2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题01集合（Word版附解析）.docx

1、专题01集合知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：集合的含义与表示题型二：集合的基本关系题型三：集合的运算题型四：利用集合的运算求参数题型五：Venn图及其应用题型六：集合的新定义问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合

2、的并集、交集与补集.5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.【考点预测】1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作AB(或BA).(2)真子集：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).(3)相等：若

3、AB，且BA，则AB.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示集合表示x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA4.集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA.(2)AAA，AA，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A.【常用结论】1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个，非空子集有2n1个，非空真子集有2n2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.ABABAABBUAUB.4.U(AB)(UA)(UB)

4、，U(AB)(UA)(UB).【方法技巧】1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3.若BA，应分B和B两种情况讨论.4.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.5.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化

5、简的先化简，再研究其关系并进行运算.6.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.二、【题型归类】【题型一】集合的含义与表示【典例1】已知集合A(x，y)|x，yN*，yx，B(x，y)|xy8，则AB中元素的个数为()A2 B3 C4 D6【解析】AB(x，y)|xy8，x，yN*，yx(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，共4个元素故选C.【典例2】若集合Aa3,2a1，a24，且3A，则实数a_.【解析】当a33时，a0，此时A3，1，4，当2a13时，a1，此时

6、A4，3，3舍去，当a243时，a1，由可知a1舍去，则当a1时，A2,1，3，综上，a0或1.【典例3】已知集合A，则集合A中的元素个数为()A3 B4C5 D6【解析】Z，x2的取值有4，2，1,1,2,4，x的值分别为2,0,1,3,4,6，又xN，故x的值为0,1,3,4,6.故集合A中有5个元素故选C.【题型二】集合的基本关系【典例1】已知集合Ax|y，xR，Bx|xm2，mA，则()AAB BBACAB DBA【解析】由题意知Ax|y，xR，所以Ax|1x1所以Bx|xm2，mAx|0x1，所以BA，故选B.【典例2】已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件

7、ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】因为A1,2，B1,2,3,4，ACB，则集合C可以为：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4个故选D.【典例3】已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_【解析】因为BA，所以若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为(，3【题型三】集合的运算【典例1】(多选)已知集合P(x，y)|xy1，Q(x，y)|x2y21，则下列说法正确的是()APQRBPQ(1,0)，(0,1)CPQ(x，y)|x0或1，y0或1DPQ的真子集有3个【解析】联立解得或PQ(

8、1,0)，(0,1)，故B正确，C错误；又P，Q为点集，A错误；又PQ有两个元素，PQ有3个真子集，D正确故选BD.【典例2】集合M，N，则两集合M，N的关系为()AMN BMNCMN DNM【解析】由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n2k(kZ)，则xk1(kZ)，当n为奇数时，设n2k1(kZ)，则xk1(kZ)，NM，故选D.【典例3】已知集合Ax|x22x0，Bx|x2或x0，ABR.故选D.【题型四】利用集合的运算求参数【典例1】已知集合Ax|x22 019x2 0180，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_【解析】由x22 019x2 0180，解得1x2 018，故Ax|

9、1x2 018又Bx|xa，AB，如图所示，可得a2 018.【典例2】已知集合Ax|xa，Bx|x23x20，若ABB，则实数a的取值范围是()Aa2 Da2【解析】集合Bx|x23x20x|1x2，由ABB可得BA，作出数轴如图可知a2.【典例3】已知集合Ax|x23x100(1)若Bx|m1x2m1，BA，求实数m的取值范围；(2)若Bx|m6x2m1，AB，求实数m的取值范围；(3)若Bx|m6x2m1，AB，求实数m的取值范围【解析】由Ax|x23x100，得Ax|2x5，(1)若BA，则当B，有m12m1，即m2，此时满足BA；当B，有 解得2m3.由得，m的取值范围是(，3(2)

10、若AB，则必有 解得m，即不存在实数m使得AB.(3)若AB，则 解得3m4.m的取值范围为3，4【题型五】Venn图及其应用【典例1】设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：MPx|xM，且xP，则M(MP)等于()AP BMP CMP DM【解析】作出Venn图当MP时，由图知，MP为图中的阴影部分，则M(MP)显然是MP.当MP时，M(MP)MMx|xM，且xMMP.故选B.【典例2】已知集合A1，0，4，集合Bx|x22x30，xN，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是_【解析】Bx|x22x30，xNx|1x3，xN0，1，2，3，图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的

11、集合，该集合为1，4故填1，4【典例3】已知集合A1，0，1，2，Bx|x210，则右图中阴影部分所表示的集合为()A1 B0C1，0 D1，0，1【解析】阴影部分对应的集合为ARB，Bx|x210x|x1或x1，则RBx|1x1，则ARB0，故选B【题型六】集合的新定义问题【典例1】定义集合的商集运算为x|x，mA，nB已知集合A2，4，6，Bx|x1，kA，则集合B中的元素个数为()A6 B7 C8 D9【解析】由题意知，B0，1，2，0，1，则B0，1，2，共有7个元素，故选B【典例2】如果集合A满足若xA，则xA，那么就称集合A为“对称集合”已知集合A2x，0，x2x，且A是对称集合，

12、集合B是自然数集，则AB_【解析】由题意可知2xx2x，所以x0或x3.而当x0时不符合元素的互异性，所以舍去当x3时，A6，0，6，所以AB0，6【典例3】设A，B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB已知集合Ax|0x2，By|y0，则AB_【解析】由已知Ax|0x2，By|y0，又由新定义ABx|xAB且xAB，结合数轴得AB02，)答案：02，)三、【培优训练】【训练一】设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S1，2，3，4，5，6，7，8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个.【解析】符合题意的集合有1，2，

13、3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，共6个.【训练二】若集合A1，A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是_.【解析】不妨令A1，2，3，A1A2A，当A1时，A21，2，3，当A11时，A2可为2，3，1，2，3共2种，同理A12，3时，A2各有两种，当A11，2时，A2可为3，1，3，2，3，1，2，3共4种，同理A11，3，2，3时，A2各有4种，当A11，2，3时，A2可为A1的子集，共8种，故共有12343827种不

14、同的分拆.【训练三】对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有_人【解析】赞成A的人数为4024，赞成B的人数为24327，设对A，B都赞成的学生有x人，则x127xx24x40，解得x18.【训练四】已知集合Ax|x23(a1)x2(3a1)0，B.(1)当a2时，求AB；(2)求使BA时实数a的取值范围【解析】(1)当a2时，Ax|x29x140(2，7)，B(4，5)，AB(4，5)(2)当a1时，

15、B(2a，a21)；当a1时，B.又Ax|(x2)x(3a1)0，当3a12，即a2，即a时，A(2，3a1)，要使BA成立，只须满足 解得1a3.综上可知，使BA的实数a的取值范围为1，31【训练五】已知集合Ax,yx24+y22=1，B(x，y)|ykxm，kR，mR，若对任意实数k，AB，则实数m的取值范围是_【解析】由已知，无论k取何值，椭圆1和直线ykxm均有交点，故点(0，m)在椭圆1上或在其内部，m22，m.【训练六】(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论

16、建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MNQ，MN，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()A.Mx|x0，Nx|x0是一个戴德金分割B.M没有最大元素，N有一个最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M没有最大元素，N也没有最小元素【解析】对于A，因为Mx|x0，Nx|x0，MNx|x0Q，故A错误；对于B，设MxQ|x0，NxQ|x0，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元

17、素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足MNQ，MN，故C错误；对于D，设MxQ|x，NxQ|x，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.四、【强化测试】【单选题】1. 若集合AxN|(x3)(x2)6，则A中的元素个数为()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】AxN|x25x0xN|0x51，2，3，4.共4个元素.故选B.2. 已知集合Ax|1x1，Bx|0x2，则AB()A.x|0x1 B.x|1x2C.x|1x2 D.x|0x1【解析】由集合并集的定义可得ABx|1x2，故选B.3. 设集合A1，0，1，B1，3，5，C0，

18、2，4，则(AB)C()A.0 B.0，1，3，5C.0，1，2，4 D.0，2，3，4【解析】A1，0，1，B1，3，5，C0，2，4，AB1，(AB)C0，1，2，4.故选C.4. 已知集合A0，1，2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9【解析】由题意知，xy0，1，2，1，2.故B中元素个数为5，故选C.5. 设全集U为整数集，集合AxN|y，BxZ|1x3，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A3 B4 C7 D8【解析】AxN|yxN|7xx260xN|1x6，由题意知，图中阴影部分表示的集合为AB1，2，3，其真子集有：，1，2，3，1，2，1

19、，3，2，3，共7个故选C.6. 已知全集UxN|x25x60，集合AxN|2x2，B1,2,3,5，则(UA)B等于()A3,5 B2,3,5C2,3,4,5 D3,4,5【解析】由题意知，U0,1,2,3,4,5，A0,1,2，则(UA)B3,5故选A.7. 已知集合Ax|1x0，Bx|xa，若AB，则a的取值范围为()A(，0 B0，)C(，0) D(0，)【解析】用数轴表示集合A，B(如图)，由AB，得a0.故选B.8. 给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：集合A4，2，0，2，4为闭集合；集合An|n3k，kZ为闭集合；若集合A1

20、，A2为闭集合，则A1A2为闭集合其中正确结论的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】(4)(2)6A，不正确；设n1，n2A，n13k1，n23k2，k1，k2Z，则n1n2A，n1n2A，正确；令A1n|n5k，kZ，A2n|n2k，kZ，则A1，A2为闭集合，但A1A2不是闭集合，不正确故选B.【多选题】9. 已知集合Ax|1x3，集合Bx|x|2，则下列关系式正确的是()A.ABB.ABx|2x3C.ARBx|x1或x2D.ARBx|2x3【解析】Ax|1x3，Bx|x|2x|2x2，ABx|1x2，A错误；ABx|2x3，B正确；RBx|x2或x2，ARBx|x2或x1，C错误；A

21、RBx|2x3，D正确.故选BD.10. 已知全集UxN|log2x3，A1,2,3，U(AB)1,2,4,5,6,7，则集合B可能为()A2,3,4 B3,4,5C4,5,6 D3,5,6【解析】由log2x3得0x23，即0x8，于是得全集U1,2,3,4,5,6,7，因为U(AB)1,2,4,5,6,7，则有AB3,3B，C不正确；对于A选项，若B2,3,4，则AB2,3，U(AB)1,4,5,6,7，矛盾，A不正确；对于B选项，若B3,4,5，则AB3，U(AB)1,2,4,5,6,7，B正确；对于D选项，若B3,5,6，则AB3，U(AB)1,2,4,5,6,7，D正确11. 已知全

22、集U的两个非空真子集A，B满足(UA)BB，则下列关系一定正确的是()AAB BABBCABU D(UB)AA【解析】令U1,2,3,4，A2,3,4，B1,2，满足(UA)BB，但AB，ABB，故A，B均不正确；由(UA)BB，知UAB，UA(UA)(AB)，ABU，由UAB，知UBA，(UB)AA，故C，D均正确12. 若集合Ax|sin 2x1，B，则下列结论正确的是()A.ABB B.RBRAC.AB D.RARB【解析】Ax|sin 2x1，B，显然集合，所以AB，则ABB成立，所以A正确.RBRA成立，所以B正确，D错误.ABA，所以C错误.故选AB.【填空题】13. 若全集UR，

23、集合Ax|x2x20，Bx|log3(2x)1，则A(UB)_.【解析】集合Ax|x2x20x|x1或x2，log3(2x)1log33，02x3，1x2，Bx|1x2，UBx|x1或x2，A(UB)x|x1或x214. 已知全集UR，集合Ax|x23x40，Bx|2x2，则如图所示阴影部分所表示的集合为 【解析】题意得Ax|x1或x4，因此RAx|1x4，题中的阴影部分所表示的集合为(RA)Bx|1x2.15. 若集合A1,2，Bx|x2mx10，xR，且BA，则实数m的取值范围为_【解析】若B，则m240，解得2m2，符合题意；若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意；若2B，则

24、222m10，解得m，此时B，不合题意综上所述，实数m的取值范围为2,2)16. 已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为 【解析】由x2y23知，x，y.又xZ，yZ，所以x1,0,1，y1,0,1，所以A中元素的个数为CC9.【解答题】17. 已知集合A1,3，a，B1，a2a1且BA，求a 的值【解析】BA，a2a13或a2a1a.由a2a13得a2a20解得a1或a2.当a1时，A1,3，1，B1,3，满足BA，当a2时，A1,3,2，B1,3，满足BA.由a2a1a得a22a10，解得a1，当a1时，A1,3,1不满足集合元素的互异性综上，若BA，则a1或a2

25、.18. 已知集合Ax|x22x30，Bx|m2xm2，mR(1)若AB0,3，求实数m的值；(2)若ARB，求实数m的取值范围【解析】由已知得Ax|1x3，(1)AB0,3，Bx|m2xm2m2.(2)RBx|xm2或xm2，ARB，m23或m21，即m5或m3.因此实数m的取值范围是m|m5或m319. 已知函数f(x)的定义域集合是A，函数g(x)lg(xa)(xa1)的定义域集合是B.(1)求集合A、B；(2)若ABA，求实数a的取值范围【解析】(1)由x2x20x1或x2，所以Ax|x1或x2由(xa)(xa1)0得xa或xa1，所以Bx|xa或xa1(2)由ABA知AB，得所以1a

26、1，所以实数a的取值范围是(1,1)20. 已知q和n均为给定的大于1的自然数设集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n，当q2，n3时，用列举法表示集合A.【解析】当q2，n3时，M0，1，Ax|xx12x24x3，xiM，i1，2，30，1，2，3，4，5，6，721. 设全集是实数集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a0(1)当a4时，求AB和AB；(2)若(RA)BB，求实数a的取值范围【解析】(1)A，当a4时，Bx|2x2，AB，ABx|2x3(2)RA，当(RA)BB时，BRA，即AB.当B，即a0时，满足BRA；当B，即a0时，Bx|x，要使BRA，只须，解得a0.综上可得，实数a的取值范围是.22. 设集合Ax|x24x0，xR，Bx|x22(a1)xa210，aR，xR，若BA，求实数a的取值范围【解析】易知A0，4，若BA，则可分以下三种情况：当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1；当BA时，B0或B4，并且4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足题意；当BA时，B0，4，由此知0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1.综上所述，a的取值范围为.