2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(四)答案.docx

1、2023年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷数学（四）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三

2、象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限.故选：C2. 已知全集，集合，则A=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出集合B，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为，A=.故选：D.3. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆锥

3、与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：D.4. 已知一组数据：的平均数是4，方差是2，则由和11这四个数据组成的新数据组的方差是（ ）A. 27B. C. 12D. 11【答案】B【解析】【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据，的平均数是4，方差是2，所以，所以，所以，11的平均数为，所以，11的方差为故选：B5. 若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出，根据可得,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设与的夹角为，因为，所以，.故选：D.6. 已知圆，圆，则同时与圆和

4、圆相切的直线有（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条【答案】B【解析】【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆，则圆心，半径；由圆，整理可得，则圆心，半径；由，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7. 已知函数的部分图象如图所示，则函数在区间上的零点个数为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求的根解不等式即可.【详解】由题意知，解得：，方法1：作出函数图象如图所示，在区间上的零点个数为5.方法2：，解得：，解得：，在区间上的零点个数共有5个.故选：B.8.

5、已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.【详解】因为，所以，由椭圆的定义得：，解得，因为，所以，两边同除以a得，解得 ，因为 ，所以，所以该离心率的取值范围是故选：D.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 若，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据题意可得：，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为，则，所以，解得：

6、，当时，；当时，；当时，；故选：.10. 某校10月份举行校运动会，甲乙丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为，且每人选择相互独立，则（ ）A. 三人都选择长跑的概率为B. 三人都不选择长跑的概率为C. 至少有两人选择跳绳的概率为D. 在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为【答案】AD【解析】【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑概率为，故A正确.三人都不选择长跑的概率为，故B错误.至少有两人选择跳绳的概率为，故C错误.记至少有两人选择跳远为事件A，所以.记丙同学选择跳远为事件B，所以.所以在至少有两人选择跳远的

7、前提下，丙同学选择跳远的概率为 ，故D正确.故选：AD11. 设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】ABC【解析】【分析】根据题意可得，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若恒成立，则恒成立，构建，则，故，则有：当，即时，则当时恒成立，故在上单调递增，则，即符合题意，故满足条件的正整数为1或2；当，即时，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，则，构建，则当时恒成立，故在上单调递减，则，故满足的整数；综上所述：符合条件的整数为1或2或3，A、B、C正确，D错误.故选：ABC12. 已知三棱锥中，平面是边上一动点，则（ ）A. 点到平面的距

8、离为2B. 直线与所成角的余弦值为C. 若是中点，则平面平面D. 直线与平面所成的最大角的正切值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A，在平面内，过作，如下图所示：平面，且平面，平面，平面，则到平面的距离为，在中，故A错误；对于B，在平面内，过作，且，易知两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则，得

9、，则，故B正确；对于C，作图如下：在中，为的中点，则，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面，故C正确，对于D，作图如下：平面，平面，则在中，当取得最小值时，取得最大值，当为的中点时，由C可知，取得最小值为，则取得最大值为，故D正确.故选：BCD.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数为奇函数，则实数的取值为_.【答案】1【解析】【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数为奇函数，必有，则，于是得恒成立，即，解得：.故答案为：1.14. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，若，则的面积为 _.【答案】【解析】【分析】先根据抛物线定义得P点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详

10、解】因为，所以，因此的面积为【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15. 由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有_个.【答案】【解析】【分析】能被整除的三位数末位数字是或，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被整除的三位数说明末尾数字是或当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法；则一共有种故答案为：16. 已知，函数在上的最小值为2，则实数_.【答案】1【解析】【分析】利用导数分类为与讨

11、论，得出在上的最小值，由最小值为2求解a的值即可得出答案.【详解】，当时，即时，则在上恒成立，则在上单调递增，在上的最小值为，解得，当时，即时，当时，单调递减，当时，单调递增，在上的最小值为，舍去，综上所述：，故答案为：1.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第天的滑雪人数（单位：百人）的数据.天数代码12345滑雪人数（百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现

12、盈利，请建立关于的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.【答案】；.【解析】【分析】根据表中数据及平均数公式求出，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，所以，所以，所以关于的回归方程为.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即，解得,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第天开始盈利.18. 如图，四边形中，的面积为.（1）求；（2）求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）在中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在中，利用正弦定

13、理运算求解，注意大边对大角的运用.小问1详解】在中，由的面积，可得，由余弦定理，即.【小问2详解】在中，由正弦定理，可得，则，故.19. 设数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）当时，构造，与条件中的式子，两式相减，得，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知，利用裂项相消求和法求解.【小问1详解】因为，所以当时，解得当时，则，整理得，即所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以所以.【小问2详解】令，数列的前项和，则，则，则.的值为.20. 如图，正方体的棱长为4，点、分别是、的中点.（1）求证：平面；（2）求

14、直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：如图建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，又，平面，所以平面.【小问2详解】解：由（1）可知可以为平面的法向量，又，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.21. 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线右顶点为，直线与双曲线相交于两点不是左右顶点），且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1） （2）证明过程见解析，定点坐标为【

15、解析】【分析】（1）由渐近线方程求出，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出，从而求出，得到双曲线方程；（2）与联立，求出两根之和，两根之积，由列出方程，求出或，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为.【小问1详解】因为渐近线方程为，所以，焦点坐标到渐近线的距离为，解得：，因为，解得：，所以双曲线的方程为；【小问2详解】由题意得：，与联立得：，设，则，化简得：，解得：或，当时，恒过点，当时，恒过点，此时中有一点与重合，不合题意，舍去，综上：直线过定点，定点为，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所

16、谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.22. 已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）判断函数的零点个数，并说明理由.【答案】（1） （2）有两个零点，理由见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令，转化为与图象交点的个数，利用导数得到单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【小问1详解】，所

17、以切线斜率为，所以切点坐标为，函数的图象在处的切线方程为；【小问2详解】有两个零点，理由如下，令，可得，判断函数的零点个数即判断与图象交点的个数，因为为单调递增函数，当无限接近于时，无限接近于，且，由，得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，且当无限接近于2时无限接近于，所以与的图象在时有一个交点，在时有一个交点，综上函数有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解