2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（天津卷）数学试题（Word版附答案）.doc

1、2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟 (天津卷)数 学 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：如果事件与事件互斥，那么如果事件与事件相互独立，那么球的表面积公式，其中表示球

2、的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，则（）ABCD【解析】.因为，所以.故选：D2设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】由解得，设 由解得或,设或由,则“”是“”的充分不必要条件，故选： A3函数的图象大致为（）ABCD【解析】函数定义域是，函数为偶函数，排除AB，又时，排除D.故选：C4在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在之间的学生人数是（）A150B200C250D300【解析】由频率分布直方图，

3、所以得分在之间的频率为，人数为故选：B5已知，则、的大小关系为（）ABCD【解析】，由为上增函数，可知，即，故选：D6设P，A，B，C为球O表面上的四个点，两两垂直，且，三棱锥的体积为18，则球O的体积为（）.ABCD【解析】，是球表面上的四个点，两两垂直，则球的直径等于以，长为棱长的长方体的对角线长，因为，三棱锥的体积为18，所以，即，所以，所以，所以，故球的体积，故选：D7若，且，则（）ABCD【解析】因为，于是得，又因为，则有，即，因此，而，解得，所以.故选：D8已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则此双曲线的离心率为（）ABC2D【解析】由，由

4、双曲线的定义知，设，易得，化简得：，同时除以，则，求出或（舍去）.故选：C.9已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（）ABCD【解析】当时，则，等式两边平方得，整理得，所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，直线过定点，当直线过点时，则，可得；当直线与圆相切，且切点位于第四象限时，此时，解得由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点因此，实数取值范围是故选：B第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，

5、答对1个的给3分，全部答对的给5分10若为虚数单位，复数=_.【解析】设.11在的展开式中，x的系数是_（用数字作答）.【解析】的展开式的通项为：，当，即时，展开式x的系数为：.当显然不成立；故答案为：24012经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则的值为_.【解析】由已知条件得设直线的方程为，圆：的圆心为，半径为，由勾股定理得圆心到直线的距离为，即圆心为到直线的距离为，解得或.故答案为：或.13已知，则的最小值为_.【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为214甲乙两队参加普法知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概

6、率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响，则乙队至少得一分的概率为_，用表示甲队的总得分随机变量的数学期望为_.【解析】乙队得零分的概率为，所以乙队至少得一分的概率为， 由题意可得可能的取值为，所以，故答案为：；.15在菱形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，点M在线段EF上，且满足，则x=_；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为_.【解析】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图所示：则，由题知，且，设，则，由，则，解得，设，则，则三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分14分）在中，角A，B

7、，C所对的边分别为a，b，c.已知，的面积为.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【解析】(1)，由正弦定理得，又的面积为，解得，；(2)由余弦定理有，.由正弦定理.(3)B150，A90，由sinA得，.17（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，点为中点.(1)证明：若，直线平面；(2)求二面角的正弦值；(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.【解析】(1)如图所示，在线段上取一点，使，连接，又，四边形为平行四边形，又，所以平面平面，平面，平面；(2)如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角

8、坐标系，则，又是中点，则，所以，设平面的法向量，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，则二面角的正弦值为；(3)存在，或，假设存在点，设，即，由（2）得，且平面的法向量，则，则，解得或，故存在点，此时或.18（本小题满分15分）已知椭圆C：的焦距为，且过点(1)求椭圆C的方程；(2)设Q在椭圆C上，且与x轴平行，过P作两条直线分别交椭圆C于A，B两点，直线平分，且直线过点，求四边形的面积【解析】(1)因为椭圆C：的焦距为，所以，又椭圆经过点，所以，因为，解得，所以椭圆方程为：；(2)因为Q在椭圆C上，且与x轴平行，所以,因为直线过点，且斜率存在，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得，

9、设，则，因为与x轴平行，且直线平分，所以，即，整理得，将韦达定理代入化简得，解得，所以，则，所以四边形的面积是.19（本小题满分15分）已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若），求数列的前n项和；(3)若数列满足（且），且，证明.【解析】(1)设等比数列的公比为，前n项和为.由题意，得，即，解得，或（舍）.由，得，解得.(2)由（1）可得，.两式相减得，.(3)由（1）可得，即.，.以上各式相加得，.又，.当时，适合上式.故.20（本小题满分16分）设函数有两个极值点，且(1)求a的取值范围;(2)讨论的单调性；(3)证明:【解析】(1)，令，其对称轴为，由题意知是方程的两个均大于的不相等实根，所以，解得，所以a的取值范围为；(2)当时，所以在区间上为增函数；当时，所以在区间上为减函数；当时，所以在区间上为增函数；(3)证明：由（1）知，设，则，当时，所以在单调递增，所以，即