2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册） 3.2.2 奇偶性（精练）（教师版含解析）.docx

1、3.2.2 奇偶性(精练)【题组一 奇偶性的判断】1(2021年湖南)(多选)下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是( )ABCD【答案】AC【解析】对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，在上是增函数，故A正确；对B，为奇函数，故B错误；对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；对D，令，为偶函数，当，为减函数，故D错误，故选：AC2(2021湖北)(多选)下列函数中是偶函数，且在为增函数的是( )ABCD【答案】ACD【解析】根据题意，依次分析选项：对于，偶函数，且在为增函数，符合题意；对于，不是偶函数，不符合题意；对于，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；对于，是偶函数，

2、且在为增函数，符合题意；故选：3(2021江苏高一开学考试)(多选)下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是( )ABCD【答案】AB【解析】因为，定义域为，且，所以函数是奇函数，设，则，所以时，又因为函数是奇函数，所以函数在上单调递减，故选项A正确；由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，故选项B正确；而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，设，则，所以时，所以函数在上单调递增，又因为函数是奇函数，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.故选：AB.4(2021广东高一期末)(多选)下列函数中，既是奇函数又是增函数的

3、为( )ABCD【答案】AC【解析】A. 因为，所以函数是奇函数，又 ，所以函数是增函数，故正确；B. 由幂函数的性质得是减函数，故错误；C. 因为，所以函数是奇函数，又 都是增函数，所以函数是增函数，故正确；D. 由反比例函数的性质得在是减函数，故错误；故选：AC5(2021年福建)(多选)下列关于函数性质的描述，正确的是( )A的定义域为B的值域C在定义域上是增函数D的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】因为函数，所以，解得且，所以的定义域为，定义域关于原点对称；所以，故，函数为奇函数，的图象关于原点对称；当时，所以的值域；因为，函数在定义域上不是增函数，故选：ABD【题组二 利用奇偶性

4、求参数】1(2021湖北高一开学考试)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，且，则的值为( )AB0C4D2【答案】A【解析】是上的奇函数，即， ，故选：A2(2021广西高一期末)已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则( )A5B6C8D10【答案】D【解析】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，则，故.故选：D3(2021龙里县九八五高级中学有限责任公司)已知是定义在上的奇函数，且当时，则( )A1B2C1D2【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，所以故当时，所以故选：.4(2021上海市杨浦高级中学高一期末)已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是_.【答案】【解析】由已知是定

5、义在上的偶函数，故，即，或，且函数图象关于轴对称，又，故，因为关于直线对称，故，故答案为：.5.(2021年上海)定义；函数在闭区间上的最大值与最小值之差称为函数的极差若定义在区间上的函数是偶函数，则_，函数的极差为_【答案】1 4 【解析】因为定义在区间上的函数是偶函数，所以，解得：，又为偶函数，所以，下面求在闭区间上的最大值与最小值，开口向下，对称轴为，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以极差为,故答案为：；6(2021海南省农垦加来高级中学高一期末)若是偶函数，且定义域为，则_ ， _【答案】 0 【解析】因为是偶函数，且定义域为，所以，解得，且，所以.故.【题组三 利用奇偶性求解析式

6、】1(2021上海高一期中)已知函数，是奇函数，且当时，则时，_【答案】.【解析】当时，所以，因为是奇函数，所以.故答案为：.2(2021湖北襄阳五中高三二模)已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则函数_【答案】【解析】因为，所以，又分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以；所以，则 ，两式相加得，所以.故答案为:.3(专题02 二次函数-2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义(沪教版2020)函数(常数，R)是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式_【答案】【解析】，定义域为，因为函数为偶函数，所以，所以，即或.当时，值域不是，舍去.当时，所以，则.故答案为：4(2021湖南师

7、大附中高一开学考试)已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则时，_.【答案】【解析】当时，因为是奇函数，所以.所以.故答案为：5(2021福建省永泰县第二中学高一期末)函数是定义在R上的奇函数，当时，2，则在R上的解析式为_.【答案】【解析】当时，2，即，设，则，又为奇函数， ，所以在R上的解析式为 .故答案为：.6(2021南昌市新建区第一中学高一开学考试)若是定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则当时，_.【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，则，故，时，则.故答案为：.7(2021上海位育中学高一期末)设是定义在上的奇函数，当时，为常数)，则_【答案】-3【解析】是定义在上的奇函数，当时

8、，为常数)，解得，当时，故答案为：【题组四 奇偶性与单调性的综合运用】1(2021福建)函数是( )A奇函数，且在R上单调递减B奇函数，且在R上单调递增C偶函数，且在R上单调递减D偶函数，且在R上单调递增【答案】B【解析】函数的定义域为R，关于原点对称，又，所以是奇函数，又是R上的增函数，所以是R上的增函数，故选：B2(2021北京高一期末)下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是( )ABCD【答案】C【解析】对A，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故B错误；对C，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；

9、对D，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.故选：C.3(2021通化县综合高级中学高一期末)下列函数中，是偶函数的函数是( )ABCD【答案】B【解析】A：定义域为关于原点对称，又，所以函数为奇函数，故A不正确；B：定义域为，又，故函数为偶函数，B正确；C：定义域为，不关于原定对称，所以函数为非奇非偶函数，C不正确；D：定义域为，又，所以函数为非奇非偶函数，D不正确.故选:B.4(2021西藏拉萨中学高一期末)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )ABCD【答案】D【解析】函数不是奇函数，故A不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确；函数是奇函数，但不是增函

10、数，故C不正确；的图象如图：所以函数是奇函数且是增函数.故选：D5(2021北京大峪中学高一期中)下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为ABCD【答案】A【解析】因为函数，是偶函数，函数是非奇非偶函数，排除B、C、D，函数既是奇函数，又在上单调递减，A正确.故选：A.6(2021贵州高一期末)已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则下列各式一定成立的是( )ABCD【答案】D【解析】因为是上的偶函数，所以，且在上是增函数，因为，所以A错误；因为，所以B错误；因为，所以C错误；因为，所以D正确.故选：D.7(2021江西景德镇市景德镇一中高一期末(文)已知定义域为R的函数在上单调递减

11、，且是奇函数，则、的大小关系是( )ABCD【答案】D【解析】因为是奇函数，所以的图象关于对称，且在上单调递减，所以在单调递减，又因为定义域为R，所以，所以在连续且单调递减，由于，所以.故选：D.8(2021湖北高一期末)已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，的大小关系是( )ABCD【答案】B【解析】，由此可知函数的周期为4，函数是奇函数，所以有：，因为在区间是减函数，所以，即，故选：B9(2021银川三沙源上游学校高一期末)设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，的大小关系是( )ABCD【答案】B【解析】是偶函数，当时，是增函数，且，.故选：B.10(2021北京101中

12、学高一期末)已知偶函数在上单调递减，若，则，的大小关系为( )ABCD【答案】C【解析】因为是偶函数，又在上单调递减，即.故选：C.11(2021白银市第十中学高一期末)已知是偶函数，任意，且，满足，则的解集是( )ABCD【答案】A【解析】因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，又因为的图象可由的图象向右平移1个单位得到，所以的图象关于对称，因为任意，且，满是，所以任取，则在上单调递减，由对称性可知在上单调递增，由根据对称性可得，因为，所以或解得或.即的解集是，故选：A.12(2021呼图壁县第一中学高一开学考试)已知函数的定义域为，是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为( )ABCD【答案】

13、A【解析】依题意：函数的图象关于对称，则，且在上单调递增故 ，所以故选：A.13(2020河北高一期中)设定义在上的奇函数满足，对任意，且都有，且，则不等式的解集为ABCD【答案】C【解析】因为对任意,且都有，所以函数在上单调递减，则在上单调递减，由，则，当时，即，当时，即，综上不等式的解集为，故选14(2021湖北高一开学考试)函数是定义在上的奇函数，且(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式【答案】(1)，；(2)增函数，证明见解析；(3).【解析】(1)由函数是定义在上的奇函数知，所以解得，经检验，时，是上的奇函数，满足题意又，解得，故，(2)在上为增函数

14、证明如下：在内任取且，则，因为，所以即，所以在上为增函数(3)，又是上的奇函数，结合在上为增函数，得，解得：，即15(2021山东)若为上的奇函数，且时，(1)求在上的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解关于x的不等式【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析；(3)答案见解析.【解析】(1)因为当时，所以当时，因为为上的奇函数,所以，则所以在上的解析式为(2)函数在上单调递减证明：设，且，因为，且，所以，则，所以在上单调递减(3)因为为上的奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减因为，所以，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为16(2

15、021新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一期末)已知是定义在上的奇函数，且(1)求的解析式；(2)判断并证明函数的单调性；(3)求使不等式成立的实数的取值范围.【答案】(1)；(2)在上是增函数，证明见解析；(3).【解析】(1)法一：是定义在上的奇函数，则，得，解得，经检验，时，是定义在上的奇函数，法二：是定义在上的奇函数，则，即，则，所以，又因为，得，所以，.(2)在上是增函数.证明如下：任取，则 ，即，所以在上是增函数. (3)由(2)知在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，由，得，所以， 解得故的取值范围是【题组五 抽象函数的性质】1(2021上海市西南位育中学高一期末)若函数对任意实数

16、xy都有，则称其为“保积函数”.(1)请写出两个“保积函数”的函数解析式；(2)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明；(3)对于(2)中的“保积函数”，若时，且，试求不等式的解集.【答案】(1)，(答案不唯一)(2)偶函数，证明见解析；(3).【解析】(1)若，则，可得符合“保积函数”的定义，若，则，可得符合“保积函数”的定义，所以两个“保积函数”的函数解析式可以是，(答案不唯一)(2)函数是偶函数，令，则对任意实数xy都成立，所以“保积函数”满足，则是偶函数；(3)，因为所以，设任意的，则，所以，所以，所以在是单调递增函数且是偶函数，所以不等式等价于，可得，解得，所以不等式的解集为2(20

17、21安徽高一期末)已知定义在上的函数，满足：；为奇函数；，；任意的，.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断并证明函数在上的单调性.【答案】(1)偶函数，证明见解析；(2)在上单调递增，证明见解析.【解析】(1)依题意，.，又因为的定义域为，所以函数为偶函数.(2)由知，即在上单调递增.3(2021安徽高一期末)已知定义在上的函数，满足：；任意的，.(1)求的值；(2)判断并证明函数的奇偶性.【答案】(1)1；(2)偶函数，证明见解析.【解析】(1)依题意，.(2)由(1)知，即，又因为的定义域为，所以函数为偶函数.4(2021吉林高一期末)已知函数是定义在上的减函数，对于任意的都有，(1)

18、求，并证明为上的奇函数；(2)若，解关于的不等式.【答案】(1)，证明见解析；(2).【解析】(1)令，则有令，则有即所以为上的奇函数(2)令，则有所以不等式化为由于为上的奇函数，所以所以因此不等式进一步化为已知函数是定义在上的减函数所以有，解得因此不等式的解集为5(2021云南省云天化中学)定义在上的函数满足：对任意的，都有：.(1)求证：函数是奇函数；(2)若当时，有，求证：在上是减函数；(3)若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)或或【解析】(1)证明：令得：设任意，则，即，函数是奇函数；(2)设，则，由知：，且，所以，即，又即，从而，即

19、，所以在上是减函数；(3)由(2)函数在上是减函数，则当时，函数 的最大值为，若对所有恒成立，则等价为 对恒成立，即，设，则对恒成立，即，即，解得或或6(2020黄冈市黄州区第一中学高一期中)已知函数对任意，总有，且当时，. (1)先求的值，然后判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；(3)求函数在上的最小值【答案】(1)；奇函数；证明见解析；(2)减函数，证明见解析；(3).【解析】(1)由已知，令，得，所以.函数是奇函数.证：令，得，所以，即，故是奇函数(2)是上的减函数，证明如下:设，是任意的两个实数，且，则，因为时，所以，所以，所以所以是上的减函数(3)由(2)可知是上的减函数，所以在上也是减函数，所以在上的最小值为,而所以函数在上的最小值为.