2024年普通高等学校招生“梯期杯”统一考试数学试题.pdf

1、T7 UNION绝密启前2024年普通等学校招“梯期杯”统考试 数 学、选择题：本题共 题，每题 分，共 分。在每题给出的四个选项中，只有项是符合题要求的。1.集合，则2.若直线与圆相切，则3.已知向量，若 与 的夹为，则4.若函数单调递增，则 的取值范围为5.如图，概念型超速客机“号”平于地进超低空飞，在冲破障的瞬间形成了爆云（飞器超速飞时形成的形状像是个以物体为中轴、向四周均匀扩散的圆锥状云团），该圆锥状云团的底与地垂直，为，爆云与地接触位置形成的曲线为，的离率为，上距离飞机尾部最近的点到爆云底的距离为，则“号”的飞度为8540M=x 2|sin(x)1N=y|y=x2 2xM N=.C

2、1,0.A 1,2.D 0,2.B 1,0)y=(a 4)x+ax2+y2=16a=.D 6815.A 4.B415.或C 46815a=(2,3)b=(1,1)absin 2=.A526.B 526.C513.D 513f(x)=sin 2x sin x+a xa.B 3316,+).C 3316,+).D 3,+).A 3,+)T 7 OHEEeEhT 7.Ae2 1e(H h).Be2+1e(H h).Ce2 1(H h).De2+1(H h)试卷第 页（共页）112T7 UNION6.个旅团计划前往某个国家旅游，该国有共 个景点供游客选择。团队决定按照以下要求进安排：先选择 个不同的景

3、点作为主要景点，然后在剩下的景点中选择 个不同的作为备选景点。其中、景点不能作为主要景点，景点不能作为备选景点，则不同安排的式共有7.定义：表不超过 的最整数，例如，已知数列满，数列的前 项和为，若，则 的最值为8.设锐的积为，若，则的最值为、选择题：本题共 题，每题 分，共 分。在每题给出的选项中，有多项符合题要求。全部选对的 分，部分选对得 分，有选错的得 分。9.已知复数 为程的个根，则 的可能取值有10.已知随机事件、满，则的充分条件是11.平六体中，外接球半径为，点 满，则12.已知数列满，则下列说法中错误的是A,B,C,D,E,F,G,H832ABC.种D 180.种C 160.种

4、B 90.种A 80 xx1.2=13.1=4ana1=1an=log2(n+1)bn=annSnSn 2024n.A 254.B 314.C 320.D 510 ABCS2S=b2tan B+19 tan A tan C.C 169.A 3.B 94.D 2594520520zz2+2z+2=0z.B 1+i.C 1+i.D 1 i.A 1 iABP(A|B)=P(A|B)P(AB)P(AB).A P(B|A)P(A|B).D P(A|B)P(A).B P(AB)P(A|B)ABCD A1B1C1D14PC1P=PD1.A AC1=BD1.若，则D=2sinB1PD sinA1PD.若，则的

5、最值为32C=1DP B1P.B DP+B1P 8anan+1=an+sin an.对，都有Bm N*am+1 am am1.当（）时，存在与正整数 使得Da1 k2 k Za1mam+1+am1=2am.若正整数 满，则Cmam+1+am1 2amam+2+am 0,b 0)F1F2APC2PAF2=PF2APl1F1PF2OOl2l1PF1N|F1F2|NP|=67045体能视视分布极差较差正常较好体能分布极差1011较差021正常28101较好015baab403iii3试卷第 页（共页）312T7 UNION18.（12分）记的内的对边分别为，与相切于点，在上，的延长线与交于 点.（1

6、）若的半径为，求；（2）若，当 最时，求.19.（12分）已知数列的各项均为正数且，.（1）求；（2）求数列的前 项和.20.（12分）在棱台中，为边长为 的正三形，且，点、分别为、的中点，点满.（1）求的正弦值的最值；（2）若，求平与平夹的取值范围.ABCA,B,Ca,b,cA=6AC OCB OAB OD O1BD=3bc=2bBOCana1=22an+1an+(n+2)a 2n=na2n+1an2nannSnABC A1B1C1 A A1C11AB A A1PQA1C1B1C1MMB=B1MA1 AB C1AC=2AB1AB1C1PQM试卷第 页（共页）412B1C1A1ABCQPT7

7、UNION21.（12分）抛物线与 轴负半轴交于点，与 轴正半轴交于点，点 在 上，且点 在 轴上.（1）若，点 在 与 之间运动，求的最值；（2）若点 在抛物线上且在 轴上，过 作的垂线交 于点，证明：，不可能四点共圆.22.（12分）已知函数有且仅有两个零点（）.（1）求 的取值范围；（2）设，若，求 的取值范围.E:y=x2+mxAxDBEBxm=1BADAB+BDCxBAD+2CAD=2BACEMABMCf(x)=(a x)eax+x+ax1,x2x1 0 an+1an=n+2nanan1 an1an2 an2an3 a4a3 a3a2 a2a1=n+1n 1 nn 2 n 1n 3

8、53 42 31 ana1=(n+1)n2a1=2 an=n(n+1)bn=2nan=n(n+1)2nSn=a1 21+a2 22+a3 23+an2 2n2+an1 2n1+an 2n2Sn=a1 22+a2 23+a3 24+an2 2n1+an1 2n+an 2n+1Sn=2a1 an 2n+1+(a2 a1)22+(a3 a2)23+(an1 an2)2n1+(an an1)2n,dn1=(an an1)2n=n 2n+1dnnTnTn1=2 23+3 24+4 26+(n 2)2n+n 2n+12Tn1=2 24+3 25+4 26+(n 2)2n+(n 1)2n+1+n 2n+2T

9、n1=2 23+24+25+2n+2n+1 n 2n+2=(1 n)2n+2 Tn1=(n 1)2n+2=d1+d2+dn1 Sn=2a1 an 2n+1+(n 1)2n+2=(n2+n 2)2n+1+4 Sn=(n2 n+2)2n+1 4试卷第 页（共页）712T7 UNION20.（1）作且，作且 在上，以为组基底建空间直坐标系，又为中点，设，由棱台：，设（），设，又，又，设的法向量为，的法向量为，由，取，记为，.（2），记为，依题意：，设与的法向量为，取，设与的夹为，又，,AH ABH ABCAG ABCGABC(AH.AB.AG)MBB1PQ=A1B1QM=BC1A(0,0,0)B(0

10、,b,0)A1(x,0,z)x2+y2=|A A1|2=1z 0A1B1C1 ABC A1B1C1 ABCA1B1AB=A1C1AC=A1B1AB=kk (0,1)(1,+)B1(x,kb,z)C1(m,n,z)C(m xk,nk,0)m2+z2+n2=|AC1|2=1(m x)2+n2=|AC1|2=1x2+y2=|A A1|2=1 m2=x2+14x2 1n2=1 14x2z2=1 x2 n2 0z2 0 x2 14,1)A A1=(x,0,z)AB=(0,b,0)AC1=(m,n,z)ABA1d1ABC1d2d 1 A A1=0d 1 AB=0d 2 AB=0d 2 AC1=0d 1=(

11、z,0,x)d 2=(z,0,m)A1 AB C1cos=cos cos=z2+m xz2+x2z2+m2=1 x2+x2 1214x2=x sin =1 cos2 =1 x2 32AC2=1k2(m2 2m x+n2+x2)=1k2AB2=x2+k2b2+z2=1+k2b2 1k2=4+4k2b21k2 4 0 k (0,12)kb=1+14k2t=1+14k2AB1=(x,t,z)B1C1=(m x,n t,0)PQ/ABAB=(0,b,0)QM/BC1BC1=(m,n b,z)AB1C1PQMd3d4d 3 AB1=0d 3 B1C1=0d 4 PQ=d 4 AB=0d 4 BC1=d

12、4 OM=0d3=(z(t n),z(m x),xn tm)d4=(z,0,m)AB1C1PQM|cos|=|cos|=|t4x2 12 n|12x|t24x2 tn+34n2=1 14x2 0,34)3 4n2 (0,3试卷第 页（共页）812T7 UNION，记，当时，当时，.21.（1），设，其中，设，易得，有.，当且仅当取等，令，则，那么的最值为.（2），设，又，此时，若，共圆，根据圆周定理，由倒公式，因为，又，又，盾，不可能四点共圆.cos =|(1 n2)t 12 n|(1 n2)t2 tn(1 n2)+34(1 n2)s=|(1 n2)t 12 n|cos2 =s2s2+3 4n

13、24 s2s2+34,1)t=n2(1 n2)k=0|n|32cos 1|cos|0,1)sin 0,1)(0,2 A(1,0)D(1,0)B(x0,1 x 20)x0 (1,1)|AB|+|BD|=(x0+1)2+(x 20 1)2+(x0 1)+(x 20 1)2f(x)=(x+1)2+(x2 1)2+(x 1)2+(x2 1)2,x (1,1)f(x)=f(x)f(x)2(x+1)2+(x 1)2+2(x2 1)2=2 2x4 2x2+4x=0t=x2,t (0,1),g(t)=2t2 2t+4g(t)g(0)=g(1)=4f(x)0f(x)(,x0)(x0,+)a 0 a 0 x a2

14、eax+1 0 x af(x)1 eax 0A(x)=ex x 1A(x)=ex 1x 0A(x)0A(x)x 0A(x)0A(x)ex x+1f(a+2)=2(ea(a+2)a 1)2(a2+a)0f(a 2)=2(a+1)ea(a+2)1 2(1a+1 1)0 x1 (a 2,a)f(x)a 1af(x)a2eax+1 0 x af(x)1 eax 0 xn (a,x0)f(xn)=0f(x)(,xn)(xn,+)f(0)=2a 0f(2 a)0 x1 (a 2,0),x2 (0,2 a)f(x)a (,0)(0,+)x1+x2=0(a x1)eax1+x1+a=0eax1=x1 ax1+

15、a a (x1)ea(x1)+a x1=0 x2=x1 (1)x1+x2=0 g(x1)+g(x1)11 bx2 0 x1 1(a+1)ea+a 1 0h(a)=a+1ea+a 1h(a)=1 aea 1 a+1ea 0 h(a)(,+)h(0)=0a 0 h(a)0 x1 1ex2(1+x)+ex2(1 x)11 bx2 0 x 0F(x1)=a x1 ln(x1+ax1 a)=0a x1 ln(x1+ax1 a)=0a x1 ln(x1 ax1+a)=0a x1+ln(x1 ax1+a)=0a x1 ln(x1+ax1 a)=0a 0 x1 0F(x1)=a(2x21 a2+1)0F(x1

16、)(,a)ax1x1x1 cx1 c试卷第页（共页）1012T7 UNION对成，记为，则，若，则，符合题意，若，则，使得盾，又时，记，且，即，又，；若，则，分离参数得，即；下证：符合题意，记上式为式，由上可得：，在上单调递增；且；，符合题意；若，不等式即，即对成，记为，由得：，记，又，；综上：.ac ln(c+ac a)0aH(a)=ac ln(c+ac a)H(0)=0H(a)=c 2c(c+a)(c a)=c(c2 a2 2c2 a2)=cc2 a2(c2 a2 2)cc2 a2 0a (0,c2 2)H(a)0 xb (0,c2 2)H(xb)0 c 2 x1 2x1=2G(a)=2a

17、 ln(a 2a 2)G(a)=2 22a2 2=2(1+2a2 2)=2a2a2 2 0G(0)=0a=0a 0 x1 01 bx2 0b (1x2)maxb 12b 121 bx2 1 12 x2 ex2(1+x)+ex2(1 x)=(1 x)ex+(1+x)ex2(1 x2)N(x)=(1 x)ex+(1+x)ex=(x)+2x (,0)N(x)N(2)=(1+2)e2+(1 2)e2=e2(1+2)(2 1)e22 01 x2 1 2 0 b 12b 0(1 bx2)(1 x)ex+(1+x)ex 2(1 x2)2(1 x2)(1 bx2)02(x2 1)+(1 bx2)(1 x)ex

18、+(1 bx2)(1+x)ex 0 x 2A(x)=t(b)0A(2)0b 12+11+2e2+(1 2)e2=b0 0A(x)=4x+x(bx2 2bx 2b 1)ex+x(bx2+2bx 2b 1)exP(x)=A(x)xP(x)=ex(bx2+4bx 1)+ex(bx2+4bx+1)x exbx2+4bx 0bx 0 ex(bx2+4bx+1)ex|bx2+4bx 1|P(x)0 P(x)P(2)0 P(x)P(2)=0b (,12+11+2e2+(1 2)e2 12.1)(1,+)试卷第页（共页）1112T7 UNION题号试题难度12345678910111213141516171819202122试卷第页（共页）1212