022梧州模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，若BC3，ACB30，则ED的长度为 3【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABC90，ACBD，BEED，BC3，ACB30，AC23，ED=3故答案为：3三解答题（共9小题）23（

32、2022梧州）如图，在ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BEDH，AFCG求证：EFHG【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AC，BEDH，ABBECDDH，即AECH，在AEF和CHG中，AE=CHA=CAF=CG，AEFCHG（SAS），EFHG24（2022广西）如图，在ABCD中，BD是它的一条对角线（1）求证：ABDCDB；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若DBE25，求AEB的度数【解答】（1）证明：如图1，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，BD

33、BD，ABDCDB（SSS）；（2）如图所示，（3）解：如图3，EF垂直平分BD，DBE25，EBED，DBEBDE25，AEB是BED的外角，AEBDBE+BDE25+255025（2022防城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A（0，2），C（23，0），点D是对角线AC上一点（不与A、C重合），连接BD，作DEBD，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF，连接BE，K为BE的中点，分别连接DK，CK（1）直接写出点B的坐标；（2）求证：DKCK；（3）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长；若不存在，请说明理由【解答

34、】（1）解：A（0，2），C（23，0），OA2，OC23，四边形ABCD是矩形，BCOA2，ABOC23，ABOC，BCOA，B（23，2）；（2）证明：四边形ABCD和四边形BDEF是矩形，BDEBCE90，BDE和BCE是直角三角形，K是BE的中点，DK=12BE，CK=12BE，DKCK；（3）解：存在，理由如下：在RtBDE和RtBCE中，K是BE的中点，DKBKEKCK，点B，D，E，C四点共圆，DBEDCE，EDCEBC，tanACO=AOCO=33，ACO30，ACB60，DEC是等腰三角形，当EDEC时，如图，DEC是等腰三角形，DBCDCEEDCEBC30，DBCBCD60

35、，DBC是等边三角形，DCBC2；当CDCE时，如图，DCE是等腰三角形，DBCDECCDE15，ABDADB75，ABAD23，即当AD为或23时，DEC是等腰三角形26（2022玉州区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且AEBCFD90（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AB5，tanABE=34，CBEEAF时，求平行四边形ABCD的面积【解答】（1）证明：AEBCFD90，AEBD，CFBD，AECF，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，ABECDF，在ABE和CDF中，AEB=CFDABE=CDFAB=CD，AB

36、ECDF（AAS），AECF，四边形AECF是平行四边形；（2）解：在RtABE中，tanABE=34=AEBE，设AE3a，则BE4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）252，解得：a1或a1（舍去），AE3，BE4，由（1）得：四边形AECF是平行四边形，EAFECF，CFAE3，CBEEAF，ECFCBE，tanCBEtanECF，CFBF=EFCF，CF2EFBF，设EFx，则BFx+4，32x（x+4），解得：x=13-2或x=-13-2，（舍去），即EF=13-2，由（1）得：ABECDF，BEDF4，BDBE+EF+DF4+13-2+46+13平行四边形ABCD的面积=12BD

37、AE+12BDCF，=12（6+13）3+12（6+13）318+31327（2022覃塘区三模）已知：在菱形ABCD中，动点P在CD边上（与点C，D均不重合），点M，N分别在BC，AD边上，MN与BP相交于点E，且PENA（1）如图1，若A90，则线段MN与BP的数量关系为 BPMN；（2）如图2，若60A90，在（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若A60，AB4，且P，E分别是CD，BP的中点，求AN的长【解答】解：（1）如图1，过点A作AHMN，交BC于H，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABCBCD90，ADBC，AHMN，四边形AHMN是平行四边形，PENA

38、FPBAD90，AHMN，BAH+ABF90ABF+PBC，BAHPBC，又ABBC，ABHBCP，ABHBCP（ASA），BPAH，BPMN，故答案为：BPMN；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，过点B作BHCD于H，过点M作MQAD于Q，四边形ABCD是菱形，ADCD，ADBC，AC，DNMNMB，S菱形ABCDCDBHADQM，BHQM，PENAC，PEN+PEM180，PEM+C180，CPE+CMN180，BMN+CMN180，BPHBMNDNM，又BHPMNQ90，BPHMNQ（AAS），MNBP；（3）如图3，连接BD，过点B作BHMN，交AD于H，四边形ABCD是菱形，A6

39、0，ABBCCDAD，AC60，ABD和BCD是等边三角形，点P是CD的中点，CPDP2，DBPCBP30，BPCD，BP23，点E是BP的中点，BEPE=3，PENA60，BEM60，BME90，又PBC30，EM=32，BM=32，BHMN，ADBC，四边形MNHB是平行四边形，BME90，四边形MNHB是矩形，HNBM=32，BHABHN90，ABH90A30，AH=12AB2，ANAH+NH=7228（2022平果市模拟）已知，点B，D在线段AF上，ADBF，BCDE且BCDE（1）求证：ABCFDE；（2）连接AE，CF，求证：四边形AEFC是平行四边形【解答】（1）证明：ADBF，

40、AD+BDBF+BD，ABDF，BCED，ABCEDF，在ABC和FDE中，BC=DEABC=EDFAB=DF，ABCFDE（SAS）；（2）证明：如图，ABCFDE，ACEF，CABDFE，ACEF，四边形AEFC是平行四边形29（2022南宁模拟）在菱形ABCD中，ABCBAD，E、F分别是DA、DC边上的动点（1）如图1，当BEAD于点E，EBFBAD时，求证：BEBF；如图2，连结AC，分别交BE、BF于点N和点M，连接EF，若EF=23AC，求MNEF的值；（2）如图3，当ABC2EBF时，延长AD交BF的延长线于点G，延长CD交BE的延长线于点H，连结BD、GH若AB8，BD4，当

41、BGH是等腰三角形时，请直接写出ED的值【解答】（1）证明：如图1中，在菱形ABCD中，ABBCACCD，AC，ABCD，BEAD，BEA90，A+ABE90，EBFBAD，ABFEBF+ABEBAD+ABE90，ABCD，BFCABF90，BEABFC，ABECBF（AAS），BEBF；解：如图2中，连接BD交AC于点O，交EF于点H，在菱形ABCD中，OBOD，BDAC，DOC90，ABECBF，AECF，DEDF，DEAD=DFCD，ADCEDF，EDFADC，DEFDAC，EFAC，DHFDOC90，DHAC，EDFADC，DHOD=EFAC=23，OH=OD-DH=OD-23OD=1

42、3OD=13OB，EFAC，BNMBEF，NMEF=OBBH=OBOB+OH=OB43OB=34（2）解：四边形ABCD是菱形，ABD=12ABC，EBF=12ABC，ABDEBF，ABEDBF，ABCD，ABEBHD，DBGBHF，同理：HBDBGD，BDHGDB，BDGD=DHDB=BHGB，BGH是等腰三角形有三种情况：当BHBG时，如图3所示：DBGBHF，BHBG，HBDBGD，BDHGDB（ASA），DHDB4，ABCD，ABEDHE，AEDE=ABDH=84=2，ADAB8，ED=13AD=83；当HBHG时，如图4所示：则HBGHGB，ABAD，ABDADB，ABDEBF，AB

43、DADBHBGHGB，BHGBAD，ABBD=HBBG=84=2，DHDB=BHGB=2，DH2DB8AB，DEHAEB（AAS），DE=AE=12AD=4；当GBGH时，如图5所示：则GBHGHBABDADB，GBHABD，ABBD=GBBH=84=2，DHDB=BHGB=12，DH=12DB=2，DEHAEB，DHAB=DEAE=14，DE=15，AD=85；综上所述，当DE为83或4或85时，BGH是等腰三角形30（2022百色一模）如图，在ABCD中，点E是BC边上的一点，且DEBC，过点A作AFCD于点F，交DE于点G，连接AE、EF（1）若AE平分BAF，求证：BEEG；（2）在（

44、1）的条件下，若B70，求CDE的度数【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBCDAEAEBDEBC，ADDEDAEAEDAEBAEDAE平分BAF，BAEGAE在ABE和AGE中，BAE=GAEAE=AEAEB=AEG，ABEAGE（ASA）BEGE（2）解：由（1）可知：ABEAGE，BEGA70DGFEGA70AFCD，GFD90GDF+DGF90CDE90702031（2022南宁模拟）【阅读理解】人教版七年级下册8.3探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产值的比是1：2，现要把一块长AB为200m、宽AD为100m的长方形土地分为两块土地，分别种植这两

45、种作物，怎么样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？【解题过程】如图1，若甲、乙两种作物的种植区分别为长方形AMND和MNCB，此时设AMxm，MBym，根据题意，列出方程组：100x：2100y=3：4x+y=200，解得x=120y=80过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植甲作物，其面积为：10012012000m2，较小的一块土地种乙种作物，其面积为：801008000m2【尝试应用】同学们从以上解决方法得到启发提出解决上述问题的另一思路：若按如图2所示，划分出一块三角形土地AMN种植乙种作物，其余土地种植甲种

46、作物，则AM应该取多长？【拓展应用】现要把另一块长AB为200m、宽AD为100m的长方形土地建成花园小广场，设计方案如图3所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（EFGHMNPQ），设EFxm（55x60）当出口宽为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：【尝试应用】设AM的长为xm，根据题意得，三角形土地AMN的面积为：12100x50x，由题意得，200100-50x250x=34，解得，x160，经检验x160是所列方程的解，故AM应该取160m；【拓展应用】设活动区域的面积为Wm2，W100200-200-x2100-x2124，整理得，W=-12x2+150x+10000，a=-120，抛物线开口向下，对称轴是x=-b2a=-1502(-12)=150，当55x60时，w随着x的增大而增大当x60时，w有最大值，最大值是17200故当出口宽为60m时，活动区面积最大，最大面积是17200m2