3.1.1 椭圆及其标准方程（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程 【学习目标】课程标准学科素养1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1.直观想象2.数学运算3.数学抽象【自主学习】一椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹2.焦点：两个定点F1，F23.焦距：两焦点间的距离|F1F2|4.几何表示：|MF1|MF2| (常数)且2a |F1F2|思考1:椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变

2、，点的轨迹是什么？思考2：椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标a，b，c的关系思考3：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？【小试牛刀】1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆( ) (3)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹为圆( )(4)方程1 (a0

3、，b0)表示的曲线是椭圆( )2.设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5 C8 D10【经典例题】题型一求椭圆的标准方程点拨：用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤1.定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能2.设方程：根据上述判断设方程1(ab0)或1(ab0)或整式形式mx2ny21(m0，n0，mn)3.找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)

4、焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3)；(3)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，)和的椭圆的标准方程【跟踪训练】1求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程题型二已知椭圆的标准方程求参数点拨：根据椭圆方程求参数的取值范围1.给出方程1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是mn0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是nm02.若给出椭圆方程Ax2By2C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式1，再研究其焦点的位置等情况例2 若方程1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )A(9,25) B(9,8)(8,25) C(8,25) D(8，)【跟踪训练】2 若方

5、程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 题型三求椭圆轨迹方程方法1:直接法直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0；例3-1 点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是，求点M的轨迹方程方法2：定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可。例3-2 如图所示，已知动圆P过定点A(3，0)，并且在定圆B：(x3)2y26

6、4的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程方法3：代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)例3-3已知P是椭圆1上一动点，O为坐标原点，求线段OP中点Q的轨迹方程题型四 椭圆中的焦点三角形问题点拨：焦点三角形的常用公式1.焦点三角形的周长L2a2c2.焦点三角形的面积SF1MF2|MF1|MF2|sin ,可把|PF1|PF2|看作一个整体，运用余弦定理|F1F2|2|

7、MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos (|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|2|MF1|MF2|cos 求出|MF1|MF2|3.此外，焦点三角形的面积SF1MF2b2tan (选择题、填空题可直接应用此公式求解)例4 如图所示，P是椭圆1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且F1PF260，求PF1F2的面积【跟踪训练】3 已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_.【当堂达标】1.椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5 B6C7 D82.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标

8、是(0，1)，则实数k的值是()A1 B2 C3 D43.(多选)若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是()A.2 B1 C0.5 D0.34.若方程1表示椭圆，则实数m满足的条件是_5.设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，求F1PF2的面积6.一个动圆与圆Q1：(x3)2y21外切，与圆Q2：(x3)2y281内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程【参考答案】【自主学习】一常数 2a 二1(ab0) 1(ab0) (c，0)，(c，0) (0，c)，(0，c) c2a2b2思考1：点的轨迹是线段F1F2.思考2：当距离之和小于|F1F

9、2|时，动点的轨迹不存在思考3：能椭圆的焦点在x轴上标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中含y2项的分母较大【小试牛刀】1.(1) (2) (3) (4)2.D【经典例题】例1 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c4,2a10，所以a5，b3，所以椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)因为所求椭圆过点(4,3)，所以1.又c2a2b24，可解得a236，b232.所以椭圆的标准方程为1.(3)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)分别将两点的坐标(2，)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.【跟

10、踪训练】1 解：因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c225916.设所求椭圆的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(3，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得a236，b220，所以所求椭圆的标准方程为1.例2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，其轨迹方程为1.【跟踪训练】2 解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)利用中

11、点坐标公式，得Q(x0，y0)在椭圆y21上，y1.将x02x1，y02y代入上式，得(2y)21.故所求AQ的中点M的轨迹方程是4y21.例2 B 解析：依题意有解得9m8或8m25，即实数m的取值范围是(9,8)(8,25)【跟踪训练】2 4a0或0a3 解析：方程化为1，依题意应有12aa20，解得4a0或0a3例3-1 解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM(x0)，同理，直线BM的斜率kBM(x0)由已知有，化简，得点M的轨迹方程为y21(x0)例3-2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3,0)和B(3,0)的距离之和

12、恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，其轨迹方程为1.例3-3 解：设P(xP，yP)，Q(x，y)，由中点坐标公式得所以又点P在椭圆1上，所以1，即x21.例4 解：由已知a2，b，得c1.|F1F2|2c2.在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 60.4163|PF1|PF2|.|PF1|PF2|4.S|PF1|PF2|sin 604.【跟踪训练】3

13、8 解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|F1A|F1B|，所以在F2AB中，|F2A|F2B|AB|4a20，又|F2A|F2B|12，所以|AB|8.【当堂达标】1.D 解析：根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a22528.2. B 解析：椭圆方程可化为x21，由题意知解得k2.3.CD解析：方程x2ky22，即1表示焦点在y轴上的椭圆，2，故0k1.故选CD. 4. 解析：由方程1表示椭圆，得解得m且m1.5.解：由椭圆方程，得a3，b2，c.|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21，|PF1|4，|PF2|2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，PF1F2是直角三角形，且F1PF290，故F1PF2的面积为|PF1|PF2|244.6.解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(3,0)，r11；Q2(3,0)，r29设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|1R，|MQ2|9R，|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a5，c3，b2a2c225916故动圆圆心的轨迹方程为1