23.1 图形的旋转-2023-2024学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）（解析版）.docx

1、23.1图形的旋转课后培优练级练培优第一阶基础过关练一、单选题1下列现象中属于旋转的是（ ）A汽车在急刹车时向前滑动B拧开水龙头C雪橇在雪地里滑动D电梯的上升与下降【答案】B【详解】A汽车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；B拧开水龙头属于旋转，故此选项正确；C雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误；D电梯的上升与下降不是旋转，故此选项错误；故选：B2如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60的是（ ）A正三角形B正方形C正六边形D正八边形【答案】C【详解】解

2、：A正三角形的最小旋转角是120，故此选项不合题意；B正方形的旋转角度是90，故此选项不合题意；C正六边形的最小旋转角是60，故此选项符合题意；D正八边形的最小旋转角是45，故此选项不合题意；故选：C3如图，将一个含角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点C，A，在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：是由旋转得到.故选：D4如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，则最小旋转角度是（ ）A20B30C40D50【答案】C【详解】AOB= 30，BOC = 10，AOC=AOB+COB = 30+ 10= 40将AOB绕着点O顺时针旋转，得到COD

3、，最小旋转角为AOC = 40故选： C5以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（ ）ABCD【答案】C【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为故选：C6如图，点D为等边ABC的边AB上一点，且ADAB，将ACD绕点C逆时针旋转60，得到BCE，连接DE交BC于点F，则下列结论不成立的是（ ）ABEACBCDE为等边三角形CBFDADCDDF4EF【答案】D【详解】解：ABC是等边三角形，ABBC，AABC60，由旋转的性质得：DCE60，ACDBCE，ACBC，ADBE，AABE60，CDE是等边三角形，AABE180，BEAC，故A，B结论正确，但不符合题意；

4、ABC和CDE是等边三角形，ABCCDF60，BFDCDFDCF60DCF，ADCABCDCF60DCF，BFDADC，故C结论正确，但不符合题意；故选：D二、填空题7如图，P是正ABC内的一点，若将PAB绕点A逆时针旋转到P1AC，则PAP1等于_度【答案】60【详解】解： ABC是正三角形，由旋转的性质可知，PAP1故答案为：608如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转_后能与原来的图形重合【答案】60【详解】解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为60，所以该六边形绕点O至少旋转60后能与原来的图形重合；

5、故答案为609在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将ABO绕点O按顺时针方向旋转90，得ABO，则点A的对应点A的坐标为_【答案】（2，3）【详解】解：由图知A点的坐标为（-3，2），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90，如图，故A的坐标为（2，3）故答案为：（2，3）10如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与DAF重合，则DGE=_度【答案】90【详解】解：ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与DAF重合，ADF=BAE，四边形ABCD是正方形，DAF=90，AFD+ADF=90，AFD+BAE=90，AFD+BAE+AGF=180，AGF

6、=90，DGE=AGF=90，故答案为：90三、解答题11如图，在RtABC中，C=90，把RtABC绕点B逆时针旋转，得到RtDBE，点E在AB上，若BC=8，AC=6，求DE及BD的长【答案】DE的长为6，BD的长为10【详解】解：C=90，BC=8，AC=6，AB=10，把RtABC绕着B点逆时针旋转，得到RtDBE，DE=AC=6，BD=AB=10DE的长为6，BD的长为10121010网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点)(1)画出ABC绕点O逆时针方向旋转90得到的A1B1C1；(2)画出A1B1C1向下平移4个单位长度得到的A2B2C2【答案

7、】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)解：如图，为所作；(2)如图，为所作；13综合与探究【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘老师出示了一个问题：如图1，在ABC中，点D是边BC上一点，连接AD，将ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到ACE【操作探究】(1)试判断ADE的形状，并说明理由；【深入探究】(2)希望小组受此启发，如图2，在线段CD上取一点F，使得，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；(3)智慧小组在图2的基础上继续探究，发现CF，FD，DB三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出当，时DF的长【答案】(1

8、)ADE为等腰直角三角形，见解析；(2)，见解析；(3)【解析】(1)解：ADE为等腰直角三角形， 证明：由旋转得， ADE为等腰直角三角形；(2)解： 证明： ， 又，AFEAFD（SAS）， ；(3)解：由旋转得BADCAE，BD=CE，B=ECA，ABC为等腰直角三角形，BCA=B=45，ECF=BCA+ECA=90，ECF为直角三角形，,由（2）得，DF=EF，DF=培优第二阶拓展培优练一、单选题1如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，则的度数为（ ）A25B30C28D32【答案】C【详解】解：由旋转可知：，故选：C2如图，等边三角形ABC内一点P到三角形三个顶点的距离PA3，

9、PB4，PC5，则APB的大小是（ ）A150B120C100D以上都不对【答案】A【详解】ABC为等边三角形，BA=BC，可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，如图，连接EP，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，BPE为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2，APE为直角三角形，且APE=90，APB=90+60=150故选：A3如图，已知等边三角形OAB，顶点，将OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90，则第2021次旋转结束时，顶点A的坐标为（）A B C D【答案】D【详解】解：，每4次一个循环，第2021次

10、绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次，等边三角形的边长为1，第2021次旋转结束时，顶点的坐标为，故选：D4如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（ ）ABCD【答案】C【详解】解：点A(4,0)，B(0,3)，OB=3，OA=4，根据勾股定理得：对OAB连续作如图所示的旋转变换，OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，三角形（6）和的状态一样，三角形（6）的直角顶点的横坐标为212=24，纵坐标为0，三角形（6）的直角顶点的坐标为（24，0）故选C

11、5如图，在中，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接下列结论：；平分；，其中正确的结论是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：正确的有，理由是：在中，AB=AC，将绕点A顺时针旋转后，得到，BF=DC，即正确；在和中，即EA平分，正确；EF=DE，将绕点A顺时针旋转90后，得到，BF=DC，在中，由勾股定理得：BF=DC，EF=DE，正确；根据条件，不能推出，故不能推出BE=DC，错误；正确的有；故选：D6如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A2BC3D【答案】C【详解】解：过点作于点

12、，延长交于点，则，四边形是正方形，四边形是矩形，又，设，则，在中，由勾股定理得，当时，有最小值为，的最小值为，故选：C二、填空题7如图，ABC是边长为6的等边三角形，BDCD，BDC120，以点D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长是_【答案】12【详解】将BDM绕点D旋转120得到；由BDM旋转所得，DM=，BD=DC，BM=BDM；BDC120，MDN=60，BDM+CDN=120-60=60，故+CDN=60，即=60；在MDN和中DM=，=MDN，DN=DNMDN；MN=；AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+=AM+AN+CN+=

13、(AM+)+(AN+CN)=AB+AC；ABC是边长为6，AMN的周长=6+6=12故答案为：128如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接若，则三角形的面积为_【答案】【详解】解：三角形为等边三角形，线段绕点A顺时针旋转得到线段，三角形PAQ为等边三角形，即，在和中，在中，则有，即有，为直角三角形，故答案为：69如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，直角边AO在x轴上，且将绕原点O顺时针旋转90，并将旋转后的图形放大，使，得到等腰直角三角形，依此规律，得到等腰直角三角形则点的坐标为_【答案】【详解】解：由题意知，图形每旋转四次就回到原来的象限，且

14、每旋转一次长度扩大3倍，202245052，点B2022和B2在同一象限，且OB202232023，三角形A2022OB2022是等腰直角三角形，点B2022的坐标为故答案为：10如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，EAF45，ECF的周长为8，则正方形ABCD的边长为_【答案】4【详解】解：将DAF绕点A顺时针旋转90度到BAF位置，由题意可得出：DAFBAF，DF=BF，DAF=BAF，EAF=45，在FAE和EAF中, ，FAEEAF（SAS），EF=EF，ECF的周长为8，EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=DF+FC+BC=2BC=8，BC=4

15、，即正方形的边长为4故答案为：4三、解答题11阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，求APB的度数小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题(1)请你计算图1中APB的度数(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，求APB的度数【答案】(1)；(2)【解析】(1)将APB逆时针旋转60得到；由APB旋转60所得，在中，为等边三角形，在中，即，；(2)将绕A点顺时针旋转90得，连接，由旋转所得，=90， 在中，且=90，即，12问题：如图1，在等边三角形ABC内，

16、点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求APB的度数？探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将ABP绕点A逆时针旋转60到ACP处，连结P P，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出APB的度数请你写出解答过程：应用：请你利用上面的方法解答：如图2，ABC中，CAB=90，AB=AC，E、F为BC上的点，且EAF=45，求证：【答案】探究：APB=150，应用：见解析【解析】探究：解：将ABP绕顶点A旋转到ACP处，BAPCAP，ABAC，APAP，BAPCAP，BACPAP60，APP是等边三角形，APP60，因为BPP不一定在一条直

17、线上，PCPB4，PPPA3，PCPC5，PPC90，PPC是直角三角形，APBAPCAPP+PPC60+90150，BPA150；应用：证明：把ACF绕点A顺时针旋转90，得到ABG连接EG则ACFABGAGAF，BGCF，ABGACF45BAC90，GAF90GAEEAF45，在AEG和AFE中，AEGAFE（SAS）EFEG，又GBE90，BE2+BG2EG2，即BE2+CF2EF213ABC和DEC是等腰直角三角形，(1)【观察猜想】当ABC和DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系(2)【探究证明】如图2，将DC

18、E绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由(3)【拓展应用】如图3，在ACD中，将AC绕着点C逆时针旋转90至BC，连接BD，求BD的长【答案】(1) ，；(2)成立，理由见解析；(3)【解析】(1) ，证明如下：在和中，；(2)成立，理由如下：，即，在和中，；(3)如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，由旋转性质可得：，且，在中：，即，在和中， ，是直角三角形，在中，培优第三阶中考沙场点兵一、单选题1（2022上海中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（ ）A6B9C12D15【答案】C【详解】如图所

19、示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90后能与自身重合故选C2（2022四川南充中考真题）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，则为（ ）ABCD【答案】B【详解】，由旋转可知，故答案选：B3（2022山东聊城中考真题）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（）A(-2，3)B(-3，2)C(-2，4)D(-3，3)【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质解答即可【详解】解：线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，的对应点为

20、，旋转角为90，点C绕点P逆时针旋转90得到的点的坐标为（-2，3），故选：A4（2022湖南中考真题）如图，点是等边三角形内一点，则与的面积之和为（）ABCD【答案】C【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，是等边三角形， ，与的面积之和为故选：C5（2022内蒙古呼和浩特中考真题）如图，中，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）ABCD【答案】C【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，且BC=DC，ACE=，A=E，B=BDC，故选：C6（2022天津中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将ABM绕点A逆时针旋转得

21、到ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）ABCD【答案】C【详解】解：将ABM绕点A逆时针旋转得到ACN，ABMACN，AB=AC，AM=AN，AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；ABMACN，ACN=B，而CAB不一定等于B，ACN不一定等于CAB，AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；ABMACN，BAM=CAN，ACN=B，BAC=MAN，AM=AN，AB=AC，ABC和AMN都是等腰三角形，且顶角相等，B=AMN，AMN=ACN，故选项C符合题意；AM=AN，而AC不一定平分MAN，AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C二、填空题7（20

22、22广东广州中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段BP，连接PP ，CP当点P 落在边BC上时，PPC的度数为_； 当线段CP 的长度最小时，PPC的度数为_【答案】 120#120度 75#75度【详解】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段BP可知，BPP为等边三角形，PPB=60，当点P 落在边BC上时，PPC=180-PPB=180-60=120；将线段BA绕点B逆时针旋转60，点A落在点E，连接BE，设EP交BC于G点，如下图所示：则ABP=ABE-PBE=60-PBE，EBP=PBP-PBE=60-PBE，

23、ABP=EBP，且BA=BE，BP=BP，ABPEBP(SAS),AP=EP，E=A=90，由点P 落在边BC上时，PPC=120可知，EGC=120，CGP=EGB=180-120=60，EBG于PCG均为30、60、90直角三角形，设EG=x，BC=2y，则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP=CG=y-x，EP=EG+GP=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，EP=AB，又由ABPEBP知：AP=EP，AB=AP，ABP为等腰直角三角形，EPB=APB=45，EPP=60-EPB=60-45=15，当CPEF于H时，CP有最小值，此时PPC=EPC-EPP=90

24、-15=75，故答案为：120，758（2022山东潍坊中考真题）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为_【答案】【详解】解：如图：连接OB，作y轴是正方形，OA=2COB=45，OB= 绕原点O逆时针旋转=75=30=OB=， 沿y轴方向向上平移1个单位长度故答案为：9（2022河南中考真题）如图，在RtABC中，ACB90，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ当ADQ90时，AQ的长为_【答案】或【详解】如图，连接，在RtABC中，ACB90，根据题

25、意可得，当ADQ90时，点在上，且，如图，在中，在中，故答案为：或10（2022广西贺州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为_【答案】【详解】过B作于，过作轴于，由旋转可知，故答案为：三、解答题11（2022山东临沂中考真题）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点（端点除外），连接PD将线段PD绕点逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处请探究：当点在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由(3)在满足（2）的条件下，探究

26、线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明【答案】(1)见解析；(2)大小不变，理由见解析；(3)，证明见解析【解析】(1)连接BD，是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，AC垂直平分BD，四边形ABCD是菱形；(2)当点在线段AC上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等于60，理由如下：将线段PD绕点逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，是等边三角形，连接PB，过点P作交AB于点E，PFAB于点F，则，是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，PB = PD，DPA =BPA，PQ = PD，QPF -APF =BPF -EPF，即QPA = BPE，DPQ =DP

27、A - QPA=BPA-BPE = APE = 60；(3)AQ= CP，证明如下：AC = AB，AP= AE，AC - AP = AB AE，即CP= BE，AP = EP，PFAB，AF = FE，PQ= PD，PFAB，QF = BF， QF - AF = BF EF，即AQ= BE，AQ= CP12（2022四川凉山中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线yx2bxc经过点A（1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点

28、落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MPME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)；(3)存在，【解析】(1)解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为(2)解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，即，将点代入得：，解得或（舍去），当时，所以点的坐标为(3)解：抛物线的顶点的坐标为，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，这时点落在点的位置，且，即，恰好在对称轴直线上，如图，作点关于轴的对称点，连接，则，由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即

29、的值最小，由轴对称的性质得：，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，当时，故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为13（2021四川德阳中考真题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将ABE绕点A逆时针旋转至AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；（2）延长EE1交AD于点F，若EB1E1F，判断AE1F与CB1E是否全等，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）全等，理由见解析【详解】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，B=90，AB1E1是ABE旋转所得的，AE=AE1，AB1E1=AB1E=B=90，B1是EE1的中点，EB1=EE1，M、N分别是AE和AE1的中点，MNEB1，MN=EE1，EB1=MN，四边形MEB1N为平行四边形，（2）AE1FCEB1，证明：连接FC，EB1=B1E1=E1F，=SEAF，同理，=SFEC，=SEB1C，SEAF=SFEC，AFEC，AEF底边AF上的高和FEC底边上的高相等AF=ECAFEC，AFE=FEC，在AE1F和CEB1中，AE1FCEB1（SAS）