2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题37等差数列及其前n项和（Word版附解析）.docx

1、专题37等差数列及其前n项和知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：等差数列的基本运算题型二：等差数列的判定与证明题型三：等差数列项的性质题型四：等差数列前n项和性质的应用题型五：等差数列的前n项和的最值培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.【考点预测】1等差数列的有关概念(1)等差数列的

2、定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(n2，nN*)(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A.2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d或Sn.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是

3、公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)等差数列an的前n项和为Sn，为等差数列【常用结论】1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质若项数为2n，则S偶S奇nd，；若项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，.2.两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为.【方法技巧】1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列

4、的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法 2.等差数列的判定与证明方法3.如果an为等差数列，mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)因此，若出现amn，am，amn等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am(amnamn)转化为求amn，amn或amnamn的值4.等差数列前n项和的性质在等差数列an中，Sn为其前n项和，则(1)S2nn(a1a2n)n(anan1)；(2)S2n1(2n1)an；(3)当项数为偶数2n时，S偶S奇nd；项数为奇数2n1时，S奇S偶a中，S奇S偶n(n1) 5.求等差数列an的前n项和Sn的最值

5、的方法二、【题型归类】【题型一】等差数列的基本运算【典例1】(2020全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a12，a2a62，则S10_.【解析】设等差数列an的公差为d，则a2a62a16d2(2)6d2.解得d1.所以S1010(2)125.【典例2】(2020新高考全国卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_.【解析】法一(观察归纳法)数列的各项为1，3，5，7，9，11，13，；数列3n2的各项为1，4，7，10，13，.现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，是首项为1，公差为6的等差数列，则an16(n1)6n5.故前n项和为Sn

6、3n22n.法二(引入参变量法)令bn2n1，cm3m2，bncm，则2n13m2，即3m2n1，m必为奇数.令m2t1，则n3t2(t1，2，3，).atb3t2c2t16t5，即an6n5.以下同法一.【典例3】已知等差数列an的前n项和为Sn，若S8a88，则公差d()A. B. C.1 D.2【解析】S8a88，a1a2a8a8，S77a40，则a40.d2.故选D.【题型二】等差数列的判定与证明【典例1】(2021全国甲卷)已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1.注：若选择不同的组合

7、分别解答，则按第一个解答计分【解析】.已知an是等差数列，a23a1.设数列an的公差为d，则a23a1a1d，得d2a1，所以Snna1dn2a1.因为数列an的各项均为正数，所以n，所以(n1)n(常数)，所以数列是等差数列.已知an是等差数列，是等差数列设数列an的公差为d，则Snna1dn2dn.因为数列是等差数列，所以数列的通项公式是关于n的一次函数，则a10，即d2a1，所以a2a1d3a1.已知数列是等差数列，a23a1，所以S1a1，S2a1a24a1.设数列的公差为d，d0，则d，得a1d2，所以(n1)dnd，所以Snn2d2，所以anSnSn1n2d2(n1)2d22d2

8、nd2(n2)，是关于n的一次函数，且a1d2满足上式，所以数列an是等差数列【典例2】已知在数列an中，a11，an2an11(n2，nN*)，记bnlog2(an1)(1)判断bn是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)bn是等差数列，理由如下：b1log2(a11)log221，当n2时，bnbn1log2(an1)log2(an11)log2log21，bn是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)知，bn1(n1)1n，an12bn2n，an2n1.【典例3】已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是

9、等差数列，并求an的通项公式【解析】(1)由题意可得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知得2，即2，所以数列是首项为1，公差为d2的等差数列，则12(n1)2n1，所以an2n2n.【题型三】等差数列项的性质【典例1】设Sn为等差数列an的前n项和，且4a5a6a4，则S9等于()A72 B36 C18 D9【解析】a6a42a5，a54，S99a536.故选B.【典例2】在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为()A4 B6 C8 D10【解析】a2a4a6a8a105a680，a616

10、，又a6a82a7，a7a6a8，即a7a8a68.选C.【典例3】已知数列an满足2anan1an1(n2)，a2a4a612，a1a3a59，则a3a4等于()A6 B7C8 D9【解析】因为2anan1an1，所以an是等差数列，由等差数列性质可得a2a4a63a412，a1a3a53a39，所以a3a4347.故选B.【题型四】等差数列前n项和性质的应用【典例1】已知等差数列an的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A100 B120C390 D540【解析】设Sn为等差数列an的前n项和，则S10，S20S10，S30S20成等差数列，所以2(S20S10)S

11、10(S30S20)，又等差数列an的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S2030)30(210S20)，解得S20100.故选A.【典例2】在等差数列an中，a12 018，其前n项和为Sn，若2，则S2 018的值等于()A2 018 B2 016C2 019 D2 017【解析】由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以(2 0181)12 0182 0171.所以S2 0182 018.故选A.【典例3】(2020全国)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块下一层的第

12、一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A3 699块 B3 474块C3 402块 D3 339块【解析】设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d9，首项为a19的等差数列由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且(S3nS2n)(S2nSn)n2d，则9n2729，解得n9，则三层共有扇面形石板S3nS2727993 402(块)故选C.【题型五】等差数列的前n项和的最值【典例1】已知等差数列an的前n项和为Sn，a6a86，S9S63，则Sn取得最大值时n的值

13、为()A5 B6C7 D8【解析】方法一：设数列an的公差为d，则由题意得，解得所以an2n17，由于a80，a90，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选D.方法二：设数列an的公差为d，则由题意得，解得则Sn15n(2)(n8)264，所以当n8时，Sn取得最大值，故选D.【典例2】设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70，则满足Sn0的最大自然数n的值为()A6 B7C12 D13【解析】因为在等差数列an中a10，a6a70，所以a60，a70，等差数列的公差小于零，又a3a10a1a120，a1a132a70，所以S120，S130，所以满足Sn0的最大自然数

14、n的值为12.故选C.三、【培优训练】【训练一】（多选）已知定义：在数列an中，若aap(n2，nN*，p为常数)，则称an为等方差数列下列命题正确的是()A若an是等方差数列，则a是等差数列B(1)n是等方差数列C若an是等方差数列，则akn(kN*，k为常数)不可能还是等方差数列D若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【解析】若an是等方差数列，则aap，故a是等差数列，故A正确；an(1)n时，aa(1)2n(1)2(n1)0，故B正确；若an是等方差数列，则由A知a是等差数列，从而a(kN*，k为常数)是等差数列，设其公差为d，则有aad，由定义知akn是等方差数列，故C

15、不正确；若an既是等方差数列，又是等差数列，则aap，anan1d，所以aa(anan1)(anan1)d(anan1)p，若d0，则anan1.又anan1d，解得an，an为常数列；若d0，该数列也为常数列，故D正确故选ABD.【训练二】多环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一类多环芳香烃，长期食用会致癌下面是一组多环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯并n苯结构简式分子式C10H8C14H10C18H12由此推断并十苯的分子式为_【解析】因为多环芳香烃的分子式中C的下标分别是10，14，18，H的下标分别是8，10，12，所以

16、多环芳香烃的分子式中C的下标是公差为4的等差数列，设C的下标构成的等差数列为an，其公差为d1，则a418，d14，故an4n2，所以a1042.多环芳香烃的分子式中H的下标是公差为2的等差数列，设H的下标构成的等差数列为bn，其公差为d2，则b412，d22，故bn2n4.所以b1024，所以并十苯的分子式为C42H24.【训练三】设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“精致数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“精致数列”，则数列bn的通项公式为_【解析】设等差数列bn的公差为d，由为常数，设k且b11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)

17、d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意正整数n，上式恒成立，所以解得d2，k，所以数列bn的通项公式为bn2n1(nN*)【训练四】定义向量列a1，a2，a3，an从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即anan1d(n2，且nN*)，其中d为常向量，则称这个向量列an为等差向量列这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列an的前n项和Sna1a2an.已知等差向量列an满足a1(1,1)，a2a4(6,10)，则向量列an的前n项和Sn_.【解析】因为向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列

18、的性质在等差向量列里面也适用，由等差数列的等差中项的性质知2a3a2a4(6,10)，解得a3(3,5)，则等差向量列an的公差向量为d(1,2)，由等差数列的通项公式可得等差向量列an的通项公式为ana1(n1)d(1,1)(n1)(1,2)(1,1)(n1,2n2)(1n1,12n2)(n，2n1)，由等差数列的前n项和公式，可得等差向量列an的前n项和Sn.【训练五】在等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.【解析】(1)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15

19、d3，解得a11，d，所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn，当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，45，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.【训练六】等差数列an中，公差d0，a2a68，a3a57.(1)求an的通项公式；(2)记Tn为数列bn前n项的和，其中bn|an|，nN*，若Tn1 464，求n的最小值.【解析】(1)等差数列an中，公差d0，a2a68，a2a6a3a58，又a3a57，a3，a5是一元二次方程x28x70的两个根，且a3a5，解方程x28x70，得a31，a57，

20、解得a15，d3.an5(n1)(3)3n8.(2)由(1)知an的前n项和Sn5n(3)n2n.bn|an|，b15，b22，b3|1|1，b4|4|4，当n3时，bn|an|3n8.当n3时，T15，T27；当n3时，TnSn2S214.Tn1 464，Tn141 464，即(3n100)(n29)0，解得n，n的最小值为34.四、【强化测试】【单选题】1. 已知公差不为0的等差数列an中，a2a4a6，a9a，则a10()A. B.5 C.10 D.40【解析】设公差为d，由已知得由于d0，故a1d，所以a109.故选A.2. 已知数列an满足5an1255an，且a2a4a69，则lo

21、g(a5a7a9)()A.3 B.3 C. D.【解析】数列an满足5an1255an，an1an2，即an1an2，数列an是等差数列，公差为2.a2a4a69，3a49，a43.a1323，解得a13.a5a7a93a73(362)27，则log(a5a7a9)log333.故选A.3. 在数列an中，a13，amnaman(m，nN*)，若a1a2a3ak135，则k()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】令m1，由amnaman可得an1a1an，所以an1an3，所以an是首项为a13，公差为3的等差数列，an33(n1)3n，所以a1a2a3ak135.整理可得k2k900，解

22、得k9或k10(舍).故选B.4. 已知等差数列an满足a3a6a8a1112，则2a9a11的值为()A3 B3 C12 D12【解析】由等差中项的性质可得，a3a6a8a114a712，解得a73，a7a112a9，2a9a11a73.故选B.5. (2022铁岭模拟)中国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给则第一等人(得金最多者)得金斤数是()A. B.C. D.【解析】由题设知在等差数列an中，a1a2a34，a7a8a9a103.所以3a13d4,

23、4a130d3，解得a1.故选A.6. 已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A28 B29C30 D31【解析】设等差数列an共有2n1项，则S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2n，该数列的中间项为an1，又S奇S偶a1(a3a2)(a5a4)(a2n1a2n)a1ddda1ndan1，所以an1S奇S偶31929029.故选B.7. 已知数列an是等差数列，若a93a110，a10a110，且数列an的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于()A20 B17 C19 D21【解析】因为a93a110，所

24、以a9a112a11a9a11a10a122(a11a10)0 ，所以a10a110.因为a10a110，a110，而S2010(a10a11)5时，an0，则Tn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)(9nn2)n29n40；当n5时，an0，则Tn|a1|a2|an|a1a2an9nn2，Tn22. 已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2a465，a1a518.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由【解析】(1)设公差为d，因为an为等差数列，所以a1a5a2a418，又a2a465，所以a2，a4是方程x218x650的两个实数根，又公差d0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以所以an4n3.(2)存在由(1)知，Snn42n2n，假设存在常数k，使数列为等差数列由2，得2，解得k1.所以n，当n2时，n(n1)，为常数，所以数列为等差数列故存在常数k1，使得数列为等差数列