2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题42空间点、线、面之间的位置关系（Word版附解析）.docx

1、专题42空间点、线、面之间的位置关系知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：平面的基本性质题型二：空间两直线的位置关系题型三：求两条异面直线所成的角题型四：空间几何体的切割(截面)问题题型五：题型六：题型七：题型八：题型九：培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.【考点预测】1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面

2、有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内Al，Bl，且A，Bl基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl(2)基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言

3、aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3.基本事实4和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线aa，bb，把a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.【常用结论】1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.【方法技巧】1.共面、共线、共点问题的证明

4、(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点2.点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型3.求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角二证：证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出所作的角4.作截面应遵循的三个原则：在同一平面上的两点可引直线；凡是相交的直线都要画出它们的交点；凡是相交的平面都要画出它们的交线5.作交线的方法有如下两种：利

5、用基本事实3作交线；利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线二、【题型归类】【题型一】平面的基本性质【典例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EFA1B且EFA1B.又因为A1D1平行BC且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF与CD1确定一个平面，所以E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面【典例2】(多选)如图，在长方体ABCD A1B1

6、C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()AC1，M，O三点共线BC1，M，O，C四点共面CC1，O，A1，M四点共面DD1，D，O，M四点共面【解析】连接A1C1，AC，则ACBDO，又A1C平面C1BDM，所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，所以C1，M，O三点共线，所以选项A，B，C均正确，选项D错误故选ABC.【典例3】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线【解析】

7、(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD.在BCD中，所以GHBD，所以EFGH，所以E，F，G，H四点共面(2)因为EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC.同理P平面ADC .所以P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线【题型二】空间两直线的位置关系【典例1】如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线

8、【解析】如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为CDE是正三角形，所以EFCD.设CD2，则EF.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD2，NF1，BCCD.因为平面ECD平面ABCD，所以EF平面ABCD，BC平面ECD，所以EFNF，BCEC，所以在RtEFN中，EN2，在RtBCE中，EB2，所以在等腰三角形BDE中，BM，所以BMEN.易知BM，EN是相交直线故选B【典例2】已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能【解析】在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A

9、，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误故选D【典例3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论是_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误答案：【题型三】求两条异面直线所成的角【典例1】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D

10、.【解析】连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.【典例2】在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.【解析】如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1.所以OMA

11、D11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.【典例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A. B. C. D.【解析】如图，连接C1P，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1PB1D1，又C1PBB1，B1D1BB1B1，B1D1，BB1平面B1BP，所以C1P平面B1BP.又BP平面B1BP，所以有C1PBP.连接BC1，则AD1BC1，所以PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则在RtC1PB中，C1PB

12、1D1，BC12，sin PBC1，所以PBC1.故选D.【题型四】空间几何体的切割(截面)问题【典例1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A三角形 B四边形C五边形 D六边形【解析】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形 故选C.【典例2】(多选)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，已知平面AC1，则关于

13、截此正方体所得截面的判断正确的是()A截面形状可能为正三角形B截面形状可能为正方形C截面形状可能为正六边形D截面面积最大值为3【解析】易知A，C正确，B不正确，下面说明D正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN2，GH，OE，所以S2(2)3，故D正确故选ACD.【典例3】如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M2MD1，过M的平面与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为_【解析】在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要MEBC1，如图所示，因为A1M2MD1，故该截面与正方体的交点位于

14、靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME2a，MIa，IH2a，HGa，FG2a，EFa，所以截面MIHGFE的周长为MEEFFGGHHIIM9a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a1，故截面多边形的周长为3三、【培优训练】【训练一】平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，因为平面CB1D1，则m1m，又因为平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1

15、m1，所以B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小又因为B1CB1D1CD1(均为面对角线)，所以CD1B1，得sinCD1B1，故选A.【训练二】已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_【解析】如图，连接B1D1，易知B1C1D1为正三角形，所以B1D1C1D12.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1GD1H，D1MB1C1，且D1M.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点在侧面BCC1B1内任

16、取一点P，使MP，连接D1P，则D1P ，连接MG，MH，易得MGMH，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线由B1MGC1MH45知GMH90，所以的长为2.【训练三】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AEEBAHHDm，CFFBCGGDn.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.【解析】(1)证明：因为AEEBAHHD，所以EHBD.又CFFBCGGD，所以FGBD.所以EHFG.所以E，F，G，H四点共面(2)当EHFG，且EHFG时

17、，四边形EFGH为平行四边形因为，所以EHBD.同理可得FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC，又EHBD，所以FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为ACBD，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH.【训练四】如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点将BCD与AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角AEFD与二面角BCDE的大小都等于90，得到如图2所示的多面体(1)在多面体中，求证： A，B，D，E四点共面；(2)求多面体的体积【解析】(1)

18、证明因为二面角AEFD的大小等于90，所以平面AEF平面DEFC，又AEEF，AE平面AEF，平面AEF平面DEFCEF，所以AE平面DEFC，同理，可得BD平面DEFC，所以AEBD，故A，B，D，E四点共面(2)解因为AE平面DEFC，BD平面DEFC,EFCD，AEBD，DECD，所以AE是四棱锥ACDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AEDE1，CD2，EF，BD2，所以VVACDEFVABCDS梯形CDEFAESBCDDE.【训练五】如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点将BCD与AEF分别沿CD，EF同侧折起，

19、使得二面角AEFD与二面角BCDE的大小都等于90，得到如图2所示的多面体图1图2(1)在多面体中，求证： A，B，D，E四点共面；(2)求多面体的体积【解析】(1)证明因为二面角AEFD的大小等于90，所以平面AEF平面DEFC，又AEEF，AE平面AEF，平面AEF平面DEFCEF，所以AE平面DEFC，同理，可得BD平面DEFC，所以AEBD，故A，B，D，E四点共面(2)解因为AE平面DEFC，BD平面DEFC，EFCD，AEBD，DECD，所以AE是四棱锥ACDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AEDE1，CD2，EF，BD2，所以VVACDEFVABCD

20、S梯形CDEFAESBCDDE【训练六】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE平面ABCD.(1)若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的正切值.【解析】(1)正方形ABCD的边长为4，且PAB为等边三角形，E为AB的中点，PEPBsinPBEABsin 602，又PE平面ABCD，四棱锥PABCD的体积VPABCD422.(2)ADBC，PCB即PC与AD所成的角.如图，连接EF，PE平面ABCD，EF，BC平面ABCD，PEEF，PEBC，又PF与平面ABCD所成角

21、为45，即PFE45，PEEFtan PFE4，PB2.又BCAB，PEABE，PE，AB平面PAB，BC平面PAB，又PB平面PAB，BCPB，tan PCB，PC与AD所成角的正切值为.四、【强化测试】【单选题】1. 已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面【解析】依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面故选D.2. 在四面体ABCD中，点E，F，G，H分别在直线AD，AB，CD，BC上，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()A在直线DB上 B在直线AB上C在直线CB上

22、 D都不对【解析】直线EF和GH相交，设其交点为M.因为EF平面ABD，HG平面CBD，所以M平面ABD且M平面CBD.因为平面ABD平面BCDBD，所以MBD，所以EF与HG的交点在直线BD上故选A.3. 如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线ABC直线CD D直线BC【解析】由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.故选C.4. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形

23、，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BC1C与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误故选C.5. 已知直线l平面，直线m平面，给出下面四个结论：若l与m不垂直，则l与一定不垂直；若l与m所成的角为3

24、0，则l与所成的角也为30；lm是l的必要不充分条件；若l与相交，则l与m一定是异面直线其中正确结论的个数为()A1B2C3D4【解析】对于，当l与m不垂直时，假设l，那么由l一定能得到lm，这与已知条件矛盾，因此l与一定不垂直，故正确；对于，易知l与m所成的角为30时，l与所成的角不一定为30，故不正确；对于，lm可以推出l，但是l不能推出lm，因此lm是l的充分不必要条件，故不正确；对于，若l与相交，则l与m相交或异面，故不正确故正确结论的个数为1，选A.6. 如图，在正方体ABCDABCD中，平面垂直于对角线AC，且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为

25、l，则()AS为定值，l不为定值 BS不为定值，l为定值CS与l均为定值 DS与l均不为定值【解析】设平面截得正方体的六个表面得到截面六边形，与正方体的棱的交点分别为I，J，N，M，L，K(如图)将正方体切去两个正三棱锥AABD和CBCD，得到一个几何体V，则V的上、下底面BCD与ABD互相平行，每个侧面都是等腰直角三角形，截面六边形的每一条边分别与V的底面上的每一条边平行设正方体的棱长为a，则IKBDa，KL(1)ABa(1)，故IKKLaa(1)a.同理可证LMMNNJIJa，故六边形周长为3a，即周长为定值当I，J，N，M，L，K都在对应棱的中点时，是正六边形其面积S6a2，ABD的面积

26、为(a)2a2，当无限趋近于ABD时，的面积无限趋近于a2，故的面积一定会发生变化，不为定值故选B. 7. 如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹()A是圆B是椭圆C是抛物线 D不是平面图形【解析】如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，则BCCD，再过点B作BEAD于点E，连接HE，因为AB平面BCD，所以ABCD.又BCCD，且ABBCB，所以CD平面ABC，所以CDBH.又BHAC，且ACCDC，所以BH平面ACD，所以BHAD，BHHE.又注意到过点B与直线AD垂直的直线都在同一个平面内，于是结合点B，E位置

27、，可知，当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆故选A8. 如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线【解析】如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为ECD为正三角形，所以EOCD，又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO，ON1，所以EN2EO2ON24，得EN2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则M

28、P，CP，所以BM2MP2BP222227，得BM，所以BMEN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线故选B.【多选题】9. 四棱锥PABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是()A.MN与PD是异面直线B.MN平面PBCC.MNACD.MNPB【解析】如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MNHC，所以MN平面PBC，设四边形MHCN确定平面，又D，故M，N，D共面，但P平面，DMN，因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确.若M

29、NAC，由于CHMN，则CHAC，事实上ACCHC，C说法不正确；因为PCBC，H为PB的中点，所以CHPB，又CHMN，所以MNPB，D说法正确.故选ABD.10. 下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()【解析】图A中，直线GHMN；图B中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；图C中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图D中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.故选BD.11. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点

30、，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面【解析】MA1C，A1C平面A1ACC1，M平面A1ACC1，又M平面AB1D1，M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，平面BB1D1D平面AB1D1B1D1，M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选ABC.12. 如图，已知二面角ABDC的大小为，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，且AC平面BCD，则以下说法正确的是()A.E，F

31、，G，H四点共面B.FG平面ADC C.若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线D.若ABD的面积为6，则BCD的面积为3【解析】由知EF平行BD，且EF=BD又GH平行BD，且GH=BDEFGH，因此E，F，G，H共面，A项正确；假设FG平面ADC成立，因为平面ABC平面DACAC，所以FGAC，又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与矛盾，B项不正确；因为FG平面ABC，PFG，所以P平面ABC，同理P平面ADC，因为平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线，因此C正确；易知SBCDcosSABD63，D正确.故选ACD.【填空题】13. 已知在直三棱柱ABCA1

32、B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_【解析】如图所示，补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，则所求角为BC1D或其补角，BC1，BD，C1DAB1，易得C1D2BD2BC，即BC1BD，因此cosBC1D14. 在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为_(填序号)过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线【解析】对于，当平面外两点的连线与平面垂直时，此时过两点有无数个平面与平面垂直，所以不正确；对于，若平面

33、内有不共线三点到平面的距离都相等，平面与可能平行，也可能相交，所以不正确；对于，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l，所以正确；对于，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以不正确15. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别为A1B，B1D1，A1D，CD1的中点，则直线EF与PQ所成角的大小是_【解析】如图，连接A1C1，BC1，则F是A1C1的中点，又E为A1B的中点，所以EFBC1，连接DC1，则Q是DC1的中点，又P为A1D的中点，所以PQA1C1，于是A1C1B是直线EF与PQ所成的角或其补角易知A1C1B是正三角形

34、，所以A1C1B16. 在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是_【解析】如图所示，过Q作QMAP交BC于M，由A1PCQ2，tanAPA12，则tanCMQ2，CM1，延长MQ交B1C1的延长线于E点，连接PE，交D1C1于N点，则多边形AMQNP即为截面，根据平行线性质有C1ECM1，则C1N，D1N，因此NQ，NP，又AP2，AM5，MQ，所以多边形AMQNP的周长为AMMQQNNPPA52【解答题】17. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面A

35、CD1的交点求证：D1，H，O三点共线【解析】如图，连接BD，B1D1，则BDACO，因为BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，因为平面ACD1平面BB1D1DOD1，所以HOD1.即D1，H，O三点共线18. 如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值【解析】(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面

36、直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.19. 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出l的位置；(2)设lA1B1P，求PB1的长【解析】(1)如图，延长DM与D1A1交于点O，连接NO，则直线NO即为直线l.(2)因为lA1B1P，则易知直线NO与A1B1的交点即为P.所以A1MDD1，且M，N分别是AA1，D1C1的中点，所以A1也为D1O的中点由图可知，所以A1P，从而可知PB1.20. 如图所示，A是BCD所

37、在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角【解析】(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.21. 如图，在四棱锥OABCD中，底

38、面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值. 【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，即DE2EM2MD2，DEM为直角三角形，且DEM90，tanEMD.异面直线OC与MD所成角的正切值为.22. 如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1底面ABCD，四边形

39、ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB2，AA14，BAD，求点D1到平面FBD的距离【解析】(1)证明D1E与CM相交于点K，KD1E，KCM，而D1E平面ADD1A1，CM平面ABCD，且平面ADD1A1平面ABCDAD，KAD，D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K(2)解四边形ABCD为菱形，AB2，BCCD2，而四棱柱的侧棱AA1底面ABCD，CC1底面ABCD，又F是CC1的中点，CC14，CF2，BFDF2，又四边形ABCD为菱形，BAD，BDAB2，SFBD2设点D1到平面FBD的距离为h，点B到平面DD1F的距离为d，则d2sin ，又，SFBDhd，h42，解得h即点D1到平面FBD的距离为