21-平面解析几何（圆锥曲线之椭圆）-五年（2018-2022）高考数学真题按知识点分类汇编.docx

1、五年 2018-2022 高考数学真题按知识点分类汇编 21-平面解析几何（圆锥曲线之椭圆）（含解析）一、单选题 1（2022全国统考高考真题）椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称若直线,AP AQ 的斜率之积为 14，则 C 的离心率为（）A32B22C 12D 132（2022全国统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为 13，12,A A 分别为 C 的左、右顶点，B 为 C 的上顶点若121BA BA ，则 C 的方程为（）A2211816xyB22198xy+=C22132xyD2212xy3（202

2、1全国统考高考真题）设 B 是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C 上的任意一点 P 都满足|2PBb，则C 的离心率的取值范围是（）A2,12B 1,12C20,2D10,24（2021全国统考高考真题）已知1F，2F 是椭圆C：22194xy 的两个焦点，点 M 在C 上，则12MFMF的最大值为（）A13B12C9D65（2020山东统考高考真题）已知椭圆的长轴长为 10，焦距为 8，则该椭圆的短轴长等于（）A3B6C8D126（2019全国高考真题）已知椭圆 C 的焦点为121,01,0FF()，()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若222AFF B，1ABB

3、F，则 C 的方程为A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy7（2018全国高考真题）已知1F，2F 是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为36的直线上，12PF F为等腰三角形，12120F F P，则C 的离心率为A 23B 12C 13D 148（2018全国高考真题）已知1F，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PFPF，且2160PF F，则C 的离心率为A312B23C312D 3 19（2018全国高考真题）已知椭圆C：2221(0)4xyaa 的一个焦点为(2 0)，则C 的离心

4、率为A 13B 12C22D 2 2310（2018全国专题练习）（2017 新课标全国卷文科）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为A63B33C23D 1311（2019北京高考真题）已知椭圆22221xyab（ab0）的离心率为 12，则Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b 二、多选题 12（2020海南高考真题）已知曲线22:1C mxny.（）A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为nC若 mn0，则 C 是两条

5、直线 三、填空题 13（2022全国统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C 的上顶点为 A，两个焦点为1F，2F，离心率为 12 过1F 且垂直于2AF 的直线与 C 交于 D，E 两点，|6DE，则ADEV的周长是_14（2019全国统考高考真题）设12FF，为椭圆22:+13620 xyC 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F为等腰三角形，则 M 的坐标为_.四、解答题 15（2022全国统考高考真题）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 30,2,12AB 两点(1)求 E 的方程；(2)设过点 1,2P的直线交 E 于

6、M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足 MTTH证明：直线 HN 过定点16（2022北京统考高考真题）已知椭圆：2222:1(0)xyEabab的一个顶点为(0,1)A，焦距为2 3(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点(2,1)P 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与x 轴交于点 M，N，当|2MN 时，求 k 的值17（2022天津统考高考真题）椭圆222210 xyabab的右焦点为 F、右顶点为 A，上顶点为 B，且满足32BFAB(1)求椭圆的离心率 e；(2)直线 l 与椭圆有唯一公共点 M，与

7、 y 轴相交于 N（N 异于 M）记 O 为坐标原点，若OMON，且 OMN 的面积为3，求椭圆的标准方程18（2021北京统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab一个顶 点(0,2)A，以椭圆 E 的四个顶点为顶点的四边形面积为4 5（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与直线交 y=-3 交于点 M，N，当|PM|+|PN|15 时，求 k 的取值范围19（2021全国统考高考真题）已知椭圆 C 的方程为22221(0)xyabab，右焦点为(2,0)F，且离心率为63（1）

8、求椭圆 C 的方程；（2）设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线222(0)xyb x相切证明：M，N，F 三点共线的充要条件是|3MN 20（2021天津统考高考真题）已知椭圆222210 xyabab的右焦点为 F，上顶点为 B，离心率为 2 55，且5BF（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点 M，与 y 轴的正半轴交于点 N，过 N 与 BF 垂直的直线交 x 轴于点 P 若/MP BF，求直线l 的方程21（2020全国统考高考真题）已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为 154，A，B 分别为C 的左、右顶点（1）求C 的方程；（2）若点

9、P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且|BPBQ，BPBQ，求APQ的面积22（2020山东统考高考真题）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点 2,1A（1）求C 的方程：（2）点 M，N 在C 上，且 AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得 DQ 为定值23（2020全国统考高考真题）已知椭圆 C1：22221xyab(ab0)的右焦点 F 与抛物线C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|=43|AB|.（1）求 C1 的离心率；（2）设 M 是

10、 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程.24（2020海南高考真题）已知椭圆 C：22221(0)xyabab过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 12，（1）求 C 的方程；（2）点 N 为椭圆上任意一点，求 AMN 的面积的最大值.25（2020全国统考高考真题）已知椭圆 C1：22221xyab(ab0)的右焦点 F 与抛物线C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|=43|AB|（1）求 C1 的离心率；（2）若 C1 的四个

11、顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程26（2019全国高考真题）已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 12.记 M 的轨迹为曲线 C.（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.（i）证明：PQG 是直角三角形；（ii）求 PQG 面积的最大值.27（2019全国高考真题）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点（1）若

12、2POF 为等边三角形，求 C 的离心率；（2)如果存在点 P，使得12PFPF，且12F PF的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.28（2019北京高考真题）已知椭圆2222:1xyC ab 的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A.（）求椭圆 C 的方程；（）设 O 为原点，直线:(1)l ykxt t 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|ON|=2，求证：直线 l 经过定点.29（2019天津高考真题）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为

13、55.（）求椭圆的方程；（）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N在 y 轴的负半轴上.若|ONOF（O 为原点），且OPMN，求直线 PB 的斜率.30（2018天津高考真题）设椭圆22221(0)xyabab的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆的离心率为53，13AB（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l ykx k与椭圆交于 P，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQV面积的 2 倍，求k 的值31（2018天津高考真题）设椭圆22221xyab(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.

14、已知椭圆的离心率为53，点 A 的坐标为,0b，且6 2FBAB.（I）求椭圆的方程；（II）设直线 l：(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若5 2 sin4AQAOQPQ(O 为原点)，求 k 的值.32（2018北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A、B.（）求椭圆 M 的方程；（）若1k ，求|AB 的最大值；（）设 2,0P，直线 PA与椭圆 M 的另一个交点为C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若C、D和点7 1,4 4Q 共线，

15、求 k.五、双空题 33（2021浙江统考高考真题）已知椭圆22221(0)xyabab，焦点1(,0)Fc，2(,0)F c(0)c，若过1F 的直线和圆22212xcyc相切，与椭圆在第一象限交于点 P，且2PFx轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_.参考答案：1A【分析】设 11,P x y，则11,Qx y，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa，再根据2211221xyab，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】方法一：设而不求设11,P x y，则11,Qx y则由14APAQkk得：21112211114APAQyyykkxaxaxa，由2211

16、221xyab，得2221212baxya，所以2221222114baxaxa，即2214ba，所以椭圆C 的离心率22312cbeaa，故选 A.方法二：第三定义设右端点为 B，连接 PB，由椭圆的对称性知：PBAQkk 故14APAQPAAQkkkk，由椭圆第三定义得：22PAAQbkka，故2214ba 所以椭圆C 的离心率22312cbeaa，故选 A.2B【分析】根据离心率及12=1BA BA，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113cbeaa，解得2289ba，2289ba，12,A A 分别为 C 的左右顶点，则12,0,0AaA a，B

17、为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)BAab BAab，因为121BA BA 所以221 ab，将2289ba 代入，解得229,8ab，故椭圆的方程为22198xy+=.故选：B.3C【分析】设00,Pxy，由 0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出 PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设00,Pxy，由 0,Bb，因为2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc ，即22bc时，22max4PBb，即max2PBb，符合题意，由22bc可得2

18、22ac，即202e；当32bbc ，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立故选：C【点睛】本题解题关键是如何求出 PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值4C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF 即可得到答案【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）故选：C【点睛】5B【分析】根据椭圆中,a b c 的关系即可求解.【详解】椭圆的长轴长

19、为 10，焦距为 8，所以210a，28c，可得5a，4c，所以22225 169bac，可得3b，所以该椭圆的短轴长26b，故选：B.6B【分析】由已知可设2F Bn，则212,3AFnBFABn，得12AFn，在1AFB中求得11cos3F AB，再在12AF F中，由余弦定理得32n，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F Bn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn在1AF B中，由余弦定理推论得22214991cos2 233nnnF ABnn在12AF F中，由余弦定理得221442 2243nnnn，解得32n 222242

20、 3,3,3 12,anabac 所求椭圆方程为22132xy，故选 B法二：由已知可设2F Bn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn在12AF F和12BF F中，由余弦定理得22212221442 22 cos4,422 cos9nnAF FnnnBF Fn ，又2 12 1,AFFBFF互补，2121coscos0AF FBF F，两式消去2121coscosAF FBF F,，得223611nn，解得32n 222242 3,3,3 12,anabac 所求椭圆方程为22132xy，故选 B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考

21、查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养7D【详解】分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率.详解：因为12PF F为等腰三角形，12120F F P，所以 PF2=F1F2=2c,由 AP 斜率为36得，2223112tan,sincos61313PAFPAFPAF，由正弦定理得2222sinsinPFPAFAFAPF,所以2112211313=4,5431211sin()3221313cac eacPAF，故选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,a b c 的方程或不等式，再根据,

22、a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8D【详解】分析：设2|PFm，则根据平面几何知识可求121,F FPF，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在12F PF中，122190,60FPFPF F设2|PFm，则1212|2,|3cF Fm PFm，又由椭圆定义可知122|(31)aPFPFm则离心率22312(31)ccmeaam，故选 D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“

23、焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.9C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为2 0，从而求得2c，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b ，利用椭圆中对应,a b c 的关系，求得2 2a，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c，因为24b ，所以2228abc，即2 2a，所以椭圆C 的离心率为2222 2e，故选 C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,a b c 的关系求得结果.10A【

24、详解】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点0,0，半径为ra，圆的方程为222xya，直线20bxayab 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即222abdaab，整理可得223ab=，即2223,aac即2223ac，从而22223cea，则椭圆的离心率2633cea，故选 A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,a b c 的方程或不等式，再根据,a b c 的关系消掉b 得到,a c的关系式，而建立关于,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11B【分析】由题意利用离心率的定义和,a b

25、 c 的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率2221,2cecaba,化简得2234ab,故选 B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.12ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0mn时表示椭圆，0mn时表示圆，0mn 时表示双曲线，0,0mn时表示两条直线.【详解】对于 A，若0mn，则221mxny 可化为22111xymn，因为0mn，所以 11mn，即曲线C 表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B，若0mn，则221mxny 可化为221xyn，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故 B 不正确；对于 C，

26、若0mn，则221mxny 可化为22111xymn，此时曲线C 表示双曲线，由220mxny可得myxn ，故 C 正确；对于 D，若0,0mn，则221mxny 可化为21yn，nyn，此时曲线C 表示平行于 x 轴的两条直线，故 D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.1313【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线 DE 的斜率，写出直线 DE 的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120

27、xyc，整理化简得到：22136 390ycyc，利用弦长公式求得138c，得1324ac，根据对称性将ADEV的周长转化为2F DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a.【详解】椭圆的离心率为12cea，2ac，22223bacc，椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，222AFaOFcac，23AF O，12AF F为正三角形，过1F 且垂直于2AF 的直线与 C 交于 D，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，直线 DE 的斜率为33，斜率倒数为3，直线 DE 的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120 x

28、yc，整理化简得到：22136 390ycyc，判别式22226 34 13 9616ccc ，2121322 6 461313cDEyy ，138c，得1324ac，DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF，ADEV的周长等于2F DE的周长，利用椭圆的定义得到2F DE周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa.故答案为：13.143,15【分析】根据椭圆的定义分别求出12MFMF、，设出 M 的坐标，结合三角形面积可求出 M的坐标.【详解】由已知可得2222236,20,16,4abcabc，又 M 为C 上一点且在第

29、一象限,12MF F为等腰三角形，11228MFF Fc24MF 设点 M 的坐标为0000,0,0 xyxy，则1 21200142MF FSF Fyy，又1 222014824 15,44 152MF FSy，解得015y，2201513620 x，解得03x （03x 舍去），M的坐标为3,15【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养15(1)22143yx(2)(0,2)【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆 C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【详解】（1）解

30、：设椭圆 E 的方程为221mxny，过 30,2,12AB ，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆 E 的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AB yx，若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x .代入22134xy，可得2 6(1,)3M，2 6(1,)3N，代入 AB 方程223yx，可得2 6(63,)3T，由 MTTH得到2 6(2 65,)3H.求得 HN 方程：2 6(2)23yx，过点(0,2).若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykM x yN xy.联立22(2)0,134kxykxy

31、得22(34)6(2)3(4)0kxkk xk k，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkx xk，12221228 2344 44234kyykkky yk，且1221224(*)34kx yx yk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyx y 可求得此时1222112:()36yyHN yyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0,2).【点睛】求定点、定

32、值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.16(1)2214xy(2)4k 【分析】（1）依题意可得222122 3bccab，即可求出 a，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设 11,B x y、22,C x y，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线 AB、AC 的方程，表示出Mx、Nx，根据NMMNxx得到方程，解得即可；【详解】（1）解：依题意可得1b ，22 3c，又222cab，所以2a，所以椭圆方程为2214xy；（2）解：依题意过点 2,1P 的直线为12yk x，设 11,

33、B x y、22,C x y，不妨令1222xx，由221214yk xxy ，消去 y 整理得22221 416816160kxkk xkk，所以22221684 1 416160kkkkk，解得0k，所以21221681 4kkxxk，212216161 4kkx xk，直线 AB 的方程为1111yyxx，令0y ，解得111Mxxy，直线 AC 的方程为2211yyxx，令0y，解得221Nxxy，所以212111NMxxMNxxyy2121121121xxk xk x212122xxk xk x2121212222xxxxk xx12212222xxk xx，所以122122xxk

34、xx，即 212122 121424xxx xkx xxx即222222222168161616161684241 41 41 41 4kkkkkkkkkkkkk 即222222222821 416162 1684 1 41 41 4kkkkkkkkkkkkk整理得84kk，解得4k 17(1)63e(2)22162xy【分析】（1）根据已知条件可得出关于 a、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223xya，设直线l 的方程为 ykxm，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0可得出22231 3mak，求出点 M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条

35、件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.【详解】（1）解：2222222222234332BFbcaabaabABbaba，离心率为22263cabeaa.（2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223xya，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ykxm，联立2223ykxmxya得22221 3630kxkmxma，由22222222364 1 33031 3k mkmamak，2331Mkmxk ，21 3MMmykxmk，由OMON 可得222229131mkmk，由3OMNS可得231321 3kmmk，联立可得213k，24m，26a ，故椭圆的标准方程为22162xy 18（1

36、）22154xy；（2）3,1)(1,3【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设 1122,B x yC x y，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PMPN，联立直线 BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 PMPN，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过 0,2A，故2b，因为四个顶点围成的四边形的面积为4 5，故 1224 52ab，即5a，故椭圆的标准方程为：22154xy.（2）设 1122,B x yC xy，因为直线 BC 的斜率存在，故120 x x，故直线112

37、:2yAB yxx，令=3y，则112Mxxy，同理222Nxxy.直线:3BC ykx，由2234520ykxxy可得224530250kxkx，故22900100 450kk，解得1k 或1k .又1212223025,4545kxxx xkk，故120 x x，所以0MNx x 又1212=22MNxxPMPNxxyy2212121222212121222503024545=5253011114545kkkx xxxxxkkkkkkxkxk x xk xxkk故515k 即3k ，综上，31k 或13k.19（1）2213xy；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得3a，进而可

38、得2b，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证3MN；充分性：设直线:,0MN ykxb kb，由直线与圆相切得221bk，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得22224131 3kkk，进而可得1k ，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c 且63cea，所以3a，又2221bac，所以椭圆方程为2213xy；（2）由（1）得，曲线为221(0)xyx，当直线 MN 的斜率不存在时，直线:1MN x ，不合题意；当直线 MN 的斜率存在时，设1122,M x yN xy，必要性：若 M，N，F 三点共线，可设直线:2MN yk x即20kx

39、yk，由直线 MN 与曲线221(0)xyx相切可得2211kk，解得1k ，联立22213yxxy 可得246 230 xx，所以12122,3243xxxx，所以212121 143MNxxx x,所以必要性成立；充分性：设直线:,0MN ykxb kb即0kxyb，由直线 MN 与曲线221(0)xyx相切可得211bk，所以221bk，联立2213ykxbxy可得2221 36330kxkbxb，所以2121222633,1 31 3kbbxxx xkk，所以2222212122263314141 31 3kbbMNkxxxxkkk 2222411 3kkk 3，化简得 22310k，

40、所以1k ，所以12kb 或12kb ，所以直线:2MN yx或2yx ，所以直线 MN 过点(2,0)F，M，N，F 三点共线，充分性成立；所以 M，N，F 三点共线的充要条件是|3MN【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.20（1）2215xy；（2）60 xy.【分析】（1）求出 a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点00,Mxy，分析出直线l 的方程为0015x xy y，求出点 P 的坐标，根据/MP BF 可得出MPBFkk，求出0 x、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解

41、】（1）易知点,0F c、0,Bb，故225BFcba，因为椭圆的离心率为2 55cea，故2c，221bac，因此，椭圆的方程为2215xy；（2）设点00,Mxy为椭圆2215xy 上一点，先证明直线 MN 的方程为0015x xy y，联立00221515x xy yxy，消去 y 并整理得220020 xx xx，2200440 xx，因此，椭圆2215xy 在点00,Mxy处的切线方程为0015x xy y.在直线 MN 的方程中，令0 x，可得01yy，由题意可知00y，即点010,Ny，直线 BF 的斜率为12BFbkc ，所以，直线 PN 的方程为012yxy，在直线 PN 的

42、方程中，令0y，可得012xy，即点01,02Py，因为/MP BF，则MPBFkk，即20000002112122yyx yxy，整理可得20050 xy，所以，005xy，因为222000615xyy，00y，故066y，05 66x ，所以，直线l 的方程为66166xy，即60 xy.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为 ykxm与椭圆方程联立，由0 进行求解；（2）椭圆22221xyab 在其上一点00,xy的切线方程为00221x xy yab，再应用此方程时，首先应证明直线00221x xy yab 与椭圆22221xyab 相切

43、.21（1）221612525xy；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25xyCmm，可得5a，bm，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点 P 作 x 轴垂线，垂足为 M，设6x 与 x 轴交点为 N，可得PMBBNQ，可求得 P 点坐标，从而求出直线 AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ的面积.【详解】（1）222:1(05)25xyCmm5a，bm，根据离心率22154115cbmeaa，解得54m 或54m (舍)，C 的方程为：22214255xy，即221612525xy（2）方法一：通性通法不妨设 P,Q 在 x

44、轴上方，过点 P 作 x 轴垂线，垂足为 M，设直线6x 与 x 轴交点为 N根据题意画出图形，如图|BPBQ，BPBQ，90PMBQNB，又90PBMQBN，90BQNQBN，PBMBQN，根据三角形全等条件“AAS”，可得：PMBBNQ，221612525xy，(5,0)B，651PMBN，设 P 点为(,)PPxy，可得 P 点纵坐标为1Py ，将其代入221612525xy，可得：21612525Px，解得：3Px 或3Px ，P 点为(3,1)或(3,1)，当 P 点为(3,1)时，故5 32MB ，PMBBNQ，|2MBNQ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A,(

45、6,2)Q，可求得直线 AQ 的直线方程为：211100 xy，根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为222 3 11 1 10555125211d ，根据两点间距离公式可得：2265205 5AQ，APQ面积为：1555 5252；当 P 点为(3,1)时，故5+38MB，PMBBNQ，|8MBNQ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A,(6,8)Q，可求得直线 AQ 的直线方程为：811400 xy，根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为228311 1 4055185185811d ，根据两点间距离公式可得：226580185AQ，APQ面积为

46、：15518522185，综上所述，APQ面积为：52.方法二【最优解】：由对称性，不妨设 P，Q 在 x 轴上方，过 P 作 PEx轴，垂足为 E设(6,0)D，由题知，PEBBDQ故131pBPPEPEPExQBBD ，因为(3,1),(5,0),(6,2)PAQ，如图，所以，52APQAQDPEDQPEASSSS因为(3,1),(5,0),(6,8)PAQ，如图，所以52APQAQDPEDQPEASSSS综上有52APQS方法三：由已知可得 5,0B，直线,BP BQ 的斜率一定存在，设直线 BP的方程为5yk x，由对称性可设0k，联立方程22(5),161,2525yk xxy消去

47、y 得22221 161601625250kxk xk，由韦达定理得2216 252551 16Pkxk，所以228051 16Pkxk，将其代入直线 BP的方程得2101 16Pkyk，所以22280510,1 161 16kkPkk，则22222228051010 1|51 161 161 16kkkBPkkk因为 BPBQ，则直线 BQ的方程为1(5)yxk，则2221116,|1kQBQkkk 因为|BPBQ，所222210 111 16kkkk，422566810kk，即22641 410kk，故2164k 或214k，即18k 或12k 当18k 时，点 P，Q 的坐标分别为(3,

48、1),(6,8),|130PQPQ，直线 PQ的方程为71093yx，点 A 到直线 PQ的距离为 13026，故APQ的面积为 113051302262当12k 时，点 P，Q 的坐标分别为(3,1),(6,2),|10PQPQ，直线 PQ的方程为13yx，点(5,0)A 到直线 PQ的距离为 102，故APQ的面积为 110510222综上所述，APQ的面积为 52 方法四：由（1）知椭圆的方程为221612525xy，(5,0),(5,0)AB不妨设00,Pxy在 x 轴上方，如图设直线:(5)(0)AP yk xk因为|,BPBQ BPBQ，所以00|1,|5QyBNyBMx 由点 P

49、 在椭圆上得201612525x ，所以209x 由点 P 在直线 AP 上得015k x，所以01 5kxk所以2159kk，化简得216101kk 所以0110155516kxkkk，即(6,16)Qk 所以，点 Q 到直线 AP 的距离22|6165|511kkkkdkk又22220001|515kAPxykxk故22111552221APQkkSAP dkk即APQ的面积为 52 方法五：由对称性，不妨设 P，Q 在 x 轴上方，过 P 作 PCx轴，垂足为 C，设(6,0)D，由题知 PCBBDQ，所以131pBPPCPCPCxQBBD （1）(3,1),(5,0),(6,2)PAQ

50、则2212211115(|)(|)|8 2 11 1|2222APQSAPAQAPAQx yx y （其中1122,APx yAQx y）（2）(3,1),(5,0),(6,8)PAQ同理，2212211115(|)()|2 8 11 1|2222APQSAP AQAP AQx yx y （其中1122,APx yAQx y）综上，APQ的面积为 52【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点 P 的坐标，从而得出点Q 的坐标以及直线 AQ 的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求APQ的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：

51、通过设直线 BP的方程5yk x与椭圆的方程联立，求出点 P 的坐标，再根据题目等量关系求出k 的值，从而得出点Q 的坐标以及直线 AQ 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线 AP 的方程:(5)(0)AP yk xk，通过平面知识求出点 P 的坐标，表示出点Q，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出22（1）22163xy；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点 M

52、，N 的坐标，在斜率存在时设方程为 ykxm,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线 MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411caababc，解得：2226,3abc，故椭圆方程为：22163xy.(2)方法一：通性通法设点1122,M x yN xy，若直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 的方程为：ykxm，代入椭圆方程消去 y 并整理得：2221 24260kxkmxm，可得122412kmxxk ，21 22261 2mx xk，因为 AMAN，

53、所以0AM AN，即 121222110 xxyy，根据1122,kxm ykxmy,代入整理可得：221 21212140 x xkmkxxkm，所以22222264121401 21 2mkmkkmkmkk，整理化简得231 210kmkm，因为(2,1)A不在直线 MN 上，所以 210km ，故23101kmk，于是 MN 的方程为2133yk x1k，所以直线过定点直线过定点21,33P.当直线 MN 的斜率不存在时，可得11,N xy，由0AM AN 得：111122110 xxyy，得1221210 xy，结合2211163xy 可得：2113840 xx，解得：123x 或22

54、x（舍）.此时直线 MN 过点21,33P.令Q 为 AP 的中点，即4 1,3 3Q，若 D与 P 不重合，则由题设知 AP 是 RtADP的斜边，故12 223DQAP，若 D与 P 重合，则12DQAP，故存在点4 1,3 3Q，使得 DQ 为定值.方法二【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的 O 点平移至点 A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163xy，设直线MN 的方程为4mxny+=将直线 MN 方程与椭圆方程联立得224240 xxyy，即22()2()0 xmxny xymxny y，化简得22(2)()(1)0nymn xym x，即2(2)()(1)

55、0yynmnmxx设1122,M xyN xy，因为 AMAN则1212AMANyykkxx112mn，即3mn 代入直线 MN 方程中得()340n yxx则在新坐标系下直线MN 过定点44,33，则在原坐标系下直线 MN 过定点21,33P 又 ADMN，D 在以 AP 为直径的圆上AP 的中点 4 1,3 3 即为圆心 Q经检验，直线MN 垂直于 x 轴时也成立故存在4 1,3 3Q，使得12 2|23DQAP方法三：建立曲线系A点处的切线方程为 21163xy，即30 xy 设直线 MA 的方程为11210k xyk，直线 MB 的方程为22210k xyk，直线 MN 的方程为0kx

56、ym由题意得121k k?-则过 A，M，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为22112212121063xyk xykk xyk（其中 为系数）用直线 MN 及点 A 处的切线可表示为()(3)0kxymxy（其中 为系数）即22112212121()(3)63xyk xykk xykkxym xy对比 xy项、x 项及 y 项系数得121212(1),4(3),21(3).kkkkkmkkkm将代入，消去,并化简得3210mk，即2133mk 故直线 MN 的方程为2133yk x，直线MN 过定点21,33P 又 ADMN，D 在以 AP为直径的圆上 AP 中点 4

57、 1,3 3 即为圆心 Q经检验，直线 MN 垂直于 x 轴时也成立故存在4 1,3 3Q，使得12 2|23DQAP方法四：设1122,M x yN xy若直线 MN 的斜率不存在，则1111,M x yN xy因为 AMAN，则0AM AN，即1221210 xy 由2211163xy，解得123x 或12x（舍）所以直线 MN 的方程为23x 若直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 的方程为 ykxm，则222122()61 20 xkxmkxxxx令2x ，则1222(21)(21)221 2kmkmxxk又221221262ymyyyyykk，令1y ，则122(21)(21)111

58、2kmkmyyk因为 AMAN，所以 12122211AM ANxxyy2(21)(231)1 2kmkmk0，即21mk 或2133mk 当21mk 时，直线 MN 的方程为21(2)1ykxkk x 所以直线 MN 恒过(2,1)A，不合题意；当2133mk 时，直线 MN 的方程为21213333ykxkk x，所以直线MN 恒过21,33P 综上，直线 MN 恒过21,33P，所以4 2|3AP 又因为 ADMN，即 ADAP，所以点 D 在以线段 AP 为直径的圆上运动取线段 AP 的中点为4 1,3 3Q，则12 2|23DQAP所以存在定点 Q，使得|DQ 为定值【整体点评】（2

59、）方法一：设出直线 MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点 P，再根据平面几何知识可知定点Q 即为 AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的 O 点平移至点 A 处，设直线MN 的方程为4mxny+=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n的关系，从而可知直线过定点 P，从而可知定点Q 即为 AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MNykxm，再利用过点,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点 P，故可知定点Q 即为 AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了

60、一元二次方程的零点式赋值，简化了求解1222xx以及1211yy的计算23（1）12；（2）221:13627xyC，22:12Cyx.【分析】（1）求出 AB、CD，利用43CDAB可得出关于a、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）方法四由（1）可得出1C 的方程为2222143xycc，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点 M的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1）,0F c，ABx轴且与椭圆1C 相交于 A、B 两点，则直线 AB 的方程为 xc，联立22222221xcxyababc，解得2xcbya，则22

61、bABa，抛物线2C 的方程为24ycx，联立24xcycx，解得2xcyc，4CDc，43CDAB，即2843bca，223bac，即222320caca，即22320ee，01eQ，解得12e，因此，椭圆1C 的离心率为 12；（2）方法一：椭圆的第二定义由椭圆的第二定义知20|MFeaxc，则有200|aMFexaexc，所以0152ax，即0210 xa又由0|5MFxc，得052 ax从而21052 aa，解得6a 所以3,6,3 3,6cabp故椭圆1C 与抛物线2C 的标准方程分别是2221,123627xyyx 方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式以(c,0)F为极点，x 轴的正半

62、轴为极轴，建立极坐标系由（）知2ac，又由圆锥曲线统一的极坐标公式2|1 cos cMF，得255cosc，由132|11cos2cMF，得3105cosc，两式联立解得3c 故1C 的标准方程为2213627xy，2C 的标准方程为212yx方法三：参数方程由（1）知2,3ac bc，椭圆1C 的方程为2222143xycc，所以1C 的参数方程为（为参数），将它代入抛物线22:4Cycx的方程并化简得23cos8cos30，解得1cos3 或cos3 （舍去），所以2 2sin3，即点 M 的坐标为 22 6,33cc 又|5MF ，所以由抛物线焦半径公式有5Mxc，即 253 cc，解得

63、3c 故1C 的标准方程为2213627xy，2C 的标准方程为212yx方法四【最优解】：利用韦达定理由（1）知2ac，3bc，椭圆1C 的方程为2222143xycc，联立222224143ycxxycc，消去 y 并整理得22316120 xcxc，解得23xc或6xc（舍去），由抛物线的定义可得25533cMFcc，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627xy，曲线2C 的标准方程为212yx.【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆

64、锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.24（1）2211612xy；（2）18.【分析】(1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点 N 到直线 AM 的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线 AM 的方程为：13(2)

65、2yx，即24 xy.当 y=0 时，解得4x ，所以 a=4，椭圆2222:10 xyCabab过点 M(2，3)，可得249116b，解得 b2=12.所以 C 的方程：2211612xy.(2)设与直线 AM 平行的直线方程为：2xym，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时 AMN的面积取得最大值.联立直线方程2xym与椭圆方程2211612xy，可得：2232448myy，化简可得：2216123480ymym，所以221444 16 3480mm ，即 m2=64，解得 m=8，与 AM 距离比较远的直线方程：28xy，直线 AM 方程为：

66、24 xy，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：8412 5514d，由两点之间距离公式可得22|(24)33 5AM.所以 AMN 的面积的最大值：112 53 51825.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题25（1）12；（2）1C：2211612xy，2C：28yx.【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用

67、代入法求出,A B C D 点的纵坐标，根据4|3CDAB，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F,所以抛物线2C 的方程为24ycx，其中22cab.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221xyab，所以当 xc时，有222221cybyaba ，因此,A B 的纵坐标分别为2ba，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24ycx，所以当 xc时，有242yc cyc ，所以,C D 的纵坐标分别为2c，2c

68、，故22|bABa，|4CDc.由4|3CDAB得2843bca，即2322()ccaa，解得2ca （舍去），12ca.所以1C 的离心率为 12.（2）由（1）知2ac，3bc，故22122:143xyCcc，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c，(2,0)c，(0,3)c，(0,3)c，2C 的准线为 xc .由已知得312cccc ，即2c.所以1C 的标准方程为2211612xy，2C 的标准方程为28yx.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.26（1）详见解析（2）详见解析【分析

69、】（1）分别求出直线 AM 与 BM 的斜率，由已知直线 AM 与 BM 的斜率之积为 12，可以得到等式，化简可以求出曲线 C 的方程，注意直线 AM 与 BM 有斜率的条件；（2）（i）设出直线 PQ的方程，与椭圆方程联立，求出 P，Q 两点的坐标，进而求出点 E 的坐标，求出直线QE 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G 的坐标，再求出直线 PG 的斜率，计算PQPGkk的值，就可以证明出 PQG 是直角三角形；（ii）由（i）可知,P Q G 三点坐标，PQG 是直角三角形，求出,PQ PG 的长，利用面积公式求出 PQG 的面积，利用导数求出面积的最大值.【详解】（1）直线

70、 AM 的斜率为(2)2yxx，直线 BM 的斜率为(2)2yxx，由题意可知：22124,(2)222yyxyxxx ，所以曲线 C 是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为221,242xyx；（2）（i）方法一【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为 1 即可证得题中的结论】依题意设 111100,P x yQxyG xy，直线 PQ的斜率为(0)k k，则101010101010,PGGQyyyyyykkxxxxxx，所以2210221012PGGQyykkxx 又1111122QQEQyykkkxxx，所以1PGkk，进而有 PGPQ，即 PQG 是直角三角

71、形方法二【利用三点共线和点差法真的斜率之积为 1 即可证得题中的结论】由题意设 000011,P xyQxyG x y，则0,0E x因为 Q，E，G 三点共线，所以0101100102yyyyxxxxx，又因为点 P，G 在椭圆上，所以222200111,14242xyxy，两式相减得01012PGxxkyy，所以1001001001100112PQPGyyxxyxxkkxyyxxyy ，所以 PQPG（ii）方法一【求得面积函数，然后求导确定最值】设11,P x y，则直线 PQ的方程为(0)ykx k，联立22,1,42ykxxy解得12122,212,21xkkyk所以直线 PG 的方

72、程为1111yxxyxkk 2111111kxkxxxkkk 联立直线 PG 的方程和椭圆 C 的方程，可得212224121x kxxkk222122140 xkk，则21102412x kxxk，所以221101012224181112222221PPGx kkkSyxxxkxkkk24281252k kkk令0PQGS，即234522428 2(1)1(1)(1)0252kkkkkkkkkkk 注意到0k，得1k ，所以PQGS在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)内单调递减，所以当1k 时，max169PQGS方法二【求得面积表达式，然后利用基本不等式求最值】设 PQG 面积为 S

73、设直线 PQ的方程为 ykx，由题意可知0k，直线 PQ的方程与椭圆的方程2224xy联立，即22,24,ykxxy解得 P 点的横坐标12221xk 再由直线QG 的方程和椭圆的方程联立，即122,224,kyxxxy得22222112280kxk x xk x，由韦达定理得2112222k xxxk由弦长公式得2121PQxk，211212221112kxkPCxxkk22222228181121 221 222PQGk kk kSPQPGkkkk2323211619199kkkk当且仅当221,1 22,kkkk 即1k 时，等号成立方法三【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后由

74、基本不等式求最值】设QG 的中点为 N，直线 PQ的斜率为 k，则其方程为(0)ykx k由22,1,42ykxxy解得221 2xk 由（）得1,2QGONkkkk 直线QG 的方程为22212kyxk，直线ON 的方程为1 yxk，联立得222221 2Mkxkk，2222121121 2MkkONxkkk又2222 111 2QkOQkxk，从而22221122 1 2OQMkkSONOQkk，进而2228142 1 2PQGOQMkkSSkk以下同解法二【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为 1 是证明垂直的核心和关键；方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单.(ii)方

75、法一：导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解；方法二：基本不等式要注意一正二定三相等，缺一不可；方法三：使用基本不等式的前提是构造解析式使得和或者乘积为定值.27(1)3 1e ；（2）4b，a 的取值范围为4 2,).【分析】（1）先连结1PF，由2POF为等边三角形，得到1290FPF，2PFc，13PFc；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当 12162 yc，1yyxc xc，22221xyab，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）连结1PF，由2POF 为等边三角形可知

76、：在12F PF中，1290FPF，2PFc，13PFc，于是1223aPFPFcc，故椭圆 C 的离心率为23 113cea；（2）方法一【椭圆的定义+基本不等式】由题意可知2221212F FPFPF，且122PFPFa，所以2122PFPFb因为2121162SPFPFb，所以4b 又因为12162pSyc，且4py，所以4c，从而22232abc，故4 2a，所以4b，a 的取值范围为4 2,)方法二【最优解：椭圆的定义+余弦定理】由题意有12122,32,PFPFaPFPF则1212228 2aPFPFPFPF，即4 2a，当且仅当12PFPF时，等号成立此时 P 为短轴端点，11c

77、os4 2 cos454bPFFPO，且满足cb即当4,4 2ba时，存在点 P，使得12PFPF，且12F PF的面积等于 16故4b，a 的取值范围为4 2,)方法三【余弦定理+面积公式】设12,PFm PFn，对椭圆上任一点 P，设12F PF，由余弦定理有2224cmn 2cosmn，所以22442(1 cos)camn，即2(1 cos)2mnb则1221sinsin21 cosF PFbSmn2 tan 2b 又122 tan164F PFSb，即4b 由于12PFPF，则以 O 为圆心，12F F 为直径的圆必与椭圆 C 有公共点，即半焦距222,cb abb，故4 2a 综上，

78、4b，a 的取值范围为4 2,)【点睛】(2)方法一：椭圆的定义是解决焦点三角形的核心，基本不等式是处理最值与范围问题的常用方法；方法二：椭圆的定义和余弦定理相结合是处理焦点三角形最典型的方法；方法三：余弦定理和面积公式是处理面积问题的经典方法，处理最值、范围问题时常用此方法.28（）2212xy；（）见解析.【分析】()由题意确定 a,b 的值即可确定椭圆方程；()设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定 OM,ON 的表达式，结合韦达定理确定 t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以 1225；因为椭圆经过点(0,1)A,所以1b ，所以2222abc，

79、故椭圆的方程为2212xy.（）设1122(,),(,)P x yQ xy联立2212(1)xyykxt t得222(1 2)4220kxktxt，21212224220,1 21 2kttxxx xkk ，121222()21 2tyyk xxtk，222212121222()1 2tky yk x xkt xxtk.直线111:1yAP yxx，令0y 得111xxy，即111xOMy；同理可得221xONy.因为2OM ON,所以1212121212211()1xxx xyyy yyy；221121ttt，解之得0t，所以直线方程为 ykx，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直

80、线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题29（）22154xy（）2 305或2 305.【分析】()由题意得到关于 a,b,c 的方程，解方程可得椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程确定点 P 的坐标，从而可得 OP 的斜率，然后利用斜率公式可得 MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】()设椭圆的半焦距为c，依题意，524,5cba，又222abc，可得5a，b=2，

81、c=1.所以，椭圆方程为22154xy.()由题意，设,0,0PPPMP xyxM x.设直线 PB 的斜率为 0k k，又 0,2B，则直线 PB 的方程为2ykx，与椭圆方程联立222154ykxxy，整理得2245200kxkx，可得22045Pkxk，代入2ykx得228 1045Pkyk，进而直线OP 的斜率24510PPykxk，在2ykx中，令0y ，得2Mxk.由题意得0,1N，所以直线 MN 的斜率为2k.由OPMN，得2451102kkk ，化简得2245k，从而2 305k .所以，直线 PB 的斜率为 2 305或2 305.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质

82、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.30（1）22194xy；(2)12【详解】分析：（I）由题意结合几何关系可求得3,2ab.则椭圆的方程为22194xy.（II）设点 P 的坐标为11,x y，点 M 的坐标为22,xy，由题意可得215xx.易知直线 AB 的方程为236xy，由方程组236,xyykx可得2632xk.由方程组221,94,xyykx可得12694xk.结合215xx，可得89k ，或12k .经检验k 的值为12.详解：（I）设椭圆的焦距为 2c，由已知得2259ca，又由222abc，可得23ab由2

83、2|13ABab,从而3,2ab所以，椭圆的方程为22194xy（II）设点 P 的坐标为11(,)x y，点 M 的坐标为22(,)xy，由题意，210 xx，点Q 的坐标为11(,)xy由BPM的面积是 BPQV面积的 2 倍，可得|=2|PMPQ，从而21112()xxxx，即215xx易知直线 AB 的方程为236xy，由方程组236,xyykx消去 y，可得2632xk由方程组221,94,xyykx消去 y，可得12694xk由215xx，可得2945(32)kk，两边平方，整理得2182580kk，解得89k ，或12k 当89k 时，290 x ，不合题意，舍去；当12k 时，

84、212x，1125x，符合题意所以，k 的值为12点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题31()22194xy；()12 或 1128【详解】分析：（）由题意结合椭圆的性质可得 a=3，b=2则椭圆的方程为22194xy（）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）由题意可得 5y1=9y2由方程组22194ykxxy，可得12694kyk由方程组20ykxxy，可得221kyk 据此得到关于

85、k 的方程，解方程可得 k 的值为 12 或 1128详解：（）设椭圆的焦距为 2c，由已知有2259ca，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得，FBa，2ABb，由6 2FBAB，可得 ab=6，从而 a=3，b=2所以，椭圆的方程为22194xy（）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）由已知有 y1y20，故12PQ sin AOQyy又因为2yAQsin OAB，而OAB=4，故22AQy由5 24AQsin AOQPQ，可得 5y1=9y2由方程组22194ykxxy，消去 x，可得12694kyk易知直线 AB 的方程为 x+y2=0，由方程

86、组20ykxxy，消去 x，可得221kyk 由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=23 94k，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k 所以，k 的值为 12 或 1128点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题32（）2213xy；（）6；（）1.【分析】（）根据题干可得,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（）设直线方程为 yxm，联立，消 y 整理得2246

87、330 xmxm ，利用根与系数关系及弦长公式表示出|AB，求其最值；（）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合CDQ、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k.【详解】（）由题意得22 2c，所以2c，又63cea，所以3a，所以2221bac，所以椭圆 M 的标准方程为2213xy；（）设直线 AB 的方程为 yxm，由2213yxmxy消去 y 可得2246330 xmxm ，则2223644 3348 120mmm ，即24m ，设11,A x y，22,B xy，则1232mxx，212334mx x，则2222121212641142mABkxxkxxx

88、x，易得当20m 时，max|6AB，故 AB 的最大值为 6；（）设 11,A x y，22,B xy，33,C x y，44,D xy，则221133xy，222233xy，又 2,0P，所以可设1112PAykkx，直线 PA的方程为12yk x，由122213ykxxy消去 y 可得222211113121230kxk xk，则2113211213kxxk ，即2131211213kxxk，又1112ykx，代入式可得13171247xxx，所以13147yyx，所以11117124747xyCxx,，同理可得22227124747xyDxx,故3371,44QCxyuuuv，4471

89、,44QDxyuuuv，因为,Q C D 三点共线，所以3443717104444xyxy，将点,C D 的坐标代入化简可得12121yyxx，即1k 【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式2211ABkxx变形为22121 2|1()4ABkxxx x，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.332 5555【分析】不妨假设2c，根据图形可知，122sin3PF F，再根据同角三角函数基本关系即可求出122tan55kPF F；再根据椭圆的定义求出a，即可求得离心率【详解】如图所示：不妨假设2c，设切点为 B，12112sinsin3ABPF FBF AF A，122222tan5532PF F所以2 55k,由21212,24PFkF FcF F，所以28 55PF，2112112 5=sin5PFPFPF F，于是124 52PFaPF，即2 5a，所以2552 5cea故答案为：2 55；55