2024高考数学 基础知识综合复习 冲A专题4 立体几何综合问题.docx

1、冲A专题四立体几何综合问题1.(2023浙江衢州)用一个平面去截一个正方体,所得截面形状可能为()三角形四边形五边形六边形圆A.B.C.D.2.(2023浙江舟山中学) 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为,EF与平面ABC所成的角为,二面角F-BC-A的平面角为,则()A.B.C.D.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD上的动点,PEA1C于点E,且PA=PE,则点P的轨迹是()A.线段B.圆C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分4.(2020浙江学考)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1

2、的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2,E,F分别是侧面ACC1A1和侧面ABB1A1上的动点,满足二面角A-EF-A1为直二面角.若点P在线段EF上,且APEF,则点P的轨迹的面积是()A.3B.23C.43D.835.(2023浙江绍兴)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为4的正方形,P是棱A1D1上的一个动点,若PA=10,PD=2,则三棱锥P-ABD外接球的表面积是()A.144B.36C.9D.66.(多选)(2023浙江强基联盟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,点P在侧面ABB1A1上运动,且APA1M,已知正方体的棱长为2,则()A

3、.AP平面A1D1MB.点P的轨迹长度为5C.PM的最小值为1455D.当P在棱A1B1上时,经过A,P,M三点的正方体的截面周长为25+213+9567.(多选)(2023浙江舟山中学)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,点M是AD(不包括端点)上的动点.将AED,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点P,连接EF,PB.下列说法正确的有()A.PDEFB.若把EBF沿着EF继续折起,点B与点P恰好重合C.无论点M在线段AD上的哪里,PB都不可能与平面MEF平行D.三棱锥P-DEF的外接球表面积为68.(2023浙江温州知临中学)已知圆锥的母线长

4、为5,侧面积为20,过此圆锥的顶点作一截面,则截面面积最大为.9.(2022浙江萧山)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD为平行四边形,AA1=3,AB=2,AD=1,BAD=60,则以D1为球心,半径为2的球面与侧面BCC1B1的交线的长度为.10.(2023浙江衢温5+1联盟)已知正三棱锥S-ABC的高为4,底面边长为43.(1)求该正三棱锥的表面积;(2)用平行于底面ABC的平面去截该三棱锥,所得截面三角形A1B1C1的边长为33,已知点A1,B1,C1,A,B,C都在同一球面上,求该球的体积.11.(2023浙江四校)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,平面

5、ABC平面BCC1B1,且B1CAB,点D为棱A1B1的中点.(1)求证:直线B1C平面ABC;(2)若AB=1,AC=3,BB1=3,求直线CD与平面ABB1A1所成角的正弦值.冲A专题四立体几何综合问题1.C2.A解析 如图所示,过点F作FPAC于点P,过点P作PMBC于点M,连接PE,FM,FC.则=EFP,=FEP,=FMP,tan=PEFP=PEAB1,tan=FPPE=ABPE1,tan=FPPMFPPE=tan,所以,故选A.3.A解析 连接A1P,可证A1APA1EP,即A1A=A1E,即点E是体对角线A1C上的定点,直线AE也是定直线.PA=PE,动点P必定在线段AE的中垂面

6、上,则中垂面与底面ABCD的交线就是动点P的轨迹,动点P的轨迹是线段.故选A.4.B解析 二面角A-EF-A1为直二面角,平面AEF平面EFA1,又点P在线段EF上,且APEF,AP平面AEF,平面AEF平面EFA1=EF,AP平面EFA1,连接A1P,APA1P,点P在以AA1为直径的球上,且点P在三棱柱ABC-A1B1C1内部,点P的轨迹为以AA1为直径的球面在三棱柱ABC-A1B1C1内部的曲面,又三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,点P的轨迹为以AA1为直径的球面,占球面的16,点P的轨迹面积是S=16412=23.故选B.5.B解析 令长方体ABCD-A1B1C1D1的高为h,PD

7、1=x,于是x2+h2=2,(4-x)2+h2=10,解得x=h=1.易知PDA=DPD1=45,则PAD外接圆半径r=12PAsin45=102=5,显然AB平面PAD,因此三棱锥P-ABD外接球的球心O在线段AB的中垂面上,球心O到平面PAD的距离为d=12AB=2,则三棱锥外接球的半径R=r2+d2=5+4=3,所以三棱锥P-ABD外接球的表面积S=4R2=36.故选B.6.BCD解析 对于A,取BB1的中点E,连接A1E,EM,则A1D1B1C1,B1C1EM,所以A1D1EM,所以A1,D1,M,E四点共面,因为A1D1平面ABB1A1,AP平面ABB1A1,所以A1D1AP,又AP

8、A1M,A1D1A1M=A1,A1D1,A1M平面A1D1ME,所以AP平面A1D1ME,故A错误;对于B,因为AP平面A1D1ME,A1E平面A1D1ME,所以APA1E.取A1B1的中点H,连接AH,HM,易知AHA1E,所以点P的轨迹为线段AH,且AH=22+12=5,故B正确;对于C,由上知AH平面A1D1ME,记垂足为K,因为KM平面A1D1ME,所以KMAH,所以KM为点M到AH的最小距离,即PM的最小值,在AHM中,AH=5,HM=6,AM=3,cosHAM=5+9-6253=4515,所以sinHAM=14515,所以点M到AH的距离d=AMsinHAM=314515=1455

9、,故C正确;对于D,取CD上靠近点C的四等分点F,C1B1上靠近C1的三等分点I,易知AFHI,AHFM,所以A,F,M,I,H五点共面,所以五边形AFMIH即为截面,所以周长L=AF+FM+MI+IH+HA=52+52+133+53+5=25+213+956,故D正确.故选BCD.7.ABD解析 连接BD,与EF相交于点G,连接PG,因为在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,所以AE=CF,可得ADECDF,故DE=DF,所以BD是EF的垂直平分线,所以G是EF的中点,因为PE=PF,所以PGEF,因为PGBG=G,PG,BG平面PBG,所以EF平面PBG,因为PD平面PB

10、G,所以PDEF,A正确;因为BE=BF=PF=PE,故将EBF沿着EF折起,点B与点P恰好重合,B正确;连接AC交BD于点O,则BO=DO,因为E是AB的中点,F是BC的中点,所以EFAC,且BG=GO,当点M为PD上靠近点P的四等分点时,MDPD=DGDB=34,可得MGPB,因为PB平面MEF,MG平面MEF,可得PB平面MEF,C错误;由DE=DF=5,EF=2,在EDF中,由余弦定理得cosEDF=ED2+DF2-EF22EDDF=5+5-2255=45,所以sinEDF=1-cos2EDF=35.设DEF的外接圆半径为R,圆心为Q,由正弦定理得2R=EFsinEDF=235=523

11、,QD=R=526.过点P作PHBD于点H(图略),则PH平面DEF,又因为PE=PF=1,EF=2,所以PEPF,且PG=22,设HG=m,则HD=322-m,由勾股定理得PG2-HG2=PD2-HD2,即222-m2=22-322-m2,解得m=26,所以PH2=12-118=49,所以PH=23.设球心为I,则IQ底面DEF,过点I作INPH于点N,连接ID,则IN=HQ=HD-QD=423-526=22,设IQ=HN=h,则PN=|PH-HN|=23-h或PN=PH+HN=23+h,设外接球半径为r,则ID=IP=r,即h2+5262=23-h2+222或h2+5262=23+h2+2

12、22,解得h=13,所以r=(13)2+(526)2=62,三棱锥P-DEF的外接球表面积为4r2=432=6,D正确.故选ABD.8.252解析 设圆锥的底面半径为r,则S侧=5r=20,r=4,圆锥的高h=52-r2=3,设轴截面中两母线夹角为2,则tan=431,4,22.当两母线夹角为2时,过此圆锥顶点的截面面积最大,最大面积为S=12l2sin2=1252=252.9.2解析 如图,取FB1=1,连接D1F,D1B1.因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1底面ABCD,可得直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的四个侧面均为矩形,所以D1C1CC1,因为D1C1=2,所以

13、以D1为球心,2为半径的球面与直线C1C相切.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,AA1=3,AB=2,AD=1,BAD=60,在A1D1B1中,根据余弦定理可得,D1B12=A1D12+A1B12-2A1D1A1B1cos60=1+4-21212=3,所以D1B1=3.因为D1B12+B1C12=C1D12,所以D1B1C1=90,即D1B1B1C1.因为BB1底面A1B1C1D1,D1B1平面A1B1C1D1,所以BB1D1B1,所以D1F=D1B12+B1F2=3+1=2,所以球面与侧面BCC1B1的交点为F和C1,又FB1=B1C1=1,D1B1平面BCC

14、1B1,所以点F和C1在以B1为圆心,1为半径的圆上,因为BB1C1B1,所以弧FC1的长度为1421=2,所以球面与侧面BCC1B1的交线为弧FC1,所以球面与侧面BCC1B1的交线的长度为2.10. 解 (1)过点S作SO底面ABC,垂足为O,则SO为三棱锥的高,O为ABC的中心且SOB=90.AB=AC=BC=43,BO=4,SB=42,正三棱锥的斜高h=25.SSAB=SSAC=SSBC=124325=415,正三棱锥S-ABC的表面积S=3SSAB+SABC=3415+124343sin60=1215+123,该正三棱锥的表面积为1215+123.(2)A1B1C1-ABC为正三棱台

15、,球心在直线SO上,记OS与A1B1C1的交点为O,则O为A1B1C1的中心.设球心为M,设MO=x,MO=y,A1B1=33,AB=43,OS=4,OO=1,OB1=3,则x2+42=y2+32,且|x-y|=1或x+y=1,解得x=3,y=4,即MO=3,MO=4,外接球的半径R=5,球的体积V=4R33=5003.11.(1)证明 因为ABAC,过点A作AHBC,交边BC于点H.因为AHBC,平面ABC平面BCC1B1,平面ABC平面BCC1B1=BC,AH平面ABC,故AH平面BCC1B1,又B1C平面BCC1B1,故AHB1C,又B1CAB,AHAB=A,AH,AB平面ABC,故B1

16、C平面ABC.(2)因为ABAC,ABB1C,ACB1C=C,AC,B1C平面AB1C,故AB平面AB1C,又AB平面ABB1A1,故平面ABB1A1平面AB1C.过点C作CEAB1,交直线AB1于点E,因为平面ABB1A1平面AB1C=AB1,CE平面AB1C,则CE平面ABB1A1.故直线CD与平面ABB1A1所成角即CDE.因为B1CAB,ABA1B1,故B1CA1B1,又AB=1,AC=3,BB1=3,故BC=1+3=2,B1C=9-4=5,AB1=3+5=22,CD=(12)2+5=212,CE=CACB1AB1=3522=304,故sinCDE=CECD=7014,即直线CD与平面ABB1A1所成角的正弦值为7014.