2023届高考数学易错题专项突破——易错点6 函数零点存在定理 WORD版含解析.docx

1、易错点 6 函数零点存在定理一、单选题1.函数的零点个数是（）A.0B.1C.2D.32.函数f(x)=22x lnx(提示：e 2.718)的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3.已知 a 是函数f(x)=2x log12x的零点，若0 x0 0C.f(x0)0B.命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”.C.“a=2”是“(a 1)(a 2)=0”的必要不充分条件D.给定两个命题 p，q，若 p 是 q 的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件6.函数f(x)=lnx 3x在下列所给的区间内存在零点的是（）A.(0,1)

2、B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7.函数f(x)=2mx+4，若在(2,1)内恰有一个零点，则 m 的取值范围是（）A.(1,2)B.(1,+)C.(,2)(1,+)D.2,18.“f(a)f(b)0”是“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件二、单空题9.已知函数f(x)=2lgx+x 4的零点在区间(k,k+1)(k Z)上，则k=_10.函数f(x)=(x1)ln xx3的零点是_.11.设函数f(x)=2x,x 1log2x,x 1，若函数y=f(x)k有且只有两个零点，则实数 k 的取值

3、范围是_三、解答题12.已知函数f(x)=lnx x+1，g(x)=lnx ex+2(1)讨论函数f(x)在(0,+)的零点个数；(2)证明：g(x)0时，令lnx=0，解得x=1，函数与 x 轴有一个交点，为(1,0)，当x 0时，令x(x+2)=0，解得x=0或x=2，函数与 x 轴有两个交点，为(0,0)或(2,0)，所以函数与 x 轴有三个交点，所以函数一共有三个零点，故选 D2.函数f(x)=22x lnx(提示：e 2.718)的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【解析】解：f(1)=2 0，f(1)f(2)=2(1 ln2)0，排

4、除 Bf(2)f(3)=(1 ln2)(12 ln3)0，一定有零点故选：C3.已知 a 是函数f(x)=2x log12x的零点，若0 x0 0C.f(x0)0D.f(x0)的符号不确定【答案】C【解析】解：f(x)=2x log12x在(0,+)上是增函数，a 是函数f(x)=2x log12x的零点，即f(a)=0，当0 x0 a时，f(x0)0，故选 C4.若函数y=f(x)在区间0,4上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值（）A.大于 0B.小于 0C.等于 0D.无法判断【答案】D【解析】解；满足题中要求的函数y=f(x)图

5、象可以有以下两种情况由这两个图形得，f(0)f(4)0B.命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”.C.“a=2”是“(a 1)(a 2)=0”的必要不充分条件D.给定两个命题 p，q，若 p 是 q 的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件【答案】D【解析】A.若f(a)=0或f(b)=0，则结论不正确；B.命题“三角形的内角和是180”的否命题是“非三角形的多边形内角和不是180”，B 错误；C.“a=2”是“(a 1)(a 2)=0”的充分不必要条件，错误；D.若 p 是 q 的充分不必要条件，则由 p 可得 q，由 q 不能得 p，所以由q可得p，由p不能

6、得q，所以p是q的必要不充分条件，正确故选 D6.函数f(x)=lnx 3x在下列所给的区间内存在零点的是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【解析】解：函数，函数的零点所在区间是(2,3)故选 C7.函数f(x)=2mx+4，若在(2,1)内恰有一个零点，则 m 的取值范围是（）A.(1,2)B.(1,+)C.(,2)(1,+)D.2,1【答案】C【解析】函数f(x)=2mx+4，若在(2,1)内恰有一个零点，可得：f(2)f(1)0并且m 0，可得：(4 4m)(2m+4)0，解得m (,2)(1,+)函数f(x)=2mx+4，若在2,1内恰有一个零点，则

7、 m 的取值范围是(,2)(1,+).故选 C.8.“f(a)f(b)0”是“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由“f(a)f(b)0”不能推出“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”，函数f(x)必须连续，由“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”也不能推出“f(a)f(b)0”，f(a)和f(b)可能同号，所以“f(a)f(b)0”是“定义在区间a,b上的函数y=f(x)有零点”的既不充分也不必要条件，故选 D二、单空题9.已知函数f(x)=2lgx+x 4的零点在区间

8、(k,k+1)(k Z)上，则k=_【答案】3【解析】解：函数f(x)=2lgx+x 4在(0,+)上单调递增，f(3)=2lg3 1 0，f(3)f(4)0，函数的零点在(3,4)之间，函数f(x)=2lgx+x 4的零点在区间(k,k+1)(k Z)上，k=3，故答案为 310.函数f(x)=(x1)ln xx3的零点是_.【答案】1【解析】解：由题意可得函数f(x)的定义域为(0,3)(3,+)，令f(x)=0，即，所以x 1=0或lnx=0，所以x=1，满足定义域，所以f(x)的零点是 1故答案为 111.设函数f(x)=2x,x 1log2x,x 1，若函数y=f(x)k有且只有两个

9、零点，则实数 k 的取值范围是_【答案】(12,+)【解析】根据题意，若函数y=f(x)k有且只有两个零点，则函数y=f(x)的图象与直线y=k有且只有两个交点，而函数f(x)=2x,x 12，即实数 k 的取值范围是(12,+)；故答案为：(12,+)三、解答题12.已知函数f(x)=lnx x+1，g(x)=lnx ex+2(1)讨论函数f(x)在(0,+)的零点个数；(2)证明：g(x)0，得：0 x 1，f(x)在(0,1)上递增，在(1,+)上递减，故f(x)f(1)=0，即f(x)在(0,+)的零点个数为 1(2)法 1：g(x)=lnx ex+2，令g(x)=1x ex=h(x)

10、，h(x)=1x2 ex 0，g(1)=1 e 0，g(x)单调递增，在(x0,+)上g(x)0，g(x)单调递减，g(x)max=lnx0 ex0+2=x0 1x0+2 0，即g(x)0在(0,+)恒成立.法 2：由(1)知f(x)=lnx x+1 0，lnx x 1，当且仅当x=1时取“=”，ln(x+1)x，eln(x+1)ex，即x+1 ex，当且仅当x=0时取“=”，1+lnx x ex 1，且两个等号不能同时取到，lnx ex+2 0，故：g(x)0在(0,+)上恒成立13.已知函数f(x)=ex 1，g(x)=x+x，其中 e 是自然对数的底数，e=2.718 28。(1)证明：

11、函数h(x)=f(x)g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由。【答案】(1)证明：由h(x)=f(x)g(x)ex 1 x x，得h(1)=e 3 0，所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点；(2)解：由(1)得h(x)=e2 1 x x由g(x)=x+x知，又h(0)=0，则x=0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)上有零点，因此h(x)在上至少有两个零点，因为h(x)=ex 12 x12 1，记(x)0，因此(x)在上单调递增，即h(x)在上单调递增，又h(x)h(0)=0，h(x)在上单调递增，又h(x)在(1,2)上有零点，h(

12、x)在上有一个零点，h(x)在上有且只有两个零点，方程f(x)=g(x)的根的个数为 214.已知函数f(x)=x2 ax+2，在下列条件下，求实数 a 的取值范围(1)零点均小于 2；(2)一个零点大于 2，一个零点小于 2；(3)在区间(4,3)上恰有一个零点【答案】解：由题意得(1)=a2 8 0a2 0解得，22 a 3或a 22，则实数 a 的取值范围是22,3)(,22(2)f(2)=6 2a 0，解得a 3，则实数 a 的取值范围是(,3)(3)若在区间(4,3)上恰有一个零点，则f(4)f(3)0或=a2 8=04 a2 3解得，92 a 113 或a ，综上，实数 a 的取值范围是(92,113)15.已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3cosx,cosx)，若f(x)=a b(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间0,2上的零点【答案】，要求函数f(x)的减区间，即求的增区间，则有2k 2 2x 3 2k+2,k Z，解得k 12 x k+512,k Z，f(x)的单调递减区间为k 12,k+512，k Z;(2)由f(x)=0得，x 0,2，则2x 3 3,113，要使，则2x 3=3,23,73,83 解得x=3,2,43,32，故函数f(x)的零点为3,2,43,32