2024年新高考新题型数学一模好题分类汇编：立体几何（学生版）.pdf

1、1立体几何题型 01 空间几何体的有关计算题型 02 点线面位置关系、空间角及距离题型 03 内切球、外接球问题题型 04 空间向量题型 01 空间几何体的有关计算1(2024山西晋城统考一模)若一个正 n 棱台的棱数大于 15，且各棱的长度构成的集合为 2,3，则 n的最小值为，该棱台各棱的长度之和的最小值为2(2024浙江校联考一模)已知圆台的上下底面半径分别是 1，4，且侧面积为 10，则该圆台的母线长为3(2024安徽合肥合肥一六八中学校考一模)球 O 的半径与圆锥 M 的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥 M 的侧面展开图的圆心角大小为，球 O 的体积与圆锥 M 的体积的比值

2、为4(2024湖南长沙雅礼中学校考一模)已知圆锥的母线长为 2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为5(2024广东深圳校考一模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4 的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3 的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为.6(2024辽宁沈阳统考一模)正方体的 8 个顶点分别在 4 个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为 1，则该正方体的棱长为()A.2B.3C.2D.57(2024云南曲靖统考一模)为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开

3、展校园绿化活动已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为 18 厘米，9 厘米，母线长约为 7.5 厘米现有 2000 个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为()(参考数据：3.14)A.1.702 立方米B.1.780 立方米C.1.730 立方米D.1.822 立方米8(2024新疆乌鲁木齐统考一模)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 40cm 的2正方体截去八个一样的四面体得到的，则()A.该几何体的顶点数为 12B.该几何体的棱数为 24C.该几何体的表面积为(4800+800 3)cm2D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、

4、外接球表面积的等差中项9(2024山西晋城统考一模)如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，C1E=3EC，平面 ABE 将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为 上，下部分对应的几何体为 下，则()A.下的体积为 2B.上的体积为 12C.下的外接球的表面积为 9D.平面 ABE 截该正四棱柱所得截面的面积为 2 5题型 02 点线面位置关系、空间角及距离10(2024河北校联考一模)已知直线 l、m、n 与平面、，下列命题正确的是()A.若 ，l ，n ，则 l nB.若 ，l ，则 l C.若 l n，m n，则 l mD.若 l ，l ，则 1

5、1(2024浙江校联考一模)已知直线 a,b 和平面,a ,b ，则“a b”是“a ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12(2024广东深圳校考一模)已知，是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A.若 m n，m ，n ，则 B.若 m n，m ，n ，则 C.若 m n，m ，则 n D.若 m n，m ，则 n 13(2024吉林白山统考一模)正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为 2 的3正八面体中，则有()A.直线 AE 与 CF 是异面直线B.平面 ABF 平面 ABEC.该几何体的体积为

6、 432D.平面 ABE 与平面 DCF 间的距离为 2 6314(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面ABCD,PA=AB=2,BAD=120,AC BD，BCD 是等边三角形.(1)证明：平面 PAD 平面 PCD.(2)求二面角 B-PC-D 的正弦值.15(2024辽宁沈阳统考一模)如图，在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABC 平面 BCD，且 BC=BD=BA，CBA=CBD=120，点 P 在线段 AC 上，点 Q 在线段 CD 上.(1)求证：AD BC；(2)若 AC 平面 BPQ，求 BPBQ 的值；(3)在(2)的条件下，

7、求平面 ABD 与平面 PBQ 所成角的余弦值.416(2024重庆统考一模)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA 底面 ABCD，四边形 ABCD 中，AB=AP，AB AD,AB+AD=6,CD=2,CDA=45 (1)若 E 为 PB 的中点，求证：平面 PBC 平面 ADE；(2)若平面 PAB 与平面 PCD 所成的角的余弦值为66()求线段 AB 的长；()设 G 为 PAD 内(含边界)的一点，且 GB=2GA，求满足条件的所有点 G 组成的轨迹的长度17(2024云南曲靖统考一模)在图 1 的直角梯形 ABCD 中，A=D=90,AB=BC=2,DC=3，点 E 是 DC 边上

8、靠近于点 D 的三等分点，以 BE 为折痕将 BCE 折起，使点 C 到达 C1的位置，且 AC1=6，如图 2(1)求证：平面 BC1E 平面 ABED；(2)在棱 DC1上是否存在点 P，使得二面角 P-EB-C1的大小为 45？若存在，求出线段 DP 的长度，若不存在说明理由518(2024云南曲靖统考一模)如图所示，正方体 ABCD-ABCD 的棱长为 1，E,F 分别是棱 AA,CC 的中点，过直线 EF 的平面分别与棱 BB,DD 交于点 M,N，以下四个命题中正确的是()A.四边形 EMFN 一定为菱形B.四棱锥 A-MENF 体积为 13C.平面 EMFN 平面 DBBDD.四

9、边形 EMFN 的周长最小值为 419(2024山东济南山东省实验中学校考一模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，PB 与底面 ABCD 所成的角为 4，底面 ABCD 为直角梯形，ABC=BAD=2,AD=2,PA=BC=1，点 E 为棱 PD 上一点，满足 PE=PD0 1，下列结论正确的是()A.平面 PAC 平面 PCD；B.在棱 PD 上不存在点 E，使得 CE 平面 PABC.当 =12 时，异面直线 CE 与 AB 所成角的余弦值为 2 55；D.点 P 到直线 CD 的距离3；20(2024新疆乌鲁木齐统考一模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 AB

10、CD 为正方形，PA 平面ABCD，PA=AB，点 E，F 分别是棱 PB，BC 的中点 (1)求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值；(2)在截面 AEF 内是否存在点 G，使 DG 平面 AEF，并说明理由621(2024山西晋城统考一模)如图，P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点，BF 的中点O 为 P 在平面 ABCDEF 内的射影，PM=2MF (1)证明：ME 平面 PBD(2)若 PA=2，二面角 A-PB-D 的大小为，求 cos222(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 是AD1的中点，

11、点 Q 是直线 CD1上的动点，则下列说法正确的是()A.PBD 是直角三角形B.异面直线 PD 与 CD1所成的角为 3C.当 AB 的长度为定值时，三棱锥 D-PBQ 的体积为定值D.平面 PBD 平面 ACD1723(2024浙江校联考一模)在三棱柱 ABC-A1B1C1中，四边形 BCC1B1是菱形，ABC 是等边三角形，点 M 是线段 AB 的中点，ABB1=60 (1)证明：B1C 平面 ABC1；(2)若平面 ABB1A1 平面 ABC，求直线 B1C 与平面 A1MC1所成角的正弦值24(2024广东深圳校考一模)如图，在圆锥 SO 中，AB 是圆 O 的直径，且 SAB 是边

12、长为 4 的等边三角形，C,D 为圆弧 AB 的两个三等分点，E 是 SB 的中点.(1)证明：DE 平面 SAC；(2)求平面 SAC 与平面 SBD 所成锐二面角的余弦值.825(2024广西南宁南宁三中校联考一模)在如图所示的五面体 ABCDEF 中，ABEF 共面，ADF 是正三角形，四边形 ABCD 为菱形，ABC=23,EF 平面 ABCD,AB=2EF=2，点 M 为 BC 中点 (1)证明：EM 平面 BDF；(2)已知 EM=2，求平面 BDF 与平面 BEC 所成二面角的正弦值26(2024安徽合肥合肥一六八中学校考一模)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于

13、点 O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF=54，EF 交 BD 于点 H，将 DEF 沿 EF 折到 DEF位置，OD=10(1)证明：DH 平面 ABCD；(2)求平面 BAD 与平面 ACD 的夹角的余弦值927(2024安徽合肥合肥一六八中学校考一模)设 b、c 表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是()A.若 b ，c ，则 b cB.若 b ，b c，则 c C.若 c ，则 c D.若 c ，c ，则 28(2024吉林延边统考一模)已知三棱柱 ABC-A1B1C1，侧面 AA1C1C 是边长为 2 的菱形，CAA1=3，侧面四边形 AB

14、B1A1是矩形，且平面 AA1C1C 平面 ABB1A1，点 D 是棱 A1B1的中点(1)在棱 AC 上是否存在一点 E，使得 AD 平面 B1C1E，并说明理由；(2)当三棱锥 B-A1DC1的体积为3 时，求平面 A1C1D 与平面 CC1D 夹角的余弦值29(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)如图 1，在平面四边形 PABC 中，PA AB,CD AB，CD=2AB=2PD=2AD=4.点 E 是线段 PC 上靠近 P 端的三等分点，将 PDC 沿 CD 折成四棱锥 P-ABCD，且 AP=2 2，连接 PA,PB,BD，如图 2.(1)在图 2 中，证明：PA 平面 BDE；(2)求图

15、 2 中，直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.1030(2024重庆统考一模)如图，在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 C1D1的中点，M 是线段 A1E 上的一点，则下列说法正确的是()A.当 M 点与 A1点重合时，直线 AC1 平面 ACMB.当点 M 移动时，点 D 到平面 ACM 的距离为定值C.当 M 点与 E 点重合时，平面 ACM 与平面 CC1D1D 夹角的正弦值为53D.当 M 点为线段 A1E 中点时，平面 ACM 截正方体 ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为 7 333231(2024福建厦门统考一模)如图，在四棱锥 E-ABCD

16、 中，AD BC，2AD=BC=2，AB=2，AB AD，EA 平面 ABCD，过点 B 作平面 BD(1)证明：平面 平面 EAC；(2)已知点 F 为棱 EC 的中点，若 EA=2，求直线 AD 与平面 FBD 所成角的正弦值1132(2024吉林延边统考一模)如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，DE=BF=1,DE BF,DE 平面 ABCD，动点 P 在线段 EF 上，则下列说法正确的是()A.AC DPB.存在点 P，使得 DP 平面 ACFC.三棱锥 A-CDE 的外接球被平面 ACF 所截取的截面面积是 92D.当动点 P 与点 F 重合时，直

17、线 DP 与平面 ACF 所成角的余弦值为 3 101033(2024福建厦门统考一模)如图所示，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，ABF 和DCE 均是等边三角形，且 AB=2 3，EF=x(x 0)，则()A.EF 平面 ABCDB.二面角 A-EF-B 随着 x 的减小而减小C.当 BC=2 时，五面体 ABCDEF 的体积 V(x)最大值为 272D.当 BC=32 时，存在 x 使得半径为32 的球能内含于五面体 ABCDEF题型 03 内切球、外接球问题34(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)已知四面体 ABCD 的各个面均为全等的等腰三角形，且 CA=CB=2A

18、B=4.设 E 为空间内任一点，且 A,B,C,D,E 五点在同一个球面上，则()A.AB CDB.四面体 ABCD 的体积为 2 14C.当 AE=2 3 时，点 E 的轨迹长度为 4D.当三棱锥 E-ABC 的体积为146时，点 E 的轨迹长度为 3 235(2024吉林白山统考一模)在四面体 A-BCD 中，BC=2 2，BD=2 3，且满足 BC BD，AC BC，AD BD若该三棱锥的体积为 8 63，则该锥体的外接球的体积为36(2024吉林延边统考一模)已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 2 55，半径为5 的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球 O 的表面上，则球 O 的体

19、积为.1237(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2，以A1为球心、3 为半径的球面与底面 ABC 的交线长为36，则三棱柱 ABC-A1B1C1的表面在球内部分的总面积为38(2024江西吉安吉安一中校考一模)已知球 O 的直径 PQ=4，A，B，C 是球 O 球面上的三点，ABC 是等边三角形，且 APQ=BPQ=CPQ=30，则三棱锥 P-ABC 的体积为().A.3 34B.9 34C.3 32D.27 3439(2024湖南长沙雅礼中学校考一模)如图所示，有一个棱长为 4 的正四面体 P-ABC 容器，D 是PB 的中点，E

20、是 CD 上的动点，则下列说法正确的是()A.直线 AE 与 PB 所成的角为 2B.ABE 的周长最小值为 4+34C.如果在这个容器中放入 1 个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为63D.如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为 2 6-2540(2024江西吉安吉安一中校考一模)如图，在正三棱锥 P-ABC 中，有一半径为 1 的半球，其底面圆 O 与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切设点 D 为 BC 的中点，ADP=(1)用 分别表示线段 BC 和 PD 长度；(2)当 0,2时，求三棱锥的侧面积 S 的最小值1341(2024

21、江西吉安吉安一中校考一模)地球仪是地理教学中的常用教具.如图 1 所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为 23.5.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为 4cm 的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱 ABC-A1B1C1中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图 2 所示.此时平面 AB1C 恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱 ABC-A1B1C1的外接球体积为.(参考数据：tan23.5 0.43)题型 04 空间向量42(2024福建厦门统考一模)已知平面 的一个法向量为 n=(1,0,1)，且点 A(1,

22、2,3)在 内，则点 B(1,1,1)到 的距离为43(2024广西南宁南宁三中校联考一模)在边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，动点 M 满足AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,z R 且 x 0,y 0,z 0)，下列说法正确的是()A.当 x=14,z=0,y 0,1时，B1M+MD 的最小值为13B.当 x=y=1,z=12 时，异面直线 BM 与 CD1所成角的余弦值为105C.当 x+y+z=1，且 AM=2 53时，则 M 的轨迹长度为 4 23D.当 x+y=1,z=0 时，AM 与平面 AB1D1所成角的正弦值的最大值为6344(2024湖南长沙雅礼中学校考一模)如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，DAB=90，cos=22，cos=12，点 M 为 BD 中点.(1)证明：B1M 平面 A1C1D；(2)求二面角 B-AA1-D 的正弦值.