2024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线（学生版）.pdf

1、1直线与圆、圆锥曲线题型 01 直线与圆题型 02 椭圆题型 03 双曲线题型 04 抛物线题型 01 直线与圆1(2024浙江校联考一模)圆 C:x2+y2-2x+4y=0 的圆心 C 坐标和半径 r 分别为()A.C 1,-2,r=5B.C 1,-2,r=5C.C-1,2,r=5D.C-1,2,r=52(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)“a-5 或 a 5”是“圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:(x+a)2+(y-2a)2=36 存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)已知圆 C1:(

2、x-3)2+y2=1,C2:x2+(y-a)2=16，则下列结论正确的有()A.若圆 C1和圆 C2外离，则 a 4B.若圆 C1和圆 C2外切，则 a=4C.当 a=0 时，圆 C1和圆 C2有且仅有一条公切线D.当 a=-2 时，圆 C1和圆 C2相交4(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为x=3ty=4t-1(t 为参数)，直线 l2的参数方程为x=12 sy=32 s(s 为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆 C:(x-3)2+(y-4)2=m2都相离，求 m 的取值范围.5

3、(2024重庆统考一模)过点 P 作圆 C:x2+y2-4x-4 3y+15=0 的两条切线，切点分别为 A,B，若PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则 OP的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+26(2024江西吉安吉安一中校考一模)已知圆 C：x2+y2-4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线 kx-y-2k+1=0 与圆 C 始终有两个交点B.若 M 是圆 C 上任一点，则|MQ|的取值范围为 2 2,6 2C.若点 P(m,m+1)在圆 C 上，则直线 PQ 的斜率为 142D.圆 C 与 x 轴

4、相切7(2024河北校联考一模)已知圆 C:x2+2x+y2-1=0，直线 mx+n y-1=0 与圆 C 交于 A，B 两点.若 ABC 为直角三角形，则()A.mn=0B.m-n=0C.m+n=0D.m2-3n2=08(2024广东深圳校考一模)已知圆 C：x2+y2-2kx-2y-2k=0，则下列命题是真命题的是()A.若圆 C 关于直线 y=kx 对称，则 k=1B.存在直线与所有的圆都相切C.当 k=1 时，P x,y为圆 C 上任意一点，则 y+3x 的最大值为 5+3D.当 k=1 时，直线 l:2x+y+2=0,M 为直线 l 上的动点，过点 M 作圆 C 的切线 MA,MB，

5、切点为 A，B，则 CM AB最小值为 49(2024安徽合肥合肥一六八中学校考一模)已知直线 y=kx+2 k R交圆 O:x2+y2=9 于P x1,y1,Q x2,y2两点，则 3x1+4y1+16+3x2+4y2+16的最小值为()A.9B.16C.27D.3010(2024吉林延边统考一模)已知 A x1,y1,B x2,y2是圆 O:x2+y2=4 上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点 O 到直线 AB 的距离为2，则 AB=2 2B.若 AB=2 3，则 AOB=3C.若 AOB=2，则 x1+y1-1+x2+y2-1的最大值为 6D.x1x2+y1y2的最小值为-4题型

6、02 椭圆11(2024安徽合肥合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x2k+8+y29=1(k-8)的离心率为 e=12，则 k=()A.4B.4 或-54C.-45D.4 或-4512(2024福建厦门统考一模)设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 交于 A，B 两点，若 F1F2=2，且 ABF2的周长为 8，则()A.a=2B.C 的离心率为 14C.|AB|可以为 D.BAF2可以为直角13(2024云南曲靖统考一模)已知 P 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0上一点，F1,F2分别为 C 的左、右焦点，且 PF1

7、 PF2，若 PF1F2外接圆半径与其内切圆半径之比为 52，则 C 的离心率为314(2024重庆统考一模)已知点 F 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为 3 的直线交椭圆于 P,Q 两点，FP+FQ=FP-FQ，则该椭圆的离心率为15(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)已知 P 为椭圆 C:x29+y23=1 上的一个动点，过 P 作圆 M:(x-1)2+y2=2 的两条切线，切点分别为 A,B，则 AB的最小值为.16(2024山东济南山东省实验中学校考一模)若椭圆 C1和 C2的方程分别为 x2a2+y2b2=1(a b 0)和 x2a2+y2

8、b2=(a b 0,0 且 1)则称 C1和 C2为相似椭圆己知椭圆 C1:x24+y23=1,C2:x24+y23=(0 b 0)的离心率为63，点 P 0,2在椭圆 C 上，过点 P 的两条直线 PA，PB 分别与椭圆 C 交于另一点 A，B，且直线 PA，PB，AB 的斜率满足kPA+kPB=4kAB kAB 0(1)求椭圆 C 的方程；(2)证明直线 AB 过定点；(3)椭圆 C 的焦点分别为 F1，F2，求凸四边形 F1AF2B 面积的取值范围418(2024江西吉安吉安一中校考一模)如图，D 为圆 O：x2+y2=1 上一动点，过点 D 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 A

9、，B，连接 BA 并延长至点 W，使得 WA=1，点 W 的轨迹记为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)若过点 K-2,0的两条直线 l1，l2分别交曲线 C 于 M，N 两点，且 l1 l2，求证：直线 MN 过定点；(3)若曲线 C 交 y 轴正半轴于点 S，直线 x=x0与曲线 C 交于不同的两点 G，H，直线 SH，SG 分别交 x 轴于 P，Q 两点请探究：y 轴上是否存在点 R，使得 ORP+ORQ=2？若存在，求出点 R 坐标；若不存在，请说明理由519(2024湖南长沙雅礼中学校考一模)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 12，且点1,-32在椭圆

10、上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为 0 的直线过点(-1,0)与椭圆交于 M,N 两点，椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B，直线 BN 的斜率为 k1，直线 AM 的斜率为 k2，求证：k21+k22k1 k2为定值20(2024吉林延边统考一模)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0的右焦点为 F2，上顶点为 H，O 为坐标原点，OHF2=30，点 1,32在椭圆 E 上(1)求椭圆 E 的方程；(2)设经过点 F2且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，点 P-2,0，Q 2,0若 M，N 分别为直线 AP，BQ 与 y 轴的交点，

11、记 MPQ，NPQ 的面积分别为 SMPQ，SNPQ，求 SMPQSNPQ的值621(2024山东济南山东省实验中学校考一模)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的右焦点为F 2,0，点2,3在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F 的两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 A,B 两点和 P,Q 两点，设 AB,PQ 的中点分别为 M,N，求FMN 面积的最大值22(2024山西晋城统考一模)已知椭圆 P:x26+y22=1 的焦点是椭圆 E 的顶点，椭圆 Q:x26+y29=1的焦点也是 E 的顶点(1)求 E 的方程；(2)若 F x0,y0，C，D 三点均在 E

12、上，且 CF DF，直线 CF，DF，CD 的斜率均存在，证明：直线 CD 过定点(用 x0，y0表示)23(2024浙江校联考一模)已知椭圆 C:x24+y23=1 的左右焦点分别为 F1,F2，点 P x0,y0为椭圆 C 上异于顶点的一动点，F1PF2的角平分线分别交 x 轴、y 轴于点 M、N(1)若 x0=12，求 PF1；(2)求证：PMPN为定值；(3)当 F1PN 面积取到最大值时，求点 P 的横坐标 x0724(2024辽宁沈阳统考一模)已知如图，点 B1,B2为椭圆 C 的短轴的两个端点，且 B2的坐标为 0,1，椭圆 C 的离心率为22.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2

13、)若直线 l 不经过椭圆 C 的中心，且分别交椭圆 C 与直线 y=-1 于不同的三点 D,E,P(点 E 在线段 DP上)，直线 PO 分别交直线 DB2,EB2于点 M,N.求证：四边形 B1MB2N 为平行四边形.825(2024河北校联考一模)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 12，经过点 F1且倾斜角为 0 2的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点(其中点 A 在 x 轴上方)，ABF2的周长为 8(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，将平面 xOy 沿 x 轴折叠，使 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面(平面 AF1

14、F2)与 y 轴负半轴和 x 轴所确定的半平面(平面 BF1F2)互相垂直若 =3，求异面直线 AF1和 BF2所成角的余弦值；是否存在 0 0,b 0)的右顶点，O 为坐标原点，B,C 为双曲线 E 上两点，且 AB+AC=2AO，直线 AB,AC 的斜率分别为 2 和 14，则双曲线 E 的离心率为()A.2B.52C.62D.228(2024云南曲靖统考一模)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0，过其右焦点 F 作一条直线分别交两条渐近线于 A,B 两点，若 A 为线段 BF 的中点，且 OA BF，则双曲线 C 的渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=5xD

15、.y=12 x29(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右顶点分别为 A1,A2,F 为 C 的右焦点，C 的离心率为 2，若 P 为 C 右支上一点，PF FA2，记 A1PA2=0 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A是右支上一点，满足 AF1 AF2，直线 AF2交双曲线于另一点 B，且 BF1-AF1=2a，则双曲线的离心率为31(2024浙江校联考一模)已知 A,B 分别是双曲线 C:x24-y2=1 的左，右顶点，P 是双曲线 C 上的一动点，直线 PA，PB 与 x=1 交于 M,N 两点，PMN,PA

16、B 的外接圆面积分别为 S1,S2，则 S1S2的最小值为()A.316B.34C.34D.132(2024湖南长沙雅礼中学校考一模)已知 O 为坐标原点，双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、10右焦点分别是 F1，F2，离心率为62，点 P x1,y1是 C 的右支上异于顶点的一点，过 F2作 F1PF2的平分线的垂线，垂足是 M，|MO|=2，若双曲线 C 上一点 T 满足 F1T F2T=5，则点 T 到双曲线 C 的两条渐近线距离之和为()A.2 2B.2 3C.2 5D.2 633(2024安徽合肥合肥一六八中学校考一模)已知 F1，F2分别是双曲线:x2a2-

17、y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点，过 F1的直线分别交双曲线左、右两支于 A，B 两点，点 C 在 x 轴上，CB=3F2A，BF2平分 F1BC，则双曲线 的离心率为()A.7B.5C.3D.234(2024山西晋城统考一模)双曲线 C:x2-y2=m2(m 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P(t,s)(s 0)为 C 的右支上一点，分别以线段 PF1，PF2为直径作圆 O1，圆 O2，线段 OO2与圆 O2相交于点 M，其中 O 为坐标原点，则()A.O1O2=3mB.OM=mC.点(t,0)为圆 O1和圆 O2的另一个交点D.圆 O1与圆 O2有一条公切线的倾斜角为 435(

18、2024重庆统考一模)已知点 M 为圆 C:(x-2)2+y2=4 上任意一点，B-2,0，线段 MB 的垂直平分线交直线 MC 于点 Q(1)求 Q 点的轨迹方程；(2)设过点 C 的直线 l 与 Q 点的轨迹交于点 P，且点 P 在第一象限内已知 A-1,0，请问是否存在常数，使得 PCA=PAC 恒成立？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由1136(2024吉林延边统考一模)如图 1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 E:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左右焦点分别为 F1，F2，从 F2发

19、出的光线经过图 2 中的 A，B 两点反射后，分别经过点 C 和 D，且 cosBAC=-45，AB BD，则 E 的离心率为.题型 04 抛物线37(2024河北校联考一模)若抛物线 x2=2py(p 0)上一点 M n,6到焦点的距离是 4p，则 p 的值为()A.127B.712C.67D.7638(2024辽宁沈阳统考一模)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，若点 Q 是抛物线 C 上到点 4,0距离最近的点，则 QF=.39(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)抛物线 C：y2=2px(p 0)的顶点为 O，斜率为 1的直线 l 过点 2p,0，且与抛物线 C 交于 A

20、，B 两点，若 OAB 的面积为 8 5，则该抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-22C.x=-2D.x=-21240(2024新疆乌鲁木齐统考一模)设抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 4 的直线与 C 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆与准线 l 切于点 M-p2，2，则 C 的方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x41(2024重庆统考一模)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,O 为坐标原点，其准线与 x 轴交于点 M，经过点 M 的直线 l 与抛物线交于不同两点 A x1,y1,B x2,y2，则下列说法

21、正确的是()A.OA OB=5B.存在 AMF=50C.不存在以 AB 为直径且经过焦点 F 的圆D.当 ABF 的面积为 4 2 时，直线 l 的倾斜角为 6 或 5642(2024广西南宁南宁三中校联考一模)抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点过点 P 2 2,5且平行于 y 轴的一条光线射向抛物线 C:x2=4y 上的 A 点，经过反射后的反射光线与 C 相交于点 B，则 AB=()A.72B.9C.36D.9243(2024山东济南山东省实验中学校考一模)已知 F 为拋物线 C:y=14 x2的焦点，过点 F 的直线 l 与

22、拋物线 C 交于不同的两点 A，B，拋物线在点 A,B 处的切线分别为 l1和 l2，若 l1和 l2交于点 P，则|PF|2+25AB的最小值为.44(2024山西晋城统考一模)吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线(设该抛物线的焦点到准线的距离为 p 米)的一部分，左：右两边的悬索各连接着 29 根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为 a 米(将每根吊索视为线段)已知最中间的吊索的长度(即图中点 A 到桥面的距离)为 b 米，则最靠近前主塔的吊索的长度(即图中点 B 到

23、桥面的距离)为()A.98a2+pbp米B.49a2+pbp米C.169a2+pbp米D.169a2+2pb2p米45(2024浙江校联考一模)设 P 是抛物线弧 C:y2=8x(y 0)上的一动点，点 F 是 C 的焦点，A 4,4，则()A.F 2,0B.若 PF=4，则点 P 的坐标为 2,4C.AP+AF的最小值为 2+2 5D.满足 PFA 面积为 92 的点 P 有 2 个1346(2024广东深圳校考一模)设抛物线 C:y2=2px p 0的焦点为 F，点 P a,4在抛物线 C 上，POF(其中 O 为坐标原点)的面积为 4(1)求 a；(2)若直线 l 与抛物线 C 交于异于

24、点 P 的 A，B 两点，且直线 PA，PB 的斜率之和为 43，证明：直线 l 过定点，并求出此定点坐标47(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)在平面直角坐标系 xOy 中，点 F 0,1,P 为动点，以 PF 为直径的圆与 x 轴相切，记 P 的轨迹为.(1)求 的方程；(2)设 M 为直线 y=-1 上的动点，过 M 的直线与 相切于点 A，过 A 作直线 MA 的垂线交 于点 B，求MAB 面积的最小值.1448(2024安徽合肥合肥一六八中学校考一模)设抛物线 C:y2=2px(p 0)，过焦点 F 的直线与抛物线C 交于点 A x1,y1，B x2,y2.当直线 AB 垂直于 x 轴

25、时，AB=2.(1)求抛物线 C 的标准方程.(2)已知点 P 1,0，直线 AP，BP 分别与抛物线 C 交于点 C，D.求证：直线 CD 过定点；求 PAB 与 PCD 面积之和的最小值.1549(2024云南曲靖统考一模)已知斜率为 1 的直线 l1交抛物线 E:x2=2py p 0于 A、B 两点，线段AB 的中点 Q 的横坐标为 2(1)求抛物线 E 的方程；(2)设抛物线 E 的焦点为 F，过点 F 的直线 l2与抛物线 E 交于 M、N 两点，分别在点 M、N 处作抛物线 E 的切线，两条切线交于点 P，则 PMN 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l2的方程；若不存在，请说明理由50(2024广西南宁南宁三中校联考一模)已知曲线:x2=4y(1)若点 T t,s是 上的任意一点，直线 l:y=t2 x-s，判断直线 l 与 的位置关系并证明(2)若 E 是直线 y=-1 上的动点，直线 EA 与 相切于点 A，直线 EB 与 相切于点 B试问 AEB 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由若直线 EA,EB 与 x 轴分别交于点 C,D，证明：EBEC=ABCD