3.1.2 椭圆的简单几何性质-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识储备 椭圆的标准方程和几何性质标准方程22221xyab(ab0)22221yxab(ab0)图形性质范围 xa，a，yb，b xb，b，ya，a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)离心率e ca，且 e(0,1)a，b，c 的关系c2a2b2离心率表示椭圆的扁平程度.当 e 越接近于 1 时，c 越接近于 a，从而 b22ac越小，因此椭圆越扁；当 e 越接近于 0 时，c 越接近于 0，从而 b22ac越大，因此椭圆越接近圆；当 e

2、0时，c0，ab，两焦点重合，图形就是圆.熟记常用结论1焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1 与右(上)焦点 F2 之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作 r1|PF1|，r2|PF2|.(1)22221xyab(ab0)，r1aex0，r2aex0；(2)22221yxab(ab0)，r1aey0，r2aey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)2焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2 叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2 的面积为 S，则在椭圆22221xyab(ab0)中(1)当 P 为短轴端点时，最大(2)

3、S 12|PF1|PF2|sin b2tan 2 c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.(3)焦点三角形的周长为 2(ac)3焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin22ba.4AB 为椭圆22221xyab(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则(1)弦长 l21 k|x1x2|211k|y1y2|；(2)直线 AB 的斜率 kAB2020b xa y.典例剖析 考点一 椭圆的简单几何性质考法全析考法(一)求椭圆的离心率的值(范围)例 1(1)(2018全国卷)已知 F

4、1，F2 是椭圆 C：22221xyab(ab0)的左、右焦点，A 是 C的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为36的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23 B.12C.13D.14(2)(2019福州模拟)过椭圆 C：22221xyab(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是()A.50 5，B.5 15，C.202，D.2 12，解析(1)如图，作 PBx 轴于点 B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则 c1.由F1F2P

5、120，可得|PB|3，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB|PBPA32a 36，解得 a4，所以 e ca 14(2)由题设知，直线 l：1xycb，即 bxcybc0，以 AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将 xc 代入椭圆 C 的方程，得 y2ba，即圆的半径 r2ba.又圆与直线 l 有公共点，所以222bcbc2ba，化简得 2cb，平方整理得 a25c2，所以 e ca55.又 0e1，所以 0e55.故选 A.答案(1)D(2)A考法(二)与椭圆有关的范围(最值)问题例 2 P 为椭圆2211615xy 上任意一点，EF 为圆 N：(x1)2y24 的

6、任意一条直径，则PE PF的取值范围是()A0,15B.5,15C5,21D(5,21)解析 由题意知圆 N 的圆心 N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为 PE PF(PNNE)(PN NF)(PN NE)(PN NE)PN 2 NE 2|PN|24，因为 ac|PN|ac，即 3|PN|5，所以 PE PF的取值范围是5,21答案 C规律探求看个性考法(一)求椭圆离心率的值(范围)，其方法为(1)定义法：根据条件求出 a，c，直接利用公式 e ca求解(2)方程法：根据条件得到关于 a，b，c 的齐次等式(不等式)，结合 b2a2c2 转化为关于 a，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等

7、式(不等式)两边同时除以 a 或 a2转化为关于 e 或 e2 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)考法(二)与椭圆有关的最值(范围)问题与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系口诀记忆离心率，不用愁，寻找等式消 b 求；几何图形寻踪迹，等式藏在图形中找共性1.无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式22221,cbeabcaa，理清 a，b，c 的内在联系(a，b，c 的关系式构造 a，

8、c 的齐次方程或不等式)，便可以不变应万变2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形 能力检测 姓名：_ 班级：_ 得分：_ 注意事项：本试卷满分 100 分，考试时间 45 分钟，试题共 16 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、单选题1设1F，2F 分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于 A，B 两点，且120AFAF，222AFF B

9、，则椭圆 E 的离心率为()A 23B 34C53D74【答案】C【解析】222AFF B设2BFx，则22AFx 由椭圆的定义，可以得到1122,2AFax BFax 120AF AF,12AFAF在1Rt AF B 中，有2222232axxax，解得3ax 2124,33aaAFAF在12RtAF F中，有22242233aac 整理得225=9ca，53cea，故选 C 项.2已知正方体1111ABCDA BC D，P 是平面11A BCD 上的动点，M 是线段11B C 的中点，满足 PM 与1CC 所成的角为 6，则动点 P 的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】B【解析】

10、在正方体1111ABCDA BC D中，连接11,C D CD 相交于点O所以11C DCD，又 BC平面11CDDC，所以1C DBC 又1BCCDC，所以1C D 平面11A BCD 以O 为原点，1,OC OC 分别为 z 轴和 y 轴，然后过点O 作 BC 的平行线为 x 轴 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz 设2AB，,0P x y 所以11,0,2,0,2,0,0,0,2MCC 11,2,0,2,2PMxyCC由 PM 与1CC 所成的角为 6 所以122123cos 62212 yPM CCPM CCxy 化简可得 22312 26xy，即 222 21126yx 所以点 P

11、的轨迹为椭圆，故选：B 3已知椭圆22:1(0)2xyEaaa的离心率为22，若面积为4 的矩形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 E 上，点O 为坐标原点，则2|OA （）A212B3C132D232【答案】D【解析】由椭圆 E 的离心率为22，解得2222aaa，所以椭圆 E 的方程为22142xy，不失一般性，设(2cos,2 sin)0,2A，由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积2cos2sin1S，所以2sin 22，即24 或 34，可得2cos22 ，所以22222|4cos2sin2cos2cos2332OA，故选：D.4定点 3,0P，动点 Q 在圆2216xy上，线段 PQ 的

12、垂直平分线交OQ 于点 M（O 为坐标原点），则动点 M 的轨迹是（）A圆B直线C双曲线D椭圆【答案】D【解析】如图所示：因为 MQMP，所以43OMMPOQ，因此点 P 的轨迹是以,O P 为焦点，长轴长为4，焦距为3的椭圆故选：D 5已知点 F 是椭圆22221(0)yxabab的上焦点，点 P 在椭圆 E 上，线段 PF 与圆222()216cbxy相切于点 Q，O 为坐标原点，且()0OPOFFP，则椭圆 E 的离心率为（）A63B53C 23D 12【答案】B【解析】设椭圆的下焦点为1F，圆222()216cbxy的圆心为 A，线段 PF 的中点为 B，因为()0OPOFFP，所以(

13、)()0OPOFOPOF，即 OPOFc；所以OBPF，由于1/OBPF，所以1PFPF；因为线段 PF 与圆222()216cbxy相切于点 Q，所以 AQPF，所以1/PFAQ，所以11AQAFPFFF=；因为12,42bcFFc AQAF，所以1PFb；根据椭圆定义可得2PFab，所以有22224abbc，整理得23ba，所以离心率2513cbeaa.故选：B.6已知椭圆的两焦点1F，2F 和双曲线的两焦点重合，点 P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos4F PF，椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则2212ee的最小值为（）A1514B 152C 14D 154【答案】A【解

14、析】设1PFx，2PFy，不妨设 P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2a，122F Fc，则22xyaxya，解得xaayaa，在12PF F中由余弦定理得222121212122cosF FPFPFPF PFF PF，22222114242cxyxyxyxy，1cea，2cea，222221354()()()()222caaaaaaaaaa，2212358ee，22222212121222221221531351 888eeeeeeeeee221222215311158282 151884eeee，当且仅当2212222153eeee时等号成立 所以2212ee的最小值为1

15、514故选：A 7已知椭圆 C：22213xya 的右焦点为 F，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点 P 满足 OFFP，则 C 的方程为（）A221123xyB22183xyC22163xyD22143xy【答案】D【解析】根据对称性知 P 在 x 轴上，OFFP，故2ac，223ac，解得2a，1c ，故椭圆方程为：22143xy.故选：D.8已知抛物线2:20C ypx p与椭圆2222:10 xyEabab交于点 1,2A，若抛物线 C的焦点 F 也是椭圆 E 的焦点，则实数 a 的值为（）A 2 1B2C22D2 2【答案】A【解析】由题意：对于抛物线2:2C ypx，有222p，

16、24yx所以抛物线 C 的焦点为(1,0)F，所以对于椭圆 E，有22221141baab，解得23 2 2a 或232 2a，又因22ac，即21a ，所以2232 2(21)a，所以2 1a .故选：A9若方程 C：221yxa（a 是常数）则下列结论正确的是（）AaR，方程 C 表示椭圆BaR，方程 C 表示双曲线 C aR，方程 C 表示椭圆D aR，方程 C 表示抛物线【答案】B【解析】当1a 时，方程 C：221yxa即221xy，表示单位圆aR，使方程C 不表示椭圆故 A 项不正确；当 a0 时，方程 C：221yxa表示焦点在 x 轴上的双曲线aR，方程C 表示双曲线，得 B

17、项正确；aR ，方程C 不表示椭圆，得 C 项不正确不论 a 取何值，方程 C：221yxa中没有一次项aR ，方程C 不能表示抛物线，故 D 项不正确，综上所述，可得 B 为正确答案，故选 B10已知椭圆22143xy上一点,P x y 到其一个焦点的距离为 3，则点 P 到其另一个焦点的距离等于（）A2B3C1D 10【答案】C【解析】根据题意，椭圆的标准方程为：22143xy，则其焦点在 x 轴上，且42a，若椭圆上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 3，那么点 P 到另一个焦点的距离为231a ，故选：C 11若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6，则椭圆的方程

18、为（）A221916xyB2212516xyC2212516xy 或2211625xyD以上都不对【答案】C【解析】由题意可得：222221826abcabc，解得：22225169abc，当椭圆焦点位于 x 轴时，其标准方程为：2212516xy，当椭圆焦点位于 y 轴时，其标准方程为：2251162xy，本题选择 C 选项.12已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（）A33B32C 12D 13【答案】B【解析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，即2ab，则椭圆的离心率为222231()2cabbeaaa，故选 B.二、填空题13如图，过原点 O 的直线 AB 交椭圆

19、2222:1(0)xyCabab于 A，B 两点，过点 A 分别作 x轴、AB 的垂线 APAQ 交椭圆 C 于点 PQ，连接 BQ 交 AP 于一点 M，若45AMAP，则椭圆C 的离心率是_【答案】2 55【解析】设1122,A x yQ xy），则1111,BxyP xy，113(,)5M xy 由 ABAQ，则1211211yyyxxx，再由 B，M，Q 三点共线，则1211215yyyxxx，故2121212115yyxxxxyy，故即 222221211()5yyxx，又因为2211221xyab，2222221xyab，即22221212220 xxyyab，所以2215ba，故

20、椭圆 C 的离心率是 2 55 故答案为：2 55 14椭圆22221(0)xyabab的右焦点 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是_【答案】1,12【解析】由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，而22abFAccc，,PFac ac 于是2,bac acc，即222accbacc，222222accacacacc1112caccaa或，又01e，故1,12e，故答案为1,12e.15已知,A B 是椭圆22:14xyC mm的长轴的两个端点，

21、P 是椭圆C 上的动点，且APB的最大值为 23，则椭圆C 的离心率为_【答案】63【解析】因为 P 是椭圆C 上的动点，当APB的最大值为 23，由椭圆性质得此时 P 是短轴顶点 且60APO，所以+4tan60mm=，解得2m 2226,2,4abc=26=36cea=故答案为：63 16已知直线l 为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且l 与椭圆2222:10 xyCabab相交于,P Q 两点，点 B 为椭圆上异于,P Q 的任意一点，若直线 BP 和 BQ 的斜率之积为14，则椭圆C 的离心率为_.【答案】32【解析】由题知：设,B x y，P m n,，,Qmn.则BPynkxm

22、，BQynkxm.因为14BPBQkk，所以222214ynynynxm xmxm.又因为 B，P 在椭圆C 上，所以22221xyab，22221mnab，两式相减得2222220 xmynab，即222222ynbxma.所以2214ba，即2214ba.则2222222312cabbeaaa.故答案为：32 三、解答题17已知椭圆222210 xyCabab：的短轴长等于 2 3，右焦点 F 距 C 最远处的距离为 3(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过 F 的直线与 C 交于 A、B 两点（A、B 不在 x 轴上），若O EO AO B，求四边形 A O B E面积

23、S 的最大值【答案】（1）22143xy；（2）1【解析】（1）由已知得2b3，222ac3,abc，22xyC143所求椭圆 的方程为（2）因为过 F 1,0 的直线与C 交于AB、两点（AB、不在 x 轴上），所以设l:xty 1，221143xtyxy 223t4 y6ty90 设1122A xyB xy、则1221226tyy3t49y y3t4 OEOAOBAOBE所以为平行四边形 2AOB12212 t1S2Syy3t4 ，2t1m1 令 212m4S13m13mm得，由对勾函数的单调性易得当m 1 即 t0 时，maxS3 18已知 F1，F2是椭圆 C：22221xyab（ab

24、0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线 x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为3 14 4P，.（）求椭圆 C 的方程；（）过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，当ABF2面积最大时，求直线 l 的方程.【答案】（）23x y2=1；（）xy20 或 x+y20.【解析】（）直线 x+y=1 与 y 轴的交于（0，1）点，b=1，设直线 x+y=1 与椭圆 C 交于点 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x232，y1+y212，221122xyab 1，222222xyab 1，两式相减可得21a（x1x2）（x1+x2）21b（y1y2）（y1+y2）=0，212122121

25、2()yybxxxxayy，22ba 3212 1，解得 a2=3，椭圆 C 的方程为23x y2=1.（）由（）可得 F1（2，0），F2（2，0），设 A（x3，y3），B（x4，y4），可设直线 l 的方程 x=my2，将直线 l 的方程 x=my2代入23x y2=1，可得（m2+3）y22 2 my1=0，则 y3+y422 23mm，y3y4213m，|y3y4|22342342 31()43myyy ym，212ABFS|F1F2|y3y4|2|y3y4|22222 612 62 63232 211mmmm，当且仅当22211mm，即 m=1，ABF2面积最大，即直线 l 的方程为 xy20 或 x+y20.