3.3.1 抛物线及其标准方程-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.3.1抛物线及其标准方程【考点梳理】考点一抛物线的定义1定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹2焦点：定点F.3准线：定直线l.考点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离【题型归纳】题型一：抛物线的定义求轨迹方程1已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A BC D2已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（）ABCD3已知点，过直线上一动点P作与y轴垂直的直线，

2、与线段的中垂线交于点Q，则Q点的轨迹方程为（）ABCD题型二：抛物线的最值问题4已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（）A4B6C8D105动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（）ABCD6已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，则的最小值为（）AB2CD8题型三：抛物线焦半径的公式7已知抛物线C：（）的准线为l，圆M：与l相切，则（）A1B2C3D48已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，点在上，且，则直线的斜率为ABCD9以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（）ABC或D或题型四：抛物线的四种标准方程10已知抛物

3、线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（）A2B4C6D811抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（）A3B4C5D612已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30的直线交抛物线于点（在第一象限），垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（）ABCD题型五：抛物线的方程常见求法13根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点；(2)焦点为直线与坐标轴的交点14根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程：(1)焦点为，离心率为；(2)焦点为，离心率为3：(3)抛物线的准线为；(4)椭圆与双曲线有相同的焦点，且短轴长为

4、215分别根据下列条件，求抛物线的标准方程(1)准线方程是；(2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点；(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，.【双基达标】一、单选题16已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，则抛物线的方程为（）ABCD17已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（）ABCD18焦点在直线上的抛物线的标准方程为（）A或B或C或D或19已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3，离心率为，则以双曲线C的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）ABCD20已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（）A1B2C

5、D421求适合下列条件的抛物线的方程.(1)焦点为，准线方程为；(2)顶点在原点，准线方程为；(3)顶点在原点，以轴为对称轴，过点22已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)求抛物线的标准方程.【高分突破】一：单选题23已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（）A1B2C3D424抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦

6、点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m，则灶口直径AB为（）A2mB3mC4mD5m25以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（）AB或CD或26已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（）ABC或D27已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形的面积为，则（）A1BC2D3已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）A或B或C或D或29已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（）ABCD930已知抛物线y22

7、px(p0)，点C(4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（）Ay24xBy24xCy28xDy28x二、多选题31已知抛物线，为坐标原点，为抛物线的焦点且为过焦点的弦，若，则（）A抛物线的方程为B抛物线的准线方程为C过点可作抛物线的两条切线D的面积为32已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（）A焦点的坐标为B过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点C直线与抛物线相交所得弦长为8D抛物线与圆交于两点，则33已知斜率为的直线过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于，两点，抛物线的准线上一点，满足，则（）ABC

8、D的面积为三、填空题34若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为_35已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为_.36已知斜率为k的直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点满足，则_37已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为_.四、解答题38求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为；(2)准线方程为；(3)经过点；(4)焦点在y轴上，通径的长等于439在直线l：是抛物线C的准线；F是椭圆的一个焦点；，对于C上的点

9、A，的最小值为；在以上三个条件中任选一个，填到下面问题中的横线处，并完成解答已知抛物线C：的焦点为F，满足_(1)求抛物线C的标准方程；(2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线：与C交于M，N两点，若的面积为，求m的值【答案详解】1A【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，所以，其方程为，

10、故选：A2A【分析】根据外切关系结合抛物线定义，分析得到的轨迹为抛物线，由此求解出抛物线的方程.【详解】由题意得，直线，且圆，设点到直线的距离为，则点到与点到的距离相等，都是，故点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故方程为.故选：A.3D【分析】根据中垂线性质得到，结合抛物线的定义判断出点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹方程.【详解】设，因为的中垂线经过点，所以，又因为轴，所以表示到直线的距离，且表示点到点的距离，点不在直线上，由抛物线的定义可知：点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设轨迹方程为，所以，所以，所以轨迹方程为.故选：D.【点睛】方法点睛：求解动点的轨迹方程的常见方法：（1）

11、定义法：如果动点的运动规律符合我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件待定方程中的参数，即可求得轨迹方程；（2）直接法：如果动点的运动规律满足的等量关系容易建立，则可用点的坐标表示该等量关系，即可得轨迹方程；（3）相关点法：如果动点的运动是由另外一点的运动引发的，而点的运动规律已知（坐标满足某已知的曲线方程），则用点的坐标表示出相关点的坐标，然后将点的坐标代入已知曲线方程，即可得到点的轨迹方程；（4）交轨消参法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程.

12、4C【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，半径为，所以的最小值为.故选：C5B【分析】设，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设，圆化简为，即圆心为（0,4），半径为，所以点P到圆心的距离，令，则，令，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以的最小值为，所以，所以的最小值为.故选：B6C【分析】利用切线性质，构造的长度关于的函数关系，再求函数的最小值即可.【详解】圆的方程：，可知，故

13、四边形的面积，当取最小值时最小，设，则，当时，取最小值为，的最小值为故选：7B【解析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可【详解】解：抛物线的准线与圆相切，可得，解得故选：B【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查8B【分析】根据抛物线的定义，求得p的值，即可得抛物线，的标准方程，求得抛物线的焦点坐标后，再根据斜率公式求解.【详解】因为，所以，解得，所以直线的斜率为故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了抛物线的简单性质，涉及了直线的斜率公式；抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；解题过程中注意焦点的位置.9C【分析】根据

14、抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【详解】依题意设抛物线方程为因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，所以抛物线方程为或故选：C10C【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.【详解】如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为，因为点在C上，根据抛物线定义可得，且，则，所以为等腰三角形，且，在中，即解得，即F到l的距离为.故选:C.11B【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，根据垂直，得到点的横坐标，根据韦达定理，得到的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.【详解】由，则焦点，且准线方

15、程为直线，即，设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，消去可得：，化简得：，因为，且直线过点，所以，即点位于以线段为直径的圆上，易知以线段为直径的圆的方程为，将代入上式，可得，解得，（舍去），则点的横坐标，设点的横坐标，由韦达定理可得：，则，根据抛物线的定义，可得，则，故选：B.12C【分析】如图所示，过点作，垂足为. 先证明是等边三角形，再求出，求出的值即得解.【详解】解：如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以， 所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C13(1)或(2)或【分析】（1）设抛物线方程为和，将点代入抛物线方程求出，即可求出抛物

16、线方程.（2）求出焦点坐标，由此求得，即可求出抛物线方程.（1）当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为；当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为综上，抛物线的标准方程为或（2）令，得；令，得所以抛物线的焦点坐标为或当焦点为时，抛物线的标准方程为当焦点为时，抛物线的标准方程为综上，抛物线的标准方程为或14(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）由题可知圆锥曲线为椭圆，结合条件即求；（2）由题可知圆锥曲线为双曲线，利用双曲线的性质即求；（3）由抛物线的准线方程为，即求；（4）由题可得椭圆的焦点为，然后结合条件即求.(1)由题可知，圆锥曲线为椭圆，

17、可设方程为，则，所以椭圆的标准方程为.(2)由题可知，圆锥曲线为双曲线，可设方程为，则，所以双曲线的标准方程为.(3)抛物线的准线方程为，即，抛物线的标准方程为.(4)双曲线的焦点为，设椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为15(1)(2)(3)或【分析】（1）根据准线方程，确定抛物线的开口和值，直接代入求解；（2）根据双曲线的左顶点，即可求得抛物线的焦点坐标，直接求解；（3）首先设抛物线方程，再根据焦半径公式，代入求解.（1）准线方程为，所以抛物线方程开口向上，且，得，所以抛物线方程是；（2）双曲线方程，左顶点为，所以抛物线的焦点为，抛物线的开口向左，所以抛物线方程是；（3）设抛物线方程，当时，

18、即，解得：或，抛物线方程为或；设抛物线方程，当时，解得：或，抛物线方程为或；综上可知，抛物线方程为或.16D【分析】根据题意，由焦点坐标求，并确定焦点所在位置，进而求抛物线方程.【详解】抛物线的焦点坐标为，则，且焦点在轴正半轴上，故抛物线的方程为.故选：D.17C【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.【详解】将两圆、的方程相减得：，显然圆的圆心到直线距离1小于其半径2，圆的圆心到直线距离小于其半径，因此直线是圆与圆的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，所以抛物线的标准方程为：.故选：C18B【分析】分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.【详解

19、】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，故选：B19C【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离求得，结合离心率求得，从而求得抛物线的标准方程.【详解】双曲线的右焦点到渐近线的距离为，离心率，所以双曲线的右顶点为，对于抛物线，所以抛物线方程为.故选：C20D【分析】根据双曲线的离心率可求得，即可得双曲线的渐近线方程，求出抛物线的准线方程，与渐近线方程联立，分别求出渐近线与准线的交点坐标，从而可得围成三角形面积，结合题意即可得出答案.【详解】解：根据题意，可得，所以双曲线的渐近线方程为，抛

20、物线的准线方程为，设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得，同理，所以，解得.故选：D21(1)(2)(3)【分析】（1）设所求抛物线的标准方程为，求出的值，即可得解；（2）设所求抛物线的标准方程为，求出的值，即可得解；（3）设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出的值，即可得解.（1）解：根据题意，可设所求抛物线的标准方程为，则，可得，故所求抛物线的标准方程为.（2）解：根据题意，可设所求抛物线的标准方程为，则，可得，故所求抛物线的标准方程为.（3）解：根据题意，设所求抛物线的标准方程为，则，得，故所求抛物线的标准方程为.22(1)(2)【分析】（1）将已知点代入双

21、曲线方程，然后可得；（2）由双曲线右焦点与抛物线的焦点相同可解.(1)因为双曲线过点，所以所以，得又因为，所以所以双曲线的渐近线方程(2)由（1）得 所以所以双曲线的右焦点是所以抛物线的焦点是所以，所以所以抛物线的标准方程23C【分析】由条件求出的坐标，结合抛物线的定义求的最小值.【详解】方程可化为，所以直线恒过定点，因为抛物线：的焦点坐标为，所以，即，所以，过点作准线，垂足为，则，过点作准线，垂足为， 所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故选：C.24C【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据是抛物线的焦点，求得抛物线的方程，进而求得的长.【详解】由题意，建

22、立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，设抛物线的方程为，由题意可得是抛物线的焦点，即，可得，所以抛物线的方程为，当时，所以.故选：C.25D【分析】由椭圆的方程得出椭圆的焦点坐标，然后可得答案.【详解】因为椭圆的对称中心为原点，焦点为所以抛物线的方程为或故选：D26C【分析】分或（）两种情况讨论，由面积列方程即可求解【详解】由题意得，当时，解得；当或时，解得，所以抛物线的方程是或.故选：C.27C【分析】根据双曲线及抛物线的基本性质，求得的坐标，表示出三角形的面积，从而求得参数.【详解】由双曲线的离心率为2知，渐近线方程为，又抛物线的准线方程为，则设渐近线与准线的交点为，三角形的面积为，（）

23、解得，故选：C28A【分析】设为，得到，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.【详解】设为，则，又由，所以，因为，所以，可得，由，联立方程组，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程为或故选：A29B【分析】根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，抛物线的方程为设直线的方程为，将此方程代入，整理得设，则，所以，当且仅当，即时等号成立故选：B30D【解析】根据ABx轴，且AB过点F，易知|AB|2p，再由SCAB2p求解即可.【详

24、解】因为ABx轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|2p，所以SCAB2p解得p4或12(舍)，所以抛物线方程为y28x，所以直线AB的方程为x2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y28x.故选：D.31BCD【分析】由可得，所以，则可判断A错误，B正确易知点K在抛物线外，则过点可作抛物线的两条切线，C正确对于D选项，方法一：的面积可将看作是与面积之和；方法二：设直线的倾斜角为，则由解得，【详解】由题意可知，所以所以抛物线的方程为，其准线方程为，A错误，B正确当时，则点K在抛物线外，则过点可作抛物线的两条切线，C正确 方法一设点，则由抛物线的定义，可知，所以由，可得，设直线的方

25、程为：代入抛物线方程中得故，故故D正确方法二设直线的倾斜角为，则由抛物线焦点弦的性质可知，故，所以，所以，故故选：BCD32ACD【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.【详解】由题可知抛物线方程为对于A，焦点的坐标为，故A正确对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误对于C，弦长为，故C正确对于D，解得（舍去），交点为，有，故D正确故选：ACD33ABD【分析】对于A，由题意可得抛物线的准线为，从而可求得，进而可判断A；对于B，抛物线的方程为，其焦点为，则直线的方程为，设，设的中点为，利用点差法可得，则，再结合可得在以为直径的圆上，从而可求出直线

26、的斜率；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用点到直线的距离求出点到直线的距离，从而可求出的面积【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得，故选项A正确.因为，所以抛物线的方程为，其焦点为.因为直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为.因为，所以在以为直径的圆上.设点，联立方程组两式相减可得.设的中点为，则.因为点在直线上，所以，所以点是以为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知，圆的半径.，因为，所以，解得，故选项B正确.因为，所以弦长，故选项C不正确.因为，所以直线为，由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离，所以，故选项D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查化归与转化

27、的数学思想及运算求解能力，解题的关键是由题意求出抛物线的方程，然后利用抛物线的性质求解即可，属于中档题34【分析】先求出双曲线的半焦距c，进而得到实数的值.【详解】解：由得双曲线，则 ，所以，抛物线的焦点为，故答案为：4.35【分析】根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可【详解】依题意可得，所以抛物线的方程为.故答案为：36【分析】求出抛物线的方程为，其焦点为直线的方程为利用，说明在以为直径的圆上设点，利用平方差法求出斜率，设的中点为，推出通过点，在直线上，结合点是以为直径的圆的圆心转化求解直线的斜率，求解弦长即可【详解】解：由题意知，抛物线的准线为，即，得，所以抛物线的方程为，其焦点

28、为因为直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为因为，所以在以为直径的圆上设点，联立方程组两式相减可得设的中点为，则因为点，在直线上，所以，所以点是以为直径的圆的圆心由抛物线的定义知，圆的半径，因为，所以，解得，所以弦长故答案为：37【分析】求出抛物线方程并设出切点坐标，写出切线方程，进而求出点Q的坐标，再设出直线l的方程，求出弦AB长及点Q到直线l的距离即可列式计算作答.【详解】抛物线C：的焦点坐标为，则，即，于是得抛物线C：，依题意，设直线l的方程为：，由消去y并整理得：，设点，则有，显然过点A的抛物线C的切线斜率存在，设此切线方程为，由消去y并整理得，则有，解得，即过点A的抛物线C的切线方程为

29、，同理，过点B的抛物线C的切线方程为，由 解得，于是得两切线的交点Q坐标为，又，点Q到直线l的距离，当且仅当时取“=”，所以面积的最小值为.故答案为：38(1)；(2)；(3)或；(4).【分析】根据抛物线的焦点坐标或位置、准线、所过的点及通径长，求抛物线方程.(1)由题设，令抛物线方程为，则焦点为，所以，即，故抛物线方程为.(2)由题设，令抛物线方程为，则准线为，所以，即，故抛物线方程为.(3)由在抛物线上，若抛物线方程为，则，即，则；若抛物线方程为，则，即，则；综上，抛物线方程为或.(4)由题设，令抛物线方程为，又通径的长等于4，所以，即，故抛物线方程为.39(1)(2)或.【分析】（1）

30、选条件，由准线方程得参数，从而得抛物线方程；选条件，由椭圆的焦点坐标与抛物线焦点坐标相同求得得抛物线方程；选条件，由F，A，B三点共线时，再由两点间距离公式求得得抛物线方程；（2）求出点坐标，由点到直线距离公式求得到直线的距离，设，直线方程代入抛物线方程，判别式大于0保证相交，由韦达定理得，由弦长公式得弦长，再计算出三角形的面积后可解得（1）选条件：由准线方程为知，所以抛物线C的方程为选条件：因为抛物线的焦点坐标为所以由已知得椭圆的一个焦点为.所以，又，所以，所以抛物线C的方程为选条件：由题意可知得，当F，A，B三点共线时，由两点间距离公式，解得，所以抛物线C的方程为.（2）把代入方程，可得，设，联立，消去y可得，由，解得，又知，所以，由到直线的距离为，所以，即，解得或经检验均满足，所以m的值为或.