3.2.2 双曲线的简单几何性质（教学设计）-【新教材精创】 2022-2023学年高二数学同步备课 (人教A版2019选择性 必修第一册).docx

1、3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学设计本小节内容选自普通高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）第二章圆锥曲线的方程的第二节双曲线。以下是本节的课时安排：第三章 圆锥曲线的方程课时内容3.2.1双曲线及其标准方程3.2.2双曲线的简单几何性质所在位置教材第118页教材第121页新教材内容分析双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通

2、过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。核心素养培养通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。教学主线双曲线的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养2了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养3.

3、 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养重点：运用双曲线的方程获得几何性质 难点：双曲线的渐近线及离心率的意义（一）新知导入 观察双曲线的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？ 观察图，我们发现，不同双曲线的开阔程度不同，你能用适当的量定量刻画双曲线的开阔程度吗？ （二）双曲线的简单几何性质知识点一 双曲线的几何性质【探究1】1类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1(a0，b0)的哪些几何性质？提示范围、对称性、顶点、离心率、渐近线2只根据渐近线方程能确定双曲线方程吗？提示不能因为不能根据渐近线方程的斜率确定焦点位置，而渐近线方程中斜

4、率只是比值3椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？提示双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大双曲线的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形范围xa或xaya或ya对称性对称轴：x轴、y轴_对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴长实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)离心率e且e1渐近线yxyx【点睛】1渐近线是标志双曲线位置的一个量，它确定着双曲线张口的大小随着x越来越大

5、或x越来越小，双曲线与渐近线的距离越来越小，趋近于0，但是永远不会相交2双曲线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定【做一做1】(教材P124例3改编)双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2C4D4解析：双曲线方程可变形为1，所以a24，a2,2a4.答案：C【做一做2】双曲线y2x22的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dy2x解析：由题意知1，yx.答案：A【做一做3】若双曲线1的离心率e2，则m_.解析：由题知a216，即a4，又e2，所以c2a8，则mc2a248.答案：48知识点二 等轴双曲线【探究2】实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么？提

6、示实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程是yx，离心率是 .等轴双曲线(1) 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线(2)等轴双曲线具有以下性质：方程形式为_x2y2(0)；渐近线方程为yx，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e.（三）典型例题1.利用双曲线的性质求标准方程例1.(1)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1B.1C.y21 Dx21(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)的双曲线方程为_. 分析(1)OAF是边长为2的等边三角形求c和点A的坐

7、标渐近线的斜率求a，b.(2)法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解法二：待定系数法求解解析(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c2，点A的坐标为(1，)，所以，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x21，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1. 联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则. 因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程

8、为y2(0)因为点A(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.答案(1)D(2)1【类题通法】1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解为了避免讨论，也可设方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求解2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，A0，B

9、0)(2)与双曲线1或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为或(0)(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为(0)或(0)，这是因为离心率不能确定焦点位置(4)与双曲线1共焦点的方程可设为1 (0，b20)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，得|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，则在PF1F2中，PF1F230，由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22(4a)(2c)cos 30，

10、整理得(e)20，所以e.答案(1)(2)【类题通法】求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e 得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解【巩固练习2】(1) (2018高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，则该双曲线的离心率为_解析 (1)e212，1，1，渐近线方程为xy0，则点(4,0)到渐近线的距离d2.(2)当焦点在x轴上时，即，所以e

11、2，解得e；当焦点在y轴上时，即，所以e2，解得e，即双曲线的离心率为或.答案(1)D(2)或3.直线与双曲线的位置关系例3.已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且过点P(，1)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l1：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围解析 (1)由e，可得所以a23b2，故双曲线方程可化为1.将点P(，1)代入双曲线C的方程，可解得b21.所以双曲线C的方程为y21.(2)联立直线与双曲线方程(13k2)x26kx90，由题意得解得1k1且k，所以k的取值范围为.【变式探究】将本题(2)中改为直线l1与双曲线C有且只有一个公共点，k的取值范围又如

12、何？解析 联立直线与双曲线方程消去y得：(13k2)x26kx90.当13k20，即k时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；当13k20，(6k)236(13k2)3636k2，由0，即3636k20，所以k1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点所以当k或k1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点例4. 经过点M(2,2)作直线l交双曲线x21于A，B两点，且M为AB中点(1)求直线l的方程；(2)求线段AB的长分析可用点差法求l的斜率，再用弦长公式求|AB|.解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得x1，x1，两式相减得xx()0，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(

13、y1y2)0.M为AB的中点，x1x24，y1y24，4(x1x2)(y1y2)0，kl4，经检验k4符合题意l的方程为y24(x2)，即y4x6.(2)将y4x6代入到x21中得3x212x100，故x1x24，x1x2，|AB|.【类题通法】1.直线与双曲线位置关系的处理方法把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式(1)0时，直线与双曲线有两个不同的交点(2)0时，直线与双曲线只有一个公共点(3)0，符合题意，所求直线MN的方程为yx，即3x4y50.法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N均在双曲线上，两式相减，得

14、yy，.点A平分弦MN，x1x26，y1y22.kMN.经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1(x3)，即3x4y50.（四）操作演练 素养提升1.双曲线1的渐进线方程为()AyxByxCyx Dyx2.已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B.C. D13.双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于()A2 B2C4 D44.已知双曲线C：x21，过点P(1,2)的直线l，与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A1条 B2条C3条 D4条答案：1.D 2.D 3.C 4. B【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第124页 练习 第1，2，3,4题 第126页 练习 第1，2，3题 第127页 习题3.2 第3,4,8,9,13题