利用基本不等式求最值（解析版）.pdf

1、1利用基本不等式求最值题型梳理【题型 1 直接法求最值】【题型 2 配凑法求最值】【题型 3 常数代换法求最值】【题型 4 消元法求最值】【题型 5 构造不等式法求最值】【题型 6 多次使用基本不等式求最值】【题型 7 实际应用中的最值问题】【题型 8 与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧

2、性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点 1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知 x+y=t(t 为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构

3、造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利2用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点 2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型 1 直接法求最值】1(2023 上北京高一校考阶段练习)已知 a 0，则 a+1a+1 的最小值为()A.2B.3C.4D.5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为 a 0，所

4、以 a+1a+1 2a 1a+1=3，当且仅当 a=1a 即 a=1 时取等号；故选：B.【变式训练】1(2023北京东城统考一模)已知 x 0，则 x-4+4x 的最小值为()A.-2B.0C.1D.2 2【解题思路】由基本不等式求得最小值【解答过程】x 0，x+4x-4 2x 4x-4=0，当且仅当 x=4x 即 x=2 时等号成立故选：B2(2023 上山东高一统考期中)函数 y=x2-x+9x(x 0)的最小值为()A.1B.3C.5D.9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2-x+9x=x+9x-1 2x 9x-1=5，当且仅当 x=9x，即 x=3 时等号成立

5、，故选：C.3(2023 下江西高三校联考阶段练习)3+1x21+4x2的最小值为()3A.9 3B.7+4 2C.8 3D.7+4 3【解题思路】依题意可得 3+1x21+4x2=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】3+1x21+4x2=7+1x2+12x2 7+21x2 12x2=7+4 3，当且仅当 1x2=12x2，即 x4=112 时，等号成立，故 3+1x21+4x2的最小值为 7+4 3.故选：D.【题型 2 配凑法求最值】1(2023浙江校联考模拟预测)已知 a 1，则 a+16a-1 的最小值为()A.8B.9C.10D.11【解题思路】运用基本不等式

6、的性质进行求解即可.【解答过程】因为 a 1，所以由 a+16a-1=a-1+16a-1+1 2a-116a-1+1=9，当且仅当 a-1=16a-1 时取等号，即 a=5 时取等号，故选：B.【变式训练】1(2023 上吉林高一校考阶段练习)已知 x 3，则 y=2x-3+2x 的最小值是()A.6B.8C.10D.12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由 x-3 0，则 y=2x-3+2(x-3)+6 22x-3 2(x-3)+6=10，当且仅当 x=4 时等号成立，故最小值为 10.故选：C.2(2023 上海南省直辖县级单位高三校联考阶段练习)设 x 2

7、，则函数 y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为 x 2，所以 x-2 0，所以 y=4x-1+4x-2=4 x-2+4x-2+7 24 x-24x-2+7=15，4当且仅当 4 x-2=4x-2，即 x=3 时等号成立，所以函数 y=4x-1+4x-2 的最小值为 15，故选:D3(2023 上辽宁高一校联考期中)若 x 0，y 0 且满足 x+y=xy，则2xx-1+4yy-1 的最小值为()A.6+2 6B.4+6 2C.2+4 6D.6+4 2【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若

8、 x 0，y 0 且满足 x+y=xy，则有 1x+1y=1，所以 x 1，y 1，2xx-1+4yy-1=2 x-1+2x-1+4 y-1+4y-1=6+2x-1+4y-1 6+22x-1 4y-1=6+28xy-x+y+1=6+4 2，当且仅当2x-1=4y-1，即 x=1+22,y=1+2 时等号成立.所以2xx-1+4yy-1 的最小值为 6+4 2.故选：D.【题型 3 常数代换法求最值】1(2023 上内蒙古通辽高三校考阶段练习)已知 a 0，b 0，若 2a+3b=1，则 2a+b3 的最小值是()A.8B.9C.10D.11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答

9、过程】由题意得 a 0，b 0，2a+3b=1，所以 2a+b3=2a+b32a+3b=4+1+2b3a+6ab 5+22b3a 6ab=9，当且仅当 2b3a=6ab 时，即 a=3，b=9，取等号，故 B 项正确.故选：B.【变式训练】1(2023河南校联考模拟预测)已知正实数 a，b，点 M 1,4在直线 xa+yb=1 上，则 a+b 的最小值为()5A.4B.6C.9D.12【解题思路】根据题意可得 1a+4b=1，结合基本不等式运算求解.【解答过程】由题意得 1a+4b=1，且 a 0,b 0，故 a+b=a+b1a+4b=5+ba+4ab 5+2ba 4ab=9，当且仅当 ba=

10、4ab，即 a=3，b=6 时，等号成立.故选：C.2(2023 上重庆高一统考期末)若正实数 x，y 满足 2x+8y-xy=0，则2x+y 的最大值为()A.25B.16C.37D.19【解题思路】根据等式计算得出 1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】x 0,y 0,2x+8y-xy=0,2y+8x=1,x+y=x+y2y+8x=2xy+8+2+8yx 22xy 8yx+10=18,2x+y 218=19.故选:D.3(2023重庆统考一模)已知 a，b 为非负实数，且 2a+b=1，则 2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解题思路】首先根

11、据题意求出 0 a 12，0 0则 b=1-2a 0，解得 0 a 12，2a=1-b 0，解得 0 1，可得 x2-3x+14x+1=t2-5t+18t=t+18t-5 2t 18t-5=6 2-5，当且仅当 t=18t 时，即 t=3 2 时，等号成立，所以 x+2y 的最小值为 6 2-5.故答案为：6 2-5.2(2023 上山东淄博高一校考阶段练习)已知正实数 a,b，且 2a+b+6=ab，则 a+2b 的最小值为13.【解题思路】根据基本不等式即可求解.7【解答过程】由 2a+b+6=ab 可得 a=b+6b-2 0，由于 b 0，所以 b 2，故 a+2b=b+6b-2+2b=

12、8b-2+2 b-2+5，由于 b 2，所以8b-2+2 b-2 2 16=8，当且仅当 b=4 时等号成立，故 a+2b=8b-2+2 b-2+5 13，故 a+2b 的最小值为 13，故答案为：13.3(2023上海崇明统考一模)已知正实数 a,b,c,d 满足 a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=22+1【解题思路】将(a-c)2+(b-d)2转化为 a,b与 c,d两点间距离的平方，进而转化为 a,b与圆心0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【解答过程】可将(a-c)2+(b-d)2转化为 a,b与 c,d两点间距

13、离的平方，由 a2-ab+1=0，得 b=a+1a，而 c2+d2=1 表示以 0,0为圆心，1 为半径的圆，c,d为圆上一点，则 a,b与圆心 0,0的距离为：a2+b2=a2+a+1a2=2a2+1a2+2 22a2 1a2+2=2 2+2，当且仅当 2a2=1a2，即 a=4 12 时等号成立，此时 a,b与圆心 0,0的距离最小，即 a,b与 c,d两点间距离的平方最小，即(a-c)2+(b-d)2取得最小值.当 a=4 12 时，ab=a2+1=22+1，故答案为：22+1.【题型 5 构造不等式法求最值】1(2023 下河南高三校联考阶段练习)已知 2a+b=ab(a 0,b 0)

14、，下列说法正确的是()A.ab 的最大值为 8B.1a-1+2b-2 的最小值为 2C.a+b 有最小值 3+2D.a2-2a+b2-4b 有最大值 4【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正二定三相等”，可知 ab 8，所以 A 错误；将原式化成 a-1b-2=2，即可得1a-1+2b-2=1a-1+a-1 2，即 B 正确；不等式变形可得 2b8+1a=1，利用基本不等式中“1”的妙用可知 a+b 3+2 2，C 错误；将式子配方可得 a2-2a+b2-4b=(a-1)2+(b-2)2-5，再利用基本不等式可得其有最小值-1，无最大值，D 错误.【解答过程】对于 A 选项，ab=2a

15、+b 2 2ab，即ab 2 2，故 ab 8，当且仅当 a=2,b=4 时等号成立，故 ab 的最小值为 8，A 错误；对于 B 选项，原式化为 a-1b-2=2,b=2aa-1 0，故 a-1 0；a=bb-2 0，故 b-2 0；所以1a-1+2b-2=1a-1+a-1 2，当且仅当 a=2,b=4 时等号成立，B 正确；对于 C 选项，原式化为 2b+1a=1，故 a+b=a+b2b+1a=2ab+1+2+ba 3+2 2，当且仅当 a=2+1,b=2+2 时等号成立，C 错误；对于 D 选项，a2-2a+b2-4b=(a-1)2+(b-2)2-5 2 a-1b-2-5=-1，当且仅当

16、 a=1+2,b=2+2 时等号成立，故有最小值-1，D 错误故选：B.【变式训练】1(2022 上山东青岛高一青岛二中校考期中)已知 x 0，y 0，且 x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy 的最小值是 1B.x+y 的最小值是 2C.x+4y 的最小值是 8D.x+2y 的最大值是 4 2-3【解题思路】利用基本不等式得 x+y+xy-3 (xy+3)(xy-1)、x+y+xy-3 (x+y)24+(x+y)-3 分别求 xy、x+y 的最值，注意取等条件；由题设有 x=3-yy+1 且 0 y 0，y 0，故 0 xy 1，仅当 x=y=1 时等号成立，所以 0 0，y

17、0，则 x+y 2，仅当 x=y=1 时等号成立，故 x+y 的最小值是 2，B 正确；由 x+y+xy-3=0，x 0，y 0，可得 x=3-yy+1，且 0 y 3，C 错误；同上，x+2y=3-yy+1+2y=2y2+y+3y+1=2(y+1)2-3(y+1)+4y+1=2(y+1)+4y+1-3 22(y+1)4y+1-3=4 2-3，当且仅当 y+1=2，即 y=2-1、x=2 2-1 时等号成立，故 x+2y 4 2-3，D 错误；故选：B.2(2023 上江苏高一专题练习)下列说法正确的是()A.若 x 2，则函数 y=x+1x-1 的最小值为 3B.若 x 0，y 0，3x+1

18、y=5，则 5x+4y 的最小值为 5C.若 x 0，y 0，x+y+xy=3，则 xy 的最小值为 1D.若 x 1，y 0，x+y=2，则1x-1+2y 的最小值为 3+2 2【解题思路】选项 A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项 B：由基本不等式进行判断即可，选项 C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项 D：对式子进行变形得到 1+yx-1+2 x-1y+2，再利用基本不等式进行判断即可【解答过程】解：选项 A：y=x+1x-1=x-1+1x-1+1 2x-11x-1+1=3，当且仅当x-12=1 时可以取等号，但题设条件中 x 2，故函数最小值取不到 3，故

19、 A 错误；选项 B：若 x 0，y 0，3x+1y=5，则 5x+4y=153x+1y5x+4y=15 19+5xy+12yx 15 19+25xy 12yx=19+4 155，当且仅当 5xy=12yx时不等式可取等号，故 B 错误；选项 C：3-xy=x+y 2 xy xy+2 xy-3 0 当且仅当 x=y 时取等号，令xy=t t 0，t2+2t-3 0，解得-3 t 1，即 0 0，b 0，a+b 0.11因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab 29b2a 2ab+132=6+132=252，当且仅当 9b2a=2ab，即 2a=3b 时等号成立.所以，a+b292a+

20、2ba+b 252，当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即 a=3 22b=2时，两个等号同时成立.所以，a+b 3 22+2=5 22.故选：D.【变式训练】1(2023山东菏泽统考一模)设实数 x,y 满足 x+y=1，y 0，x 0，则 1x+2 xy的最小值为()A.2 2-1B.2 2+1C.2-1D.2+1【解题思路】分为 x 0 与 x 0 时，1x+2 xy=x+yx+2xy=yx+2xy+1 2yx 2xy+1=2 2+1，当且仅当 yx=2xy，即 x=2-1，y=2-2 时等号成立，此时有最小值 2 2+1；当 x 0，满足 xy+zx=2，则当 4y+1z 取得最小

21、值时，y+z 的值为()A.1B.32C.2D.52【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数 x,y,z 0，满足 xy+zx=2，12所以 xy+zx=2 2xy zx=2 yz yz 1，当且仅当 z=yx2时，yz=1，所以 4y+1z 24y 1z=24yz 241=4，当且仅当 4y=1z 且 yz=1 时，等号成立；所以当 yz=1 且 4y=1z 时，4y+1z 取得最小值 4，此时解得y=2z=12 y+z=52，故选：D.3(2023 上辽宁大连高一期末)若 a 0,b 0,a+b=1，则 a2+3aba+2b+2b+1

22、-1b 的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-2 2【解题思路】由已知可得 a2+3aba+2b+1b+1=3-2b-1b+1，进而有 a2+3aba+2b+2b+1-1b=3-2b-1b，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【解答过程】由题设，a2+3aba+2b+1b+1=a(a+3b)+1b+1=a(2b+1)+1b+1，而 a=1-b 0，b 0，所以 a(2b+1)+1b+1=2+b-2b2b+1=1+1-2b2b+1=1+2(1-b2)-1b+1=3-2b-1b+1，所以 a2+3aba+2b+2b+1-1b=3-2b-1b 且 0 b 0，0 x 20.(2)y=84

23、00 x2+420 400-x2+160 4 12 400-x24x2=8000 x2+3200000 x2+152000，0 x 0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a 的取值范围.【解题思路】(1)根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.14【解答过程】(1)设甲工程队的总造价为 y 元，则y=150 2 x+16x 3+400 16+800=900 x+16x+7200 900 2x 16x+7200=14400当且仅当 x=16x 时，即 x=4

24、 时等号成立.即当宽为 4m 时，甲工程队的报价最低，最低为 14400 元.(2)由题意可得 900 x+16x+7200 900a x+2x.对 x 2,6恒成立.即 a x2+8x+16x+12令 y=x2+8x+16x+2=x+2+4x+2+4 2 x 6,4 x+2 8.令 t=x+2,t 4,8，则 y=t+4t+4 在 4,8上单调递增.且 t=4 时，ymin=9.0 a 4800t(x+1)x,对任意 x 1,5 都成立，进而转化 t 4800t(x+1)x，对任意 x 1,5 都成立,即 t 10 x2-13x+18420(x+1)对任意 x 1,5 恒成立，令 k=x+1

25、,则 x=k-1,k 2,6，则 t 10(k-1)2-13(k-1)+18420k=10k2-33k+20720k=k2+20720k-3320，而 k2+20720k 2k2 20720k=20710，当且仅当 k=20710 2,6 取等号，故 0 t 20710-3320，即存在实数 0 t 036000 x-20 0所以 x 50,1800.即 y=x-5036000 x-20,x 50,1800.(2)由(1)知 y=x-5036000 x-20,x 50,1800，则 y=x-5036000 x-20=37000-20 x+1800000 x,x 50,180020 x+1800

26、000 x 220 x 1800000 x=12000，当且仅当 x=300 时取等号，则 y=37000-20 x+1800000 x 25000，当且仅当 x=300 时取等号，即 CD=300cm,AD=36000300=120cm 时，可使用宣传栏总面积最大为 25000cm2.【题型 8 与其他知识交汇的最值问题】1(2023 上安徽高三校联考阶段练习)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 c+bcos2A=2acosAcosB A B.(1)求 A；(2)若角 A 的平分线交 BC 于 D 点，且 AD=1，求 ABC 面积的最小值.【解题思路】(1)由已

27、知结合正弦定理边化角即可求解;(2)表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【解答过程】(1)由已知和正弦定理可得：sinC+sinBcos2A=2sinAcosAcosB，所以 sinC=sin2AcosB-sinBcos2A=sin(2A-B)0.又因为 C (0,)，2A-B (0,)，所以 C=2A-B 或者 C+2A-B=.当 C=2A-B 时，A+B+2A-B=，A=3；当 C+2A-B=时，A=2B 与题设 A B 不符.综上所述，A=3.(2)ABC 面积 S=12 bcsin 3=34 bc，由 AD 是角平分线，BAD=CAD=6，因为 SABC=SABD+SADC，得 1

28、2 bcsin 3=12 bsin 6+12 csin 6，即 b+c=3bc，由基本不等式3bc 2 bc，bc 43，17当且仅当 b=c=233 时等号成立.所以面积 S=34 bc 34 43=33.故 ABC 面积的最小值33.【变式训练】1(2023 上安徽铜陵高二校联考期中)已知圆 C 的圆心在坐标原点，面积为 9(1)求圆 C 的方程；(2)若直线 l，l 都经过点(0,2)，且 l l，直线 l 交圆 C 于 M，N 两点，直线 l 交圆 C 于 P，Q 两点，求四边形 PMQN 面积的最大值【解题思路】(1)根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；(2)根据几何法求出弦长

29、，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【解答过程】(1)由题可知圆 C 的圆心为 C(0,0)，半径 r=3所以圆 C 的方程为 x2+y2=9(2)当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 y=kx+2，圆心到直线 l 的距离为 d，则 d=2k2+1，|MN|=2 32-d2=29-4k2+1，同理可得|PQ|=29-41k2+1=29-4k2k2+1，则 SPMQN=12|MN|PQ|=12 29-4k2+1 29-4k2k2+1=29-4k2+19-4k2k2+1 9-4k2+1+9-4k2k2+1=14，当且仅当 9-4k2+1=9-4k2k2+1，即

30、 k2=1 时等号成立当直线 l 的斜率不存在时，|MN|=6，|PQ|=2 32-22=2 5，此时 SPMQN=12|MN|PQ|=12 6 2 5=6 5当直线 l 的斜率为 0 时，根据对称性可得 SPMQN=6 5综上所述，四边形 PMQN 面积的最大值为 142(2023 上江苏盐城高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数 f x满足f f x+12x+1-lnx=23 恒成立(1)设 f x+12x+1-lnx=k，求实数 k 的值；18(2)解不等式 f 7+2x-2x2x+1+ln-ex；(3)设 g x=f x-lnx，若 g x mg 2x对于任意的 x 1,2恒成立，

31、求实数 m 的取值范围【解题思路】(1)由题意列方程求解；(2)由函数的单调性转化后求解；(3)参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.【解答过程】(1)由题意得 f x=lnx-12x+1+k，f k=lnk-12k+1+k，由于 y=lnk-12k+1+k 在 k 0,+上单调递增，观察 lnk-12k+1+k=23，可得 k=1；(2)由于 f x在定义域内单调，所以 f x+12x+1-lnx 为常数，由(1)得 f x=lnx-12x+1+1，f x在 x 0,+上单调递增，f-x=ln-x-12-x+1+1=ln-ex-2x2x+1，故原不等式可化为 f 7+2x-2

32、x2x+1+ln-ex=f-x，由2x+7 0-x 07+2x-x，解得-73 x 0，g x mg 2x可化为 m 2x2x+1 4x+14x=4x+14x+2x=1+-2x+14x+2x对于任意的 x 1,2恒成立，设 t=-2x+1 -3,-1，则-2x+14x+2x=t1-t2+1-t=1t+2t-3，t -3,-1，由基本不等式得 t+2t=-t+2-t-2 2，当且仅当-t=2-t 即 t=-2 时等号成立，故当 t=-2 时1t+2t-3min=2 2-3，故 m 2 2-2，当且仅当 x=log22+1等号成立.实数 m 的取值范围为-,2 2-2.3(2023 下湖南长沙高三

33、长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 是长方形 A1B1C1D1内一点，APC 是二面角 A-PD1-C 的平面角.19(1)证明：点 P 在 A1C1上；(2)若 AB=BC，求直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦的最大值.【解题思路】(1)由二面角定义知 AP PD1,CP PD1，利用线面垂直的判定及性质可证 PD1 面APC、PD1 面 ACC1A1，结合面 APC 与面 ACC1A1有交线，确定它们同平面，进而证结论；(2)构建空间直角坐标系，令 P 12,12,k且 k 0，C(1,1,0)，D(0,1,0)，求直线方向向量、平面法向量，应

34、用空间向量夹角坐标表示、基本不等式求线面角正弦值的最大值，注意取值条件.【解答过程】(1)由 APC 是二面角 A-PD1-C 的平面角，则 AP PD1,CP PD1，又 AP CP=P，AP,CP 面 APC，则 PD1 面 APC，又 AC 面 APC，即 PD1 AC，由长方体性质知 A1C1 AC，故 PD1 A1C1，由长方体性质：AA1 面 A1B1C1D1，又 PD1 面 A1B1C1D1，则 PD1 AA1，又 A1C1 AA1=A1，A1C1,AA1 面 ACC1A1，故 PD1 面 ACC1A1，而面 APC 面 ACC1A1=AC，且 PD1 面 APC、PD1 面 A

35、CC1A1，根据过 AC 作与 PD1垂直的平面有且仅有一个，所以面 APC 与面 ACC1A1为同一平面，又 P 面 A1B1C1D1，面 ACC1A1 面 A1B1C1D1=A1C1，所以点 P 在 A1C1上；(2)构建如下图示的空间直角坐标系 A-xyz，令 AB=BC=1，AA1=k，20由题设，长方体上下底面都为正方形，由(1)知 PD1 A1C1，则 P 为 A1C1中点，所以 P 12,12,k且 k 0，C(1,1,0)，D(0,1,0)，则 AP=12,12,k，PC=12,12,-k，PD=-12,12,-k，若 m=(x,y,z)是面 PCD 的一个法向量，则m PC=

36、12 x+12 y-kz=0m PD=-12 x+12 y-kz=0，令 y=2，则 m=0,2,1k，所以|cosAP,m|=|AP m|AP|m|=212+k2 4+1k2=23+4k2+12k223+2 2=2(2-1)，仅当 k=4 22 时等号成立，故直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦的最大值为 2(2-1).直击真题1(2022全国统考高考真题)若 x，y 满足 x2+y2-xy=1，则()A.x+y 1B.x+y-2C.x2+y2 2D.x2+y2 1【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假【解答过程】因为 ab a+b22 a2+b22(a,b R)，由

37、x2+y2-xy=1 可变形为，x+y2-1=3xy 3 x+y22，解得-2 x+y 2，当且仅当 x=y=-1 时，x+y=-2，当且仅当 x=y=1 时，x+y=2，所以 A 错误，B 正确；由 x2+y2-xy=1 可变形为 x2+y2-1=xy x2+y22，解得 x2+y2 2，当且仅当 x=y=1 时取等号，所以 C 正确；因为 x2+y2-xy=1 变形可得 x-y22+34 y2=1，设 x-y2=cos,32 y=sin，所以 x=cos+2113 sin,y=23 sin，因此 x2+y2=cos2+53 sin2+23 sincos=1+13 sin2-13 cos2+

38、13=43+23 sin 2-623,2，所以当 x=33,y=-33 时满足等式，但是 x2+y2 1 不成立，所以D 错误故选：BC2(2020山东统考高考真题)已知 a 0，b 0，且 a+b=1，则()A.a2+b2 12B.2a-b 12C.log2a+log2b-2D.a+b 2【解题思路】根据 a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【解答过程】对于 A，a2+b2=a2+1-a2=2a2-2a+1=2 a-122+12 12，当且仅当 a=b=12 时，等号成立，故 A 正确；对于 B，a-b=2a-1-1，所以 2a-b 2-1=12，故 B 正确；对于 C，log

39、2a+log2b=log2ab log2 a+b22=log2 14=-2，当且仅当 a=b=12 时，等号成立，故 C 不正确；对于 D，因为a+b2=1+2 ab 1+a+b=2，所以a+b 2，当且仅当 a=b=12 时，等号成立，故 D 正确；故选：ABD.3(2020全国统考高考真题)设 O 为坐标原点，直线 x=a 与双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【解题思路】因为 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)，可得双曲线的渐近线方程是 y=ba

40、 x，与直线 x=a 联立方程求得 D，E 两点坐标，即可求得|ED|，根据 ODE 的面积为 8，可得 ab 值，根据 2c=2 a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.【解答过程】C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)双曲线的渐近线方程是 y=ba x 直线 x=a 与双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于 D，E 两点22不妨设 D 为在第一象限，E 在第四象限联立x=ay=ba x，解得 x=ay=b故 D(a,b)联立x=ay=-ba x，解得 x=ay=-b故 E(a,-b)|ED|=2b ODE 面积为：SODE=12 a 2b=ab=8

41、 双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)其焦距为 2c=2 a2+b2 2 2ab=2 16=8当且仅当 a=b=2 2 取等号 C 的焦距的最小值：8故选：B.4(2021天津统考高考真题)若 a 0,b 0，则 1a+ab2+b 的最小值为2 2【解题思路】两次利用基本不等式即可求出.【解答过程】a 0,b 0，1a+ab2+b 21a ab2+b=2b+b 22b b=2 2，当且仅当 1a=ab2 且 2b=b，即 a=b=2 时等号成立，所以 1a+ab2+b 的最小值为 2 2.故答案为：2 2.5(2020天津统考高考真题)已知 a 0,b 0，且 ab=1，则 1

42、2a+12b+8a+b 的最小值为4【解题思路】根据已知条件，将所求的式子化为 a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.【解答过程】a 0,b 0,a+b 0，ab=1,12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b 2a+b28a+b=4，当且仅当 a+b=4 时取等号，结合 ab=1,解得 a=2-3,b=2+3，或 a=2+3,b=2-3 时，等号成立.故答案为：4.236(2020江苏统考高考真题)已知 5x2y2+y4=1(x,y R)，则 x2+y2的最小值是45【解题思路】根据题设条件可得 x2=1-y45y2，可得 x2+y2=1-y45y2+y

43、2=15y2+4y25，利用基本不等式即可求解.【解答过程】5x2y2+y4=1 y 0 且 x2=1-y45y2 x2+y2=1-y45y2+y2=15y2+4y25 215y2 4y25=45，当且仅当15y2=4y25，即 x2=310,y2=12 时取等号.x2+y2的最小值为 45.故答案为：45.7(2019天津高考真题)设 x 0,y 0,x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为4 3【解题思路】把分子展开化为 2xy+6，再利用基本不等式求最值【解答过程】(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy,x 0,y 0,x+2y=5,xy 0,2xy+6xy 2 2 3xyxy=4 3，当且仅当 xy=3，即 x=3,y=1 时成立，故所求的最小值为 4 38(2017江苏高考真题)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是30【解题思路】得到总费用为 4x+600 x 6=4 x+900 x，再利用基本不等式求最值【解答过程】总费用为 4x+600 x 6=4 x+900 x 4 2 900=240，当且仅当 x=900 x，即 x=30 时等号成立故答案为 30.