2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第二册） 6.4.3 正、余弦定理的实际运用（精讲）（教师版含解析）.docx

1、6.4.3 正、余弦定理的实际运用(精讲)思维导图常见考法考点一 距离测量【例1】(2021全国高一课时练习)如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得CAB=45，CBA=60，则C处河面宽CD为( )A6(3+)mB6(3-)mC6(3+2)mD6(3-2)m【答案】B【解析】在RtBCD中，CBA60，tanCBD，CDBDtanCBDBD，在RtACD中，CAB45，则CDAD，ABAD+BD12，BD+BD12，解得BD66，CDBD186故选：B【一隅三反】1(2021天津市第四十一中学)如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75

2、，30，此时气球的高度是，则河流的宽度等于( )ABCD【答案】C【解析】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75，30，气球的高度是，所以所以，由正弦定理可得，所以.故选：C2(2021四川树德中学)为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，则塔尖之间的距离为( )ABCD【答案】C【解析】依题意，在中，可得，则 ，在中，则，又中，由余弦定理可得：则.故塔尖之间的距离为.故选：C.3(2021云南玉溪)在中，是线段上的点，若的面积为，则取到最大值时，的长度为( )ABCD【答案】A【解析】因为，所以，即，因为，所以，等号成立当且仅当时等号成立，此时.故选

3、：A.考点二 高度测量【例2】(2021河南)二七罢工纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统文化精神而修建的纪念性建筑物.某校为庆祝建党周年，组织学生参观二七罢工纪念塔.同学们在参观过程中，对纪念塔的塔高产生了兴趣，为测量塔的高度，甲同学在二七广场地测得纪念塔顶端仰角为，乙同学在二七广场地测得纪念塔顶端的仰角为，塔底为(，在同一水平面上，平面)，量得米，则纪念塔的高( )A米B米C米D米【答案】D【解析】如图，设米，由题意可得米，米，在中，由，可得.故选：D【一隅三反】1(2021贵州中央民族大学附属中学贵阳市实验学校)如图，在山脚A测得山顶P的

4、仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为(参考数据：取)( )ABCD【答案】A【解析】，由正弦定理得，即，可得所以山的高度为故选：A2(2021全国)江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年(即公元653年)，是古代江南唯一的皇家建筑因初唐诗人王勃所作滕王阁序而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首(另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼)小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量如图，测量仪器高，点与滕王阁顶部平齐，并测得，则小张同学测得滕王阁

5、的高度为( ) ABCD【答案】B【解析】解析：中，又，所以，则，故小张同学测得滕王阁的高度为故选：B3(2021河南)江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年(即公元653年)，是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作滕王阁序而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首(另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼).小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量.如图，测量仪器高m，点与滕王阁顶部平齐，并测得，m，则小张同学测得滕王阁的高度约为(参考数据)( ) A50mB55.5mC57.4mD60m【答案】C【解析】

6、在中，则，在中，则，故滕王阁的高度为.故选：C4(2021江苏泰州中学高一期中)泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所.小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算泰州基督教堂的高度为( )ABCD【答案】D【解析】在中，所以，在中，由正弦定理可得即，所以，在中，所以估算泰州基督教堂的高度为，故选：D.考点三 角度测量【例3】(2021北京清华附中高

7、一期中)如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为( )ABCD【答案】D【解析】因为，在中，由正弦定理可得，即，解得，由，所以，所以大坝的坡角的余弦值为.故选：D【一隅三反】1(2021江西南昌高一期中)两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的( )A北偏东B北偏西C南偏东D南偏西【答案】B【解析】由题可知，、位置如图，排除ACD，故选：2(2021江西南昌市豫章中学 )如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达

8、B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于( )ABCD【答案】C【解析】由题知，所以，.在ABC中，由正弦定理得，又m，ACm在ADC中，m，由正弦定理得，.故选：C.3(2021全国高一课时练习)如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的( )A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80【答案】D【解析】 ， ， ，灯塔A在灯塔B的南偏西 故选：D4(2021全国高一专题练习)为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以

9、下设计草图提出问题：已知A，D两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得，设，则( )ABCD【答案】C【解析】在 中，因为，所以，又，由正弦定理得： ，在 中，因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，故选：C考点四 几何中的正余弦定理【例4】(2021全国 )在，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，的对边分别为，且_，作，连接围成梯形中，求四边形的面积. 【答案】答案见解析【解析】选：由正弦定理可知，.即.因为，所以.因为，所以.由余弦定理可知，即因为，所以又，即，所以四边形的面积为选：由正弦定理可知，化简得由余弦定理可知，因为，所

10、以.由余弦定理可知，即因为，所以又，即，所以四边形的面积为选：由数量积公式以及面积公式可得，即，因为，所以.由余弦定理可知，即因为，所以又，即，所以四边形的面积为【一隅三反】1(2021江苏如皋 )如图，在平面四边形中，(1)若，求的面积；(2)若，且为锐角，求角A的大小【答案】(1)4；(2)【解析】(1)因为，由正弦定理，可得由余弦定理可得，可得，所以(2)因为，所以，即，因为，且为锐角，所以，所以，可得，在中，由正弦定理，可得，可得，因为，又A为锐角，所以2(2021河南洛阳市第一高级中学 )在中，内角的对边长分别为，若.(1)求角的大小；(2)若，求边上的中线的最大值.【答案】(1)；

11、(2).【解析】(1)，又，；(2)在中，由余弦定理得：，(当且仅当时取等号)，；又，在中，由余弦定理得：，即中线的最大值为.3(2021内蒙古乌海市第一中学)如图所示，在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c满足，且，D在AC上，(1)若，求；(2)若，求AC的长【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题，故，由正弦定理化简整理可得，由余弦定理， 又，故，又，故为正三角形，故，在中，故(2)由(1)为正三角形，设，则，在中，由余弦定理，解得，故4(2021湖北省直辖县级单位 )如图，在平面四边形中，(1)求；(2)若，求【答案】(1)；(2)【解析】(1)中，即，解得；(2)因为，故中，即，

12、故，化简得，解得考点五 三角函数与解三角形【例5】(2021广东石门高级中学)已知函数的部分图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)在锐角中，角，所对的边分别为，若，且的面积为，求【答案】(1)；(2).【解析】(1)据图象可得，故，由得：由得：由知，解得，；(2)， 由题意得的面积为，解得，由余弦定理得，解得：.【一隅三反】1(2021江西师大附中高一月考)已知向量，函数.(1)求函数的零点；(2)若钝角的三内角的对边分别是，且，求的取值范围.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)由条件可得：，所以函数零点满足，则，得，；(2)由正弦定理得，由(1)，而，得，又，得，代入上式化简得：，又在

13、钝角中，不妨设为钝角，有，则有.2(2021浙江温州 )已知函数.()求函数的最小正周期及单调递增区间；()在锐角中，设角、所对的边分别是、，若且，求的取值范围.【答案】()最小正周期为，；().【解析】()由题意，函数，所以函数的最小正周期为，令，解得， 所以函数的单调递增区间是，.()由(1)可得，因为，可得，由正弦定理可知，所以，由及为锐角三角形，解得，则.因为，可得，所以，所以.3(2021浙江路桥中学 )已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.(1)求的值；(2)在锐角中，若，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，则，当，即时，最大值，所以，；(2)，则，所以，所以，是锐角三角形，由，解得，所以，则.