3.2.1 双曲线的标准方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)（原卷版）.docx

1、3.2.1 双曲线的标准方程一、双曲线的定义1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.2、焦点：两个定点、3、焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为.4、双曲线就是下列点的集合：5、要点注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。二、双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴

2、焦点在轴图形标准方程焦点坐标、的关系三、待定系数法求双曲线标准方程的方法四、由双曲线标准方程求参数范围1、对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.2、对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.3、已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。五、求双曲线中的焦点三角形面积的方法（1）根据双曲线的定义求出；利用余弦定理表示出、之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出的值；利用公式求得面积。（2）利用公式

3、求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，这一结论适用于选择或选择题。题型一 对双曲线定义的理解【例1】设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于（ ）A10 B8 C5 D4【变式1-1】已知A（0，4），B（0，4），|PA|PB|2a，当a3和4时，点P轨迹分别为（ ）A双曲线和一条直线 B双曲线和两条射线C双曲线一支和一条直线 D双曲线一支和一条射线【变式1-2】若点P是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【变式1-3】设双曲线的焦点为，点为上一点，则为（ ）A22

4、 B14 C10 D2【变式1-4】已知双曲线的焦点为，过左焦点交双曲线左支于两点，若，则等于_.题型二 求双曲线的标准方程【例2】已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A B C D【变式2-1】经过点，的双曲线的方程是_.【变式2-2】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为_.【变式2-3】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1），经过点；（2）焦点轴上，且过点，.【变式2-4】已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点是双曲线左支上的一点，若，则双曲线的标准方程是（ ）A B C D题型三 由双曲线标准方程求参数范围【例3】若方程表

5、示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为_【变式3-1】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（）A B C D【变式3-2】若方程表示双曲线，则实数m满足（ ）Am1且m3 Bm1 C或 D3m1【变式3-3】已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件题型四 双曲线的焦点三角形问题【例4】已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点若，点在线段上，则的周长为（ ）A B C D【变式4-1】设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）A24 B C D30【变式4-2】双曲线的两个焦点分别是，

6、点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）A B C D【变式4-3】若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（ ）A有最大值4 B有最小值2 C为 D为【变式4-4】已知双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，的内切圆的圆心为，则（ ）A B C D题型五 双曲线的轨迹问题【例5】设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）A BC D【变式5-1】已知的顶点，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.【变式5-2】动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）A BC D【变式5-3】如图所示，已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）A BC D题型六 双曲线中距离和差的最值问题【例6】设F是双曲线的左焦点，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）A5 B C D9【变式6-1】如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则_【变式6-2】已知双曲线：的左、右焦点分别是，点关于，对称的点分别是，线段的中点在双曲线的右支上，则（ ）A4 B8 C16 D32【变式6-3】设P是双曲线上一点，MN分别是两圆和上的点，则的最大值为（ ）A6 B9 C12 D14