3.2.1 第1课时 函数的单调性（学案）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）.docx

1、3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大（小）值第1课时 函数的单调性【学习目标】课程标准学科素养1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义2.掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）3.掌握求函数单调区间的方法(重点).4.会用函数的单调性解答有关问题.1、逻辑推理2、数学抽象3、直观想象【自主学习】一增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2D，当x1x2时都有 都有 结论那么就称函数f(x)在区间D上是 函数那么就称函数f(x)在区间D上是 函数图示思考1：在增函数与减函数的定义中，能否把“x1，x2D”改为“x1，x2D”？思考2

2、：设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？(1)对任意x1x2，都有f(x1)0；(3)对任意x1、x2都有 0.思考3：由思考2推广，能否写出减函数的几个等价命题？二函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的_.解读：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调如f(x)x2等(3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)，它的定义域是N，但不具有

3、单调性思考4：函数的单调区间与其定义域是什么关系？三基本初等函数的单调区间如下表所示：函数条件单调递增区间单调递减区间正比例函数(ykx，k0)与一次函数(ykxb，k0)k0R无k0无R反比例函数(y，k0)k0无(，0)和(0，)k0(，0)和(0，)无二次函数(yax2bxc，a0)a0，)(，a0(，)思考5：函数y在定义域上是减函数吗？【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)因为f(1)f(1)()(3)若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数()(4)若函数f(x)在(，0)和(0，)上单调递减，则f(x)在

4、(，0)(0，)上单调递减 () 2.函数f(x)x22x3的单调减区间是_【经典例题】题型一 函数单调性的判定与证明点拨：利用定义证明函数单调性的步骤1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a)Df(a21)f(a)角度2：利用函数的单调性解不等式点拨：对于x1x2f(x1)f(118a)，则实数a的取值范围是 .角度3：已知函数单调性求参数范围点拨：已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围(2)运用函数的单调性的

5、定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集例5 函数f(x)x22(a1)x2，(1)若函数f(x)的单调递减区间是(，4，则实数a的值(或范围)是_(2)若函数f(x)在区间(，4上单调递减，则实数a的值(或范围)是_【跟踪训练】5已知函数f(x)若函数f(x)在7，)上为增函数，求实数a的取值范围【当堂达标】1. (多选)如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)

6、，则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1,4上单调递增C函数在区间3,14,5上单调递减D函数在区间5,5上没有单调性2.已知f(x)(3a1)xb在(，)上是增函数，则a的取值范围是 ()A(，) B(，) C(， D，)3.若函数f(x)x22ax3在(2，)上是增函数，则实数a的取值范围是 。4.已知函数 f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,3) B(0,3 C(0,2) D(0,25.已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为_6.求证：函数f(x)在区间(0，)上是减函数，在区间(

7、，0)上是增函数.【课堂小结】1.函数的单调性定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较2.证明函数的单调性证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可3.等价转化、数形结合已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f(x)在D上递增，则f(x1)f(x2)x1x2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题【参考答案】【自主学习】一f(x1)f(x2)；增

8、；f(x1)f(x2)；减思考1：不能，如图所示：虽然 f(1)f(2)，但原函数在1，2上不是增函数思考2：是增函数，它们是增函数的几种等价命题思考3：(1)对任意x1f(x2)；(2)对任意x1，x2，都有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(3)对任意x1、x2都有 x21，y1y20，y1y2，函数y在(1，)上为增函数例3 解：a2a12，与a2a1都是区间(0，)上的值f(x)在区间(0，)上是单调递减的，f(a2a1)【跟踪训练】3 D解析：选项D中，a21a，f(x)是(，)上的减函数，f(a21)f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)f(x2)，则2x1x22.因为f(1

9、m)f(m)，所以解得m2.【跟踪训练】4 解析：由题意3a7118a，解得a22；函数h(x)x22ax3a3在a,1上递增，且h(1)4a，故若函数f(x)在7，)上为增函数，则即a7，a的取值范围为7，)【当堂达标】1.ABD 解析：由图可知，f(x)在区间3,1，4,5上单调递减，单调区间不可以用并集“”连接，故选C.2.B 解析：f(x)(3a1)xb为增函数，应满足3a10，即a，故选B.3.a2 解析：因为函数f(x)x22ax3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为xa，所以其单调增区间为(a，)，由题意可得(2，)(a，)，所以a2.4. D 解析：依题意得实数a满足，解得0a2.5. 解析：因为f(x)在区间1,1上为增函数，且f(x)f，所以解得1x.6.证明：对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).因为x1x20，所以x2x10，x1x20，xx0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).因为0x1x2，所以x2x10，x2x10，xx0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(0，)上是减函数