2024年高考数学一模试题好题汇编：三角函数（解析版）.pdf

1、1三角函数题型 01 任意角的三角函数题型 02 两角和与差的三角函数题型 03 三角函数的图象与性质题型 04 解三角形题型 01 任意角的三角函数1(2024辽宁沈阳统考一模)sinx=1 的一个充分不必要条件是.【答案】x=2(答案不唯一)【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.【详解】因为 x=2 时 sinx=1，由 sinx=1 可得 x=2+2k,k Z,故 sinx=1 的一个充分不必要条件是 x=2，故答案为：x=2(答案不唯一)2(2024重庆统考一模)英国著名数学家布鲁克泰勒(Taylor Brook)以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了

2、适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：sinx=x-x33!+x55!-x77!+，其中 n!=1 2 3 n根据该展开式可知，与 2-233!+255!-277!+的值最接近的是()A.sin2B.sin24.6C.cos24.6D.cos65.4【答案】C【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式=sin2 sin 2 57.3=sin 90+24.6=cos24.6，故选：C.3(2024福建厦门统考一模)若 sin +4=-35，则 cos -4=【答案】-35/-0.6【分析】应用诱导公式有 cos -

3、4=cos+4-2=sin +4，即可求值.【详解】cos -4=cos+4-2=sin +4=-35.故答案为：-354(2024山东济南山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()A.cos2sin3 0B.若圆心角为 3 的扇形的弧长为，则扇形的面积为 32C.终边落在直线 y=x 上的角的集合是 =4+2k,k Z2D.函数 y=tan 2x-6的定义域为 xx 3+k2,k Z，为该函数的一个周期【答案】ABD【分析】根据三角函数在各象限内的符号可判断出 A 正确；根据扇形弧长和面积公式可知 B 正确；由终边相同的角的集合表示方法可知 C 错误；根据正切型函数定义域和周期的判断方法可

4、知 D 正确.【详解】对于 A，2,3 均为第二象限角，cos2 0，cos2sin3 f(sinB)B.f(cosA)f(cosB)C.f(sinA)f(cosB)D.f(cosA)f(sinB)【答案】D【分析】由已知可得 2 A 2-B 0，根据余弦函数的单调性，得出 cosA 0,cosx 0，所以-xsinx-cosxx2 0，即 f(x)2，则 2 A 2-B 0，因为 y=cosx 在 0,2上单调递减，所以 0 cosA cos 2-B=sinB 1 f(sinB)，故 D 正确.同理可得 f(cosB)f(sinA)，C 错误；而 A,B 的大小不确定，故 sinA 与 si

5、nB，cosA 与 cosB 的大小关系均不确定，所以 f(sinA)与 f(sinB)，f(cosA)与 f(cosB)的大小关系也均不确定，AB 不能判断.故选：D6(2024河北校联考一模)在 ABC 中，若 A=nB n N*，则()A.对任意的 n 2，都有 sinA nsinBB.对任意的 n 2，都有 tanA nsinB 成立D.存在 n，使 tanA ntanB 成立3【答案】AD【分析】根据给定条件，举例说明判断 BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断 AC.【详解】在 ABC 中，当 A=3B 时，n=3，取 B=12，则 A=4，tanA=1，tanB=tan 3-4=

6、3-11+3=2-3，3tanB=3(2-3)，则 tanA 3tanB，B 错，D 对；显然0 A 0 B 0 C ，即0 nB 0 B 0 -B-nB ，则 0 B n+1，令 f(x)=sinnx-nsinx，0 x n+1,n 2，f(x)=ncosnx-ncosx=n(cosnx-cosx)0，因此函数 f(x)在 0,n+1上单调递减，则 f(x)f(0)=0，即 sinnB nsinB，从而 sinA 0的最小正周期为 4(1)求 的值，并写出 f x的对称轴方程；(2)在 ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 满足 2a-ccosB=b cosC，求函数 f A的

7、取值范围【答案】(1)=14,x=23+2k,k Z(2)12,1【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)=sin 2x+6，再根据周期求出 的值,利用整体法即可求解对称轴.(2)把已知的等式变形并利用正弦定理可得 cosB=12，故 B=3，故 f(A)=sin 12 A+6,0 A 23，6根据正弦函数的定义域和值域求出 f A的取值范围【详解】(1)f x=12-sin2x+32 sin2x=12+32 sin2x-sin2x=12+32 sin2x-1-cos2x2=32 sin2x+12 cos2x=sin 2x+6 T=22=4，=14 故 f x=sin 12 x+

8、6令 12 x+6=2+k,k Z，解得 x=23+2k,k Z，故对称轴方程为：x=23+2k,k Z(2)由 2a-ccosB=b cosC 得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA sinA 0，cosB=12，B 0,B=3 f(A)=sin 12 A+6,0 A 23，6 A2+6 2，12 sin A2+6 0)的图象向左平移 2 个单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 的最小值是()A.13B.23C.43D.53【答案】B7【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数

9、的性质即可得到答案.【详解】结合题意可得 f x+2=sin x+2+6=sin x+2 +6,(0)，因为曲线 C 关于 y 轴对称，所以 2 +6=k+2,k Z，解得 =2k+23,k Z,因为 0，所以当 k=0 时，有最小值 23.故选：B.16(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)已知函数 f x=cos2x+acosx+2，则下列说法正确的有()A.当 a=0 时，f x的最小正周期为 B.当 a=1 时，f x的最小值为 78C.当 a=3 时，f x在区间 0,2上有 4 个零点D.若 f x在 0,3上单调递减，则 a 2【答案】AB【分析】根据三角函数的周期性、含 cosx

10、的二次项函数的值域、三角函数的零点、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当 a=0 时，f x=cos2x+2，所以 f x的最小正周期为，A 选项正确；当 a=0 时，f x=cos2x+cosx+2=2cos2x+cosx+1=2 cosx+142+78 78，所以 f x的最小值为 78，B 选项正确；当 a=4 时，f x=cos2x+3cosx+2=2cos2x+3cosx+1=2cosx+1cosx+1，令 f x=0，解得 cosx=-12 或 cosx=-1，此时 x=23 或 x=43 或 x=，f x在区间 0,2上有 3 个零点，C 选项错误；f x=c

11、os2x+acosx+2=2cos2x+acosx+1，设 t=cosx，cosx 在 0,3上单调递减，则 t 12,1，根据复合函数的单调性，g t=2t2+at+1 在12,1上单调递增，所以-a4 12，解得 a-2，D 选项错误.故选：AB17(2024湖南长沙雅礼中学校考一模)已知函数 f(x)=sinx+3cosx(0)满足:f6=2,f 23=0,则()A.曲线 y=f(x)关于直线 x=76 对称B.函数 y=f x-3是奇函数C.函数 y=f(x)在6,76单调递减D.函数 y=f(x)的值域为-2,2【答案】ABD【分析】用辅助角公式化简 f(x),再利用 f6=2,f

12、23=0,得出 的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】f(x)=2sin x+3,所以函数 y=f(x)的值域为-2,2,故 D 正确；8因为 f 23=0,所以 23 +3=k1,k1 Z,所以 =3k1-12,k1 Z，因为 f6=2,所以 6 +3=2+2k2,k2 Z,所以 =12k2+1,k2 Z，所以 3k1-12=12k2+1,即 k1=8k2+1，所以 1,13,25,37，因为 f 76=2sin12k2+176+3=2sin 14k2+32=-2，所以曲线 y=f(x)关于直线 x=76 对称,故 A 正确；因为 f x-3=2sin12k2+1x-3+3=2

13、sin12k2+1x-4k2=2sin12k2+1x即 f x-3=-f-x-3，所以函数 y=f x-3是奇函数,故 B 正确；取 =13,则最小正周期 T=2=213 0)的图象与直线 y=32 相邻的三个交点，且 BC-AB=3,f-12=0，则()A.=4B.f 98=12C.函数 f x在3,2上单调递减D.若将函数 f x的图象沿 x 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为 24【答案】ACD【分析】令 f x=32 求得 xA,xB,xC 根据 BC-AB=3 求得 =4，根据 f-12=0 求得 f x的解析式，再逐项验证 BCD 选项.【详解】令 f x=sin

14、 x+=32 得，x+=3+2k 或 x+=23+2k，k Z，由图可知：xA+=3+2k，xC+=3+2k+2，xB+=23+2k，所以 BC=xC-xB=1-3+2，AB=xB-xA=1 3，所以 3=BC-AB=1-23+2，所以 =4，故 A 选项正确，9所以 f x=sin 4x+，由 f-12=0 得 sin-3+=0，所以-3+=+2k，k Z，所以 =43+2k，k Z，所以 f x=sin 4x+43+2k=sin 4x+43=-sin 4x+3，f 98=-sin 92+3=-12，故 B 错误.当 x 3,2时，4x+3 53,2+3，因为 y=-sint 在 t 53,

15、2+3为减函数，故 f x在3,2上单调递减，故 C 正确；将函数 f x的图象沿 x 轴平移 个单位得 g x=-sin 4x+4+3，(0 时向左平移)，g x为偶函数得 4+3=2+k，k Z，所以 =24+k4，k Z，则 的最小值为 24，故 D 正确.故选：ACD.19(2024重庆统考一模)已知 f x=2asinx cosx+bcos2x 0,a 0,b 0的部分图象如图所示，当 x 0,34时，f x的最大值为 【答案】3【分析】由图象求出函数 f x的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数 f x在 0,34上的最大值.【详解】因为 f x=2asinx cosx+

16、bcos2x=asin2x+bcos2x 0,a 0,b 0，设 f x=Asin 2x+A 0,0，由图可知，函数 f x的最小正周期为 T=4 6+12=，则 2=2T=2=2，又因为 A=f xmax-f xmin2=2+22=2，则 f x=2sin 2x+，因为 f-12=2sin -6=2，可得 sin -6=1，所以，-6=2+2k k Z，则 =23+2k k Z，则 f x=2sin 2x+23+2k=2sin 2x+23，当 0 x 34 时，23 2x+23 136，10故 f xmax=2sin 23=2 32=3.故答案为：3.20(2024云南曲靖统考一模)函数 f

17、 x=Asin x+(其中 A 0，0，2)的部分图象如图所示，则()A.f 0=-1B.函数 f x的最小正周期是 2C.函数 f x的图象关于直线 x=3 对称D.将函数 f x的图象向左平移 6 个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称【答案】AC【分析】利用图象求出函数 f x的解析式，代值计算可判断 A 选项；利用正弦型函数的周期性可判断 B 选项；利用正弦型函数的对称性可判断 C 选项；利用三角函数图象变换可判断 D 选项.【详解】由图可知，A=f xmax-f xmin2=2-22=2，函数 f x的最小正周期 T 满足 3T4=712-6=34，则 T=，=2T=2=2，B

18、错；所以，f x=2sin 2x+，f-6=2sin 2 -6+=2sin -3=-2，可得 sin -3=-1，因为-2 2，所以，-56 -3 6，则 -3=-2，可得 =-6，所以，f x=2sin 2x-6，则 f 0=2sin-6=-1，A 对；f3=2sin 2 3-6=2sin 2=2=f xmax，所以，函数 f x的图象关于直线 x=3 对称，C 对；将函数 f x的图象向左平移 6 个单位长度以后，得到函数 y=2sin 2 x+6-6=2sin 2x+6的图象，所得函数为非奇非偶函数，D 错.故选：AC.21(2024浙江校联考一模)已知函数 y=2sin x+，该图象上

19、最高点与最低点的最近距离为 5，且点 1,0是函数的一个对称点，则 和 的值可能是()A.=-3,=-3B.=-3,=23C.=3,=3D.=3,=2311【答案】D【分析】由题意首先得 =3，进一步由 +=k,k Z，对比选项即可得解.【详解】由题意函数的周期 T 满足，T2=52-42=3=22，所以 =3，又点 1,0是函数的一个对称点，所以 +=k,k Z，所以=3=k-3,k Z或=-3=k+3,k Z，对比选项可知，只有当=3=23k=1时满足题意.故选：D.22(2024广东深圳校考一模)已知函数 f x=cos x+3+1(0)的最小正周期为，则 f x在区间 0,2上的最大值

20、为()A.12B.1C.32D.2【答案】C【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值.【详解】由题意 T=2=，解得 =2，所以 f x=cos 2x+3+1，当 x 0,2时，t=2x+3 3,43，所以 f x在区间 0,2上的最大值为 cos 3+1=32，当且仅当 x=0 时等号成立.故选：C.23(2024山西晋城统考一模)若函数 f(x)=cosx(0 02k 2 k+1 52，解得 4(k+1)5 2k(k N*)因为函数 y=cosx 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以 4(k+1)5 2k(k N*)当 k=1 时，85 2当 k=2 时，125 4当 k 2

21、时，4(k+1)5 4(k+2)5 2k又 0 100，所以 的取值范围为85,2125,4165,62045,100=85,2125,100故答案为：85,2125,10012【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出 4 k+15 0,0,的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.=2，频率为 1，初相为 6B.函数 f x的图象关于直线 x=-6 对称C.函数 f x在12,1324上的值域为 0,2D.若把 f x图像上所有点的横坐标缩短为原来的 23 倍，纵坐标不变，再向左平移 12 个单位，则所得函数是 y=2sin 3x+12【答案】BCD【分析】根据图象求出三

22、角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断.【详解】由图象可得 A=2,34 T=1312-3=34,T=，频率是 1T=1,=2=2,f3=2,f3=2sin 23+=2，即 sin 23+=1,23+=2k+2(k Z)，=2k-6(k Z),|,=-6，对于 A，f(x)=2sin 2x-6，初相是-6，故 A 错误；对于 B，f-6=2sin-3-6=-2，故 B 正确；对于 C，因为 x 12,1324，所以 2x-6 0,1112，f(x)=2sin 2x-6在12,1324上的值域为 0,2，故 C 正确；对于 D，把 f(x)的横坐标缩短为原来的 23 倍

23、，纵坐标不变，得到的函数为 y=2sin 3x-6，又向左平移 12 个单位，得到的函数为 y=2sin 3 x+12-6=2sin 3x+12，故 D 正确；故选：BCD.题型 04 解三角形25(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点 C，D，E从 D 点测得 ADC=67.5，从 C 点测得 ACD=45，BCE=75，13从 E 点测得 BEC=60若测得 DC=2 3，CE=2(单位：百米)，则 A，B 两点的距离为()A.6B.2 2C.3D.2 3【答案】C【分析】在 ADC 中，求得 AC=DC；在

24、BCE 中，利用正弦定理求得 BC；再在 ABC 中，利用余弦定理即可求得结果.【详解】根据题意，在 ADC 中，ACD=45，ADC=67.5，DC=2 3，则 DAC=180-45-67.5=67.5，则 AC=DC=2 3，在 BCE 中，BCE=75，BEC=60，CE=2，则 EBC=180-75-60=45，则有CEsinEBC=BCsinBEC，变形可得 BC=CE sinBECsinEBC=2 3222=3，在 ABC 中，AC=2 3，BC=3，ACB=180-ACD-BCE=60，则 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=9，则 AB=3故选：C.【点睛】本题考查

25、利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.26(2024广东深圳校考一模)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=3，b=5，c=2acosA，则 cosA=()A.13B.24C.33D.63【答案】D【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.【详解】解：因为 c=2acosA，由余弦定理可得 c=2a b2+c2-a22bc，将 a=3，b=5 代入整理得 c=2 6，所以 cosA=c2a=63.故选：D.27(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 c-b=2bcosA，则下列结

26、论正确的有()A.A=2BB.B 的取值范围为 0,4C.ab 的取值范围为2,3D.1tanB-1tanA+2sinA 的最小值为 2 2【答案】AC【分析】用正弦定理可判断 A 项，由锐角三角形可判断 B 项，用倍角公式可判断 C 项，切化弦后用取等条件14即可判断 D 项.【详解】在 ABC 中，由正弦定理可将式子 c-b=2bcosA 化为 sinC-sinB=2sinBcosA，把 sinC=sin A+B=sinAcosB+cosAsinB 代入整理得，sin A-B=sinB，解得 A-B=B 或 A-B+B=，即 A=2B 或 A=(舍去)，所以 A=2B，选项 A 正确；选项

27、 B：因为 ABC 为锐角三角形，A=2B，所以 C=-3B，由0 B 2,0 2B 2,0 -3B 0，所以 a=2.(2)由(1)及已知，有 cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-42bc=-12，可得 b2+c2+bc=4，又 a+b+c=2+5，即 b+c=5，所以(b+c)2-bc=5-bc=4 bc=1，故 SABC=12 bcsinA=34.29(2024广西南宁南宁三中校联考一模)记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 a-bc=sinA-sinCsinA+sinB(1)求角 B 的大小；(2)若 b=2，求 ABC 周长的最大值【答案】(1)B

28、=3(2)615【分析】(1)根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；(2)根据 a2+c2-b2=ac，结合基本不等式运算求解.【详解】(1)因为 a-bc=sinA-sinCsinA+sinB，由正弦定理可得 a-bc=a-ca+b，整理得 a2+c2-b2=ac，由余弦定理可得 cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，且 B 0,，所以 B=3.(2)由(1)可知：a2+c2-b2=ac，整理得 a+c2-4=3ac，即 ac=a+c2-43，因为 ac a+c24，当且仅当 a=c=2 时，等号成立，则a+c2-43a+c24，可得 a+c2 16，即 a+c

29、4，所以 ABC 周长的最大值为 4+2=6.30(2024山东济南山东省实验中学校考一模)在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，且 cosC=-14,c=2a.(1)求 sinA 的值；(2)若 ABC 的周长为 18，求 ABC 的面积.【答案】(1)158(2)3 15【分析】(1)由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解;(2)由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解.【详解】(1)因为 0 C ，cosC=-14，所以 sinC=1-cos2C=154.因为 c=2a，所以 sinC=2sinA，则 sinA=sinC2=158.(2)因为 cosC=-14，

30、所以 c2=a2+b2+12 ab.因为 c=2a，所以 3a2-12 ab-b2=0，解得 b=32 a.因为 ABC 的周长为 18，所以 a+b+c=92 a=18，解得 a=4，则 b=6,c=8.故 ABC 的面积为 12 bcsinA=12 6 8 158=3 15.31(2024浙江校联考一模)在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，已知c2b2+c2-a2=sinCsinB(1)求角 A；(2)设边 BC 的中点为 D，若 a=7，且 ABC 的面积为 3 34，求 AD 的长【答案】(1)A=316(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简

31、计算得到 b2+c2-a2=bc，再结合余弦定理即可求出角 A；(2)根据三角形面积公式得到 bc=3 和 b2+c2=10，再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在 ABC 中，由正弦定理得，sinCsinB=cb，因为c2b2+c2-a2=sinCsinB，所以c2b2+c2-a2=cb，化简得，b2+c2-a2=bc，在 ABC 中，由余弦定理得，cosA=b2+c2-a22bc=12，又因为 0 A ，所以 A=3(2)由 SABC=12 bcsinA=34 bc=3 34，得 bc=3，由 a2=b2+c2-2bccosA，得 7=b2+c2-3，所以 b2+c2=10又因为边

32、BC 的中点为 D，所以 AD=12 AB+AC，所以 AD=12(AB+AC)2=12b2+c2+2bccosA=12 10+2 3 12=13232(2024河南郑州郑州市宇华实验学校校考一模)已知在 ABC 中，3sin(A+B)=1+2sin2 C2(1)求角 C 的大小；(2)若 BAC 与 ABC 的内角平分线交于点，ABC 的外接圆半径为 2，求 ABI 周长的最大值【答案】(1)3；(2)4+2 3【分析】(1)利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得 sin C+6=1，再根据角的范围可得解；(2)利用正弦定理求出 AB，求出 AIB，设出 ABI，将 AI,BI 用 ABI

33、表示，根据三角函数知识求出 AI+BI 的最大值可得解.【详解】(1)3sin(A+B)=1+2sin2 C2，且 A+B+C=，3sinC=1+1-cosC=2-cosC，即3sinC+cosC=2，sin C+6=1 C (0，)，C+6 6，76，C+6=2，即 C=3(2)ABC 的外接圆半径为 2，由正弦定理知，ABsinACB=ABsin 3=2 2=4，AB=2 3，ACB=3，ABC+BAC=23，BAC 与 ABC 的内角平分线交于点，ABI+BAI=3，AIB=23，17设 ABI=，则 BAI=3-，且 0 3，在 ABI 中，由正弦定理得，BIsin 3-=AIsin=

34、ABsinAIB=2 3sin 23=4，BI=4sin 3-，AI=4sin，ABI 的周长为 2 3+4sin 3-+4sin=2 3+432 cos-12 sin+4sin=2 3+2 3cos+2sin=4sin +3+2 3，0 3，3 +3 23，当 +3=2，即 =6 时，ABI 的周长取得最大值，最大值为 4+2 3，故 ABI 的周长的最大值为 4+2 3【点睛】关键点点睛：将 AI,BI 用 ABI 表示，根据三角函数知识求出 AI+BI 的最大值是解题关键.33(2024辽宁沈阳统考一模)在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 b2=ac+a2.(

35、1)求证：B=2A；(2)当 3c+7a3b取最小值时，求 cosB 的值.【答案】(1)证明见解析(2)cosB=-13【分析】(1)利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.(2)利用基本不等式求得 3c+7a3b的最小值时的取等条件 b=2 33a，再结合余弦定理从而求解.【详解】(1)证明：由余弦定理知 b2=a2+c2-2accosB，又因为 b2=a2+ac，所以 a2+ac=a2+c2-2ac cosB，化简得 a=c-2acosB，所以 sinA=sinC-2sinAcosB，因为 A+B+C=，所以 sinA=sin A+B-2sinAcosB，所以 sinA=si

36、nAcosB+cosAsinB-2sinAcosB=cosAsinB-sinAcosB，所以 sinA=sin B-A，因为 A 0,B-A -,，所以 A=B-A 或 A+B-A=(舍)，所以 B=2A.(2)由题知，3c+7a3b=3ac+7a23ab=3 b2-a2+7a23ab=ba+43 ab 243=4 33，当且仅当 b=2 33a 时取等，又因为 b2=ac+a2，所以 c=13 a，所以 cosB=a2+c2-b22ac=a2+13 a2-2 33 a22a 13 a=-13.34(2024重庆统考一模)在梯形 ABCD 中，AB CD,ABC 为钝角，AB=BC=2,CD=

37、4，18sinBCD=154(1)求 cosBDC；(2)设点 E 为 AD 的中点，求 BE 的长【答案】(1)78；(2)342【分析】(1)在 BCD 中利用余弦定理求出 BD，再利用二倍角的余弦公式计算即得.(2)利用(1)的结论，借助向量数量积求出 BE 的长.【详解】(1)在梯形 ABCD 中，由 AB CD,ABC 为钝角，得 BCD 是锐角，在 BCD 中，sinBCD=154，则 cosBCD=1-sin2BCD=14，由余弦定理得 BD=22+42-2 2 4 14=4，即 BCD 为等腰三角形，所以 cosBDC=cos(-2BCD)=-cos2BCD=1-2cos2BC

38、D=78.(2)由 AB CD，得 ABD=BDC，由点 E 为 AD 的中点，得 BE=12(BA+BD)，所以|BE|=12BA 2+BD 2+2BA BD=1222+42+2 2 4 78=342.35(2024山西晋城统考一模)在 ABC 中，AB=3 3，AC=5 3，BC=7 3(1)求 A 的大小；(2)求 ABC 外接圆的半径与内切圆的半径【答案】(1)A=23(2)32【分析】(1)由余弦定理即可求解；(2)由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.【详解】(1)由余弦定理得 cosA=AB2+AC2-BC22AB AC=-12，因为 0 A ，所以 A=23(2)

39、设 ABC 外接圆的半径与内切圆的半径分别为 R，r，由正弦定理得 2R=BCsinA=7 332=14，则 R=7ABC 的面积 S=12 AB AC sinA=45 34，由 12 r(AB+AC+BC)=S，得 r=2SAB+AC+BC=32 36(2024黑龙江齐齐哈尔统考一模)记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 B=4,4bcosC=2c+2a.(1)求 tanC；19(2)若 ABC 的面积为 32，求 BC 边上的中线长.【答案】(1)tanC=12(2)52.【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得 tanC.(2)根据三角形 ABC 的

40、面积求得 ac，根据同角三角函数的基本关系式求得 sinA,cosA，利用正弦定理、向量数量积运算来求得 BC 边上的中线长.【详解】(1)由正弦定理可得csinC=bsinB，所以 4sinBcosC=2sinC+2sinA，即 2 2cosC=2sinC+2sinA，又 A+B+C=，所以 2 2cosC=2sinC+2sin 4+C=2 2sinC+2cosC，整理得2cosC=2 2sinC，解得 tanC=12；(2)依题意，12 acsinB=12 ac 22=32，解得 ac=3 2，又 tanA=tan 34-C=-1-tanC1-tanC=-3，所以 A 为钝角，所以由sin

41、AcosA=-3sin2A+cos2A=1,解得 sinA=310,cosA=-110，由正弦定理可得 ca=sinCsinA=15310=23，又 ac=3 2，所以 a=3,c=2,b=csinBsinC=2 2215=5，设 BC 的中点为 D，则 AD=12 AB+AC，所以 AD 2=14(AB+AC)2=b2+c2+2bccosA4=2+5+2 2 5 -1104=54，所以 BC 边上的中线长为52.37(2024云南曲靖统考一模)在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 c=2acosC-2b(1)求 A；(2)线段 BC 上一点 D 满足 BD=14 B

42、C,AD=BD=1，求 AB 的长度【答案】(1)A=23；(2)4 77.【分析】(1)由余弦边角关系及已知得-bc=b2+c2-a2，再由余弦定理即可求 A；20(2)由题设得 ADB=-2B，且 AD=BD=1,BC=4，C=3-B，在 ADB、ABC 应用正弦定理得AB=2cosB、tanB=32,0 B 3，即可求 AB 的长度【详解】(1)由题设及余弦定理知：c=2a a2+b2-c22ab-2b=a2+b2-c2b-2b，所以-bc=b2+c2-a2，又 cosA=b2+c2-a22bc=-12，A (0,)，所以 A=23.(2)由题设 ADB=-2B，且 AD=BD=1,BC=4，C=3-B，在 ADB 中 ADsinB=ABsin(-2B)=ABsin2B，则 AB=2cosB，在 ABC 中ABsin 3-B=BCsin 23=83，则AB32 cosB-12 sinB=83，综上，可得 tanB=32,0 B 3，则 cosB=27，故 AB=4 77.