22.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】（人教版）（教师版）.docx

1、专题22.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】【人教版】【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】1【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】4【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】7【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】11【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】14【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】18【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】27【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】根的判别式二次函数的图象二次函数与x轴的交点坐标一元二次方程根的情况0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛

2、物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】【例1】（2023春广东广州九年级期末）已知抛物线y=kx2+2x-1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（）Ak-1Bk-1Ck-1且k0Dk-1且k0【答案】A【分析】由-10知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根，再判断即可【详解】解：由

3、-10知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根=4+4k0即k-1，因为二次项的系数不能为0k-1且k0，故选D【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系【变式1-1】（2018四川资阳九年级四川省安岳中学校考期末）若关于x的函数y=（a+2）x2（2a1）x+a2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 【答案】2，2或174【详解】关于x的函数y=（a+2）x2（2a1）x+a2的图象与坐标轴有两个交点，可分如下三种情况：当函数为

4、一次函数时，有a+2=0，a=2，此时y=5x4，与坐标轴有两个交点；当函数为二次函数时（a2），与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，函数与x轴有一个交点，=0，（2a1）24（a+2）（a2）=0，解得a=174；函数为二次函数时（a2），与x轴有两个交点，且y轴的交点和与x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，a2=0，a=2当a=2，此时y=4x23x，与坐标轴有两个交点故答案为2，2或174.【变式1-2】（2023春浙江绍兴九年级统考期中）已知抛物线y=x2（4m+1）x+2m1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，-1

5、2）的下方，那么m的取值范围是（）A16m14Bm14D全体实数【答案】A【详解】解：抛物线y=x2-(4m+1)x+2m-1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，当x=2时，y0，即42（4m+1）+2m10，解得：m16，又抛物线与y轴的交点在点（0，-12）的下方，2m-1-12，解得：m14，综上可得：16m0即m23,则可以得出 A6m+36m2-24m2m,0，B6m-36m2-24m2m,0，再令x=0，y=6，则可以得出点C0,6，ABC是以BC为底的等腰三角形，AB=AC，则AB=AC， AB=6m-36m2-24m2m-6m+36m2-

6、24m2m=36m2-24mm，AC=0-6m+36m2-24m2m2+6-02，AB=AC，0-6m+36m2-24m2m2+6-02=36m2-24mm，解得m=-38，故答案为：m=-38【点睛】本题涉及了两点间距离公式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等内容，熟记两点间距离公式是解题的关键【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】【例2】（2023春山西临汾九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点3,0，对称轴为直线x=1，下列结论：abc0；a-b+c=0；y的最大值为3；方程ax2+bx+c+1=0有实数根；4a+c0其中正确的结论为 （填

7、序号）【答案】【分析】根据二次函数图象，依次判断a0、c0，可判断；根据抛物线的对称性与过点(3,0)，可得抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0)，可判断；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断；由函数y=ax2+bx+c与y=-1的图象有两个交点，可判断；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，可知9a+3b+c=0，再根据b=-2a、a0推导4a+c0，可判断；从而可得答案【详解】解：抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，a0，抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，b=-2a0，abc0，故错误；抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，根据对称性，与x轴的另一个交点坐

8、标为(-1,0)，a-b+c=0，故正确；根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故错误；由ax2+bx+c+1=0可得ax2+bx+c=-1，根据图象，抛物线与直线y=-1有交点，ax2+bx+c+1=0有实数根，故正确；抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，9a+3b+c=0，又b=-2a，9a+3(-2a)+c=3a+c=0，a0，a+(3a+c)0，即4a+c0，故正确综上所述，正确的为故答案为：【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键【变式2-1】（2023春辽宁大连九年级统考期中）抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在

9、x轴上，点A的坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 【答案】x1=x2=3【分析】根据图象与x轴的交点坐标直接写出答案即可【详解】解：观察图象知：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标为(3,0)，所以一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=x2=3，故答案为：x1=x2=3【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是了解一元二次方程与二次函数的关系，难度不大【变式2-2】（2023春江苏南京九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为（）A-3,0、1,

10、0B-2,0、2,0C-1,0、1,0D-1,0、3,0【答案】A【分析】根据一元二次方程的根为2，得出x+1=2，利用对称性求出坐标即可【详解】解：二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标纵坐标为0，即0=ax+12+k，关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，所以，x+1=2，解得，x=1，二次函数y=ax+12+k的对称轴为直线x=-1，所以，二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为-3,0、1,0，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根确定二次函数与x轴的交点坐标【变式2-3】（2023春广东广州九年级广州四十七中校考期末）

11、关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+x-n的顶点在第 象限【答案】三【分析】根据对称轴公式求出顶点横坐标，再根据开口向上及有两个交点即可得到顶点纵坐标与0的关系，即可得到答案【详解】解：由题意可得，顶点横坐标为：x=-b2a=-121=-120，抛物线y=x2+x-n开口向上，一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，抛物线y=x2+x-n与x轴有两个交点，顶点纵坐标：y0，抛物线顶点在第三象限，故答案为：三【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数顶点公式，解题的关键是根据开口方向及与x轴交点确定顶点纵坐标与0的关系【题型3 抛物线与x

12、轴交点上的四点问题】【例3】（2023春福建厦门九年级大同中学校考期中）已知抛物线y=(x-x1)(x-x2)+1(x1x2)，抛物线与x轴交于m，0，(n，0)两点(mn)，则m，n，x1，x2的大小关系是（）Ax1mnx2Bmx1x2nCmx1nx2Dx1mx2n【答案】A【分析】设y=x-x1x-x2，而y=x-x1x-x2+1=y+1，即函数y向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解【详解】解：设y=x-x1x-x2，则x1、x2是函数y和x轴的交点的横坐标，而y=x-x1x-x2+1=y+1，即函数y向上平移1个单位得到函数y，则两个函数的图象如下图所示(省略了y轴)

13、，从图象看，x1mn0与x轴交于x1,0，x2,0两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于x3,0，x4,0两点，下列说法正确的是（）Ax1+x2x3+x4Bx1+x20与x轴交于x1,0，x2,0两点，当y=0时，ax2+bx+c=0，此时，x1+x2=-b2a，将抛物线y=ax2+bx+ca0向上平移，对称轴不变，即为x=-b2a，故有，x3+x4=-b2a，x1+x2=x3+x4故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，正确掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键【变式3-2】（2023春山东临沂九年级统考期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别、

14、()，而x2+bx+c-2=0的两根为M、N(MN)，则、M、N的大小顺序为（）AMNBMNCMNDMN0抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是、()又x2+bx+c-2=0的两根是抛物线y=x2+bx+c与直线y=2的交点横坐标，且MN抛物线y=x2+bx+c的图象如图，由图象可知：M0若AD=2BC，则n的值为_【答案】4【分析】二次函数的图像与x轴交点的横坐标，是对应该二次函数y=0时的实数根，所以令y=0，求出A、B、C、D四点的横坐标，再利用AD=2BC的关系即可求出n的值【详解】解：把y=0代入y=-12x2-x+n得：0=-12x2-x+n，解得：x1=-b+b2-4a

15、c2a=-1+-12-4-12n2-12=-1-1+2n，x2=-b-b2-4ac2a=-1-12-4-12n2-12=-1+1+2n， A-1-1+2n,0，B-1+1+2n,0，把y=0代入y=-12x2+x+n得：0=-12x2+x+n，解得：x3=-b+b2-4ac2a=-1+12-4-12n2-12=1-1+2n，x4=-b-b2-4ac2a=-1-12-4-12n2-12=1+1+2n， C1-1+2n,0，D1+1+2n,0，AD=2BC，x1-x4=2x2-x3，x1-x42=4x2-x32，-1-1+2n-1-1+2n2=4-1+1+2n-1+1+2n2，令1+2n=m，则-

16、2-2m2=4-2+2m2，解得：m1=3，m2=13，当m1=3时，1+2n=3，解得：n=4，n0，n=4符合题意，当m2=13时，1+2n=13，解得：n=-49，n0n=-49不符合题意故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数与方程的关系及二次函数的图像与性质，找到A、B、C、D四点的横坐标是解答本题的关键【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】【例4】（2023春广西玉林九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-3（m0）与x轴交于点A，B若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（）Am0B316316D316m0，再根据线段AB上有且只有7

17、个点的横坐标为整数，可得当x=4时，y=9m-30，当x=5时，y=16m-30，进而即可求解【详解】解：y=mx2-2mx+m-3=mx-12-3，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为1,-3，m0线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，这些整数为-2，-1，0，1，2，3，4.m0，当x=4时，y=9m-30，当x=5时，y=16m-30，m13且m316，3166时，n的取值范围为 【答案】(1)y=-x2-2x+3(2)-3或1(3)n6，|x1-x2|6，(x1-x2)236，(x1+x2)2-4x1x236，即4-4(n-3)36，n-5，n的取值范围是n-5【点睛】本题主要考查

18、待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键【变式4-2】（2023春福建福州九年级统考期末）对于每个非零的自然数n，抛物线y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A2018B2018的值是（）A20182017B20172018C20192018D20182019【答案】A【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是1n,另一个是1n+1，根据x轴上两点间的距离公式，得AnBn=1n1n+1，再代入计算即可【详解】解：令y=0时，n(n+1)x2-(2n+1

19、)x+1=0，解得：x1=1n，x2=1n+1抛物线与x轴交点的横坐标是1n和1n+1，AnBn=1n1n+1A1B1+A2B2+A2018B2019= 1-12+12-13+.+12018-12019 1-12019=20182019故选D【点睛】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标【变式4-3】（2023春湖南长沙八年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长(1)求抛物线y=x2-2x-3的雅礼弦长

20、；(2)求抛物线y=x2+n+1x-1(1n3)的雅礼弦长的取值范围；(3)设m，n为正整数，且m1，抛物线y=x2+4-mtx-4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=-x2+t-nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12-l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s0恒成立，求m，n的值【答案】(1)4(2)22AB0，x1+x2=-(n+1)x1x2=-1，AB=(n+1)2+4，1n3，当n=1时，AB最小值为22，当n=3时，AB最大值小于25，22AB0，=(8m-2n)2-4(m2-1)(16-n2)0，解得：(mn-4)20，mn=4 m，n为正整数，且m1，则m=2，n=2

21、或m=4，n=1【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】【例5】（2023春广东潮州九年级统考期末）在估算一元二次方程x2+12x-15=0的根时，小彬列表如右：由此可估算方程x2+12x-15=0的一个根x的范围是（）x11.11.21.3x2+12x-15-2-

22、0.590.842.29A1x1.1B1.1x1.2C1.2x1.3【答案】B【分析】结合表中的数据，根据代数式x2+12x-15的值的变化趋势，即可进行解答【详解】解：由表可知，当x=1.1时，x2+12x-15=-0.590，方程x2+12x-15=0的一个根x的范围是1.1x1.2，故选：B【点睛】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法【变式5-1】（2023春黑龙江绥化八年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示，若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2，则方程的另一个近似根为 （结果精确到0.1）

23、【答案】0.2【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1，方程2x2+4x-1=0的一个根为x=-2.2，另一个根为：-12-（-2.2）=0.2，故答案为：0.2【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键【变式5-2】（2023春全国九年级期中）小朋在学习过程中遇到一个函数y=12xx-32下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有_值（填“最大”或“最小”），这个值是_；(2)进一步研究，当x0时，y与x的几组对应值如下表：x012132252372

24、4y0251622716151607162结合上表，画出当x0时，函数y=12xx-32的图像；(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：若关于x的方程12xx-32=kx-1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为_（结果保留小数点后一位）【答案】(1)最小；0(2)见解析(3)4.2【分析】（1）根据解析式12xx-32 0，即可求解；（2）根据描点法画函数图像；（3）根据图像法求解即可，作经过点0,-1,2,1的直线，与y=12xx-32的另一个交点的横坐标即为方程的解【详解】（1）解：12xx-32 0，y有最小值，这个值是0；故答案为：最小；0（2）根据列表，描点连线，如图，（3）依

25、题意，12xx-32=kx-1有一个实数根为2，则过点2,1 12xx-32=kx-1的解即为y=12xx-32与y=kx-1的交点的横坐标，且y=kx-1过点0,-1如图，作过点0,-1,2,1的直线，与y=12xx-32交于点A根据函数图像的交点可知点A的横坐标约为4.2则该方程其它的实数根约为4.2故答案为：4.2【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图像，根据函数图像的交点求方程的解，数形结合是解题的关键【变式5-3】（2023春湖南长沙九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x-1-12012

26、1322523y-2-141742741-14-2一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 （填序号） -12x10,32x22-1x1-12,2x252-12x10,2x252-1x1-12,32x2h的解集是2xh的解集是x4Cax2+(b-k)x+ch的解集是xkx+h，即ax2+(b-k)x+ch的解集为：x4；方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(b-k)x+c=h的解为x=2或x=4据此即可求解【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+ckx+h，即ax2+(b-k)x+ch的解集为：x4；故A、B、C不符

27、合题意；方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(b-k)x+c=h的解为x=2或x=4，故D符合题意；故选：D【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键【变式6-1】（2023春辽宁大连九年级统考期末）已知：二次函数y=-x2+2x+3(1)将函数关系式化为y=ax-h2+k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)利用描点法画出所给函数的图像x-10123y(3)当-1x2时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围【答案】(1)y=-x-12+4，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，4(2)见解析(3)0y4【分析】（1）利用配方法将二次函

28、数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先列表，然后描点，最后连线即可；（3）根据函数图象求解即可【详解】（1）解：二次函数解析式为y=-x2+2x+3=-x2-2x+1-1+3=-x-12+4，二次函数对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，4；（2）解：列表如下：x-10123y03430函数图象如下所示：（3）解：由函数图象可知，当-1x2时，0y4【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，图象法求函数值的取值范围等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键【变式6-2】（2023春山西运城九年级校考期末）定义mina,b,c为a，b，c中的最小值，例如：min5,3,1=1

29、，min8,5,5=5如果min4,-x2+4x,3=3，那么x的取值范围是（）A1x3Bx1或x3C1x3Dx3【答案】A【分析】由4，-x2+4x，3中最小值为3，可得-x2+4x3，即x2-4x+30，设y=x2-4x+3，进而求解即可【详解】解：由题意得4，-x2+4x， 3中最小值为3，-x2+4x3，即x2-4x+30，设y=x2-4x+3，如图，当y0时，解得：1x3，故选：A【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系【变式6-3】（2023春浙江嘉兴九年级统考期末）我们规定：形如y=ax2+bx+ca0的函数叫作“M型”函数如图是“M型”函

30、数y=-x2+4x-3的图象，根据图象，以下结论：图象关于y轴对称；不等式x2-4x+30的解集是-3x-1或1x3；方程-x2+4x-3=k有两个实数解时k-3正确的是（）ABCD【答案】A【分析】根据函数图象直接判断A，根据二次函数与坐标轴的交点分析，根据对称性可得y轴与x轴左边的交点为-1，0，-3，0，即可判断B，根据图象可知当k-3或k=1时，原方程有两个实数根，据此即可求解【详解】解：由函数图象可知，此图像关于y轴对称，故正确；对称性可得y轴与x轴左边的交点为-1，0，-3，0，则不等式x2-4x+30的解集是-3x-1或1x3，故正确；y=-x2+4x-3=-x-22+1，当x=

31、2时，y=1，顶点坐标为-2,1和2，1，且与y轴交于点0,-3，当k0也在该平面直角坐标系中若抛物线与线段PQ有两个不同的交点，则a的取值范围是 【答案】12a0时，求得a916，当0a0，画出草图，抛物线过定点(0,2)，当经过点Q(2,2)时，代入点Q得4a-2+2=2，解得a=12，由于a越大，开口越小，可得a的取值范围为12a0，解得a916，当0a0，如图，当x=0，y=2，即：抛物线过定点(0,2)，当经过点Q(2,2)时，代入点Q得4a-2+2=2，解得a=12，由于a越大，开口越小，故a的取值范围12a916故答案为：12a916【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点

32、问题，解题关键是利用待定系数法联立方程，判断进而得出a的取值范围，解题关键是数形结合【变式7-1】（2023春新疆乌鲁木齐九年级校考期中）已知二次函数y=x2-2mx+2m-1（m为常数）(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=-x-12的图象上(3)已知点Aa,-1,Ba+2,-1，线段AB与函数y=-x-12的图象有公共点，则a的取值范围是 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)-2a2【分析】（1 ）计算判别式的值得到0，从而根据判别式的意义得到结论；（ 2）利用配方法得到二次函数y=x2-2mx+2m-1的顶

33、点坐标为m,-m-12，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；（ 3）先计算出抛物线y=-x-12与直线y=-1的交点的横坐标，然后结合图象得到a+20且a2【详解】（1）证明：=4m2-42m-1=4m2-8m+4=4m-120，所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；（2）证明：y=x2-2mx+2m-1=x-m2-m-12，二次函数y=x2-2mx+2m-1的顶点坐标为m,-m-12当x=m时，y=-x-12=-m-12，所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=-x-12的图象上；（3）当y=-1时，y=-(x-1)2=-1，解得x1=0，x2=2， 当a+

34、20且a2时，线段AB与函数y=-x-12的图象有公共点，所以a的范围为-2a2【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质【变式7-2】（2023春北京九年级北京市第三中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B（1）直接写出点B的坐标；（2）若抛物线y=-x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线yx+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t取

35、值范围【答案】(1) B2，-2；(2)抛物线表达式为y=-x2-2x+6；(3) 抛物线顶点横坐标t的取值范围时-4t-3或0t5【分析】（1）根据点的平移规律向右平移6，横坐标加6，可得点B坐标；（2）根据A、B两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；（3）由顶点在直线l上可设顶点坐标为（t，t+2），继而可得抛物线解析式为y（xt）2+t+2，根据抛物线与线段AB有一个公共点，考虑抛物线过点A或点B临界情况可得t的范围【详解】解：(1)根据平移的性质向右平移几，横坐标加几，可得：点B坐标为（-4+6，-2）即B2，-2；(2) 抛物线y=-x2+bx+c过点A，B，-16-4b+c=-2-

36、4+2b+c=-2，解得：b=-2c=6，抛物线表达式为y=-x2-2x+6；(3)抛物线y=-x2+bx+c顶点在直线y=x+2上 ，抛物线顶点坐标为t，t+2 ，抛物线表达式可化为y=-x-t2+t+2抛物线与AB仅有一个交点，当点A为顶点时，抛物线与AB开始有交点，此时t=-4,当抛物线与AB有两个交点，其中A为左交点，把A-4，-2代入表达式可得：-2=-4-t2+t+2解得：t1=-3，t2=-4-4t-3当抛物线与AB的右交点在点B时，开始有一个交点，直到点B为抛物线的左交点把B2，-2代入表达式可得-2-t2+t+2=-2解得：t3=0，t4=5，0t5综上可知：抛物线顶点横坐标

37、t的取值范围时-4t-3或0t5【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本，将抛物线与线段AB有一个公共点转化为方程问题是解题的关键【变式7-3】（2023春福建泉州九年级校考期末）已知：在平面直角坐标系中，A-1,0，B4,0，抛物线y=x2-2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取 （写出所有正确结论的序号）n=1；n=2；n-8；-8n0时，顶点在x轴上方，此时抛物线与线段AB没有交点，当n-10时，如下图所示，当抛物线y=x2-2x+n过点A时，此时刚好有两个交点，将-1,0代入可得0=1+2+n，解得n=-3，抛物线y=x2-2

38、x+n继续向下平移，此时与线段AB有一个交点，符合题意，即n-3；当抛物线y=x2-2x+n过点B时，此时刚好有一个交点，将4,0代入可得0=16-8+n，解得n=-8，抛物线y=x2-2x+n继续向下平移，此时与线段AB没有交点，不符合题意，即n-8；则-8n0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+2的图象记为y2，若y1与y2恰有两个交点时，则m的范围是 【答案】0m4【分析】根据题意得出翻折后的抛物线解析式为y=-x2+m，若y1与y2恰有两个交点，则需分两种情况，当直线与y=-x2+m和y=x2-m分别有一个交点时，结合图

39、象即可解答；当直线与y=x2-m有两个交点，直线与y=-x2+m无交点时，联立方程组，利用根的判别式求出m的值，结合图象即可解答【详解】解：二次函数y=x2-m（其中m0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折得到的抛物线解析式为：y=-x2+m，直线y=x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-2，直线y=x+2与x轴交点为（-2,0），与y轴的交点为（0,2），如下图，当抛物线经过点（-2,0）时，0=4-m，解得m=4，观察图象可知，当m4时，y1与y2恰有两个交点，由y=x+2y=-x2+m得x2+x+2-m=0，当=1-8+4m=0时，解得：m=74，观察图象可知，当0m74时，y1与

40、y2恰有两个交点，故答案为：0m4【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点、一次函数的应用、函数与方程的关系等知识，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，学会利用根的判别式解决函数图象的交点问题，属于中考常考题型【变式8-2】（2023春浙江杭州九年级校考期末）如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 【答案】-3m-158【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线yxm与抛物线C2相切时m的值以及直线yxm过点B

41、时m的值，结合图形即可得到答案.【详解】令y2x28x60，即x24x30，解得x1或x3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y2（x4）22（3x5），当yxm1与C2相切时，令yxm1y2（x4）22，即2x215x30m10，8m1150，解得m1158，当yxm2过点B时，即03m2，m23，当3m158时直线yxm与C1、C2共有3个不同交点，故答案是3m158.【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.【变式8-3】（2023春浙江九年级期

42、末）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m，当自变量xm时，函数y关于x的函数图象为G1，将G1沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G2，函数G的图象由G1和G2两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x(x2)的对折函数为y=x(x2)-x+4(x2).(1)求函数y=(x-1)2-4(x-1)的对折函数；(2)若点P(m,5)在函数y=(x-1)2-4(x-1)的对折函数的图象上，求m的值；(3)当函数y=(x-1)2-4(xn)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围.【答案】(1)y=(x-1)2-4(x-1)(x+3)2-4(x-1)；(2)m=4或

43、-6；(3)n-1时，与x轴有4个交点，n=-1时，与x轴有3个交点；-1n3时，与x轴无交点.【分析】（1）根据定义得出对折后函数的顶点坐标为(-3,-4)，该函数表达式为：y=(x+3)2-4；（2）将点P(m,5)代入y=(x-1）2-4(x-1)(x+3）2-4(x-1)求解出m的值即可；（3）)分当n-1时、当n=-1时、 当-1n3时，画出具体的函数图像进行观察与x轴的交点个数即可【详解】(1)令y=(x-1)2-4=0，则x=-1或3，如图1：即点A,B的坐标为(-1,0)，(3,0)，则对折后函数的顶点坐标为(-3,-4)，该函数表达式为：y=(x+3)2-4，即对折函数为y=(x-1）2-4(x-1)(x+3）2-4(x-1). (2)将点P(m,5)代入y=(x-1）2-4(x-1)(x+3）2-4(x-1)解得：m=4或-6(不合题意的值已舍去)即m=4或-6；(3)当n-1时，如图2：此时x=n在点A(-1,0)的左侧，从图中可以看出：函数与x轴有4个交点(A,B,C,D)；当n=-1时，x=n过点A，从图1可以看出：函数与x轴有3个交点；同理：当-1n3时，无交点.【点睛】本题属于新定义问题，读懂题目中限减函数以及限减系数的定义是解题的关键.