2023版高考数学一轮总复习 专题检测 3.docx

1、3.1导数与积分一、选择题1.(2022届安徽八校联考,4)设函数f(x)的导函数为f(x).若f(x)=exsinx,则f(0)=()A.1B.0C.-1D.2答案Af(x)=exsinx+excosx,所以f(0)=e0sin0+e0cos0=1,故选A.2.(2022届山西忻州月考,8)已知函数f(x)=x3-f(1)x2+2的导数为f(x),则f(1)等于()A.-1B.0C.1D.2答案C由已知得f(x)=3x2-2f(1)x,所以f(1)=3-2f(1),解得f(1)=1.故选C.3.(2022届山西朔州月考,5)已知函数f(x)=x(2020+lnx),若f(x0)=2021,则

2、x0等于()A.ln2B.1C.eD.e2答案Bf(x)=2020+lnx+1=2021+lnx,则f(1)=2021,x0=1.故选B.4.(2022届重庆南开中学质检一,4)若曲线y=lnxx-ax2(aR)在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行,则a=()A.-12B.-14C.12D.2答案A由于y=1-lnxx2-2ax,则y|x=1=1-ln112-2a=1-2a,由已知可得1-2a=2,解得a=-12,故选A.5.(2022届华大新高考联盟联考,5)已知f(x)=ax+a+cosx(aR),则曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为()A.x-y+2=0B.x+y-2=0

3、C.2x-y+2=0D.2x+y-2=0答案A因为点(0,2)在曲线上,所以f(0)=a+cos0=2,于是a=1,所以f(x)=x+cosx+1,则f(x)=1-sinx,则f(0)=1,故所求切线方程为y-2=x-0,即x-y+2=0.6.(2022届山东滕州一中期中,8)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=lnx+1,则曲线f(x)与g(x)的公切线条数为()A.0B.1C.2D.3答案C设直线l与曲线f(x)=ex-1相切于点(m,em-1),与曲线g(x)=lnx+1相切于点(n,lnn+1),对f(x)=ex-1求导得,f(x)=ex,则k1=em,则直线l的方

4、程为y+1-em=em(x-m),即y=emx+em(1-m)-1.对g(x)=lnx+1求导得,g(x)=1x,则k2=1n,则直线l的方程为y-(lnn+1)=1n(x-n),即y=1nx+lnn.由直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线,得em=1n,(1-m)em=lnn+1,可得(1-m)(em-1)=0,即m=0或m=1.则切线方程为y=ex-1或y=x,公切线有两条.故选C.二、填空题7.(2022届河南名校阶段测试,13)已知函数f(x)=x3-2x2+x,则曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为.答案5x-y-8=0解析由f(x)=x3-2x2+x得f(x)=3x2

5、-4x+1,f(2)=322-42+1=5,又f(2)=23-222+2=2,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-2=5(x-2),即5x-y-8=0.8.(2022届江西名校调研,16)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析由y=x+lnx得y=1+1x,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=y|x=1=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.将y=2x-1代入y=ax2+(a+2)x+1,消去y,得ax2+ax+2=0,由题意得a0且=a2-8a=0,解得a=8.三、解答题9.(2022届北京十

6、五中10月月考,19)已知函数f(x)=2x+alnx,aR.(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线垂直于直线y=x+2,求a的值;(2)求函数f(x)在区间(0,e上的最小值.解析(1)曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线垂直于直线y=x+2,曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线斜率为-1.函数f(x)的导数为f(x)=-2x2+ax,f(1)=-212+a1=-1,a=1.(2)f(x)=-2x2+ax=ax-2x2,x(0,e,当a=0时,f(x)=-2x20,函数f(x)在区间(0,e上单调递减,则函数f(x)在区间(0,e上的最小值为f(e)=2e.当a

7、0时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,e上单调递减,则函数f(x)在区间(0,e上的最小值为f(e)=2e+a.当02a2e时,在区间0,2a上f(x)0,所以函数f(x)在区间0,2a上单调递减,在区间2a,e上单调递增,函数f(x)在区间(0,e上的最小值为f2a=a+aln2a.当2ae,即02e时,函数f(x)在区间(0,e上的最小值为a+aln2a.10.(2022届北京顺义一中期中,20)已知函数f(x)=2x3+3ax2+1(aR).(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)求f(x)在区间0,2上的最小值.解析(1

8、)当a=0时,f(x)=2x3+1(xR),f(x)=6x2,所以f(1)=6,f(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.(2)f(x)=6x2+6ax=6x(x+a),当a=0时,f(x)=6x20,则f(x)在(-,+)上单调递增.当a0时,由f(x)=6x(x+a)0得x0,所以f(x)的单调增区间是(-,-a)和(0,+);由f(x)=6x(x+a)0得-ax0,所以f(x)的单调减区间是(-a,0).当a0得x-a或x0,所以f(x)的单调增区间是(-,0)和(-a,+);由f(x)=6x(x+a)0,得0x0时,f(

9、x)的单调增区间是(-,-a)和(0,+),单调减区间是(-a,0);当a0时,f(x)的单调增区间是(-,0)和(-a,+), 单调减区间是(0,-a).(3)由(2)可知,当a0时,f(x)在0,2上单调递增,所以f(x)的最小值为f(0)=1;当0-a2,即-2a0时,f(x)在0,-a)上单调递减,在(-a,2上单调递增,所以f(x)的最小值为f(-a)=a3+1;当-a2,即a-2时,f(x)在0,2上单调递减,所以f(x)的最小值为f(2)=17+12a.综上所述,当a0时,f(x)的最小值为1;当-2a0时,f(x)的最小值为a3+1;当a-2时,f(x)的最小值为17+12a.