2023年高考真题——数学（新高考II卷）（PDF版附解析）.pdf

1、2023 新高考 2 卷很难？一份您值得拥有的逐题详细解析！123456789101112ABDBCCDCACACBCDABD131415163282，2，12，12 中选一个即可；32(逐题详解)1在复平面内 1+3i3 i对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【参考解析】z=1+3i3 i=3 i+9i 3i2=6+8i，故在第一象限，故选 A；2设集合 A=0,a，B=1,a 2,2a 2，若 A B，则 a=A 2B 1C 23D 1【参考解析 1】直接验证选项，观察 BD，因此先验证 a=1，此时 A=0,1，B=1,1,0，满足，故直接选 B；【参考解析 2】依题有

2、a 2=0 或 2a 2=0；当 a 2=0 时，解得 a=2，此时 A=0,2，B=1,0,2，不满足；当 2a 2=0 时，解得 a=1，后面同解析 1；3某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 和 200 名学生，则不同的抽样结果共有()种A C45400C15200B C20400C40200C C30400C30200D C40400C20200【参考解析】由分层抽样已知初中部抽 40 人，高中部抽 20 人，所以为 C40400C20200，故选 D；4若 f x=x+

3、aln 2x 12x+1 为偶函数，则 a=A 1B 0C 12D 1【参考解析】由九大奇函数易知 y=ln 2x 12x+1 为奇函数，所以 y=x+a 也要为奇函数，故 a=0，故选 B；5已知椭圆 C：x23+y2=1 的左右焦点分别为 F1，F2，直线 y=x+m 与 C 交于 A，B 两点，若 F1AB 的面积是 F2AB 的 2 倍，则 m=1A 23B23C 23D 232+m2=2 2+m2，解得 m=23 或 m=3 2(舍)，故选 C；【参考解析】依题有6已知函数 f x=aex lnx 在区间 1,2上单调递增，则 a 的最小值为A e2B eC e1D e2【参考解析】

4、f x=aex 1x 0 在 1,2上恒成立，即 0 0的焦点且与 C 交于M，N 两点，l 为 C 的准线，则A p=2B MN=83C以 MN 为直径的圆与 l 相切D OMN 为等腰三角形【参考解析】易知焦点为 1,0，所以 p2=1 p=2，故 A 对；由抛物线常见结论知 MN=4sin2 23=163，故 B 错；(下面增加联立的常规过程)；联立 y=3 x 1y2=4x 3x2 10 x+3=0，所以 M13,2 33，N 3,2 3，所以 MN=163，故 B 错；同样由抛物线常见结论知 C 对；由前面知 OM=133，ON=21，MN=163，故 D 错；综上，选 AC考后分析

5、 C：圆心为 M53,2 33，r=MN2=83=53+1，故 C 对；311若函数 f x=alnx+bx+cx2 a 0既有极大值也有极小值，则A bc 0B ab 0C b2+8ac 0D ac 0，易知 f x=ax2 bx 2cx3，令 ax2 bx 2c=0，则题目等价于有两个不相等的正解 x1，x2，故 0 x1+x2 0 x1x2 0b2+8ac 0ba 0 2ca 0b2+8ac 0ab 0ac 0bc 0，故选 BCD12在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立。发送 0 时，收到 1 的概率为 0 1，收到 0 的概率为 1 ；发送 1 时，收到 0 的概率为 0

6、1，收到 1 的概率为 1 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送 1 次：三次传输是指每个信号重复发送 3 次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1)A采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的概率为 1 1 2B采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为 1 2C采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为 1 2+1 3D当 0 0，故 D 对；综上，选 ABD；413已知向量 a，b 满足

7、a b=3，a+b=2a b，则 b=_【参考解析】因为 a+b=2a b，所以 a2+2a b+b2=4a2 4a b+b2 a2 2a b=0，又因为 a b=3 a2 2a b+b2=3 b2=3 b=314底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 _【参考解析】由相似易知剩下的棱台的高为 3，所以 V棱台=13 S上+S下+S上S下h=13 4+16+4 16 3=28；【参考解析 2】由相似易知剩下的棱台的高为 3，所以 V棱台=13 42 6 13 22 3=28；15已知直线 x my+1=0 与圆 C：x

8、 12+y2=4 交于 A，B 两点，写出满足“ABC 的面积为 85”的 m 的一个值 _【参考解析】S=12 r2sinACB=85 sinACB=45，所以 cosACB=35，由余弦定理得 AB=r2+r2 2r2cosACB，所以 AB=8 55或 AB=4 55，套弦长公式得 d=2 55或 d=4 55，套心线距得21+m2=2 55 m=2 或21+m2=4 55 m=12，故填 2，2，12，12 中的一个即可16已知函数 f x=sin x+，如图 A，B 是直线 y=12 与曲线 y=f x的两个交点，若AB=6，则 f=_【参考解析】由按图索骥法易知 xA+=6+2k，

9、；xB+=56+2k，；两式相减得 xB xA=46 6=46 =4，所以 f x=sin 4x+，将23,0代入得 4 23+=2k =2k 83，所以 f x=sin 4x+2k 83=sin 4x 235所以 f=sin 4 23=sin 23=32 17记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ABC 面积为3，D 为 BC 中点，且 AD=1(1)若 ADC=3，求 tanB；(2)若 b2+c2=8，求 b，c【参考解析】(1)如图，过 A 点作 AH BC 交 BC 于点 H，则 AH=ADsin 3=32，DH=ADcos 3=12，由题易知 SABC=1

10、2 BC AH=3 BC=2 3AH=4，所以 tanB=AHBH=AHBD+DH=35；(思路 2：后面也可以用余弦定理算 AB，再用余弦定理算，只是没解析 1 简洁)(2)由中点与向量易知 2AD=AB+AC，所以 4AD 2=AB 2+AC 2+2AB AC，即 4=b2+c2+2bccosA，由余弦定理得 4=b2+c2+b2+c2 a2 a=2 3，由面积公式得 SABC=12 bcsinA=3 sinA=2 3bc，而 cosA=b2+c2 a22bc=2bc，因为 sin2A+cos2A=1 2 3bc2+2bc2=1 bc=4，与 b2+c2=8 联立解得 b=c=218已知

11、an为等差数列，bn=an 6,n 为奇数2an,n 为偶数，记 Sn，Tn为 an，bn的前 n 项和，S4=32，T3=16(1)求 an的通项公式；(2)证明：当 n 5 时，Tn Sn【参考解析】(1)设 an的首项为 a1，公差为 d，6因为 S4=32，所以 4a1+4 32d=32 2a1+3d=16，又因为 T3=16，所以 b1+b2+b3=16 a1 6+2a2+a3 6=16 4a2=28 a2=7=a1+d，联立解得 a1=5d=2，所以 an=a1+n 1d=2n+3，n N(2)由(1)知 Sn=a1+ann2=n2+4n(或用 Sn=na1+n n 12d=n2+

12、4n)当 n 为奇数时，Tn=b1+b3+bn+b2+b4+bn1=a1+a3+an 6 n+12+2 a2+a4+an1=2Sn a1+a3+an 3 n+1=2Sna1+ann+122 3 n+1，所以 Tn Sn=n2 3n 102=n+2n 52，因为 n 5，所以 Tn Sn 0(或类比二次函数性质知 Tn Sn=n2 3n 102 52 3 5 102=0)故 n 为奇数时成立；当 n 为偶数时，Tn Sn=Tn1 Sn1+bn an=n 12 3 n 1 102+2an an=n n 12 0，综上，当 n 5 时，Tn Sn19(12 分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者

13、与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p c；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q c假设数据在组内均匀分布以事件发生的频率作为相应事件发生的概率(1)当漏诊率 p c=0.5%时，求临界值 c 和误诊率 q c；(2)设函数 f c=p c+q c，当 c 95,105时，求 f c的解析式，并求 f c在区间 95,105的最小值，7【参考解析】(1)因为

14、0.002 5=0.01 0.5%，故 c 95,100，由比例得 c=0.002 5 c 95100 c=0.5%c=97.5；q c=0.010 5 100 97.5100 95+0.002 5=0.035；所以临界值 c=97.5，误诊率 q c=0.035.(2)当 c 95,100时，p c=0.002 5 c 95100 95=0.002 c 95，q c=0.010 5 100 c100 95+0.002 5=0.01 101 c；所以 f c=p c+q c=0.82 0.008c 0.82 0.008 100=0.02；当 c 100,105时，p c=0.002 5+0.0

15、12 5 c 100105 100=0.01+0.012 c 100，q c=0.002 5 105 c105 100=0.002 105 c，所以 f c=p c+q c=0.01c 0.98 0.01 100 0.98=0.02；综上，所以 f c的解析式为 f c=0.82 0.008c,95 c 1000.01c 0.98,100 c 105，f c在区间 95,105的最小值 0.0220如图，三棱锥 A BCD 中，DA=DB=DC，BD CD，ADB=ADC=60，E 为BC 的中点(1)证明：BC DA；(2)点 F 满足 EF=DA，求二面角 D AB F 的正弦值【参考解析

16、】(1)如图，连接 AE，DE，因为 DB=DC，DA=DA，ADB=ADC，所以 ADC ADB，所以 AC=AB，又因为 E 为 BC 的中点，所以 BC AE，BC DE，8而 AE DE=E，AE，DE 平面 ADE，BC 平面 ADE，所以 BC 平面 ADE，又因为 AD 平面 ADE，所以 BC DA；(2)不妨设 DA=DB=DC=2，因为 ADB=ADC=60，所以 ADB 和 ADC 为等边三角形，所以 AC=AB=2，又因为 BD CD，所以 BC=DC2+DB2=2，所以 DE=AE=1，所以 DE 2+AE 2=AD2，故由勾股定理逆定理知 DE AE，故可建立如图所

17、示的空间直角坐标系所以 D 1,0,0，A 0,0,1，B 0,1,0，E 0,0,0，AB=0,1,1，因为 EF=DA=1,0,1，所以 F=1,0,1，所以 AF=1,0,0，设平面 DAB 的一个法向量 m=x1,y1,z1，则 m DA=0m AB=0 x1+z1=0y1 z1=0，令 x1=1 m=1,1,1，设平面 ABF 的一个法向量 n=x2,y2,z2，则 n AF=0n AB=0 x2=0y2 z2=0，令 y1=1 n=0,1,1，9所以 cos n,m=n mnm=23 2=63，设二面角 D AB F 的大小为，所以 sin=1 cos2 n,m=33 所以二面角

18、D AB F 的正弦值为33 21双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 2 5,0，离心率为5(1)求 C 的方程(2)记 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点 4,0的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，M 在第二象限，直线 MA1与 NA2交于 P，证明 P 在定直线上【参考解析】(1)因为左焦点为 2 5,0，离心率为5所以 c=2 5，e=ca=5 a=2 a2=4，所以 b2=c2 a2=16，所以 C 的方程为 x24 y216=1(2)显然斜率不为零，故可设直线 MN 方程为 x=my 4，联立x=my 4x24 x216=1消 x 得 4m2 1y2 32my+48=0

19、，设 M x1,y1，N x2,y2，则y1+y2=32m4m2 1y1y2=484m2 1，所以 my1y2=32 y1+y2，易知直线 MA1方程为 y=y1x1+2 x+2，直线 NA2方程为 y=y2x2 2 x 2，联立得 x+2x 2=y2y1 x1+2x2 2=y2 my1 2y1 my2 6=my1y2 2y2my1y2 6y1=32 y1+y2 2y232 y1+y2 6y1=13，即 x+2x 2=13 x=1，所以 P 在定直线上 x=1 上22(1)证明：当 0 x 1 时，x x2 sinx g 0=0，故 sinx x，右边得证；令 h x=x x2 sinx，则

20、h x=1 2x cosx，令 m x=1 2x cosx，则 m x=2+sinx 0，所以 m x在 0，1上单调递减，所以 h x=m x m 0=0，所以 h x在 0，1上单调递减，所以 h x m 0=0，故 x x2 sinx，左边得证；综上，当 0 x 1 时，x x2 sinx x(2)因为 f x=cosax ln 1 x2，定义域为 1 x 0 时，取 2a 与 1 的较小者为 m，则当 0 x 0，从而 f x 0，所以 f x在 0,m上单调递增，所以 f x f 0=2 a2，1 当 2 a2 0，0 f 0=0，所以 f x在 0,m上单调递增，由奇函数性质知 f x在 m,0上单调递减，故 x=0 是 f x的极小值点，不满足；2 当 2 a22 时，f x 0，所以 f x在 0,m上有唯一的零点 x1，所以当 0 x x1时，f x 0，当 x1 x 0，考虑到 f x为奇函数，所以 f x在 x1,0上单调递增，在 0,x1上单调递减，故 x=0 是 f x的极大值点，故满足；当 a 0，则 f x=tsin tx+2x1 x2=tsin tx+2x1 x2，由前文分析知 t 2，即 a 2；综上，a 的取值范围是 ,22,+11